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第三讲
角
【基础训练】
一、单选题
1．下列说法正确的是(
)
A．两条有公共点的射线组成的图形叫做角
B．有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角
D．角是从同一点引出的两条线段
【答案】C
【分析】
根据静态定义具有公共端点的两
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)条不重合的射线组成的图形叫做角，排除A、B选项，再根据动态定义一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，选出答案．21
cnjy
com
【详解】
解：A.
具有公共端点的两条不重合的射线组
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)成的图形叫做角，选项说法错误，不符合题意；B.
具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角，选项说法错误，不符合题意；2-1-c-n-j-y
C．一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角，选项说法正确，符合题意；
D．角是从同一点引出的两条射线所组成的图形，选项说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】
此题考查了角的动态定义（一条射线绕着它的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．）与静态定义（具有公共端点的两条不重合的射线组成的图形叫做角．这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边），熟悉定义是解题的关键．
2．下列四个图形中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】B
【分析】
根据角的表示方法逐项判断即可得．
【详解】
A、、是同一个角，但不是，此项不符题意；
B、能用、、表示同一角，此项符合题意；
C、、是同一个角，但不是，此项不符题意；
D、图中、、分别表示三个不同的角，此项不符题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了角，熟练掌握角的表示方法是解题关键．
3．如图，点A在点O的北偏西60°的方向上，点B在点O的南偏东20°的方向上，那么的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．110°
B．130°
C．140°
D．150°
【答案】C
【分析】
结合图形，然后求出OA与西方的夹角的度数，再列式计算即可得解．
【详解】
解：∵点A在点O北偏西60°的方向上，
∴OA与西方的夹角为90°-60°=30°，
又∵点B在点O的南偏东20°的方向上，
∴∠AOB=30°+90°+20°=140°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了方向角，熟记概念是解题的关键，结合
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)图形更形象直观．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．【出处：21教育名师】21·cn·jy·com
4．下列各角中，是钝角的是（
）．
A．周角
B．平角
C．平角
D．平角
【答案】B
【分析】
直接利用角的定义逐项分析即可得出答案．
【详解】
解：A.
周角=
，不是钝角，不合题意；
B.
平角=，是钝角，符合题意；
C.
平角=180°，不是钝角，不合题意；
D.
平角=，不是钝角，不合题意．
故选：B
【点睛】
此题主要考查了角的概念，正确掌握平角、周角、钝角的概念是解题关键．
5．如图所示，点B在点O的北偏东60°，射线与射线所成的角是110°，则射线的方向是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．北偏西30°
B．北偏西40°
C．西偏北50°
D．北偏西50°
【答案】D
【分析】
根据射线OB与射线OC所成的角是110°，可得∠COB的度数，再根据角的和差，可得答案．
【详解】
解：∵射线OC与射线OB所成的角是110°，
∴∠COB=110°，
∵点B在点O的北偏东60°，
∴射线OB与正北方向所成的角是60°
∴射线OC与正北方向所成的角是110°-60°=50°，
∴射线OC的方向是北偏西50°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了方向角．解题的关键是掌握方向角的表示方法：北偏东或北偏西，南偏东或南偏西．
6．如图，，则射线表示为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．南偏西60
B．南偏东60
C．南偏西30
D．南偏东30
【答案】B
【分析】
根据方向角的定义，即可解答．
【详解】
解：∵90°-30°=60°，
∴射线OA表示为南偏东60°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了方向角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义．
7．小亮在小明的北偏东60°方位，则小明在小亮的方位是（
）
A．南偏西60°
B．南偏东60°
C．北偏西30°
D．北偏西60°
【答案】A
【分析】
根据方位角可直接进行求解．
【详解】
解：由小亮在小明的北偏东60°方位，可得：小明在小亮的方位是南偏西60°；
故选A．
【点睛】
本题主要考查方位角，熟练掌握方位角的表示是解题的关键．
8．轮船航行到C处测得小岛A的方向是北偏西20°，那么从A观察C处的方向为（
）
A．南偏东20°
B．西偏南70°
C．南偏东70°
D．西偏南20°
【答案】A
【分析】
根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解
【详解】
解：如图所示：∴∠1=20°，
∴∠2=∠1（两直线平行，内错角相等）
∴∠2=20°
∴从A观察C处的方向为南偏东20°．
故选：A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【点睛】
此题主要考查了方向角，正确画出方位角，根据平行线的性质解答是解题关键．
9．如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（
）
A．
B．
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】C
【分析】
根据角的四种表示方法和具体要求回答即可．
【详解】
解：A、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故A选项不符合；
B、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故B选项不符合；
C、能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角，故C选项符合；
D、以O为顶点的角不止一个，不能用∠O表示，故D选项不符合；
故选C．
【点睛】
本题考查了角的表示方法的应用，掌握角的表示方法是解题的关键．
10．若点在点的北偏东30°，则点在点的（
）
A．南偏西30°
B．南偏西60°
C．北偏东30°
D．北偏东60°
【答案】A
【分析】
直接利用方向角的定义得出结论．
【详解】
解：因为点B在点A的北偏东30°方向，所以点A在点B的南偏西30°方向．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了方向角，正确把握方向角的定义是解题关键．
11．如图所示，射线OA表示的方向是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．北偏东50°
B．北偏西50°
C．北偏东40°
D．北偏西40°
【答案】D
【分析】
根据方位角的概念，确定射线OA表示的方位角即可．
【详解】
∵根据图形，90°-50°=40°，
∴根据方位角的概念，射线OA表示的方向是北偏西40°．
故选：D．
【点睛】
本题考查了方位角，准确识图，明确射线方位的表示方法是解题的关键．
12．一个人从点出发向北偏东方向走到点，再从点出发向南偏西方向走到点，那么等于（
）21教育网【来源：21cnj
y.co
m】
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【详解】
解：画出示意图如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
从图中发现∠ABC等于60°-25°=35°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了方位角，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合平行线的性质求解．
13．一条船在灯塔的北偏东
60°方向，那么灯塔在船的（
）方向．
A．南偏西30°
B．西偏南40°
C．南偏西60°
D．北偏东60°
【答案】C
【分析】
根据位置的相对性可知：北和南相对，东和西相对，所以一条船在灯塔的北偏东60°方向，那么灯塔在船的南偏西60°方向．21cnjy.com
【详解】
解：一条船在灯塔的北偏东60°方向，那么灯塔在船的南偏西60°方向．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是方向角，明确方向角的相对性，是解答此题的关键．
14．如图，射线表示的方向是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．东偏南
B．南偏东
C．北偏西
D．南偏东
【答案】D
【分析】
根据图中OA的位置，方向角的表示方法可得答案．
【详解】
解：射线OA表示的方向是南偏东55°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了方向角，用方向角描述方向时，通常以
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．21世纪教育网21-cn-jy.com2·1·c·n·j·y
15．已知，则的余角等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
根据互余的两个角的和等于90°列式计算即可得解，注意1°=60′．
【详解】
解：∵
∴的余角=
故选：A
【点睛】
本题考查了余角的定义，熟记互余的两个角的和等于90°是解题的关键．
16．如图，∠1的余角可能是图中的（
）
A．B．
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】C
【分析】
根据余角的定义选出正确选项．
【详解】
解：互余两角的和为90°，选项中只有C符合．
故选C．
【点睛】
本题考查余角的定义，解题的关键是掌握余角的定义．
17．在如图所示的方位角中，射线表示的方向是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．东偏南60°
B．南偏东30°
C．南偏东60°
D．南偏西60°
【答案】C
【分析】
表示OA的方式有两种，东偏南30°；南偏东60°；作出判断即可.
