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第二讲
代数式
【提升训练】
一、单选题
1．当时，代数式的值为2021，则当时，代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．2019
【答案】C
【分析】
将x=2020代入式可得，继而代入到x=-2020时=，计算可得．
【详解】
解：将x=2020代入可得，
化简可得：，
∴当x=-2020时，
=
=
=
=-2019
故选：C．
【点睛】
本题主要考查代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体代入思想的运用．
2．有理数a，b，c均不为0．且，设，则代数式的值是（
）
A．2010
B．1990
C．2030或1990
D．2010或1990
【答案】C
【分析】
根据题意可得a，b，c中不能全同号，必有一正两负或两正一负，a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），则可得，，的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1，即可求得x的值，代入即可求得答案．
【详解】
解：由a，b，c均不为0，知b+c，c+a，a+b均不为0，
∵a+b+c=0，
∴a=-（b+c），b=-（c+a），c=-（a+b），
又a，b，c中不能全同号，故必一正二负或一负二正，
∴，，中必有两个同号，另一个符号相反，
即其值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1，
∴=±1，
∴==，
或==，
故选C．
【点睛】
本题考查了代数式求值，注意分类讨论思想的应用．能得到，，的值为两个+1，一个-1或两个-1，一个+1是解此题的关键，要注意仔细分析，难度适中．【来源：21·世纪·教育·网】
3．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖块数为（
）（用含n的代数式表示）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2+3n
B．2n+3
C．3n-2
D．2n-3
【答案】A
【分析】
先观察最左边和最右边各一个白色瓷砖，再观察中间，每一个纵向都有3个白瓷砖，第几个图案就有几列，由此可以得到表达式.21
cnjy
com
【详解】
解：观察每个图案发现纵向数白色瓷砖每列有3个，
第1个图案有1列，
第2个图案有2列，
第3个图案有3列，
...
以此类推，第n个图案有n列，因此纵向数n列共有3n块白色瓷砖，
由于最左边和最右边各有一块白色瓷砖，
所以共有白色瓷砖数（2+3n）．
故选A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题涉及到了代数式的应用，考查了学生对图形的观察能力和应用代数式的能力，体现了学生分析与归纳的能力．
4．如图是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为时4，则输出的结果为（ ）
A．16
B．12
C．132
D．140
【答案】C
【分析】
根据题意当n＝4时，代入代数式n2﹣n中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，计算出结果与28比较，当结果大于28时输出结果，当结果小于28时，则返回n的值为第一次计算结果，再次计算即可得出答案．
【详解】
解：n＝4时，n2﹣n＝42﹣4＝12，
因为12＜28，
所以再次进行运算程序，n＝12，
n2﹣n＝122﹣12＝132，
因为132＞28，
所以当输入n＝4时，输出值为132．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值及有理数混合运算，根据题意进行合理运算是解决本题的关键．
5．已知实数x，y满足|x﹣1|+（y+2）2＝0，则代数式（x+y）2015的值为（ ）
A．﹣1
B．1
C．2015
D．﹣2015
【答案】A
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：x﹣1＝0，y+2＝0，
解得：x＝1，y＝﹣2，
则（x+y）2015＝（1﹣2）2015＝﹣1．
故选：A．
【点睛】
此题考查绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，正确理解非负数的性质是解题的关键．
6．已知代数式－1的值是，则代数式的值是（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
【答案】C
【分析】
先由已知求出x+2y的值，再代入所求代数式可得答案．
【详解】
解：由已知：x+2y-1=2，
∴x+2y=3，
∴2x+4y+1=2(x+2y)+1
=2×3+1=7，
故选C．
【点睛】
本题考查代数式的求值，由已知得到代数式所含式子的值是解题关键．
7．如图，在第1个图形中有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形，…则第2019个图形中有（
）个三角形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8073
B．8074
C．8075
D．8076
【答案】A
【分析】
根据题目中的图形，可以发现三角形个数的变化规律，从而可以解答本题．
【详解】
解：第1个图形中一共有1个三角形，
第2个图形中一共有1＋4＝5个三角形，
第3个图形中一共有1＋4＋4＝9个三角形，
…
第n个图形中三角形的个数是1＋4（n﹣1）＝4n﹣3，
当n＝2019时，4×2019﹣3＝8073，
∴第2019个图形中有8073个三角形．
故选：A．
【点睛】
本题考查了根据图形变化列代数式寻找规律；关键在于透过数形结合找出变化的规律．
8．把圆形按如图所示的规律拼图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)案，其中第①个图案中有1个圆形，第②个图案中有5个圆形，第③个图案有11个圆形，第④个图案有19个圆形，…，按此规律排列下去，第7个图案中圆形的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．42
B．54
C．55
D．56
【答案】C
【分析】
根据题意找到图案中圆形个数的规律，从而求解
【详解】
解：第①个图案中有0+12=1个圆形，
第②个图案中有1+22=5个圆形，
第③个图案有2+32=11个圆形，
第④个图案有3+42=19个圆形，
第n个图案有（n-1）+n2个圆形，
∴第7个图案中圆形的个数为：6+72=55
故选：C．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中圆形个数的变化找出变化规律是解题的关键．
9．已知，则代数式2x-6y-2的值为（
）
A．
B．8
C．13
D．
【答案】B
【分析】
观察所求代数式可知，可以将已知整体代入求代数式的值．
【详解】
解：∵x﹣3y﹣5＝0，
∴x﹣3y＝5，
∴2x-6y-2
＝2（x﹣3y）-2
＝10-2
＝8．
故选：B．
【点睛】
本题考查了代数式的求值运算，根据式子的特点，采用整体代入的方法．
10．若，且，则的值为
（
）
A．8
B．－8或8
C．－8
D．6或－6
【答案】B
【分析】
根据绝对值的意义和性质可知x、y的值，代入即可求出的值．
【详解】
解：因为|x|=2，|y|=3，
所以x=±2，y=±3，
又因为，
所以当x=2，y=3时，；
当x=－2，y=3时，．
则的值为：－8或8．
故选B．
【点睛】
此题考查求代数式的值、求绝对值原式的问题．绝对值是正数的数有两个，且互为相反数，能根据要求找出需要的x、y是解答此题的关键．
11．如图①是个小正方体木块水平摆放而成，图②是由个小正方体木块叠放而成，图③是由个小正方体木块叠放而成，……，按照这样的规律继续叠放下去，第⑥个叠放的图形中，小正方体木块总个数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
观察所给的前三个图形，把正方体木块的总个数按层数拆分找出规律，解决问题．
【详解】
观察前三个图形发现第①个图形是1个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)正方体木块水平摆放而成，图②是1+5个正方体木块叠放而成，图③是1+5+9个正方体木块叠放而成，由此得到第⑥个图形是1+5+9+13+17+21个正方体木块叠放而成的，而1+5+9+13+17+21=66．
故选：B．
【点睛】
此题考查观察发现规律及运用规律的能力，其关键是要结合图形，对前几个图形中的正方体木块的总个数进行拆分．
