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第三讲
角
【提升训练】
一、单选题
1．若∠1=36°5′，∠2=36.5°，则∠1与∠2的大小关系是（
）
A．∠1=∠2
B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2
D．无法确定
2．在下列说法中，正确的是（
）
A．连接A，B就得到的距离
B．延长的平分线
C．一个有理数不是整数就是分数
D．是单项式
3．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角∠α与∠β相等的是（ ）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
4．如图，是的平分线，，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
5．下列说法一定正确的是
（
）
①若几个角的和为180°，则这几个角互为补角．
②线段和线段不是同一条线段．
③两点之间线段最短
④若，则点是线段的中点
A．③
B．③④
C．①③④
D．①②③④
6．若，互为补角，且，则下列表示的余角的式子中正确的是（
）
①；②；③；④.
A．①
B．②
C．②③
D．②④
7．如图所示，∠1＝28°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．128°
B．118°
C．108°
D．152°
8．如图，，射线是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．随位置的变化而变化
9．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，若∠BOD＝150°，则∠BOC的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．150°
B．120°
C．90°
D．60°
10．下列说法正确的有（
）
①角的大小与所画边的长短无关；
②如图，也可用表示
③连接两点的线段叫做这两点之间的距离；
④两点之间线段最短；
⑤如果，那么是的平分线；
⑥点在线段上，若，则点是线段的中点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．下列说法正确的是（
）．
A．两点之间，直线最短
B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离
C．两条射线组成的图形叫做角
D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
12．已知一个角是这个角的余角的，则这个角的度数是（
）．
A．
B．
C．
D．
13．下列说法中，正确的是（
）．
A．的相反数是正数
B．两点之间线的长度叫两点之间的距离
C．两条射线组成的图形叫做角
D．两点确定一条直线
14．周末早上，小兰9：00从家里出发去图书馆看书，上午10：30回到家中，这段时间内钟面上的时针转了（ ）2·1·c·n·j·y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．37.5°
B．45°
C．52.5°
D．60°
15．如图，已知，，平分，则度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
16．如图，是的平分线，，，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
17．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互补的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
18．如图，上午8：20，钟表的时针与分针所成的角是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．120°
B．125°
C．130°
D．135°
19．如图，OC是的平分线，OD是的平分线，且，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
20．如果与互为余角，与互为补角，那么下列结论：
①，②，③，④．其中正确的是（
）
A．①②
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
21．已知，则下列说法正确的是（
）
A．等于
B．的补角为
C．的余角为
D．的余角为
22．下列语句中正确的是（
）
A．直线AB和直线BA是两条不同的直线
B．连接两点间的线段叫两点的距离
C．一条射线就是一个周角
D．一个角的余角比这个角的补角小
23．如图，平分平分∠BOD，则的大小为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
24．下列说法正确的是（ ）
A．锐角的补角一定是钝角
B．一个角的补角一定大于这个角
C．锐角和钝角一定互补
D．两个锐角一定互为余角
25．如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（
）21世纪教育网版权所有
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A．∠BOA＞∠DOC
B．∠BOA﹣∠DOC＝90°
C．∠BOA+∠DOC＝180°
D．∠BOC≠∠DOA
26．一个角的余角是它的补角的，这个角是（
）
A．
B．
C．
D．
27．如图，点为线段外一点，点，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论不正确的是（
）21·世纪
教育网
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A．以为顶点的角共有15个
B．若，，则
C．若为中点，为中点，则
D．若平分，平分，，则
28．如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为（
）
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A．
B．
C．或
D．或
29．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同?可组成的角的个数是（
）
A．595
B．406
C．35
D．666
30．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（
）
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A．
B．
C．或
D．或
二、填空题
31．如图，点D在∠AOB的平分线OC上，点E在OA上，ED∥OB，∠AOB＝50°，则∠ODE的度数是__．
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32．已知，，平分，则的大小为___________．
33．如图，射线，，均在内部，且．平分，平分．
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请从A，B两题中任选一题作答．我选择______．
A．若，，则的度数为______．
B．若，则的度数为______．（用含的式子表示）
34．如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝_____°．
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35．如图，点E，F分别在长方形的边，上，连接．将长方形沿对折，点A落在处；将对折，点D落在的延长线上的处，得到折痕．若，则________°．21教育网
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三、解答题
36．如图∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB．完成下列问题．
（1）求∠AOC和∠BOC的度数．
（2）过点O引一条射线OD，使OD与∠AOB的一边垂直，请直接写出∠COD的度数．（小于平角）
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37．已知α的补角是一个锐角，有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求的度数．www-2-1-cnjy-com
38．如图，从点O引出6条射线，，，，，，且，平分，平分，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若，则_________（用含m的代数式表示）；
（2）求的度数．
39．如图，点O在直线上，，若平分．
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（1）求的度数；
（2）若，这样的射线有几条？请在图中画出，并求出的度数．
40．（1）如图，指出是表示什么方向的一条射线？
（2）仿照（1）中射线画出表示下列方向的射线：
①南偏东（用射线表示）；
②北偏西（用射线表示）；
③西南方向（用射线表示）．
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41．如图，射线OC在∠AOB的内部，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线．
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（1）如果∠AOB＝140°，∠AOC＝60°，那么∠MON是多少度？
（2）请写出∠MON与∠BOC的数量关系，并说明理由．
42．在同一平面内已知∠AOB＝150°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．
（1）当∠COD的位置如图1所示时，且∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；
（2）当∠COD的位置如图2所示时，作∠AOC的角平分线OF，求∠EOF的度数；
（3）当∠COD的位置如图3所示时，若∠AO
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)C与∠BOD互补，请你过点O作射线OM，使得∠COM为∠AOC的余角，并求出∠MOE的度数．（题中的角都是小于平角的角）2-1-c-n-j-y
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43．如图，O为直线DA上一点，∠AOB＝130°，OE为∠AOB的平分线，∠COB＝90°，求∠AOC和∠EOC的度数．www.21-cn-jy.com
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44．对“如果和都是的余角，那么”的说理过程，在括号内填上依据．
理由：因为（已知），
所以（等式的性质）．