【详解】
根据题意，得表示OA的方式有东偏南30°；南偏东60°两种，
故选C.
【点睛】
本题考查了方位角的表示法，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键.
18．如图所示的四条射线中，表示北偏西30°的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．射线
B．射线
C．射线
D．射线
【答案】D
【分析】
根据方位角的定义，即可解答．
【详解】
解：根据方向角的定义，表示北偏西30°的是射线OD．
故选：D．
【点睛】
本题考查了方位角的定义，解决本题的关键是熟记方向角的定义．
19．下图中标注的角可以用∠O来表示的是（
）
A．
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】D
【分析】
根据角的表示方法：角可以用一个大写字母表示
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示，进而得出符合题意的答案．2-1-c-n-j-y21教育名师原创作品
【详解】
解：A、标注的角须三个字母表示，故此选项不符合题意；
B、标注的角须三个字母表示为∠AOB，故此选项不符合题意；
C、标注的角须三个字母表示为∠COD，故此选项不符合题意；
D、标注的角可以表示为∠O，故此选项正确；
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了角定义以及表示方法，正确表示角是解题关键．
20．计算：（
）
A．10°
B．18°
C．20°
D．30°
【答案】D
【分析】
根据角的两种表示方法之间的互化，将换成度应除以60，计算即可．
【详解】
∵
故选：D．
【点睛】
本题考查了角的互化，熟练掌握转化的方法，是解题的关键．
21．如图，是北偏东方向的一条射线，若，则的方向角是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．北偏西
B．北偏西
C．东偏北
D．东偏北
【答案】B
【分析】
利用已知得出∠1的度数，进而得出OB的方向角．
【详解】
解：如图所示：∵OA是北偏东30°方向的一条射线，∠AOB=90°，
∴∠1=90°-30°=60°，
∴OB的方向角是北偏西60°．
故选：B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【点睛】
此题主要考查了方向角，正确利用互余的性质得出∠1度数是解题关键．
22．如图所示，射线OA所在方向是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．北偏东
B．北偏东
C．北偏东
D．东北方向
【答案】B
【分析】
根据方位角的定义解答即可．
【详解】
解：∵90°-60°21′=29°39′
∴射线OA所在的方向是北偏东29°39′．
故选：B．
【点睛】
本题考查了方向角的定义，掌握方向角的定义成为解答本题的关键．
23．从6时到9时，钟表的时针旋转的度数是（
）．
A．30
B．60°
C．90°
D．120°
【答案】C
【分析】
结合题意，根据角的性质计算，即可得到答案．
【详解】
从6时到9时，钟表的时针旋转的度数是(9-6)×30°＝90°
故选：C．
【点睛】
本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角的性质，从而完成求解．
24．在图中，下列表述不正确的是（
）
A．∠1可表示为∠BAC
B．∠2可表示为∠DAC
C．∠DAB可表示为∠α
D．∠DAB可表示为∠A
【答案】D
【分析】
根据角度的表示方法即可依次判断．
【详解】
A.∠1可表示为∠BAC，正确；
B.∠2可表示为∠DAC，正确；
C.∠DAB可表示为∠α，正确；
D.∠DAB不能表示为∠A，故错误；
故选D．
【点睛】
此题主要考查角度的表示，解题的关键是熟知角度的表示方法．
25．如图是一块手表早点9时20分的时针、分针位置关系示意图，此时时针和分针所成的角的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．160°
B．180°
C．120°
D．150°
【答案】A
【分析】
钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网?)则每一份是30°，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘30°；然后求出时针偏离“9”的度数，然后作求度数和即可．21cnjy.com
【详解】
解：∵“4”至“9”的夹角为30°×5=150°，时针偏离“9”的度数为30°×=10°
∴所以时针与分针的夹角应为150°+10°=160°．
故答案为A．
【点睛】
本题主要考查了钟表时针与分针的夹角，根据时针和分针的位置关系建立角的图形是解答本题的关键．
26．如图，射线表示的方向是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．东偏南
B．南偏东
C．东南方向
D．南偏东
【答案】B
【分析】
根据图中OA的位置，方向角的表示方法可得答案．
【详解】
解：射线OA表示的方向是南偏东，
故选：B．
【点睛】
本题考查了方向角，用方向角描述方向时，通
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．【来源：21cnj
y.co
m】21教育网
27．一艘轮船向北偏东60°方向航行，因有紧急任务，按逆时针调头90°去执行任务，那么这时轮船的航行方向是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
A．南偏东30°
B．南偏东60°
C．北偏西30°
D．北偏西60°
【答案】C
【分析】
根据题意画出图形，再根据旋转问题进行解答即可．
【详解】
解：如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
因为，OB⊥OA，
所以，，
因此这时轮船的航行方向是北偏西．
故选：C．【出处：21教育名师】
【点睛】
本题考查的是方位角，解答此类问题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合解答．
28．下列图形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一个角的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】D
【分析】
根据角的表示方法分别进行分析即可．
【详解】
、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误；
、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误；
、以为顶点的角不是一个，因此不能表示为，故此选项错误；
、能用，，表示同一个角，故此选项正确；
故选：．
【点睛】
此题主要考查了角的概念，关键是掌握角的表示方法．
29．如图，下列说法中不正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．与是同一个角
B．与是同一个角
C．也可以表示为
D．
【答案】C
【分析】
根据角的概念和表示方法可知，当角的顶点处只有一个角时，这个角才可以用一个顶点字母来表示，由此可得结论．2·1·c·n·j·y21
cnjy
com
【详解】
解：A、∠1与∠COB表示的是同一个角，故A说法正确；
B、∠β表示的是∠AOB，故B说法正确；
C、以O为顶点的角一共有三个，不能用一个顶点字母表示，故C说法错误；
D、由图可知，故D说法正确．
故选：C．
【点睛】
此题考查了角的表示方法，根据图形特点将每个角用合适的方法表示出来是解题的关键．
30．钟表在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是
(
)
A．15°
B．70°
C．75°
D．90°
【答案】C
【分析】
根据钟表上每相邻两个数字之间的夹角是．和3点半时，时针和分针的位置，即可计算．
【详解】
钟表在3点半时，时针正好在3和4的中间，分针在6．钟表有12个数字，每相邻两个数字之间的夹角是，所以半个格为．所以3点半时时针与分针所成的夹角为．
故选C
【点睛】
本题考查钟面角的问题，明确钟表上每相邻两个数字之间的夹角是是解题关键．
二、填空题
31．一艘货船沿着北偏西方向航行，为避免触礁，左拐后的航线是_______．
【答案】正西方向
【分析】
根据方向角的概念，左拐28°，相当于向北又偏了28°，可得结果．
【详解】
解：北偏西方向左拐后，
62+28=90，即北偏西90°，即正西方向，
故答案为：正西方向．
【点睛】
本题考查了方位角，解题的关键是掌握方位角的定义．
32．如图所示，下午5：00时，钟面上时针与分针之间的夹角度数是
_________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】150°
【分析】
因为钟面上12个数字，以表芯为旋
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)转点，表针转一圈是360°，被12个数字平均分成12份，每一份也就是两数之间夹角是30°；当钟面上5：00时，分针指在12上，时针指在5上，构成的角的度数是30×5=150°．