12．计算若，则的结果是（
）
A．
B．
C．2
D．8
【答案】B
【分析】
直接将x=-3，代入求值即可；
【详解】
∵
x=-3，
∴
x-5=-3-5=-8，
故选：B．
【点睛】
本题考查了代数式求值的运算，正确掌握运算方法是解题的关键．
13．列式表示“的3倍与的平方的和”正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
认真阅读，列式分三步：第一步计算x的3倍，第二步计算y的平方，第三步计算前两步的和即可．
【详解】
∵x的3倍为3x，y的平方为，
∴的3倍与的平方的和为：，
故选C．
【点睛】
本题考查了代数式的布列，准确理解题意，找准分布计算与整体计算是解题的关键．
14．对于多项式，当时，它的值等于，那么当时，它的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
把x=1代入多项式ax5+bx3+4=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)5，得a+b=1，把x=-1代入ax5+bx3+4得原式=-a-b+4=-(a+b)+4，根据前面的结果即可求出最后的值．21
cnjy
com
【详解】
解：把x=1代入多项式ax5+bx3+4=5，
得a+b+4=5，即a+b=1，
把x=-1代入ax5+bx3+4得，
原式=-a-b+4=-(a+b)+4=3．
∴多项式ax5+bx3+4当x=-1时的值为3．
故选：D．
【点睛】
本题考查了代数式的求值，解题时要利用x的值是1或-1的特点，代入原式，将（a+b）作为一个整体来看待．
15．已知|a|＝2，b2＝25，且ab＞0，则a﹣b的值为（ ）
A．7
B．﹣3
C．3
D．3或﹣3
【答案】D
【分析】
根据绝对值，乘方的意义求出a、b的值，再代入计算即可．
【详解】
解：因为|a|＝2，所以a＝±2，
因为b2＝25，所以b＝±5，
又因为ab＞0，所以a、b同号，
所以a＝2，b＝5，或a＝﹣2，b＝﹣5，
当a＝2，b＝5时，
a﹣b＝2﹣5＝﹣3，
当a＝﹣2，b＝﹣5时，
a﹣b＝﹣2﹣（﹣5）＝3，
因此a﹣b的值为3或﹣3，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了绝对值的性质和代数式求值，准确计算是解题的关键．
16．下列所给代数式中，属于单项式的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据单项式的定义逐一验证即可．
【详解】
∵是单项式，
是二次根式，
是多项式，
是分式，
故选A．
【点睛】
本题考查了单项式的定义，熟练把握数与字母的积这一特征是解题的关键．
17．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则代数式的值为（
）2-1-c-n-j-y
A．2014
B．2016
C．或0
D．0
【答案】D
【分析】
确定、、的值，再代入计算即可．
【详解】
解：∵是最大的负整数，
∴，
∵是绝对值最小的有理数，
∴，
∵是倒数等于它本身的自然数，
∴，
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了与有理数有关负整数、绝对值和倒数，解题关键是确定、、的值．
18．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图1、图2、图3…的次序铺设地砖，把第n个图形用图n表示，那么图2021中的白色小正方形地砖的块数比黑色小正方形地砖的块数多（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8089
B．8084
C．6063
D．14147
【答案】A
【分析】
由图形可知图?的白色小正方形地砖有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)（7n+5）块，黑色小正方形有3n块，由此得出白色小正方形比黑色小正方形多4n+5块，依此代入数据计算即可．
【详解】
解：由图形可知：第1个图形12块白色小正方形，3块黑色小正方形，
第2个图形19个白色小正方形，6块黑色小正方形，
第3个图形26个白色小正方形，9块黑色小正方形，
则图?的白色小正方形地砖有（7n+5）块，黑色小正方形有3n块
∴白色小正方形比黑色小正方形多（7n+5）-3n=4n+5块
当n=2021时，4n+5=4×2021+5=8089．
故选：A．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“层数”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
19．如图，若要使得图中平面展开图折叠成长方体后，相对面上的两个数之和为，求的值（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据相对面上的数字之和为9可得、、，得出x、y、z的值即可求解．
【详解】
解：根据题意可得：，解得；
，解得；
，解得；
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查正方体的相对面，具备空间想象能力是解题的关键．
20．如图所示，直线相交于点，“阿基米德曲线”从点开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为…．那么标记为“”的点在（
）21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．射线上
B．射线上
C．射线上
D．射线上
【答案】A
【分析】
由图可观察出奇数项在OA或OB射线上，根据每四条射线为一组，即可得出答案．
【详解】
解：观察图形的变化可知：
奇数项：1、3、5、7，…，2n-1（n为正整数），
偶数项：-2、-4、-6、-8，…，-2n（n为正整数），
∵2021是奇数项，
∴2n-1=2021，
∴n＝1011，
∵每四条射线为一组，始边为OC，
∴1011÷4=252...3，
∴标记为“2021”的点在射线OA上，
故选：A．
【点睛】
本题考查了规律型图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．
21．观察下列等式：71＝7
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝11649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72022的末位数字是（
）21·世纪
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A．0
B．6
C．7
D．9
【答案】B
【分析】
先根据已知算式得出规律，再求出即可．
【详解】
解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，www-2-1-cnjy-com
2022÷4=505…2，
∴505×（7+9+3+1）+7+9=10116，
∴71+72+73+…+72022的末位数字是6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了尾数特征和数字变化类，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
22．已知代数式的值为9，则代数式的值为（ ）
A．18
B．12
C．9
D．7
【答案】D
【分析】
将x2﹣2x当成一个整体，在第一个代数式中可求得x2﹣2x＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．
【详解】
解：∵3x2﹣6x+6＝9，即3（x2﹣2x）＝3，
∴x2﹣2x＝1，
∴x2﹣2x+6＝1+6＝7．
故选：D．
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键是将x2﹣2x当成一个整体来对待．
23．已知：，则的值为（
）
A．－6
B．6
C．9
D．－9
【答案】C
【分析】
先根据偶次方的非负性、绝对值的非负性可得a、b的值，再代入计算有理数的乘方即可得．
【详解】
由偶次方的非负性、绝对值的非负性得：，
解得，
则，
故选：C．
【点睛】
本题考查了偶次方的非负性、绝对值的非负性、代数式求值，熟练掌握偶次方与绝对值的非负性是解题关键．
24．代数式的值为3，则的值为（
）
A．7
B．18
C．5
D．9
【答案】C
【分析】
由代数式3x2?4x＋6的值为3，变形得出x2?x＝?1，再整体代入x2?x＋6计算即可．
【详解】
∵代数式3x2?4x＋6的值为3，
∴3x2?4x＋6＝3，
∴3x2?4x＝?3，
∴x2?x＝?1，
∴x2?x＋6＝?1＋6＝5．
故选：C．