因为
，
所以（
）．
所以（
）．
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45．如图，是直线上的一点，射线，分别平分和．
（1）说出图中互余的角；
（2）已知，求的度数．
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46．已知，直线AB//CD，∠EFG＝90°．
（1）如图1，点F在AB上，FG与CD交于点N，若∠EFB＝65°，则∠FNC＝
°；
（2）如图2，点F在AB与CD之间，EF与AB交于点M，FG与CD交于点N．∠AMF的平分线MH与∠CNF的平分线NH交于点H．21cnjy.com
①若∠EMB＝α，求∠FNC（用含α的式子表示）；
②求∠MHN的度数．
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47．如图，已知∠AOB内部有三条射线，若OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．
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（1）若∠AOB＝100°，求∠EOC的度数；
（2）若∠AOB＝70°，如果将题中“平分”的条件改为且∠DOE：∠DOC＝3：2，求∠EOC的度数．21·cn·jy·com
48．填空，完成下列说理过程：
如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．
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（1）求的度数；
（2）如果，求的度数．
49．如图所示，已知，平分，把分为2：5的两部分，求的度数．
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50．如图，射线OC、OD把
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AOB分成三个角，且度数之比是∠AOC：∠COD：∠DOB=2：3：4，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，且OM⊥ON．【来源：21·世纪·教育·网】
（1）求∠COD的度数；
（2）求∠AOB的补角的度数．
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51．如图所示，平分，平分．
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（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的度数．
52．如图，O是直线AB上的一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）指出图中∠AOD的补角
（2）若∠BOC=68°，求∠EOC的度数
（3）直接写出∠BOD与∠AOE的数量关系．
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53．如图，在直线AD上任取一点O，过点O做射线OB，OE平分∠DOB，OC平分∠AOB，∠BOC＝26°时，求∠BOE的度数．21
cnjy
com
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54．已知点是直线上一点，，是的平分线．
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（1）如图1，当时，求的度数；
（2）当和射线在如图2所示的位置，且题目条件不变时．
①求与之间的数量关系；
②直接写出的值．
55．如图，已知为所在平面内一条射线，平分，平分．
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（1）如图1，当在内部时，则_______度（直接写出结果）；
（2）如图2，当在外部时，求的度数；
（3）如图3，射线和所在的直线分别为直线和直线，当在内部时，根据题意画出符合要求的图形，并求出的度数．【来源：21cnj
y.co
m】
56．已知О为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE．
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（1）如图1，若OC平分，且，，求的度数．
（2）如图2，若，过点О引射线OF平分，是的平分线，且，求的度数．
57．已知：，做射线，是的角平分线，是的角平分线．
（1）如图①，当时，求的度数；
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①
（2）如图②，若射线在内部绕点旋转，当时，求的度数；
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②
（3）若射线在外绕点旋转且为钝角时，求的度数．
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58．将一副三角板按图甲的位置放置，
（1）∠AOD
∠BOC（选填“＜”或“＞”或“＝”）；
（2）
猜想∠AOC和∠BOD在数量上的关系是
．
（3）若将这副三角板按图乙所示摆放，三角板的直角顶点重合在点O处．（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由．【出处：21教育名师】
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59．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在处，EF为折痕，点F在线段AD上，且点F不与点D重合，点E在线段AB上，此时∠AFE和∠AEF互为余角，若恰好平分∠FEB，回答下列问题．
（1）求∠AEF的度数；
（2）∠＝
度．
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60．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝45°，∠DEF＝60°．
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（1）如图1，将顶点C和顶点D重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，当CF平分∠ACB时，求∠BCE的度数；【版权所有：21教育】
（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACF与∠BCE有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；21教育名师原创作品
（3）如图3，将顶点C和顶点E重
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转当CA落在∠DCF内部时，直接写出∠ACD与∠BCF的数量关系．21
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精品试卷·第
2
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第三讲
角
【提升训练】
一、单选题
1．若∠1=36°5′，∠2=36.5°，则∠1与∠2的大小关系是（
）
A．∠1=∠2
B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2
D．无法确定
【答案】C
【分析】
先把两个角统一化为度、分的形式，再比较即可得答案．
【详解】
∵36.5°=36°30′，36°30′＞36°5′，
∴∠1＜∠2，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是角的大小比较，解答本题的关键是先统一形式，注意以60为进制．
2．在下列说法中，正确的是（
）
A．连接A，B就得到的距离
B．延长的平分线
C．一个有理数不是整数就是分数
D．是单项式
【答案】C
【分析】
根据线段和线段的长度的区别、角平分线、有理数的分类和单项式和多项式的定义依次判断即可．
【详解】
解：A.
连接A，B就得到线段，而线段AB的长度叫做的距离，故原说法错误，不符合题意；
B.
的平分线就是射线，若延长也只能反向延长，故原说法错误，不符合题意；
C.
一个有理数不是整数就是分数，原说法正确，符合题意；
D.
是多项式，故原说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查线段、角平分线、有理数的分类、单项式和多项式等．正确把握相关定义是解题关键．
3．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中锐角∠α与∠β相等的是（ ）
A．
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B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】B
【分析】
根据余角和补角的概念解答．
【详解】
A、∠α与∠β互余，不一定相等；
B、∠α=∠β；
C、∠α=∠β，但∠α与∠β都是钝角；
D、∵∠α=90°-45°=45°，∠β=90°-30°=60°，
∴∠α≠∠β；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是余角和补角，掌握余角和补角的概念是解题的关键．
4．如图，是的平分线，，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据角平分线的定义及已知条件即可求解．
【详解】
解：设∠DOB=k，
∵，
∴∠BOC=2k，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠COA=∠BOC=2k，
∴∠AOD=∠DOB+∠BOC+∠COA=5k，
∵∠BOD=18°，
∴∠AOD=5×18°=90°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义及角的计算，本题的解题关键是根据已知条件找出角度的关系，即可得出答案．
5．下列说法一定正确的是
（
）
①若几个角的和为180°，则这几个角互为补角．
②线段和线段不是同一条线段．
③两点之间线段最短
④若，则点是线段的中点
A．③
B．③④
C．①③④
D．①②③④
【答案】A
【分析】
解答此题，要熟悉直线、射线、线段的概念，结合图形更易解答．
【详解】
解：①若两个角的和为180°，则这两个角互为补角，故说法①错误；
②线段和线段是同一条线段，故说法②错误；
③两点之间线段最短，故说法③正确；
④若，则当A、B、P在同一条直线上时，点是线段的中点，故说法④错误
所以，正确的说法是③，
故选：A
【点睛】
本题主要考查的是线段的性质、角的关系、两点间的距离，掌握相关概念和性质是解题的关键．
6．若，互为补角，且，则下列表示的余角的式子中正确的是（
）
①；②；③；④.