【详解】
解：根据分析，当钟面上5：00时，分针指在12上，时针指在5上，
构成的角的度数是30×5=150°．
故答案为：150°．
【点睛】
解答此题应结合题意，根据角的概念和分类进行
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
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"欢迎登陆21世纪教育网?)解答．在学习角的时候，渗透了钟表的认识，及两者的共性，时针和分针在旋转过程中组成的两个特殊角．一个两针互相垂直，一个两针成一直线．
33．在灯塔处观测到轮船位于北偏西55°的方向，同时轮船在南偏西的方向，那么的大小为__________．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】．
【分析】
由方位角的定义，即可求出答案．
【详解】
解：根据题意，
；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了方向角，关键是根据题意找出图中角的度数．
34．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝_____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】141°
【分析】
首先计算出∠3的度数，再计算∠AOB的度数即可．
【详解】
解：由题意得：∠1＝54°，∠2＝15°，
∴∠3＝90°﹣54°＝36°，
∴∠AOB＝36°+90°+15°＝141°．
故答案为：141°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【点睛】
本题考查了方向角，熟练掌握角的意义是解题关键．
35．如图，钟表上5点整时，时针与分针所成的角是____．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】150°
【分析】
根据钟面分成12个大格，每格的度数为30°即可解答．
【详解】
解：∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°，
∴钟表上5点整时，时针与分针所成的角是5×30=150°．
故答案为：150°．
【点睛】
本题主要考查了钟面角，熟知钟面上每大格的度数是解答本题的关键．
三、解答题
36．已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．
（1）如图1，OC是∠AOB外部的一条射线．
①若∠AOC＝32°，∠BOC＝126°，则∠DOE＝
°；
②若∠BOC＝164°，求∠DOE的度数；
（2）如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝n°，用n的代数式表示∠DOE的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）63；（2）∠DOE＝82°；（3）∠DOE＝n°
【分析】
（1）根据角平分线的定义，和角的和差关系，可找到∠BOC和∠DOE的度数，代入数据即可；
（2）根据角平分线的定义，和角的和差关系，可找到∠BOC和∠DOE的度数，代入数据即可．
【详解】
解：（1）∵OD、OE分别是∠AOB、∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOB，∠AOE＝∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD+∠AOE＝（∠AOB+∠AOC）＝∠BOC，
∵∠BOC＝126°
，∴∠DOE＝63°，
故答案为：63．
（2）由①可知，∠DOE＝∠BOC，
∵∠∠BOC＝164°，
∴∠DOE＝82°．
（3）∵OD、OE分别是∠AOB、∠AOC，
∴∠AOD＝∠AOB，∠AOE＝∠AOC，
∴∠DOE＝∠AOD﹣∠AOE＝（∠AOB﹣∠AOC）＝∠BOC，
∵∠BOC＝n°，
∴∠DOE＝n°．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，根据图形，找到角之间的关系，是解题关键．
37．垃圾打捞船和都停驻在湖边观测湖面，从船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，同时，从船也发现该白色漂浮物在它的北偏西45°方向．
（1）试在图中确定白色漂浮物的位置；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（2）点在点的北偏东60°的方向上，那么点在点的______方向上．
A．南偏东30°
B．南偏西30°
C．南偏东60°
D．南偏西60°
（3）猜想度数为______．
【答案】（1）见解析；（2）D；（3）105°
【分析】
（1）根据题意构建方位，然后可得出点C的位置；
（2）由方位图可直接进行排除选项；
（3）过点C作直线CD与正北方向平行
(?http:?/??/?www.21cnjy.com"
\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)，由方位角可得点A在点C的南偏西60°方向上，点B在点C的南偏东45°方向上，即∠ACD=60°，∠DCB=45°，进而问题可求解．
【详解】
解：（1）由题意可作如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（2）由（1）及方位角可得点A在点C的南偏西60°方向上；
故选D；
（3）过点C作直线CD与正北方向平行，如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
由方位角可得点A在点C的南偏西60°方向上，点B在点C的南偏东45°方向上，
∴∠ACD=60°，∠DCB=45°，
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=105°；
故答案为105°．
【点睛】
本题主要考查方位角，熟练掌握方位角是解题的关键．
38．尺规作图（标出所需字母．不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将作图痕迹涂黑）．
已知，如图四个点，，，．
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（1）作直线；
（2）作；
（3）连接；
（4）在射线上作点，使得．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析．
【分析】
（1）根据直线的定义画出图形即可；
（2）作射线BD、BC即可；
（3）根据线段的定义画出图形即可；
（4）在射线BC上，以B为圆心，BA长为半径画弧交射线BC于点M．
【详解】
（1）直线AD如图所示；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，线段AB即为所求；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（4）如图，点M即为所求．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【版权所有：21教育】
39．如图，已知∠AOB＝75°，OC是∠AOB内部的一条射线，过点O作射线OD，使得∠COD＝∠AOB．
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（1）若∠AOD＝120°，则∠BOC＝ °；
（2）若∠AOD＝5∠BOC，则∠BOD＝ °；
（3）当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由．
【答案】（1）30；（2）50；（3）不变，150°
【分析】
（1）根据等式的性质可得AOC＝∠BOD，根据∠AOD＝120°，∠AOB＝75°，求出∠AOC＝∠BOD＝45°，进而求出∠BOC即可；
（2）设未知数，根据∠AOD＝5∠BOC列方程求解即可；
（3）由题意可得∠AOD＋∠BOC＝∠AOB＋∠COD＝2∠AOB，故可求解．
【详解】
解：（1）∵∠COD＝∠AOB．即∠AOC+∠BOC＝∠BOC+∠BOD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵∠AOD＝120°，∠AOB＝75°，
∴∠AOC＝∠BOD＝120°﹣75°＝45°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝75°﹣45°＝30°，
故答案为：30；
（2）设∠BOD＝x°，由（1）得∠AOC＝∠BOD＝x°，则∠BOC＝75°﹣x°
由∠AOD＝5∠BOC得，75+x＝5（75﹣x），
解得，x＝50，
即：∠BOD＝50°，
故答案为：50；
（3）不变；
∵∠COD＝∠AOB＝75°，∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝75°×2＝150°，
答：当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC＝150°，其值不变．