【点睛】
本题考查了代数式求值，熟练掌握相关运算法则并运用整体思想是解题的关键．
25．当代数式的值取到最小时，代数式……（
）
A．0
B．
C．0或
D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】
由题意，当时，代数式取到最小值，则有，根据绝对值的意义进行化简，即可得到答案．
【详解】
解：根据题意，
∵，
∴当时，代数式的值取到最小值2020，
∴，
∴，
∴，
∴
∴；
故选：A．
【点睛】
本题考查了乘方的定义，绝对值的意义，以及求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则，正确得到和．
26．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2021次输出的结果是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】A
【分析】
根据流程图求出第4次、第5次的输出结果，发现
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)除去前2次的输出结果，后面的输出结果以4，2，1为一个循环，用2021减去2，再除以3，即可求出结果．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：第1次输出结果是16，
第2次输出结果是8，
第3次输出结果是4，
第4次输出结果是，
第5次输出结果是，
第6次输出结果是，
下面开始循环，
除去前2次的输出结果，后面的输出结果以4，2，1为一个循环，
，
∴第2021次输出结果是1．
故选：A．
【点睛】
本题考查找规律，解题的关键是掌握循环问题的解决方法．
27．观察图形的变化规律,则第10个小房子用了（
）颗石子．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．119
B．121
C．140
D．142
【答案】C
【分析】
根据前4个图形归纳类推出一般规律，由此即可得．
【详解】
第1个小房子所用石子的颗数为，
第2个小房子所用石子的颗数为，
第3个小房子所用石子的颗数为，
第4个小房子所用石子的颗数为，
归纳类推得：第n个小房子所用石子的颗数为，其中n为正整数，
则第10个小房子所用石子的颗数为，
故选：C．
【点睛】
本题考查了用代数式表示图形的规律型问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
28．若在正方形的四个顶点处依次标上“振”
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为﹣2和﹣1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2020对应的字是（ ）
A．振
B．兴
C．中
D．华
【答案】A
【分析】
找出“振”“兴”“中”“华”四个字对应的数的规律，由此即可得．
【详解】
由题意可知：“中”字是数字除以4余2的，“华”是除以4余3的，“振”是能被4整除的，“兴”是除以4余1的，www.21-cn-jy.com
因为，
所以数2020对应的字是“振”，
故选：A．
【点睛】
本题考查了图形变化的规律型问题，正确找出一般规律是解题关键．
29．如图是由“○”组成的龟图，则第15个龟图中“○”的个数是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．187
B．215
C．245
D．277
【答案】B
【分析】
先求出第1、2、3、4个图中“○”的个数，再归纳类推出一般规律，由此即可得出答案．
【详解】
观察图可知，第1个图中“○”的个数是，
第2个图中“○”的个数是，
第3个图中“○”的个数是，
第4个图中“○”的个数是，
归纳类推得：第n个图中“○”的个数是，其中n为正整数，
则第15个图中“○”的个数是，
故选：B．
【点睛】
本题考查了用代数式表示图形的规律，依据已知图形，正确归纳类推出一般规律是解题关键．
30．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定的规律拼接而成，依此规律，第n个图形中白色正方形的个数为（ ）【版权所有：21教育】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4n+1
B．4n﹣1
C．3n﹣2
D．3n+2
【答案】D
【分析】
第一个图形中有5个白色正方形；第2个图形中有个白色正方形；第3个图形中有个白色正方形；…由此得出第n个图形中有个白色正方形．21·cn·jy·com
【详解】
解：第一个图形中有5个白色正方形；
第2个图形中有个白色正方形；
第3个图形中有个白色正方形；
…
第n个图形中有个白色正方形．
故选：D。
【点睛】
本题考查图形的变化规律，解决此类探究性问题关键在于观察、分析已知数据，寻找它们之间与第一个图形的相互关系，探寻其规律解决问题。
二、填空题
31．已知|a|＝6，|b|＝8，且a＜0，b＞0，那么ab的值为_____．
【答案】-48
【分析】
首先根据|a|＝6，|b|＝8可得：a＝±6，b＝±8然后根据a＜0，b＞0，可得：a＝﹣6，b＝8，据此求出ab的值为多少即可．
【详解】
解：∵|a|＝6，|b|＝8，
∴a＝±6，b＝±2；
∵a＜0，b＞0，
∴a＝﹣6，b＝8，
∴ab＝﹣6×8＝﹣48．
故答案为：﹣48．
【点睛】
此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及绝对值的含义和求法，能根据a,b的取值范围确定a,b的值，是解答此题的关键．
32．在无限大的正方形网格中按
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】423
【分析】
根据每一个图形都是第几个图形的平方，再加上第几个图形数，每个图形都多出3，再加上3，即可求出答案．
【详解】
解：根据所给的图形可得：
第一个图有：5=1+1+3（个），
第二个图有：9=4+2+3（个），
第三个图有：15=9+3+3（个），
…，
则第n个为n2+n+3，
第20个图有：400+20+3=423（个），
故答案为：423．
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，根据规律进行解答．
33．已知，则的值为_________，的值为________．
【答案】1
-364
【分析】
分别令x=1和x=-1，分别代入（x2-x+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1）6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，再两式相减，然后除以2可得出a11+a9+a7+…+a1的值，即可得出答案．
【详解】
解：令x=1得：
，①
令x=-1得：
，②
①-②得：，
∴，
故答案为：1，-364．
【点睛】
本题考查了代数式求值，熟练掌握相关运算法则并观察出所给等式的特点是解题的关键．
34．如果代数式5a+3b的值为，那么代数式6b+10a﹣8的值为___________．
【答案】﹣16
【分析】
原式整理后，将已知代数式的值整体代入计算即可求出值．
【详解】
解：由题意得：，
则原式＝
=
=
=，
故答案为：．
【点睛】
此题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入法是解本题的关键．
35．如果互为倒数，互为相反数，那么________．
【答案】-6
【分析】
首先根据倒数的概念，可知ab=1，根据相反数的概念可知，然后把它们分别代入，即可求出代数式的值．
【详解】
若a，b互为倒数，则ab=1，
c，d互为相反数，则，
那么，
故答案为?6．
【点睛】
本题考查代数式求值，倒数和相反数的定义．理解互为相反数的两个数（这两个数不能为0）商为-1是解题关键．
36．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值等于3，则2e﹣3cd＋（a＋b）2＝_____．
【答案】3或-9．
【分析】
利用相反数，倒数的定义，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】
解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值等于3，
∴a+b=0，cd=1，e=3或-3，
当e=3时，2e﹣3cd＋（a＋b）2＝6-3+0=3；
当e=-3时，2e﹣3cd＋（a＋b）2＝-6-3+0=-9．
故答案为：3或-9．
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
37．如果有四个不同的正整数，，，满足，那么的值为_________．