A．①
B．②
C．②③
D．②④
【答案】C
【分析】
由，互为补角，可得+=180°，可求=90°，+，可判定①不正确；由∠2=180°-，可求90°-∠2=90°-（180°-）=∠1-90°可判定②正确，由+=，可判定③正确由，+=可判定④不正确．
【详解】
解：∵，互为补角，
∴+=180°，
∴=90°，+，故①不正确；
∴∠2=180°-，
∴90°-∠2=90°-（180°-）=∠1-90°，故②正确；
∵+=，故③正确；
∵，+==
故④不正确．
故选择：C．
【点睛】
本题考查互为补角和余角，掌握余角两角和为90°是解题关键．
7．如图所示，∠1＝28°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．128°
B．118°
C．108°
D．152°
【答案】B
【分析】
由图可得，∠1与∠BOC互余，可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可求出∠2的度数．
【详解】
解：∵∠1=28°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=62°，
∵∠2+∠BOC=180°，
∴∠2=118°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是识别图中的余角和补角．
8．如图，，射线是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．随位置的变化而变化
【答案】A
【分析】
先求∠DOC=∠AOC，∠EOC=∠BOC，后利用=∠DOC＋∠EOC计算即可．
【详解】
∵，分别是，的平分线，
∴∠DOC=∠AOC，∠EOC=∠BOC，
∴=∠DOC＋∠EOC=∠AOC＋∠BOC
=（∠AOC＋∠BOC），
∵∠AOC＋∠BOC
=，
∴=×120°=60°，
故选A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了角的平分线，两个的和，熟练掌握用部分等于整体一半的方式表示角的平分线是解题的关键．
9．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，若∠BOD＝150°，则∠BOC的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．150°
B．120°
C．90°
D．60°
【答案】B
【分析】
把∠BOD和∠COD的度数代入∠BOC＝360°﹣∠BOD﹣∠COD，即可求出答案．
【详解】
解：∵∠BOD＝150°，∠DOC＝90°，
∴∠BOC＝360°﹣∠BOD﹣∠COD＝360°﹣150°﹣90°＝120°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了周角，角的有关计算的应用，主要考查学生观察图形的能力和计算能力，注意：1周角＝360°．
10．下列说法正确的有（
）
①角的大小与所画边的长短无关；
②如图，也可用表示
③连接两点的线段叫做这两点之间的距离；
④两点之间线段最短；
⑤如果，那么是的平分线；
⑥点在线段上，若，则点是线段的中点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
利用角的定义可确定①，利用角的表示方法可确定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)②，利用两点之间的距离定义可确定③，利用线段公理可确定④，利用角平分线定义可确定⑤，利用线段中点定义可确定⑥．
【详解】
解：①角的大小与角的张口大小有关与所画边的长短无关正确；
②如图，不可用表示,以B为顶点的角只有一个时才可以,
②不正确；
③两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离,为此连接两点的线段叫做这两点之间的距离不正确；
④两点之间线段最短正确；
⑤如果，如果OC在∠AOB的内部,那么是的平分线；如果OC在∠AOB外,
那么不是的平分线；为此⑤不正确；
⑥点在线段上，若，则点是线段的中点正确．
有3个说法正确①④⑥．
故选择：C．
【点睛】
本题考查角的定义，角的表示方法，两点之间的距离，线段公理，角平分线定义，线段中点定义，是基础题，只有掌握各知识是解题关键．
11．下列说法正确的是（
）．
A．两点之间，直线最短
B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离
C．两条射线组成的图形叫做角
D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
【答案】D
【分析】
根据两点之间线段最短性质，可判断选项
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)A；根据两点之间距离的性质，可判断选项B；根据角的定义分析，可判断选项C；根据直线的性质分析，可判断选项D，即可得到答案．
【详解】
两点之间，线段最短，故选项A错误；
连接两点间的线段长度，叫做这两点的距离，故选项B错误；
具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故选项C错误；
经过两点有一条直线，并且只有一条直线，故选项D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了线段、直线、角的知识；解题的关键是熟练掌握线段、直线、角的性质，从而完成求解．
12．已知一个角是这个角的余角的，则这个角的度数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
设这个角的度数为x，则它的余角为90°-x，再根据题意列出方程，求出x的值即可；
【详解】
解：设这个角的度数为x，则它的余角为90°-x，
依题意得：
，
解得：x=22.5，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是余角的定义，能根据题意列出关于x的方程是解题的关键．
13．下列说法中，正确的是（
）．
A．的相反数是正数
B．两点之间线的长度叫两点之间的距离
C．两条射线组成的图形叫做角
D．两点确定一条直线
【答案】D
【分析】
依据角的概念、直线的性质、相反数的定义以及两点之间的距离的定义进行判断即可；
【详解】
A、-a的相反数不一定是正数，故错误；
B、两点之间的线段的长度叫两点之间的距离，故错误；
C、有公共顶点两条射线组成的图形叫做角，故错误；
D、两点确定一条直线，故正确；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了直线的性质、角的概念、两点之间的距离的定义，掌握相关概念和性质是解题的关键．
14．周末早上，小兰9：00从家里出发去图书馆看书，上午10：30回到家中，这段时间内钟面上的时针转了（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．37.5°
B．45°
C．52.5°
D．60°
【答案】B
【分析】
9时是分针指向12，时针
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)指向9，10：30时分针指向6，时针指向10和11正中间，所以时针走了1.5个大格，因为每个大格所对的角度是30度，所以3个大格之间的夹角是30°×1.5=45°，据此解答即可．
【详解】
解：由分析得出：从上午9：00到上午10：30，钟面上的时针转了：30°×1.5=45°．
故选：B．
【点睛】
解决本题要先分析时针位置的变化，再利用每个大格所对的角度是30度进行解答．
15．如图，已知，，平分，则度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先求出∠AOC=50°，再根据角平分线的定义求出∠AOD即可．
【详解】
解：∵，，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=110°-60°=50°，
∵平分，
∴∠AOD=∠AOC=×50°=25°
故选：A．
【点睛】
主要考查了角平分线的定义和角的运算，要会结合图形找到其中的等量关系．
16．如图，是的平分线，，，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
【答案】D
【分析】
设∠BOD为x°，，得出∠BOC＝2x°，利用角平分线的性质得出∠AOB＝2∠BOC，根据可以求出x°,再求出．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：设∠BOD为x°，则∠COD为3x°，
∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝2x°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠COB＝4x°，
∵∠AOD＝75°，
∴∠AOD=∠BOD+∠AOB＝5
x°＝75°
∴x=15
∴∠AOB＝4×15°＝60°．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了角的计算和角平分线的定义，能够正确得出∠BOC＝2∠BOD是解题的关键．
17．如图，一副三角尺按不同的位置摆放，下列摆放方式中与互补的是（
）
A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
D．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】D
【分析】
根据同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．
【详解】
解：A、图中∠α+∠β＝180°﹣90°＝90°，∠α与∠β互余，故本选项不符合题意；
B、图中∠α＝∠β，不一定互余，故本选项错误；
C、图中∠α+∠β＝180°﹣45°+180°﹣45°＝270°，不是互余关系，故本选项错误；
D、图中∠α+∠β＝180°，互为补角，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了余角和补角，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键．
18．如图，上午8：20，钟表的时针与分针所成的角是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．120°
B．125°
C．130°
D．135°
【答案】C
【分析】
根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．
【详解】
解：8：20时，时针与分针相距4＋＝份，