【点睛】
考查角的相关计算，通过图形直观，得出各个角之间的和差关系，是解决问题的关键．
40．已知，射线OC在内部，作的平分线OD和的平分线OE．
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（1）如图①，当时，则_______．
（2）如图②，若射线OC在内部绕O点旋转，当时，求的度数．
（3）当射线OC在外绕O点旋转且为钝角时，请在备用图中画出的平分线OD和的平分线OE，判断的大小是否发生变化?求的度数．21·世纪
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【答案】（1）；（2）；（3）的大小发生变化，或．
【分析】
（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE＋∠COD；
（2）结合角的特点，根据∠DOE＝∠DOC＋∠COE，求得结果进行判断和计算；
（3）正确作出图形，根据∠DOE的大小作出判断即可．
【详解】
（1）解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE＝∠COB＝35°，∠COD＝∠AOC=（90°-70°）＝10°，
∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝45°
故答案为：；
（2）∵OD、OE分别平分和，
∴，，
∵，
∴
；
（3）的大小发生变化．
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①如备用图1所示：
∵OD、OE分别平分和，
∴，，
∴
；
②如备用图2所示：
∵OD、OE分别平分和，
∴，，
∴
．
综上，得：的大小发生变化，或．
【点睛】
本题考查了角的计算，正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．
41．如图，，，平分，求的度数．
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【答案】
【分析】
根据角度的计算先求出，再根据角平分线的性质得到，再根据故可求解．
【详解】
解：因为，，
所以，
因为平分，
所以，
所以．
【点睛】
此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知角平分线的性质．
42．已知，，求：
（1）的余角；
（2）与的倍的和．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据互为余角的两个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角的和为90度可得∠β的余角=90°-∠β，将∠β=41°41′代入计算即可；
（2）将∠α=76°42'，∠β=41°41'代入∠α+2∠β，然后计算即可．
【详解】
解：的余角
.
.
，，
.
.
．
【点睛】
此题考查了余角与补角，以及度分秒的换算
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)，用到的知识点：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角；度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．
43．如图，已知线段a与b，点O在直线MN上，点A在直线MN外，连接OA．
（1）请用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
①在射线OM上作线段OB＝a，作直线AB；
②在射线ON上取点C，使OC＝b，作射线AC；
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（2）写出图中的一个以A为顶点的角：
．
【答案】（1）①详见解析；②详见解析；（2）如∠BAC或∠CAO等（写出一个即可）
【分析】
（1）①以O为圆心，a的长为半径作弧，交射线OM于点B，作直线AB即可；
②以O为圆心，b的长为半径作弧，交射线ON于点C，作射线AC即可；
（2）任写一个以A为顶点的角即可．
【详解】
解：（1）①以O为圆心，a的长为半径作弧，交射线OM于点B，作直线AB，如图，直线AB即为所求；
②以O为圆心，b的长为半径作弧，交射线ON于点C，作射线AC，如图，射线AC即为所求；
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（2）答案开放，如∠BAC或∠CAO等．
【点睛】
此题考查的是画图题，掌握画线段等于已知线段、射线、直线的画法和角的表示方法是解决此题的关键．
44．如图：已知直线、相交于点，．
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）58°（2）130°
【分析】
（1）根据∠BOE＝180°?∠AOC?∠COE直接解答即可；
（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数．
【详解】
（1）∵∠COE＝90°，∠AOC＝32°，
∴∠BOE＝180°?∠AOC?∠COE
＝180°?32°?90°
＝58°
（2）∵∠BOD：∠BOC＝2：7，∠BOD＋∠BOC＝180°，
∴∠BOD＝40°，
∵∠BOD＝∠AOC，
∴∠AOC＝40°，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOE＝∠COE＋∠AOC＝90°＋40°＝130°．
【点睛】
此题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，对顶角相等是解答本题的关键．
45．如图，已知直线和相交于点，，平分，，求的度数．
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【答案】42°
【分析】
直接利用角平分线的性质得出∠AOE的度数，进而得出∠BOE的度数，即可得出答案．
【详解】
∵∠COF＝24°，∠COE＝90°，
∴∠EOF＝∠COE?∠COF＝90°?24°＝66°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠EOF＝66°×2＝132°，
∴∠BOE＝180°?132°＝48°，
∵∠BOD＝∠DOE?∠BOE＝90°?48°＝42°．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的性质以及领补角的定义，正确利用角平分线的性质分析是解题关键．
46．如图，将两块直角三角尺的直角顶点重合，固定三角尺将三角尺绕点旋转．
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（1）若，则的度数是___________．
（2）在三角尺绕点旋转的过程中，与之间的数量关系会发生变化吗？如果不变先写出数量关系再说明理由；如果变化，说明有怎样的数量关系．21·cn·jy·com
【答案】（1）25°；（2）不变，，见解析
【分析】
（1）根据三角板及垂直的性质即可求解；
（2）同（1）可以证明．
【详解】
（1）
故填：25；
（2）不变，，理由如下
即．
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【点睛】
此题主要考查角度的运算，解题的关键是熟知垂直的定义及三角板的特点．
47．如图，O为直线AB上一点，∠AOC=48°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
(1)图中有
个小于平角的角；
(2)求出∠BOD的度数；
(3)试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
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【答案】（1）9；（2）156°；（3）OE平分，理由见解析．
【分析】
（1）根据平角的定义即可得；
（2）先根据角平分线的定义得出的度数，再根据邻补角的定义即可得；
（3）先根据角互余的定义求出的度数，再根据平角的定义可求出的度数，然后根据角平分线的定义判断即可得．21教育名师原创作品21世纪教育网版权所有
【详解】
（1）小于平角的角有：，共有9个
故答案是：
9；
（2）∵OD平分，
∴
∴；
（3）OE平分，理由如下：
∵，
∴
∴
∴OE平分．
【点睛】
本题考查了角互余的定义、角平分线的定义、邻补角的定义等知识点，熟记各定义是解题关键．
48．如图，O是直线AB上的一点，∠AOC＝45°，OE是∠BOC内部的一条射线，且OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF＝35°，求∠EOB的度数；
（2）如图2，若∠EOB＝40°，求∠COF的度数；
（3）如图3，∠COF与∠EOB有怎样的数量关系？请说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】（1）∠EOB=20°；（2）∠COF=
25°；（3）∠EOB+2∠COF＝90°，理由见解析．
【分析】