【答案】8082或8086
【分析】
a、b、c、d是四个不同的正整数，四个括号内是四个各不相同的整数，不妨设，由得这四个数从小到大可以取两种情况，即①，，1，2；②，，1，4然后由这四个数的和分别求解，即可得的值．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：∵a、b、c、d是四个不同的正整数，
∴四个括号内是四个各不相同的整数，不妨设，
又∵
，
∴这四个数从小到大可以取两种情况，即①，，1，2；②，，1，4，
，
即，
得；
，即，
得；
故答案为：8086或8082．
【点睛】
本题考查的是有理数的混合运算，根据题意得出四个括号中的数是解答此题的关键．
38．汉诺塔问题是数学中的著名猜想之一．如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金片从一根针上全部移到另一根针上．21教育名师原创作品
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n），则①f（3）＝_____，②f（n）＝_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】7
【分析】
根据移动方法与规律发现，随
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)着金属片数目的增多，都是分两个阶段移动，用金属片数目减1的移动次数都移动到2号，然后把最大的金属片移动到3号，再用同样的次数从2号移动到3号，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．
【详解】
解：设f（n）是把n个盘子从1号移到3号过程中移动盘子之最少次数
n＝1时，f（1）＝1；
n＝2时，小金属片→2号，大金属片→3号，小金属片从2号→3号，完成，即f（2）＝3＝22?1；
n＝3时，小金属片→3号，中金属片→2号，小
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)金属片从3号→2号，[用f（2）种方法把中、小两金属片移到2号，大金属片3号；再用f（2）种方法把中、小两金属片从2号→3号，完成]，
f（3）＝f（2）×2＋1＝3×2＋1＝7＝23?1，
f（4）＝f（3）×2＋1＝7×2＋1＝15＝24?1，
…
以此类推，f（n）＝f（n?1）×2＋1＝2n?1，
故答案为：7；2n?1．
【点睛】
本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数是解题的关键．
39．已知2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，则式子m2﹣mn﹣n2的值为__．
【答案】
【分析】
将m2﹣mn﹣n2变形，将2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，整体代入化简即可得到答案．
【详解】
解：∵2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，
∴m2﹣mn﹣n2
＝m2+mn﹣n2﹣mn﹣3n2
＝（2m2+2mn﹣n2）﹣（mn+2n2）
＝（3a﹣35）﹣（2+a）
＝a-
＝．
故答案为：﹣．
【点睛】
本题考查了代数式求值，根据已知条件正确对要求的代数式变形是解题的关键．
40．若，则的值为_________．
【答案】0或2或4
【分析】
根据，推导出a、b、c三个数中必定是一正两负，进而分三类讨论即可.
【详解】
∵，
∴a、b、c三个数中必定是一正两负，
∴当时，，此时
当时，，此时
当时，，此时
故答案为：0或2或4
【点睛】
本题考查与绝对值有关的代数式化简问题，熟练运用分类讨论思想求解是本题的关键.
41．下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第个图中阴影部分小正方形的个数是________（用含的代数式表示）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数归纳类推出一般规律即可得．
【详解】
第1个图中阴影部分小正方形的个数，
第2个图中阴影部分小正方形的个数，
第3个图中阴影部分小正方形的个数，
归纳类推得：第个图中阴影部分小正方形的个数是，其中n为正整数，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了列代数式表示图形的规律，根据前3个图形正确发现一般规律是解题关键．
三、解答题
42．甲、乙两家体育用品商店出售同
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)样的乒乓球拍和乒球，乒乓球拍每副定价50元，乒乓球每盒定价10元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店的优惠办法是；按定价的9折出售，某班需购买乒乓球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）．
（1）用代数式表示（所填式子需化简）：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)当购买乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款________元；在乙店购买需付款__________元．
（2）当购买乒乓球盒数为20盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理由．
（3）当购买乒乓球盒数为20盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款几元？
【答案】（1）10x+200，9x+225；（2）甲店；（3）在甲店买5幅球拍，在乙店购买15盒乒乓球，需付款385元21教育网
【分析】
（1）根据题意，先列出在甲店、乙店购买付款的代数式；
（2）把20代入（1）中代数式，计算出甲店、乙店的花费，比较得结论；
（3）综合考虑两店的优惠情况，可得结论．
【详解】
解：（1）当购买乒乓球的盒数为x盒时，
在甲店需付款50×5+（x-5）×10=10x+200，
当购买乒乓球的盒数为x盒时，
在乙店需付款（50×5+10x）×0.9=9x+225，
故答案为：10x+200，9x+225；
（2）购买乒乓球盒数为20盒时，
甲店需花费：10×20+200=400（元），
乙店需花费：9×20+225=405（元），
∵405＞400，
所以在甲店购买比较合算．
?答：在甲店买较合算．
（3）方案：在甲店买5幅球拍，在乙店购买15盒乒乓球比较省钱．
共需支付：50×5+10×15×0.9=385元．
【点睛】
本题考查了列代数式及代数式的计算求值．理解题意并列出代数式是解决本题的关键．
43．已知a，b，c，d，x，y均为有理数，按要求解答下列问题：
（1）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，则a+b＝
，cd＝
；
（2）在（1）的条件下，若x，y满足|x+|+|y﹣|＝0，求﹣2（a+b）﹣cd+x﹣y的值．
【答案】（1）0，1；（2）﹣2
【分析】
（1）根据题意，可得：a+b＝0，cd＝1；
（2）根据x，y满足|x+|+|y﹣|＝0，可得：x+＝0，y﹣＝0，据此求出x、y的值，将x、y，a+b，cd值代入，即可求出﹣2（a+b）﹣cd+x﹣y的值是多少．
【详解】
解：（1）∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，
∴a+b＝0，cd＝1；
故答案为：0、1．
（2）∵x，y满足|x+|+|y﹣|＝0，
∴x+＝0，y﹣＝0，
解得x＝﹣，y＝，
∴﹣2（a+b）﹣cd+x﹣y
＝﹣2×0﹣1+（﹣）﹣
＝0﹣1﹣1
＝﹣2．
【点睛】
考查了相反数、倒数的定义以及绝对值非负性的应
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)用．同时考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．非负性：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
44．某商场购进一批西服，进价为每套2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)50元，原定每套以290元的价格销售，这样每天可销售200套，如果每套比原销售价降低10元销售，则每天可多销售100套，该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润=每套西服的销售价-每套西服的进价）．?