8：20时，时针与分针所夹的角是30°×＝130°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的分数是解题关键．
19．如图，OC是的平分线，OD是的平分线，且，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据角平分线定义得出∠AOC=2∠COD，∠AOB=2∠AOC，代入求出即可．
【详解】
解：∵OD是的平分线，∠COD=25°，
∴∠AOC=2∠COD=50°，
∵OC是的平分线，
∴∠AOB=2∠AOC=100°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线定义的应用，能理解角平分线定义是解此题的关键．
20．如果与互为余角，与互为补角，那么下列结论：
①，②，③，④．其中正确的是（
）
A．①②
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
【答案】D
【分析】
由与互为余角，与互为补角，可得
再利用等式的基本性质逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】
解：
与互为余角，与互为补角，
故①符合题意；
故②符合题意；
故③符合题意；
＜＞
，故④符合题意；
故选：
【点睛】
本题考查的是互余，互补的含义，等式的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
21．已知，则下列说法正确的是（
）
A．等于
B．的补角为
C．的余角为
D．的余角为
【答案】D
【分析】
根据角的度量，余角和补角的定义计算即可．
【详解】
解：A选项，约等于，故错误；
B选项，的补角为，故错误；
C选项，的余角为，故错误；
D选项，的余角为，故正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了角的度量之间的转换，余角和补角的定义以及角的计算，解题关键是掌握角的度量是60进制，准确理解余角和补角的定义及角的单位转换．【出处：21教育名师】
22．下列语句中正确的是（
）
A．直线AB和直线BA是两条不同的直线
B．连接两点间的线段叫两点的距离
C．一条射线就是一个周角
D．一个角的余角比这个角的补角小
【答案】D
【分析】
根据射线、直线的定义，余角与补角，周角的定义，以及线段的性质即可求解．
【详解】
A、直线AB和直线BA是一条直线，原来的说法是错误的，不符合题意；
B、连接两点间的线段的长度叫两点的距离，原来的说法是错误的，不符合题意；
C、周角的特点是两条边重合成射线．但不能说成周角是一条射线，原来的说法是错误的，不符合题意；
D、一个角的余角比这个角的补角小是正确的，符合题意；
故选：D．
【点睛】
本题考查了射线、直线的定义，余角与补角，周角的定义，以及线段的性质，是基础题，熟记相关概念与性质是解题的关键．21教育名师原创作品
23．如图，平分平分∠BOD，则的大小为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由OE平分，OF平分可知，．即可求出，又由，即可求出的大小．
【详解】
，
，
．
∵OE平分，OF平分．
∴，．
∴，
∵，
∴，即．
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质．根据题意结合角平分线的性质找出角的等量关系是解答本题的关键．
24．下列说法正确的是（ ）
A．锐角的补角一定是钝角
B．一个角的补角一定大于这个角
C．锐角和钝角一定互补
D．两个锐角一定互为余角
【答案】A
【分析】
根据余角和补角的概念判断．
【详解】
解：A、锐角的补角一定是钝角，本选项说法正确；
B、一个角的补角一定大于这个角，本选项说法错误，例如：120°的补角是60°，而60°＜120°；
C、锐角和钝角一定互补，本选项说法错误，例如20°+120°＝140°，20°与120°不互补；
D、两个锐角一定互为余角，本选项说法错误，30°与30°不是互为余角；
故选：A．
【点睛】
此题考查余角和补角的概念，熟记概念是解题的关键．
25．如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠BOA＞∠DOC
B．∠BOA﹣∠DOC＝90°
C．∠BOA+∠DOC＝180°
D．∠BOC≠∠DOA
【答案】C
【分析】
根据角的和差关系以及角的大小比较的方法，并结合图形计算后即可得出结论．
【详解】
解：A.∠BOA与∠DOC的大小不确定，故此结论不成立；
B.∠BOA?∠DOC的值不固定，故此结论不成立；
C.∵是直角三角板，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°，
∴∠BOC＋∠DOC＋∠DOC＋∠DOA＝180°，
即∠DOC＋∠BOA＝180°，故此结论成立；
D.∵是直角三角板，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°，
∴∠BOD
?∠COD＝∠AOC
?∠DOC，
即∠BOC＝∠DOA，故此结论不成立；
故选：C．
【点睛】
本题考查了角的比较与运算，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键．
26．一个角的余角是它的补角的，这个角是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
设这个角的度数是x°，根据题意得出方程，求出方程的解即可．
【详解】
解：设这个角的度数是x°，则，
解得：x=30，即这个角的度数是30°，
故选A．
【点睛】
本题考查了余角和补角，注意：∠A的余角是90°-∠A，∠A的补角是180°-∠A．
27．如图，点为线段外一点，点，，，为上任意四点，连接，，，，下列结论不正确的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．以为顶点的角共有15个
B．若，，则
C．若为中点，为中点，则
D．若平分，平分，，则
【答案】B
【分析】
由于B选项中的结论是,而,因此只要判断和是否相等即可，根据,而,因此得到，由此得出B选项错误．
【详解】
解：以O为顶点的角有个，
所以A选项正确；
，
,
,即
,
所以B选项错误；
由中点定义可得：,,
，
,
,
所以C选项正确；
由角平分线的定义可得：,,
,
,
,
,
,
所以D选项正确，
所以不正确的只有B，
故选：B.
【点睛】
本题综合考查了角和线段的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)相关知识，要求学生能正确判断角以及不同的角之间的关系，能正确运用角平分线的定义，能明确中点的定义，并能正确地进行线段之间的关系转换，考查了学生对相关概念的理解以及几何运算的能力．
28．如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．或
D．或
【答案】C
【分析】
设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或x°，表示出其他角，根据平角列方程即可．
【详解】
解：设∠DOE=x°，射线将分成了角度数之比为的两个角，
当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=x°，=x°，
∵平分，
∴=x°，
∵∠COD=180°，
∴x+x+90+
x=180，
解得，x=45；
∠COF=2∠AOC=45°；
当∠BOD:
∠DOE
=2:1时，∠BOD=2x°，=2x°，
同理，
=2x°，
2x+2x+90+
x=180，
解得：x=18，
∠COF=2∠AOC=72°；
故选：C．
【点睛】
本题考查了角的运算、角的度量和角平分线，解题关键是根据角度比设未知数，表示出其他角，然后根据平角列方程，注意：分类讨论．
29．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同?可组成的角的个数是（
）
A．595
B．406
C．35
D．666
【答案】B
【分析】
设锐角，第1种中间由9条射线，每个小角为，第2种中间由11条射线，每个小角为，第3种中间由14条射线，每个小角为，利用内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同，则，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种,
第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．
【详解】
设锐角
第1种是将分成10等份；中间由9条射线，每个小角为，
第2种是将分成12等份；中间由11条射线，每个小角为，
第3种是将分成15等份，中间由14条射线，每个小角为，
设第1种,
第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，
第一种第m倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同
则，
先看三种分法中同时重合情况除OA，OB外没有重合的，
再看每两种分法重合情况
第1种,
第2种,
，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，
第1种,第3种，，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，
第2种,第3种,
,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，
在中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，
29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=个角．
故选择：B．
【点睛】
本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键．
30．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．或
D．或
【答案】D
【分析】
分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值．
【详解】
解：分两种情况：
①如图平分时，，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
即，
解得；
②如图平分时，，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
即，
解得．
综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5．
故选：．
【点睛】
本题考查角的动态问题，理解题意并分析每个运动状态是解题的关键．
二、填空题