（1）OF平分∠AOE得出∠AOF＝∠EOF，再利用∠BOE与∠AOE是邻补角这一关系解答即可；
（2）分析方法如上题，OF平分∠AOE得出∠AOF＝∠EOF，再利用∠BOE与∠AOE是邻补角相加等于180°解答即可；
（3）分析方法同上，设∠COF与∠EOB的度数分别是α和β，再计算得出数量关系即可．
【详解】
（1）∵∠AOC＝45°，∠COF＝35°
∴∠AOF＝∠AOC+∠COF＝80°
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE＝2∠AOF＝160°
∵∠AOB是平角
∴∠AOB＝180°
∴∠EOB＝∠AOB﹣∠AOE＝20°
答：∠EOB的度数是20°．
（2）∠AOE＝180°﹣40°＝140°
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠AOE＝70°
∴∠COF＝∠AOF﹣∠AOC＝70°﹣45°＝25°
答：∠COF的度数是25°．
（3）∠EOB+2∠COF＝90°，理由如下：
设∠COF＝α，∠BOE＝β
∵∠AOB是平角，
∴∠AOE＝180°﹣β
∵OF平分∠AOE，
∴2∠AOF＝∠AOE＝180°﹣β
∴2α＝2∠COF＝2（∠AOF﹣∠AOC
）
＝2∠AOF﹣2∠AOC
＝180°﹣β﹣2×45°＝90°﹣β
∴2α+β＝90°
即∠EOB+2∠COF＝90°．
【点睛】
本题考查角的相关计算，涉及到角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的平分线的定义和邻补角相加等于180度的内容，难度适中．考生熟练掌握以上知识点是解决此题的关键．www-2-1-cnjy-com
49．如图
，两条直线
AB，CD
交于点O
，射线
OM
是∠AOC
的平分线，若∠BOD=70°，求∠BOM
的值．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
【答案】145°
【分析】
先根据对顶角相等得出∠AOC＝70°，再根据角平分线的定义得出∠COM，最后解答即可．
【详解】
∵∠BOD＝70°，
∴∠AOC＝70°，∠COB＝110°，
∵射线OM是∠AOC的平分线，
∴∠COM＝35°，
∴∠BOM＝35°＋110°＝145°．
【点睛】
此题考查对顶角和角平分线的定义，关键是得出对顶角相等．
50．如图，某轮船上午8时在A处
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，测得灯塔S在北偏东60°的方向上，向东行驶至中午11时，该轮船在B处，测得灯塔S在北偏西30°的方向上（自己完成图形），已知轮船行驶速度为每小时60千米，求∠ASB的度数及AB的长．
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【答案】∠ASB=90°，AB=180千米．
【分析】
根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．
【详解】
解：如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
由图可知∠SAB＝90°﹣∠DAS＝90°﹣60°＝30°，∠ABS＝90°﹣∠SBC＝90°﹣30°＝60°，
在△ABS中，∠SAB＝30°，∠ABS＝60°，
∴∠ASB＝180°﹣∠ABS﹣∠SAB＝180°﹣60°﹣30°＝90°．
60×（11﹣8）＝180（千米）．
即AB长为180千米．
【点睛】
本题主要考查了方位角，正确画出方位角，再结合三角形的内角和是解题的关键.
51．如图，已知∠AOB=140，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD．
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（1）若∠COE=38，求∠DOE和∠BOD的度数；
（2）设∠COE=α，∠BOD=β，请探究α与β之间的数量关系．
【答案】（1），；（2）
【分析】
(1)根据互余的概念求出∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)EOD，根据角平分线的定义求出∠AOD，结合图形计算即可；
(2)根据互余的概念用α表示∠EOD，根据角平分线的定义求出∠AOD，结合图形列式计算即可
【详解】
(1)∵∠COE与∠EOD互余，，
∴∠EOD=90-38=52，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOD=2∠EOD
=104，
∴∠BOD=∠AOB-∠AOD=140-104=36，
故答案为：52，36；
(2)∵∠COE=，且∠COE与∠EOD互余，
∴，
∵OE平分∠AOD，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】
本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的计算，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
52．如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点．
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（1）若点恰好是的中点，则_______；若，则_________；
（2）随着点位置的改版，的长是否会改变？如果改变，请说明原因；如果不变，请求出的长；
（3）知识迁移：如图②，已知，过角的内部任意一点画射线，若分别平分和，试说明的度数与射线的位置无关．
【答案】（1）7；7（2）的长不会改变，7cm；（3）见解析
【分析】
（1）根据线段中点定义即可求解；
（2）根据线段中点定义即可说明的长不会改变；
（3）根据角平分线定义即可说明∠DOE的度数与射线OC的位置无关．
【详解】
解：（1）∵AB＝14cm，点C恰好是AB的中点，
∴AC＝BC＝AB＝×14＝7，
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DC＝AC，CE＝BC，
∴DE＝DC＋CE＝AC＋BC＝×14＝7；
∵AC＝6，∴BC＝AB?AC＝8
∵点D、E分别是AC和BC的中点，
∴DC＝AC＝3，CE＝BC＝4，
∴DE＝DC＋CE＝3＋4＝7；
故答案为7，7；
（2）的长不会改变，
理由如下：因为点是线段的中点，所以
因为点是线段的中点，所以.
所以
所以的长不会改变.
（3）因为平分，所以.
因为平分，所以.
所以.
因为，所以
所以，的度数与射线的位置无关．
【点睛】
本题考查了角平分线定义、两点之间的距离，解决本题的关键是结合图形进行合理推理．
53．以直线上一点为端点作射线，使，将一块直角三角板的直角顶点放在处，一边放在射线上，将直角三角板绕点逆时针方向旋转直至边第一次重合在射线上停止．www.21-cn-jy.com
（1）如图1，边在射线上，则
；
（2）如图2，若恰好平分，则
；
（3）如图3，若，则
；
（4）在旋转过程中，与始终保持的数量关系是
，并请说明理由．
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【答案】（1）30；（2）30；（3）75；（4）∠COE?∠BOD＝30，理由见解析
【分析】
（1）根据图形得出∠COE＝∠DOE?∠BOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠AOC＝2∠EOC＝120，代入∠BOD＝∠BOE?∠DOE即可求解；
（3）根据，先求出∠COD，再利用∠COD+即可求解；
（4）根据各图的特点分别求解即可得到结论．
【详解】
（1）∠COE＝∠DOE?∠BOC＝90?60＝30，
故答案为：30；
（2）∵恰好平分，∠BOC＝60，
∴∠AOC＝2∠EOC＝120，∴∠EOC=60，
∴∠BOE=∠EOC+∠BOC＝120
∵∠DOE＝90，
∴∠BOD＝∠BOE?∠DOE＝30
故答案为：30；
（3）∵，
∴∠COD=
∴∠COD+=75
故答案为：75；
（4）∠COE?∠BOD＝30，理由如下：
如图1，∠COE?∠BOD=30-0=30；
如图2，∵∠BOD＋∠COD＝∠BOC＝60，∠COE＋∠COD＝∠DOE＝90，
∴（∠COE＋∠COD）?（∠BOD＋∠COD）
＝∠COE＋∠COD?∠BOD?∠COD
＝∠COE?∠BOD
＝90?60
＝30；
如图3，∵∠BOD-∠COD＝∠BOC＝60，∠COE-∠COD＝∠DOE＝90，
∴（∠COE-∠COD）?（∠BOD-∠COD）
＝∠COE-∠COD?∠BOD+∠COD
＝∠COE?∠BOD
＝90?60
＝30；
即∠COE?∠BOD＝30．
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【点睛】
本题考查了旋转的性质，角平分线定义，角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
54．如图，点在直线上，平分，，若，求的度数．
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【答案】
【分析】
根据垂直的定义及角平分线的性质即可求解.