（1）按原销售价销售,每天可获利润______元；
（2）若每套降低10元销售,每天可获利润______元；
（3）如果每套销售价降低10元，每天就多销售100套，每套销售价降低20元，每天就多销售200套，按这种方式：
若每套降低元（为正整数）．
①则每套的销售价格为_______元（用代数式表示）；
②则每天可销售_______套西服（用代数式表示）；
③则每天共可以获利润________元（用代数式表示）；
④根据以上的测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案，使每天的获利最大?
【答案】（1）8000；（2）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)9000；（3）①290-10x；②200+100x；③（40-10x）（200+100x）；④每套比原销售价降低10元销售，可使每天的获利最大．
【分析】
（1）根据题目中数据可以求得按原销售价销售，每天可获得的利润；
（2）根据题目中数据可以求得每套降低10元销售，每天可获得的利润；
（3）①根据题意可以用代数式表示出每套的销售价格；
②根据题意可以用代数式表示出每天的销售量；
③根据题意可以用代数式表示出每天获得的利润；
④将x的取值代入计算，再比较，从而可得结论．
【详解】
解：（1）按原销售价销售，每天可获利润为：（290-250）×200=8000（元），
故答案为：8000；
（2）若每套降低10元销售，每天可获利润为：（290-10-250）（200+100）=9000（元），
故答案为：9000；
（3）①由题意可得，
每套的销售价格为：（290-10x）元，
故答案为：（290-10x）；
②每天可销售：（200+100x）套，
故答案为：（200+100x）；
③每天共可以获利润为：（290-10x-250）（200+100x）=（40-10x）（200+100x）元，
故答案为：（40-10x）（200+100x）；
④由题意可知0≤x≤4，x为正整数，
当x=0时，获利=（40-10×0）（200+100×0）=8000（元），
当x=1时，获利=（40-10×1）（200+100×1）=9000（元），
当x=2时，获利=（40-10×2）（200+100×2）=8000（元），
当x=3时，获利=（40-10×3）（200+100×3）=5000（元），
当x=4时，获利=（40-10×4）（200+100×4）=0（元），
所以每套降低10元销售时获利最多，作为商场的经理应以每套280元的价格销售．
【点睛】
本题考查列代数式和代数式求值，正确表示出每件商品的利润和销量是解题关键．
45．已知代数式，当时，该代数式的值为．
（1）求c的值；
（2）已知当时，该代数式的值为，试求的值；
（3）已知当时，该代数式的值为，试求当时该代数式的值；
（4）在第（3）小题的已知条件下，若有成立，试比较与c的大小？
【答案】（1）-1；（2）-4；（3）-8；（4）
【分析】
（1）将x=0代入代数式求出c的值即可；
（2）将x=1代入代数式即可求出a+b+c的值；
（3）将x=3代入代数式求出35a+33b的值，再将x=-3代入代数式，变形后将35a+33b的值代入计算即可求出值；
（4）由35a+33b的值，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)变形得到27a+3b=-2，将5a=3b代入求出a的值，进而求出b的值，确定出a+b的值，与c的值比较大小即可．
【详解】
解：（1）把x=0代入代数式，得到c=-1；
（2）把x=1代入代数式，得到a+b+3+c=-1，
∴a+b+c=-4；
（3）把x=3代入代数式，得到35a+33b+9+c=-10，
即35a+33b=-10+1-9=-18，
当x=-3时，
原式=-35a-33b-9-1=-（35a+33b）-9-1=18-9-1=8；
（4）由（3）得35a+33b=-18，即27a+3b=-2，
又∵5a=3b，∴27a+5a=-2，
∴a=，
则b=a=，
∴a+b==＞-1，
∴a+b＞c．
【点睛】
此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
46．今年故宫博物院举办了“丹宸永固：紫禁
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)城建成六百年”大展，奇思和妙想两位同学想在国庆期间参观故宫，他们设计了如图所示的游览路线（图中实线部分），准备从午门（点A）进，从神武门（点B）出，所走的路线均时正东、正西、正北方向．【出处：21教育名师】
（1）紫禁城建成的年份是
；
（2）请根据图中提供的信息（长度单位：m），计算他们的游览路程（用含a，b的式子表示）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）1420年（明朝永乐十八年）；（2）（5a+4b）m
【分析】
（1）用2020减去600计算即可求解；
（2）根据图中提供的信息计算游览路程即可．
【详解】
解：（1）紫禁城建成的年份是1420年（明朝永乐十八年）；
（2）4a+2（a+b）+b+b﹣a
＝4a+2a+2b+b+b﹣a
＝（5a+4b）m．
答：他们的游览路程为（5a+4b）m．
【点睛】
本题考查了列代数式，解题的关键是理解题意，看懂图形．
47．一次性购物金额促销方案低于300元
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)所购商品全部按九折结算，不低于300元但低于600元所购商品全部按八折结算，600元或超过600元其中前600元按八折结算，超过600元的部分按七折结算．
“双十一”已经成为中国电子商务行业的年度盛事，每年这一天成为全民的购物节．在今年的“双十一”期间，某网店举办促销活动，方案如下表所示：【来源：21cnj
y.co
m】
一次性购物金额
促销方案
低于300元
所购商品全部按九折结算
不低于300元但低于600元
所购商品全部按八折结算
600元或超过600元
其中前600元按八折结算，超过600元的部分按七折结算
（1）如果顾客在该网店一次性购物x元（），求实际付款多少元？（用含x的代数式表示）
（2）某顾客在该店两次购物的商品共计800元．若第一次购物商品的金额为a元（），求该顾客两次购物的实际付款共多少元？（用含a的代数式表示）
（3）当时，，求该顾客两次购物的实际付款共多少元？
【答案】（1）（0.7x+60）元；（2）；（3）640元
【分析】
（1）根据600元或超过600元，其中前600元按八折结算，超过600元的部分按七折结算可列出代数式；
（2）分三种情况进行讨论，求出该顾客两次购物的实际付款共多少元即可；
（3）将a=700代入（2）中结果计算即可．
【详解】
解：（1）600×0.8+0.7（x-600）=（0.7x+60）元．
答：实际付款（0.7x+60）元．
（2）①当300＜a≤500时，则300≤800-a＜500，
则两次均按八折结算，
∴购物实际付款：0.8×800=640（元）；
②当500＜a＜600时，则200＜800-a＜300，
则第一次按八折结算，第二次按九折结算，
∴购物实际付款：0.8a+0.9（800-a）=（-0.1a+720）元；
③当600≤a＜800时，则0＜800-a≤200，
则第一次中前600元按八折结算，超过600元的部分按七折结算，第二次按九折结算，
∴购物实际付款：600×0.8+0.7（a-600）+0.9（800-a）=（-0.2a+780）元．
故本次实际付款=；
（3）当时，
该顾客两次购物的实际付款为：-0.2×700+780=640元．
【点睛】
本题考查了列代数式，代数式求值，关键明白优惠的方案，从而可求出解．
48．计算下列两算式：_________；_________；从计算结果你能发现这两个算式的大小有何关系吗？
（1）你能否用自己的语言表述这个规律（推荐用字母代替数字的数学表达式）？
（2）把你总结的规律用于下面计算：
．
【答案】4，4，两个算式的大小相等；（1）；（2）81
【分析】
根据有理数的混合运算法则分别计算，再比较；
（1）根据两式的结果相同，利用自己语言叙述即可；
（2）利用得出的结论，计算即可得到结果．
【详解】
解：，
，
两个算式的大小相等；
（1）通过计算得到：两数和的平方，等于这两数的平方和加上这两数的积的2倍，
即；
（2）（-257）2+2×（-257）×266+2662
=[（-257）+266]2
=81
【点睛】
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
49．小张去水果批发市场采购苹果，他关注了A、B两家苹果铺．这两家苹果品质一样，零售价都为10元/千克，批发价各不相同．
A家规定：批发数量不超过100
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0千克，按零售价的90%优惠；批发数量超过1000而不超过2100千克，全部按零售价的88%优惠：超过2100千克的按零售价的86%优惠．B家的规定如下表：
数量范围（千克）
0～500部分
500以上～1500部分
1500以上～2100部分
2100以上部分
价格（元）
零售价的95%
零售价的88%
零售价的80%
零售价的75%
（1）如果他批发800千克苹果，则他在A、B两家批发分别需要多少元？
（2）如果他批发x千克苹果（x在1500以上～2100的范围内），请你分别用含x的代数式表示他在A、B两家批发所需的费用；
（3）现在他要批发2000千克苹果，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请通过计算说明理由．
【答案】（1）在A家批发为7200元，在B家批发为7390元；（2）A家：8.8x元，B家：8x+1550元；（3）B家更优惠
【分析】
（1）根据题意和表格可以得到他批发800千克苹果时，在A、B两家批发各需要花费多少钱，从而本题得以解决；