31．如图，点D在∠AOB的平分线OC上，点E在OA上，ED∥OB，∠AOB＝50°，则∠ODE的度数是__．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】25°
【分析】
利用角平分线可得∠BOC＝，然后利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：∵OC平分∠AOB，∠AOB＝50°，
∴∠BOC＝＝25°，
∵ED∥OB，
∴∠EDO＝∠DOB＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，准确计算是解题的关键．
32．已知，，平分，则的大小为___________．
【答案】或
【分析】
分OC在的内部和外部两种情况进行讨论，再利用角平分线的性质和角的和差关系求解即可．
【详解】
解：当OC在的外部时，如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，，
∴∠BOC=∠BOA+∠AOC=80°+30°=110°；
∵平分，
∴
当OC边在∠BOA的内部时，如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，，
∴∠BOC=∠BOA-∠AOC=80°-30°=50°；
∵平分，
∴
故答案为：或
【点睛】
本题考查了角的计算和角平分线的定义，掌握角平分线的性质及角的和差关系是解决本题的关键．
33．如图，射线，，均在内部，且．平分，平分．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
请从A，B两题中任选一题作答．我选择______．
A．若，，则的度数为______．
B．若，则的度数为______．（用含的式子表示）
【答案】A或B
50°
【分析】
A：根据角平分线的定义得到∠COE，∠COD的度数，再利用角的和差计算结果；
B：根据角平分线的定义得到∠COE=∠BOC，∠COD=∠AOC，再利用角的和差计算结果．
【详解】
解：A题：
∵OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，
∴∠BOE=∠COE=∠BOC，∠AOD=∠COD=∠AOC，
又∵∠AOC=30°，∠BOC=130°，
∴∠DOE=∠COE-∠COD
=∠BOC-∠AOC
=（∠BOC-∠AOC）
=×（130°-30°）
=50°；
B题：
∵OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，
∴∠BOE=∠COE=∠BOC，∠AOD=∠COD=∠AOC，
又∵∠AOB=∠BOC-∠AOC，
∴∠DOE=∠COE-∠COD
=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）
=∠AOB
=．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，角的和差，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．21教育网
34．如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝_____°．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】45°．
【分析】
根据角平分线的定义得到∠DOC＝，∠COE＝，根据角的和差即可得到结论．
【详解】
解：∵OD平分，
∴∠DOC＝，
∵OE平分，
∴∠COE＝，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝＝∠AOB＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及有关角的计算，解题关键是熟练掌握角平分线的定义．
35．如图，点E，F分别在长方形的边，上，连接．将长方形沿对折，点A落在处；将对折，点D落在的延长线上的处，得到折痕．若，则________°．21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】20
【分析】
先由翻折的性质得到∠BEA＝∠BEA′，∠DEF＝∠D′EF，从而可知∠BEF＝×180°＝90°，然后根据余角的性质即可得到结论．21
cnjy
com
【详解】
解：由翻折的性质可知：∠BEA＝∠BEA′＝70°，∠DEF＝∠FED′，
∴∠BEF＝∠BEA′＋∠FED′＝∠AEA′＋∠DED′＝×180°＝90°．
∴∠FED′＝90°?∠BEA′＝90°?70°＝20°．
故答案为：20．
【点睛】
本题主要考查的是翻折的性质、余角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．
三、解答题
36．如图∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB．完成下列问题．
（1）求∠AOC和∠BOC的度数．
（2）过点O引一条射线OD，使OD与∠AOB的一边垂直，请直接写出∠COD的度数．（小于平角）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）∠AOC=∠BOC=60°；（2）30°或150°
【分析】
（1）根据角平分线定义即可求出；
（2）当OD⊥OA时，分两种情况，当
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)OD在∠COB内部时，当OD在∠COD外部时，根据∠AOD=90°，∠AOC=60°，利用这两角和与差计算可求；当OD⊥OB时，分两种情况，当OD在∠COA内部时，当OD在∠COA外部时，根据∠BOD=90°，∠BOC=60°，利用这两角的和与差计算即可．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：（1）∵射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝＝60°；
（2）如图，当OD⊥OA时，分两种情况
当OD在∠COB内部时，
∵∠AOD=90°，∠AOC=60°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-60°=30°，
当OD在∠COD外部时，
∵∠AOD=90°，∠AOC=60°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=90°+60°=150°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴∠COD＝30°或150°；
当OD⊥OB时，分两种情况
当OD在∠COA内部时，
∵∠BOD=90°，∠BOC=60°，
∴∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-60°=30°，
当OD在∠COA外部时，
∵∠BOD=90°，∠BOC=60°，
∴∠COD=∠BOD+∠BOC=90°+60°=150°，
∴∠COD＝30°或150°；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故∠COD的度数为30°或150°．
【点睛】
本题考查角平分线定义，两直线垂直，直角，角的和差，掌握以上基本知识是解题关键．
37．已知α的补角是一个锐角，有3人在计算时的答案分别是32°、87°、58°，其中只有一个答案是正确的，求的度数．
【答案】
【分析】
令的答案分别是32°，87°，58°，分别计算出α的值，再找到钝角即可．
【详解】
解：若=32°，则∠α=80°，不合题意；
若=87°，则∠α=217.5°，不合题意；
若=58°，则∠α=145°，所以∠α=145°．
【点睛】
本题考查了角的计算，根据题意列出方程是解题的关键．
38．如图，从点O引出6条射线，，，，，，且，平分，平分，．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若，则_________（用含m的代数式表示）；
（2）求的度数．
【答案】（1）（105-m）；（2）45°
【分析】
（1）利用周角的定义，根据∠AOE=360°-∠AOB-∠EOF-∠BOF得出结果；
（2）设∠BOF=α，∠AOE=β，根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)据角平分线的定义得到∠COF=∠BOF=α，∠DOE=∠AOE=β，求出∠BOF+∠AOE=105°，根据∠EOF得到α+β+∠COD=150°，结合α+β=105°即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵∠AOB=120°，∠EOF=135°，∠BOF=m°，
∴∠AOE=360°-∠AOB-∠EOF-∠BOF
=360°-120°-135°-m°
=（105-m）°；
（2）设∠BOF=α，∠AOE=β，
∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，
∴∠COF=∠BOF=α，∠DOE=∠AOE=β，
∵∠EOF=∠COF+∠DOE+∠COD=150°，
∠BOF+∠AOE=360°-∠AOB-∠EOF=360°-120°-135°=105°，
∴α+β+∠COD=150°，α+β=105°，
∴∠COD=150°-（α+β）=45°．
【点睛】
本题考查了角度的计算，角平分线的定义，求角度的方法一般是转化为角的和、差计算．
39．如图，点O在直线上，，若平分．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的度数；
（2）若，这样的射线有几条？请在图中画出，并求出的度数．
【答案】（1）70°；（2）2条；见解析；160°或20°
【分析】
（1）先利用平角的定义得出∠BOC，再利用角平分线的性质即可
（2）分成两种情况，OE在AB的上方或者下方，再利用角的和差关系计算即可
【详解】
解：（1）∵点O在直线上，
∴是平角，，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）两条；如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当在上方时，∵，，
∴；
当在下方时，∵，，
∴．
【点睛】
本题考查角的和差关系，角平分线的性质、平角的定义，观察图形发现角与角之间的和差关系是关键，分类讨论思想是易错点也是难点
40．（1）如图，指出是表示什么方向的一条射线？
（2）仿照（1）中射线画出表示下列方向的射线：
①南偏东（用射线表示）；
②北偏西（用射线表示）；
③西南方向（用射线表示）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）表示北偏东方向的射线；（2）作图见解析.