【详解】
∵
∴
又
∴
又平分
∴
∴
【点睛】
此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知角平分线的性质.
55．如图，已知直线，相交于点，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据即可求解；
（2）根据平角的定义可求∠BOD，根据对顶角的定义可求∠AOC，根据角的和差关系可求∠AOE的度数．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
【点睛】
此题考查了对顶角、邻补角，熟练掌握平角等于180度，直角等于90度，对顶角相等是解答本题的关键．
56．如图所示，和都是直角．
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（1）填空：图中与互余的角有_______和__________；
（2）与互补吗？为什么？
（3）若，求与的度数．
【答案】（1）、；（2）与互补，理由见解析；（3）∠AOD=117°，∠BOC=63°．
【分析】
（1）根据互余的定义即可求解；
（2）根据互补的定义即可求解；
（3）设则，根据题意得到方程求出x即可求解.
【详解】
（1）∵和都是直角．
∴+=，+=，
∴与互余的角有、
故答案为：、；
（2）与互补．理由如下：
因为和都是直角
所以
又因为
所以
所以与互补
（3）设，则
所以
即
所以
由（2）可知与互补，
所以
【点睛】
此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知角度的运算及补角、余角的定义.
57．（1）如图（a），将一副三角尺(∠A=60°,∠B=45°)的直角顶点C叠放在一起，边CD与BE相交．
①若∠DCE=25°,则∠ACB=_____;若∠ACB=130°,则∠DCE=
_____
;
21世纪21世纪教育网有
②猜想∠ACB与∠DCE的数量关系．直接写出答案，无需证明．
（2）如图（b）,若两个相同的三角尺60°锐角的顶点A重合在一起,
边CD与A
E相交，则∠DAB与∠CAE有何数量关系？请说明理由．www-2-1-cnjy-com
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【答案】（1）①155°，50°，②∠ACB+∠DCE=180°；（2）∠DAB+∠CAE=120°，理由见解析
【分析】
（1）①先求出∠BCD，再代入∠ACB＝∠A
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)CD＋∠BCD求出即可；先求出∠BCD，再代入∠DCE＝∠BCE?∠BCD求出即可；②根据∠ACB＝∠ACE＋∠DCE＋∠DCE求出即可；
（2）根据∠DAB＝∠DAE＋∠CAE＋∠CAB求出即可；
【详解】
（1）①∵∠BCE＝90°，∠DCE＝25°，
∴∠BCD＝∠BCE?∠DCE＝65°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝90°＋65°＝155°；
∵∠ACB＝130°，∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠ACB?∠ACD＝130°?90°＝40°，
∵∠BCE＝90°，
∴∠DCE＝∠BCE?∠BCD＝90°?40°＝50°，
故答案为：155°，50°；
②∠ACB＋∠DCE＝180°，
理由如下：∵∠ACB＝∠ACE＋∠DCE＋∠DCE，
∴∠ACB＋∠DCE
＝∠ACE＋∠DCE＋∠DCE＋∠DCE
＝∠ACD＋∠BCE
＝180°；
（2）∠DAB＋∠CAE＝120°，理由如下：
∵∠DAB＝∠DAE＋∠CAE＋∠CAB，
∴∠DAB＋∠CAE
＝∠DAE＋∠CAE＋∠CAB＋∠CAE
＝∠DAC＋∠BAE
＝120°.
【点睛】
本题考查了角的有关计算的应用，能灵活运用角的和差进行计算是解此题的关键，求解过程类似．
58．如图，射线是的平分线，射线、是的三等分线，即、将分成三个相等的角．
（1）如果，求的度数；
（2）如果，求的度数；
（3）如果，请用表示的度数，并把你的运算过程写出来．
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【答案】（1）；（2）；（3），过程见解析
【分析】
（1）根据角平分线及三等分线的定义即可求解；
（2）同（1）把角度换为90°即可求解；
（3）同（1）把角度换为x即可求解；
【详解】
解：∵
∴，
∴
∴
（2）∵
∴，
∴
∴
（3）∵
∴，
∴
∴
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【点睛】
此题主要考查角度的和差关系，解题的关键是熟知角平分线的性质.
59．如图所示，是平角，分别是的平分线.
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（1）已知，求的度数；
（2）如果（1）中的已知“”，改为已知“”，你能求出的度数吗？如果能，请求出；如果不能，请说明理由.21·世纪
教育网
【答案】（1）135°（2）能．135°．
【解析】
【分析】
（1）根据平角即可求得∠AOB的度数，再根据角平分线的定义求得∠AOM和∠BON的度数，从而求得∠MON的度数；【版权所有：21教育】
（2）因为OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，故知∠MOC＋∠NOD＝∠AOC＋∠BOD＝（∠AOC＋∠BOD）即可解答．
【详解】
（1）∵∠AOB是平角，∠AOC＝42°，∠BOD＝48°，
∴∠COD＝∠AOB?∠AOC?∠BOD＝180°?42°?48°＝90°，
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
∴∠MOC＝∠AOC＝21°，∠NOD＝∠BOD＝24°，
∴∠MON＝∠MOC＋∠COD＋∠NOD＝21°＋90°＋24°＝135°；
（2）能．
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线．
∴∠MOC＋∠NOD，
＝∠AOC＋∠BOD，
＝（∠AOC＋∠BOD），
＝（180°?90°）＝45°，
∴∠MON＝∠MOC＋∠NOD＋∠COD＝90°＋45°＝135°．
【点睛】
本题主要考查的计算的知识点，解答本题的突破口充分利用角平分线的知识点，本题难度不大．
60．如图，OB、OC是内部的两条射线,
OM平分，ON平分.