（2）根据题意和表格可以得到他批发x千克苹果时（1500＜x＜2100），在A、B两家批发各需要花费多少钱，从而本题得以解决；
（3）将x=2000分别代入（2）求得的两个式子，计算出结果，然后进行比较，即可解答本题．
【详解】
解：（1）如果在A家批发，则
800×90%×10=7200（元）
如果在B家批发，则
500×95%×10+300×88%×10=4750+2640=7390（元）．
答：在A家批发为7200元，在B家批发为7390元；
（2）在A家批发，则
88%x×10=8.8x（元），
在B家批发，则
500×95%×10+1000×88%×10+（x-500-1000）80%×10=8x+1550（元）；
（3）在A家，则88%×10×2000=17600（元），
在B家，则500×95%×10+1000×88%×10+500×80%×10=17550（元），
所以选择B家更优惠．
【点睛】
本题考查了列代数式，此题的关键是学生要利用商家的优惠政策，读懂政策，按政策计算出你批发的总钱数进行比较．
50．某商场销售一种西装和领带，西装每套定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)价1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款
元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款
元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
【答案】（1）200x+1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)6000，180x+18000；（2）按方案一购买较合算；（3）先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买10条领带
【分析】
（1）根据题目提供的两种不同的付款方式列出代数式即可；
（2）将x＝30代入求得的代数式中即可得到费用，然后比较即可得到选择哪种方案更合算；
（3）根据题意考可以得到先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买10条领带更合算．
【详解】
解：（1）客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．
方案一费用：1000×20+200（x-20）=200x+16000
方案二费用：1000×20×0.9+200×0.9x=180x+18000
（2）当x＝30时，方案一：200×30+16000＝22000（元）
方案二：180×30+18000＝23400（元）
所以，按方案一购买较合算．
（3）先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买10条领带．
则20000+200×10×90%＝21800（元）
【点睛】
本题主要考查的是求代数式的值，根据题意列出代数式是解题的关键．
51．任何一个正整数n都可以这样分解：（p、q是正整数，且），则n的所有这种分解中，如果两因数p，q之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：．
例如：18可以分解成或，则．
（1）计算：、．
（2）如果一个三位正整数（，x，y为自然数），交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和恰好能被11整除，那么我们称这个数t为“心意数”．
①求所有满足条件的“心意数”t；
②对于满足“心意数”t中的x，y，设，求的最小值．
【答案】（1）F（24）=，F（270）=；（2）①627，649，616，638；②
【分析】
（1）把24因式分解为1×24，2×12，3×8，4×6再由定义即可得F（24），同理可得F（270）；
（2）①首先表示出交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和，再得到相应的x和y值，即可得到“心意数”t；
②将①中x和y值代入m=10x+y，再分别求出相应的F（m），比较即可．
【详解】
解：（1）∵24=1×24=2×12=3×8=4×6，其中4与6的差的绝对值最小，
∴F（24）=；
∵270=1×270=2×135=3×90=5×54=9×30=10×27，其中10与27的差的绝对值最小，
∴F（270）=；
（2）①t=10x+y+600，交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数是10x+100y+6，
∵交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和恰好能被11整除，
则10x+y+600+10x+100y+6=20x+101y+606，
即20x+101y+606恰好能被11整除，1≤x＜y≤9，
经计算可得：或或或，
∴所有满足条件的“心意数”t为627，649，616，638；
②∵m=10x+y，
∴m可以取27，49，16，38，
F（27）=，F（49）=1，F（16）=1，F（38）=，
求的最小值为．
【点睛】
此题考查了列代数式，解决第（2）小题时，能根据“心意数”的定义，找出三位数中的所有的“心意数”是关键．
52．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题：
（1）若，则
；
（2）已知，，求代数式的值；
（3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值．
【答案】（1）-1；（2）42；（3）-10
【分析】
（1）根据整体思想代入计算即可求解
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)；
（2）根据已知条件先求出a-c的值，再整体代入到所求代数式中即可；
（3）根据已知可得2a+4b=9，再整体代入到所求代数式中即可．
【详解】
解：（1）因为x2-3x=2，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
所以1+3x-x2=1-（x2-3x）
=1-2=-1
故答案为：-1．
（2）∵a-b=5，b-c=3，
∴a-b+b-c=a-c=5+3=8，
∴（a-c）2-3a+2+3c=（a-c）2-3（a-c）+2=82-24+2=64-24+2=42；
（3）∵当x=-1，y=2时，代数式ax2y-bxy2-1的值为8，
即2a+4b-1=8，
所以2a+4b=9，
∴当x=1，y=-2时，代数式ax2y-bxy2-1=-2a-4b-1=-（2a+4b）-1=-9-1=-10．
【点睛】
本题考查了代数式求值，解决本题的关键是运用整体代入思想．
53．材料：若一个正整数，它的各个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数位上的数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整数22是两位对称数；正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数．
根据材料，完成下列问题：
（1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________
（2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这两个两位数的差一定能被9整除吗？请说明理由．
（3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10，并且这个四位对称数能被7整除，请求出满足条件的四位对称数．
【答案】（1）200；（2）一定可以，理由见解析；（3）3773
【分析】
（1）根据题意得出最大的两位对称数是99，最小的三位对称数是101，求出和；
（2）设个位和千位上的数字是a，十位和百位上的数字是b，用a和b表示出这两个两位数的差，得，这个数是9的倍数一定可以被9整除；
（3）设这个四位数的个位数是x，将这个四位数用x表示出来，然后令x的值为1到9，求出对应的四位数的值，找到可以被7整除的数．
【详解】
解：（1）最大的两位对称数是99，
最小的三位对称数是101，
，
故答案是：200；
（2）设个位和千位上的数字是a，十位和百位上的数字是b，
则这两位数分别是、，
，
它们的差是，
这个数是9的倍数，所以这个数一定可以被9整除；
（3）设这个四位数的个位数是x，则十位数是，
这个数可以表示为，化简得，
令，则这个数是1991，
令，则这个数是2882，
令，则这个数是3773，
……
令，则这个数是9119，
其中只有3773能够被7整除，
∴满足条件的四位数是3773．
【点睛】
本题考查用字母表示数，解题的关键是能够理解题意用字母表示出对应的数进行求解．
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精品试卷·第
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第二讲
代数式
【提升训练】
一、单选题
1．当时，代数式的值为2021，则当时，代数式的值为（
）
A．
B．
C．
D．2019
2．有理数a，b，c均不为0．且，设，则代数式的值是（
）
A．2010
B．1990
C．2030或1990
D．2010或1990
3．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第n个图案中白色瓷砖块数为（
）（用含n的代数式表示）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2+3n
B．2n+3
C．3n-2