【分析】
（1）根据方位角定义，即可解答；
（2）①根据方位角定义，画出图形即可；②根据方位角定义，画出图形即可；③根据方位角定义，画出图形即可.
【详解】
（1）表示北偏东方向的射线；
（2）①②③作图如下：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了方向角，熟记方向角的定义是解答此题的关键.
41．如图，射线OC在∠AOB的内部，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如果∠AOB＝140°，∠AOC＝60°，那么∠MON是多少度？
（2）请写出∠MON与∠BOC的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠MON＝40°；（2）∠MON＝∠BOC．理由见解析．
【分析】
（1）根据角平分线的定义求得∠AOM及∠AON的度数，再由角之间的和差关系计算即可；
（2）根据角平分线的定义表示出∠AOM及∠AON，再由角之间的和差关系即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵射线OC在∠AOB的内部，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线，且∠AOB＝140°，∠AOC＝60°，21·世纪
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∴∠AOM＝∠AOB＝×140°＝70°，∠AON＝∠AOC＝×60°＝30°，
∴∠MON＝∠AOM－∠AON＝70°－30°＝40°；
（2）∠MON＝∠BOC，理由如下：
∵射线OC在∠AOB的内部，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线，
∴∠AOM＝∠AOB，∠AON＝∠AOC，
∴∠MON＝∠AOM－∠AON＝(∠AOB－∠AOC)＝∠BOC．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和角度的和差倍分计算，熟练掌握并运用角平分线定义是解题的关键．
42．在同一平面内已知∠AOB＝150°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD．
（1）当∠COD的位置如图1所示时，且∠EOC＝35°，求∠AOD的度数；
（2）当∠COD的位置如图2所示时，作∠AOC的角平分线OF，求∠EOF的度数；
（3）当∠COD的位置如图3所示时，若∠
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)AOC与∠BOD互补，请你过点O作射线OM，使得∠COM为∠AOC的余角，并求出∠MOE的度数．（题中的角都是小于平角的角）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）40°；（2）150°；（3）见解析，∠MOE的度数为105°或135°．
【分析】
（1）先求出∠EOD＝55°，再求出∠BOD＝110°，即可求出∠AOD＝40°；
（2）先求出∠AOC+∠BOD＝120°，再求出∠COF+∠DOE＝60°，即可求出∠EOF＝150°；
（3）先求出∠AOC＝30°，再求出∠DOE＝∠BOE＝75°，分图3和备用吐两种情况讨论即可求解．
【详解】
解：（1）∵∠COD＝90°，∠EOC＝35°，
∴∠EOD＝55°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠EOD＝110°，
∴∠AOD＝∠AOB﹣∠BOD＝40°；
（2）∵∠AOB＝150°，∠COD＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝360°﹣150°﹣90°＝120°，
∵OF平分∠AOC，OE平分∠BOD，
∴∠COF＝AOC，∠DOE＝BOD，
∴∠COF+∠DOE＝60°，
∴∠EOF＝60°+90°＝150°；
（3）设∠AOC＝α，
∵∠AOB＝150°，∠COD＝90°，
∴∠AOD＝90°﹣α，∠BOC＝150°﹣α，
∵∠AOC与∠BOD互补，
∴∠AOC+∠BOD＝180°，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∴90°﹣α+150°﹣α＝180°，
∴α＝30°，
即∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝150°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOE＝75°，
如图3，∵∠COM为∠AOC的余角，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴∠COM＝60°，
∴∠DOM＝30°，
∴∠MOE＝∠MOD+∠DOE＝30°+75°＝105°，
如备用图，∵∠COM为∠AOC的余角，
∴∠COM＝60°，
∠BOM＝60°，
∴∠MOE＝∠BOM+∠BOE＝60°+75°＝135°；
综上所述，∠MOE的度数为105°或135°．
【点睛】
本题考查了余角和补角的知识，角平分线的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键．
43．如图，O为直线DA上一点，∠AOB＝130°，OE为∠AOB的平分线，∠COB＝90°，求∠AOC和∠EOC的度数．
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【答案】∠AOC＝40°，∠EOC＝25°
【分析】
根据角平分线的性质，得；再根据角的和差性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵∠AOB＝130°，OE是∠AOB的平分线，
∴
∵∠COB＝90°，
∴
∴．
【点睛】
本题考查了角的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、角的和差的性质，从而完成求解．
44．对“如果和都是的余角，那么”的说理过程，在括号内填上依据．
理由：因为（已知），
所以（等式的性质）．
因为
，
所以（
）．
所以（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】已知，等式的性质，等量代换
【分析】
根据各步前后式的逻辑关系写出依据．
【详解】
，理由如下：
因为（已知），
所以（等式的性质）．
因为（已知），
所以（等式的性质）．
所以（等量代换）．
故答案为：已知，等式的性质，等量代换．
【点睛】
本题考查推理步骤的应用，根据各步前后式的逻辑关系写出推理依据是解题关键
．
45．如图，是直线上的一点，射线，分别平分和．
（1）说出图中互余的角；
（2）已知，求的度数．
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【答案】（1）与互余，与互余，与互余，与互余；（2）32°
【分析】
（1）由题意可以计算图中和为90°的角，然后根据余角的定义可以得到解答；
（2）根据图中各角之间的关系求解．
【详解】
（1），、分别平分和，
，，
，
与互余，与互余，与互余，与互余；
（2），
，
，
．
【点睛】
本题考查角平分线的综合应用，熟练掌握角平分线的意义、余角和补角的意义是解题关键．
46．已知，直线AB//CD，∠EFG＝90°．
（1）如图1，点F在AB上，FG与CD交于点N，若∠EFB＝65°，则∠FNC＝
°；
（2）如图2，点F在AB与CD之间，EF与AB交于点M，FG与CD交于点N．∠AMF的平分线MH与∠CNF的平分线NH交于点H．
①若∠EMB＝α，求∠FNC（用含α的式子表示）；
②求∠MHN的度数．
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【答案】（1）25；（2）①∠FNC＝90°﹣α；②45°．
【分析】
（1）根据平行线的性质和互余解答即可；
（2）①过F作FP//AB，根据平行线的性质解答即可；
②过F作FQ//AB，根据平行线的性质解答即可．
【详解】
（1）∵∠EFG＝90°，∠EFB＝65°，
∴∠BFD＝90°﹣65°＝25°，
∵AB//CD，
∴∠FNC＝∠BFD＝25°，
故答案为：25；
（2）①如图，过F作FP//AB，连接EG，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB//CD，
∴AB//CD//FP，
∴∠MFP＝∠EMB＝α，
又∵∠EFG＝90°，
∴∠PFN＝90°﹣α，
∵FP//CD，
∴∠FNC＝∠PFN＝90°﹣α；
②如图，过F作FQ//AB，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵AB//CD，
∴AB//CD//FQ，