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）
【答案】（1）120°（2）（160?x）°
【分析】
（1）利用角平分线的定义可得∠AOM＝∠
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)BOM，∠DON＝∠CON，易得∠BOM＋∠CON＝∠AOM＋∠DON，利用∠MON?∠BOC＝∠BOM＋∠CON，可得结果；【来源：21·世纪·教育·网】21
cnjy
com
（2）由角的加减可得∠AOM＋∠DON，易得∠BOM＋∠CON，再利用∠BOC＝∠MON?（∠BOM＋∠CON）可得结果．
【详解】
（1）∵∠MON?∠BOC＝∠BOM＋∠CON，∠BOC＝40°，∠MON＝80°，
∴∠BOM＋∠CON＝80°?40°＝40°，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴∠AOM＝∠BOM，∠DON＝∠CON，
∴∠AOM＋∠DON＝40°，
∴∠AOD＝∠MON＋∠AOM＋∠DON＝80°＋40°＝120°；
（2）∵∠AOD＝x°，∠MON＝80°，
∴∠AOM＋∠DON＝∠AOD?∠MON＝（x?80）°，
∵∠BOM＋∠CON＝∠AOM＋∠DON＝（x?80）°，
∴∠BOC＝∠MON?（∠BOM＋∠CON）＝80°?（x?80）°＝（160?x）°.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义和角的加减，利用角平分线的定义得到∠BOM＋∠CON＝∠AOM＋∠DON是解答此题的关键．
61．已知，如图1，点是直线上一点，，，射线平分.
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图1
图2
（1）求的度数；
（2）将图1中按顺时针方向转至图2所示的位置，仍然平分，，则___________.（用含有的代数式表示）
【答案】（1）25°（2），理由见解析
【分析】
（1）由已知可求出∠BOC＝180°?∠AOC＝130°，再由∠COD是直角，OE平分∠BOC求出∠DOE的度数；
（2）由∠COD是直角，O
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\o
"欢迎登陆21世纪教育网?)E平分∠BOC可得出∠COE＝∠BOE＝90°?∠DOE，则得∠AOC＝180°?∠BOC＝180°?2∠COE＝180°?2（90°?∠DOE），从而得出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系
【详解】
（1）由已知得∠BOC＝180°?∠AOC＝130°，
又∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD?∠BOC＝90°?×130°＝25°
（2），
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝90°?∠DOE，
则得∠AOC＝180°?∠BOC＝180°?2∠COE＝180°?2（90°?∠DOE），
所以得：∠AOC＝2∠DOE
故.
【点睛】
此题考查的知识点是角平分线的性质及角的计算，关键是正确运用好有关性质准确计算角的和差倍分．
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精品试卷·第
2
页
（共
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第三讲
角
【基础训练】
一、单选题
1．下列说法正确的是(
)
A．两条有公共点的射线组成的图形叫做角
B．有一个公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C．一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角
D．角是从同一点引出的两条线段
2．下列四个图形中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
3．如图，点A在点O的北偏西60°的方向上，点B在点O的南偏东20°的方向上，那么的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．110°
B．130°
C．140°
D．150°
4．下列各角中，是钝角的是（
）．
A．周角
B．平角
C．平角
D．平角
5．如图所示，点B在点O的北偏东60°，射线与射线所成的角是110°，则射线的方向是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．北偏西30°
B．北偏西40°
C．西偏北50°
D．北偏西50°
6．如图，，则射线表示为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．南偏西60
B．南偏东60
C．南偏西30
D．南偏东30
7．小亮在小明的北偏东60°方位，则小明在小亮的方位是（
）
A．南偏西60°
B．南偏东60°
C．北偏西30°
D．北偏西60°
8．轮船航行到C处测得小岛A的方向是北偏西20°，那么从A观察C处的方向为（
）
A．南偏东20°
B．西偏南70°
C．南偏东70°
D．西偏南20°
9．如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（
）
A．
B．
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
10．若点在点的北偏东30°，则点在点的（
）
A．南偏西30°
B．南偏西60°
C．北偏东30°
D．北偏东60°
11．如图所示，射线OA表示的方向是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．北偏东50°
B．北偏西50°
C．北偏东40°
D．北偏西40°
12．一个人从点出发向北偏东方向走到点，再从点出发向南偏西方向走到点，那么等于（
）21教育网【来源：21cnj
y.co
m】
A．
B．
C．
D．
13．一条船在灯塔的北偏东
60°方向，那么灯塔在船的（
）方向．
A．南偏西30°
B．西偏南40°
C．南偏西60°
D．北偏东60°
14．如图，射线表示的方向是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．东偏南
B．南偏东
C．北偏西
D．南偏东
15．已知，则的余角等于（
）
A．
B．
C．
D．
16．如图，∠1的余角可能是图中的（
）
A．
B．
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
17．在如图所示的方位角中，射线表示的方向是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．东偏南60°
B．南偏东30°
C．南偏东60°
D．南偏西60°
18．如图所示的四条射线中，表示北偏西30°的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．射线
B．射线
C．射线
D．射线
19．下图中标注的角可以用∠O来表示的是（
）
A．
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
20．计算：（
）
A．10°
B．18°
C．20°
D．30°
21．如图，是北偏东方向的一条射线，若，则的方向角是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．北偏西
B．北偏西
C．东偏北
D．东偏北
22．如图所示，射线OA所在方向是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
A．北偏东
B．北偏东
C．北偏东
D．东北方向
23．从6时到9时，钟表的时针旋转的度数是（
）．
A．30
B．60°
C．90°
D．120°
24．在图中，下列表述不正确的是（
）
A．∠1可表示为∠BAC
B．∠2可表示为∠DAC
C．∠DAB可表示为∠α
D．∠DAB可表示为∠A
25．如图是一块手表早点9时20分的时针、分针位置关系示意图，此时时针和分针所成的角的度数是（
）
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A．160°
B．180°
C．120°
D．150°
26．如图，射线表示的方向是（
）
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A．东偏南
B．南偏东
C．东南方向
D．南偏东
27．一艘轮船向北偏东60°方向航行，因
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有紧急任务，按逆时针调头90°去执行任务，那么这时轮船的航行方向是（
）2·1·c·n·j·y21世纪教育网版权所有
A．南偏东30°
B．南偏东60°
C．北偏西30°
D．北偏西60°
28．下列图形中，能用∠ABC，∠B，∠1表示同一个角的是（
）
A．
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B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．
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29．如图，下列说法中不正确的是（
）
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A．与是同一个角
B．与是同一个角
C．也可以表示为
D．
30．钟表在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是
(
)
A．15°
B．70°
C．75°
D．90°
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
31．一艘货船沿着北偏西方向航行，为避免触礁，左拐后的航线是_______．
32．如图所示，下午5：00时，钟面上时针与分针之间的夹角度数是
_________．
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33．在灯塔处观测到轮船位于北偏西55°的方向，同时轮船在南偏西的方向，那么的大小为__________．21·cn·jy·com21·cn·jy·com
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34．如图，在灯塔O处观测到轮船A位于北偏