D．2n-3
4．如图是一个简单的数值运算程序，当输入n的值为时4，则输出的结果为（ ）
A．16
B．12
C．132
D．140
5．已知实数x，y满足|x﹣1|+（y+2）2＝0，则代数式（x+y）2015的值为（ ）
A．﹣1
B．1
C．2015
D．﹣2015
6．已知代数式－1的值是，则代数式的值是（
）
A．
B．
C．
D．不能确定
7．如图，在第1个图形中有1个三角形，第2个图形中有5个三角形，第3个图形中有9个三角形，…则第2019个图形中有（
）个三角形．21教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8073
B．8074
C．8075
D．8076
8．把圆形按如图所示的规律拼图案
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，其中第①个图案中有1个圆形，第②个图案中有5个圆形，第③个图案有11个圆形，第④个图案有19个圆形，…，按此规律排列下去，第7个图案中圆形的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．42
B．54
C．55
D．56
9．已知，则代数式2x-6y-2的值为（
）
A．
B．8
C．13
D．
10．若，且，则的值为
（
）
A．8
B．－8或8
C．－8
D．6或－6
11．如图①是个小正方体木块水平摆放而成，图②是由个小正方体木块叠放而成，图③是由个小正方体木块叠放而成，……，按照这样的规律继续叠放下去，第⑥个叠放的图形中，小正方体木块总个数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
12．计算若，则的结果是（
）
A．
B．
C．2
D．8
13．列式表示“的3倍与的平方的和”正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
14．对于多项式，当时，它的值等于，那么当时，它的值为（
）
A．
B．
C．
D．
15．已知|a|＝2，b2＝25，且ab＞0，则a﹣b的值为（ ）
A．7
B．﹣3
C．3
D．3或﹣3
16．下列所给代数式中，属于单项式的是（
）
A．
B．
C．
D．
17．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则代数式的值为（
）2·1·c·n·j·y
A．2014
B．2016
C．或0
D．0
18．人行道用同样大小的灰、白两种不同颜色
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的小正方形地砖铺设而成，如图中的每一个小正方形表示一块地砖，如果按图1、图2、图3…的次序铺设地砖，把第n个图形用图n表示，那么图2021中的白色小正方形地砖的块数比黑色小正方形地砖的块数多（
）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8089
B．8084
C．6063
D．14147
19．如图，若要使得图中平面展开图折叠成长方体后，相对面上的两个数之和为，求的值（
）
A．
B．
C．
D．
20．如图所示，直线相交于点，“阿基米德曲线”从点开始生成，如果将该曲线与每条射线的交点依次标记为…．那么标记为“”的点在（
）2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．射线上
B．射线上
C．射线上
D．射线上
21．观察下列等式：71＝7，72＝49
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝11649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72022的末位数字是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
A．0
B．6
C．7
D．9
22．已知代数式的值为9，则代数式的值为（ ）
A．18
B．12
C．9
D．7
23．已知：，则的值为（
）
A．－6
B．6
C．9
D．－9
24．代数式的值为3，则的值为（
）
A．7
B．18
C．5
D．9
25．当代数式的值取到最小时，代数式……（
）
A．0
B．
C．0或
D．以上答案都不对
26．有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入的值是5，可发现第1次输出的结果是16，第2次输出的结果是8，第3次输出的结果是4，依次继续下去，第2021次输出的结果是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1
B．2
C．4
D．8
27．观察图形的变化规律,则第10个小房子用了（
）颗石子．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．119
B．121
C．140
D．142
28．若在正方形的四个顶点处依次标上“
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)振”“兴”“中”“华”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“中”“华”对应的数分别为﹣2和﹣1，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“振”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2020对应的字是（ ）
A．振
B．兴
C．中
D．华
29．如图是由“○”组成的龟图，则第15个龟图中“○”的个数是(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．187
B．215
C．245
D．277
30．下列图案由边长相等的黑、白两色正方形按一定的规律拼接而成，依此规律，第n个图形中白色正方形的个数为（ ）21世纪教育网版权所有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．4n+1
B．4n﹣1
C．3n﹣2
D．3n+2
二、填空题
31．已知|a|＝6，|b|＝8，且a＜0，b＞0，那么ab的值为_____．
32．在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
33．已知，则的值为_________，的值为________．
34．如果代数式5a+3b的值为，那么代数式6b+10a﹣8的值为___________．
35．如果互为倒数，互为相反数，那么________．
36．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值等于3，则2e﹣3cd＋（a＋b）2＝_____．
37．如果有四个不同的正整数，，，满足，那么的值为_________．
38．汉诺塔问题是数学中的著名猜想之一．如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金片从一根针上全部移到另一根针上．21·cn·jy·com
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n），则①f（3）＝_____，②f（n）＝_____．【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
39．已知2m2+2mn﹣n2＝3a﹣35，mn+2n2＝2+a，则式子m2﹣mn﹣n2的值为__．
40．若，则的值为_________．
41．下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第个图中阴影部分小正方形的个数是________（用含的代数式表示）．www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
42．甲、乙两家体育用品商店出售
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)同样的乒乓球拍和乒球，乒乓球拍每副定价50元，乒乓球每盒定价10元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店的优惠办法是；按定价的9折出售，某班需购买乒乓球拍5副，乒乓球若干盒（不少于5盒）．【版权所有：21教育】
（1）用代数式表示（所填式子需化简）：当购买
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款________元；在乙店购买需付款__________元．
（2）当购买乒乓球盒数为20盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理由．
（3）当购买乒乓球盒数为20盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款几元？
43．已知a，b，c，d，x，y均为有理数，按要求解答下列问题：
（1）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，则a+b＝
，cd＝
；
（2）在（1）的条件下，若x，y满足|x+|+|y﹣|＝0，求﹣2（a+b）﹣cd+x﹣y的值．
44．某商场购进一批西服，进价为每
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)套250元，原定每套以290元的价格销售，这样每天可销售200套，如果每套比原销售价降低10元销售，则每天可多销售100套，该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润=每套西服的销售价-每套西服的进价）．?