∴∠MFQ＝∠AMF，∠QFN＝∠CNF，
∴∠AMF+∠CNF＝∠MFQ+∠QFN＝∠EFG＝90°，
过H作HR//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//HR，
∴∠AMH＝∠MHR，∠HNC＝∠NHR，
又∵MH平分∠AMF，NH平分∠CNF，
∴∠AMH＝∠AMF，∠HNC＝∠CNF，
∴∠MHN＝∠MHR+∠NHR＝∠AMH+∠HNC＝（∠AMF+∠CNF）＝×90°＝45°．
【点睛】
本题考查平行线的性质、角平分线的性质、角的和差等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
47．如图，已知∠AOB内部有三条射线，若OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若∠AOB＝100°，求∠EOC的度数；
（2）若∠AOB＝70°，如果将题中“平分”的条件改为且∠DOE：∠DOC＝3：2，求∠EOC的度数．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；
（2）根据∠DOE：∠DOC＝3：2，设∠DOE＝3x，∠DOC＝2x，根据条件分别求出∠EOD，∠DOC即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵OE平分∠AOD，OC平分∠BOD，
∴∠EOD＝∠AOD，∠DOC＝∠DOB，
∴∠EOC＝（∠AOD+∠DOB）＝∠AOB，
∵∠AOB＝100°，
∴∠EOC＝50°；
（2）∵∠DOE：∠DOC＝3：2，
∴设∠DOE＝3x，∠DOC＝2x，
∵∠DOC＝∠DOB，
∴∠DOB：∠DOC＝3：2，
∴∠DOB＝3x＝∠DOE，
∵∠EOA＝∠AOD，
∴∠AOD＝4x，
∵∠AOB＝100°，
∴3x+4x＝70°，
∴x＝10°，
∴∠EOC＝∠EOD+∠DOC＝5x＝50°．
【点睛】
本题考查了与角平分线有关的角的计算，掌握角平分线的定义及角的和差关系是求解的关键．
48．填空，完成下列说理过程：
如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．
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（1）求的度数；
（2）如果，求的度数．
【答案】（1）90°；（2）155°
【分析】
（1）由已知条件和观察图形，再利用角平分线的性质就可求出角的度数；
（2）由已知条件和观察图形，再利用角平分线的性质就可求出角的度数．
【详解】
解：（1）因为是的平分线，
所以，
因为是的平分线，
所以，
所以；
（2）由（1）可知，
因为，
所以，
则：．
【点睛】
本题考查角平分线的定义、平角的定义，互余、互补的意义以及角的和差关系，通过图形直观得出各个角之间的关系式正确解答的关键．www.21-cn-jy.com
49．如图所示，已知，平分，把分为2：5的两部分，求的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】30°
【分析】
根据角平分线的定义求得，然后根据角的倍数关系及角的和差列方程求解．
【详解】
解：∵平分，
∴
由题意
∴设的度数为2x，则的度数为5x
∵
∴
解得：
∴=40°，=70°
∴=
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用及角的和差计算，理解题意，正确列方程求解是解题关键．
50．如图，射线OC、OD把AOB分成
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三个角，且度数之比是∠AOC：∠COD：∠DOB=2：3：4，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，且OM⊥ON．2·1·c·n·j·y
（1）求∠COD的度数；
（2）求∠AOB的补角的度数．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）；（2）∠AOB的补角的度数为45°
【分析】
（1）可设∠AOC、∠COD、∠DOB的角度分别为2k、3k、4k，由题意可以列出关于k的方程，求出k值即可得到∠COD的度数；21·cn·jy·com
（2）由（1）可以得到∠AOC、∠COD、∠DOB的度数，从而得到∠AOB的度数，进而求得∠AOB的补角的度数．2-1-c-n-j-y
【详解】
解：（1）∵∠AOC：∠COD：∠DOB=2：3：4，
∴可设∠AOC、∠COD、∠DOB的角度分别为2k、3k、4k，
∵OM⊥ON，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，
∴∠MON=k+3k+2k=90°，
∴k=15°，
∴∠COD=3k=45°；
（2）由（1）可以得到：
∠AOC=2k=30°，∠DOB=4k=60°，
∴∠AOB=∠AOC+∠COD+∠DOB=135°，
∴180°-∠AOB=45°，
∴∠AOB的补角为45°．
【点睛】
本题考查角度运算与比的综合应用，根据比的意义用未知数表示各角度后再根据各角的大小关系列出方程，求出未知数后即可得到各角度大小
．【来源：21cnj
y.co
m】
51．如图所示，平分，平分．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）据角平分线的定义求得∠AOC和∠COE的度数，再相加可得∠AOE的度数；
（2）据角平分线的定义和得到，再由求得的度数，最后由平分求得的度数．
【详解】
解（1）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵平分，
∴
∵平分，
∴
∴；
（2）如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵
∴
∵平分
∴
∴
又
∴
∵平分
∴．
【点睛】
此题考查角平分线的定义和角的有关运算，理解角平分线的定义和结合图形能进行角的加减是关键．
52．如图，O是直线AB上的一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）指出图中∠AOD的补角
（2）若∠BOC=68°，求∠EOC的度数
（3）直接写出∠BOD与∠AOE的数量关系．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）∠AOD的补角是∠BOD和∠COD
；（2）56°；（3）∠BOD+∠AOE=90°．
【分析】
（1）根据互为补角的和等于180°找出即可；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
（2）先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义解答；
（3）根据角平分线的定义表示出∠BOD与∠AOE，然后整理即可得解．
【详解】
解：（1）∵∠AOD+∠BOD＝180°，OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD，
∴∠AOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD的补角是∠BOD和∠COD
（2）∵∠BOC=68°
∴∠AOC=180°-68°=112°
∵OE平分∠AOC
∴∠EOC=∠AOC
即∠EOC=56°
（3）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠BOD＝∠BOC，∠AOE＝∠AOC，
∴∠BOD+∠AOE＝（∠BOC+∠AOC）＝×180°＝90°，
∴∠BOD与∠AOE的数量关系是∠BOD+∠AOE=90°（或互余）．
【点睛】
本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．
53．如图，在直线AD上任取一点O，过点O做射线OB，OE平分∠DOB，OC平分∠AOB，∠BOC＝26°时，求∠BOE的度数．
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【答案】
【分析】
根据角平分线定义求出∠AOB度数，再根据角互补关系求出∠DOB度数，最后利用角平分线定义可求∠BOE度数．
【详解】
解：∵OC平分∠AOB，∠BOC＝26°，
∴∠AOB＝2∠BOC＝52°．
∴∠BOD＝180°﹣52°＝128°．
∵OE平分∠DOB，
∴∠BOE＝∠DOB＝×128°＝64°．
【点睛】
本题主要考查余角与补角以及角平分线的定义，正确找到角的和差倍分关系是解题的关键．
54．已知点是直线上一点，，是的平分线．
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（1）如图1，当时，求的度数；
（2）当和射线在如图2所示的位置，且题目条件不变时．
①求与之间的数量关系；