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)西54°的方向，同时轮船B在南偏东15°的方向，那么∠AOB＝_____．【来源：21cnj
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35．如图，钟表上5点整时，时针与分针所成的角是____．
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三、解答题
36．已知OD、OE分别是∠AOB、∠AOC的角平分线．
（1）如图1，OC是∠AOB外部的一条射线．
①若∠AOC＝32°，∠BOC＝126°，则∠DOE＝
°；
②若∠BOC＝164°，求∠DOE的度数；
（2）如图2，OC是∠AOB内部的一条射线，∠BOC＝n°，用n的代数式表示∠DOE的度数．
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37．垃圾打捞船和都停驻在湖边观测湖面，从船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物，同时，从船也发现该白色漂浮物在它的北偏西45°方向．21cnjy.com21教育网
（1）试在图中确定白色漂浮物的位置；
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（2）点在点的北偏东60°的方向上，那么点在点的______方向上．
A．南偏东30°
B．南偏西30°
C．南偏东60°
D．南偏西60°
（3）猜想度数为______．
38．尺规作图（标出所需字母．不写作法，保留作图痕迹，用黑色笔将作图痕迹涂黑）．
已知，如图四个点，，，．
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（1）作直线；
（2）作；
（3）连接；
（4）在射线上作点，使得．
39．如图，已知∠AOB＝75°，OC是∠AOB内部的一条射线，过点O作射线OD，使得∠COD＝∠AOB．
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（1）若∠AOD＝120°，则∠BOC＝ °；
（2）若∠AOD＝5∠BOC，则∠BOD＝ °；
（3）当∠COD绕着点O旋转时，∠AOD+∠BOC是否变化？若不变，求出其大小；若变化，说明理由．
40．已知，射线OC在内部，作的平分线OD和的平分线OE．
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（1）如图①，当时，则_______．
（2）如图②，若射线OC在内部绕O点旋转，当时，求的度数．
（3）当射线OC在外绕O点旋转且为钝角时，请在备用图中画出的平分线OD和的平分线OE，判断的大小是否发生变化?求的度数．21世纪21世纪教育网有
41．如图，，，平分，求的度数．
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42．已知，，求：
（1）的余角；
（2）与的倍的和．
43．如图，已知线段a与b，点O在直线MN上，点A在直线MN外，连接OA．
（1）请用尺规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
①在射线OM上作线段OB＝a，作直线AB；
②在射线ON上取点C，使OC＝b，作射线AC；
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（2）写出图中的一个以A为顶点的角：
．
44．如图：已知直线、相交于点，．
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
45．如图，已知直线和相交于点，，平分，，求的度数．
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46．如图，将两块直角三角尺的直角顶点重合，固定三角尺将三角尺绕点旋转．
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（1）若，则的度数是___________．
（2）在三角尺绕点旋转的过程中，与之间的数量关系会发生变化吗？如果不变先写出数量关系再说明理由；如果变化，说明有怎样的数量关系．www-2-1-cnjy-com【来源：21·世纪·教育·网】
47．如图，O为直线AB上一点，∠AOC=48°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
(1)图中有
个小于平角的角；
(2)求出∠BOD的度数；
(3)试判断OE是否平分∠BOC，并说明理由．
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48．如图，O是直线AB上的一点，∠AOC＝45°，OE是∠BOC内部的一条射线，且OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠COF＝35°，求∠EOB的度数；
（2）如图2，若∠EOB＝40°，求∠COF的度数；
（3）如图3，∠COF与∠EOB有怎样的数量关系？请说明理由．
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49．如图
，两条直线
AB，CD
交于点O
，射线
OM
是∠AOC
的平分线，若∠BOD=70°，求∠BOM
的值．
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50．如图，某轮船上午8时在A处，测得灯塔S
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在北偏东60°的方向上，向东行驶至中午11时，该轮船在B处，测得灯塔S在北偏西30°的方向上（自己完成图形），已知轮船行驶速度为每小时60千米，求∠ASB的度数及AB的长．2-1-c-n-j-y2·1·c·n·j·y
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51．如图，已知∠AOB=140，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（1）若∠COE=38，求∠DOE和∠BOD的度数；
（2）设∠COE=α，∠BOD=β，请探究α与β之间的数量关系．
52．如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，点分别是和的中点．
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（1）若点恰好是的中点，则_______；若，则_________；
（2）随着点位置的改版，的长是否会改变？如果改变，请说明原因；如果不变，请求出的长；
（3）知识迁移：如图②，已知，过角的内部任意一点画射线，若分别平分和，试说明的度数与射线的位置无关．【来源：21·世纪·教育·网】
53．以直线上一点为端点作射线，使，将一块直角三角板的直角顶点放在处，一边放在射线上，将直角三角板绕点逆时针方向旋转直至边第一次重合在射线上停止．21·世纪
教育网21·世纪
教育网
（1）如图1，边在射线上，则
；
（2）如图2，若恰好平分，则
；
（3）如图3，若，则
；
（4）在旋转过程中，与始终保持的数量关系是
，并请说明理由．
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54．如图，点在直线上，平分，，若，求的度数．
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55．如图，已知直线，相交于点，
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
56．如图所示，和都是直角．
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（1）填空：图中与互余的角有_______和__________；
（2）与互补吗？为什么？
（3）若，求与的度数．
57．（1）如图（a），将一副三角尺(∠A=60°,∠B=45°)的直角顶点C叠放在一起，边CD与BE相交．
①若∠DCE=25°,则∠ACB=_____;若∠ACB=130°,则∠DCE=
_____
;
21
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②猜想∠ACB与∠DCE的数量关系．直接写出答案，无需证明．
（2）如图（b）,若两个相同的三角尺60°
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)锐角的顶点A重合在一起,
边CD与A
E相交，则∠DAB与∠CAE有何数量关系？请说明理由．【出处：21教育名师】2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
58．如图，射线是的平分线，射线、是的三等分线，即、将分成三个相等的角．
（1）如果，求的度数；
（2）如果，求的度数；
（3）如果，请用表示的度数，并把你的运算过程写出来．
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59．如图所示，是平角，分别是的平分线.
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（1）已知，求的度数；
（2）如果（1）中的已知“”，改为已知“”，你能求出的度数吗？如果能，请求出；如果不能，请说明理由.21世纪教育网21-cn-jy.com21cnjy.com
60．如图，OB、OC是内部的两条射线,
OM平分，ON平分.
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（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数（用含的代数式表示）
61．已知，如图1，点是直线上一点，，，射线平分.
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图1
图2【版权所有：21教育】
（1）求的度数；
（2）将图1中按顺时针方向转至图2所示的位置，仍然平分，，则___________.（用含有的代数式表示）21教育名师原创作品21
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精品试卷·第
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