（1）按原销售价销售,每天可获利润______元；
（2）若每套降低10元销售,每天可获利润______元；
（3）如果每套销售价降低10元，每天就多销售100套，每套销售价降低20元，每天就多销售200套，按这种方式：21·世纪
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若每套降低元（为正整数）．
①则每套的销售价格为_______元（用代数式表示）；
②则每天可销售_______套西服（用代数式表示）；
③则每天共可以获利润________元（用代数式表示）；
④根据以上的测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案，使每天的获利最大?
45．已知代数式，当时，该代数式的值为．
（1）求c的值；
（2）已知当时，该代数式的值为，试求的值；
（3）已知当时，该代数式的值为，试求当时该代数式的值；
（4）在第（3）小题的已知条件下，若有成立，试比较与c的大小？
46．今年故宫博物院举办了“丹宸永固：紫禁城
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)建成六百年”大展，奇思和妙想两位同学想在国庆期间参观故宫，他们设计了如图所示的游览路线（图中实线部分），准备从午门（点A）进，从神武门（点B）出，所走的路线均时正东、正西、正北方向．21教育名师原创作品
（1）紫禁城建成的年份是
；
（2）请根据图中提供的信息（长度单位：m），计算他们的游览路程（用含a，b的式子表示）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
47．一次性购物金额促销方案低于300元所购
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)商品全部按九折结算，不低于300元但低于600元所购商品全部按八折结算，600元或超过600元其中前600元按八折结算，超过600元的部分按七折结算．
“双十一”已经成为中国电子商务行业的年度盛事，每年这一天成为全民的购物节．在今年的“双十一”期间，某网店举办促销活动，方案如下表所示：
一次性购物金额
促销方案
低于300元
所购商品全部按九折结算
不低于300元但低于600元
所购商品全部按八折结算
600元或超过600元
其中前600元按八折结算，超过600元的部分按七折结算
（1）如果顾客在该网店一次性购物x元（），求实际付款多少元？（用含x的代数式表示）
（2）某顾客在该店两次购物的商品共计800元．若第一次购物商品的金额为a元（），求该顾客两次购物的实际付款共多少元？（用含a的代数式表示）21cnjy.com
（3）当时，，求该顾客两次购物的实际付款共多少元？
48．计算下列两算式：_________；_________；从计算结果你能发现这两个算式的大小有何关系吗？21
cnjy
com
（1）你能否用自己的语言表述这个规律（推荐用字母代替数字的数学表达式）？
（2）把你总结的规律用于下面计算：
．
49．小张去水果批发市场采购苹果，他关注了A、B两家苹果铺．这两家苹果品质一样，零售价都为10元/千克，批发价各不相同．21
cnjy
com
A家规定：批发数量不超过1000千克，按
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)零售价的90%优惠；批发数量超过1000而不超过2100千克，全部按零售价的88%优惠：超过2100千克的按零售价的86%优惠．B家的规定如下表：
数量范围（千克）
0～500部分
500以上～1500部分
1500以上～2100部分
2100以上部分
价格（元）
零售价的95%
零售价的88%
零售价的80%
零售价的75%
（1）如果他批发800千克苹果，则他在A、B两家批发分别需要多少元？
（2）如果他批发x千克苹果（x在1500以上～2100的范围内），请你分别用含x的代数式表示他在A、B两家批发所需的费用；【来源：21·世纪·教育·网】
（3）现在他要批发2000千克苹果，你能帮助他选择在哪家批发更优惠吗？请通过计算说明理由．
50．某商场销售一种西装和领带，西装每套定价
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1000元，领带每条定价200元．“国庆节”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．
方案一：买一套西装送一条领带；
方案二：西装和领带都按定价的90%付款．
现某客户要到该商场购买西装20套，领带x条（x＞20）．
（1）若该客户按方案一购买，需付款
元．（用含x的代数式表示）若该客户按方案二购买，需付款
元．（用含x的代数式表示）
（2）若x＝30，通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算？
（3）当x＝30时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法．
51．任何一个正整数n都可以这样分解：（p、q是正整数，且），则n的所有这种分解中，如果两因数p，q之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：．
例如：18可以分解成或，则．
（1）计算：、．
（2）如果一个三位正整数（，x，y为自然数），交换其个位上的数与百位上的数得到的新三位正整数加上原来的三位正整数所得的和恰好能被11整除，那么我们称这个数t为“心意数”．
①求所有满足条件的“心意数”t；
②对于满足“心意数”t中的x，y，设，求的最小值．
52．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要．例如：已知，，则代数式．请你根据以上材料解答以下问题：
（1）若，则
；
（2）已知，，求代数式的值；
（3）当，时，代数式的值为8，则当，时，求代数式的值．
53．材料：若一个正整数，它的各个数位上的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数字是左右对称的，则称这个正整数是对称数．例如：正整数22是两位对称数；正整数797是三位对称数；正整数4664是四位对称数；正整数12321是五位对称数．
根据材料，完成下列问题：
（1）最大的两位对称数与最小的三位对称数的和为___________
（2）若将任意一个四位对称数拆分为前两位数字顺次表示的两位数和后两位数字顺次表示的两位数，则这两个两位数的差一定能被9整除吗？请说明理由．
（3）如果一个四位对称数的个位数字与十位数字的和等于10，并且这个四位对称数能被7整除，请求出满足条件的四位对称数．
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