②直接写出的值．
【答案】（1）10°；（2）①；②60°
【分析】
（1）利用角平分线的定义以及角的和差计算即可求解；
（2）利用角平分线的定义以及角的和差列式即可；
（3）利用邻补角的定义结合（2）的结论即可求解．
【详解】
解：（1）∵，，
∴，．
∵是的平分线，
∴，
∴；
（2）①∵是的平分线，
∴，
∴；
②∵∠BOE=180-∠AOE，
∴∠BOE-2∠COF=180-∠AOE-2(60-∠AOE)
=180-∠AOE-120+∠AOE
．
【点睛】
本题考查了角的计算，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
55．如图，已知为所在平面内一条射线，平分，平分．
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（1）如图1，当在内部时，则_______度（直接写出结果）；
（2）如图2，当在外部时，求的度数；
（3）如图3，射线和所在的直线分别为直线和直线，当在内部时，根据题意画出符合要求的图形，并求出的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）画图见解析，
【分析】
（1）由平分，平分，可得
再利用，从而可得答案；
（2）由平分平分，可得
再利用，从而可得答案；
（3）如图所示，由平分平分，可得
再求解再利用，从而可得答案．
【详解】
解：（1）
平分，平分，
故答案为：
（2）平分平分，
（3）如图所示．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
平分平分，
【点睛】
本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，周角的含义，掌握角平分线的含义与角的和差是解题的关键．
56．已知О为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线OC、OD、OE．
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（1）如图1，若OC平分，且，，求的度数．
（2）如图2，若，过点О引射线OF平分，是的平分线，且，求的度数．
【答案】（1）60°；（2）36°
【分析】
（1）设∠DOE=x，则∠BO
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E=3x，进而可求得∠AOD=180°﹣4x，根据角平分线的定义可求得∠COD=90°﹣2x，由∠COE=∠COD+∠DOE=70°求得x值即可解答；
（2）可设∠BOD=3k，∠COD=2k，则∠BOC=5k，根据角平分线的定义可得∠COF=∠FOD=k，∠COE=∠BOE=k，由∠DOE=12°可求得k值，进而可求得∠EOF的度数．
【详解】
解：（1）设∠DOE=x，则∠BOE=3x，
∴∠AOD=180°﹣4x，
∵OC平分∠AOD，
∴∠COD=
∠AOD=90°﹣2x，
∵∠COE=∠COD+∠DOE=90°﹣2x+x=90°﹣x=70°，
∴x=20°，
∴∠BOE=3x=60°；
（2）设∠BOD=3k，∠COD=2k，则∠BOC=5k，
∵OF平分，平分，
∴∠COF=∠FOD=k，∠COE=∠BOE=k，
∵∠DOE=∠COE﹣∠COD=k﹣2k=k=12°，
∴k=24°，
∴∠EOF=∠FOD+∠DOE=24°+12°=36°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、角的计算等知识，熟练掌握角平分线的定义，根据角之间的比例关系巧妙设未知数是解答的关键．
57．已知：，做射线，是的角平分线，是的角平分线．
（1）如图①，当时，求的度数；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①
（2）如图②，若射线在内部绕点旋转，当时，求的度数；
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②
（3）若射线在外绕点旋转且为钝角时，求的度数．
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【答案】（1）45°；（2）45°；（3）45°或135°
【分析】
（1）由∠BOC的度数求出∠AOC的度数，利用角平分线定义求出∠COD与∠COE的度数，相加即可求出∠DOE的度数；
（2）∠DOE度数不变，理由为：利
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)用角平分线定义得到∠COD为∠AOC的一半，∠COE为∠COB的一半，而∠DOE＝∠COD+∠COE，即可求出∠DOE度数为45度；
（3）分两种情况考虑，同理如图3，则∠DOE为45°；如图4，则∠DOE为135°．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵、分别平分和，
∴，，
∴；
（2）的大小不变，理由是：
∵，
∴
又∵，分别是与的平分线
∴，
∴．
（3）的大小发生变化情况为，
如图3，则为45°；如图4，则为135°，
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分两种情况：如图3所示，
∵、分别平分和，
∴，，
∴；
如图4所示，
∵，分别是与的平分线
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴．
【点睛】
此题考查了角的计算，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．容易出错的地方是解（3）小题漏掉其中的一种情况．
58．将一副三角板按图甲的位置放置，
（1）∠AOD
∠BOC（选填“＜”或“＞”或“＝”）；
（2）
猜想∠AOC和∠BOD在数量上的关系是
．
（3）若将这副三角板按图乙所示摆放，三角板的直角顶点重合在点O处．（1）（2）中的结论还成立吗？请说明理由．
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【答案】（1）∠AOD=∠BOC；（2）∠AOC+∠BOD=180°；（3）任然成立，理由如见解析
【分析】
（1）根据角的和差关系解答，
（2）利用周角的定义和直角解答；
（3）根据同角的余角相等解答
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)∠AOD和∠BOC的关系，根据图形，表示出∠BOD+∠AOC=∠BOD+∠AOB+∠COB整理即可得到原关系仍然成立．【版权所有：21教育】
【详解】
解：(1)∠AOD和∠BOC相等,
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB+∠BOD=∠COD+∠BOD，
∴∠AOD=∠COB；
(2)∠AOC和∠BOD互补
．
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠BOD+∠AOC=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，
∴∠AOC和∠BOD互补；
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⑶成立．
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOB-∠BOD=∠COD-∠BOD，
∴∠AOD=∠COB，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠BOD+∠AOC=∠BOD+∠AOB+∠COB，
=90°+∠BOD+∠COB，
=90°+∠DOC，
=90°+90°，
=180°．
【点睛】
本题主要考查角的和、差关系，互余互补的角关系，理清角的和或差，互余与互补关系是解题的关键．
59．如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点A落在处，EF为折痕，点F在线段AD上，且点F不与点D重合，点E在线段AB上，此时∠AFE和∠AEF互为余角，若恰好平分∠FEB，回答下列问题．
（1）求∠AEF的度数；
（2）∠＝
度．
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【答案】（1）60°；（2）120
【分析】
（1）根据折叠的性质以及角平分线的定义可知∠AEF＝∠A'EF＝∠A'EB，再根据平角的定义求解即可；
（2）根据折叠的性质、互余的定义以及（1）的结论可得∠AFA'的度数，进而得出∠A'FD的度数．
【详解】
解：（1）根据折叠的性质可得∠AEF＝∠A'EF，
∵EA'恰好平分∠FEB，
∴∠AEF＝∠A'EF＝∠A'EB，
∵∠AEF+A'EF+∠A'EB＝180°，
所以∠AEF＝60°；
（2）∵∠AFE和∠AEF互为余角，
∴∠AFE＝90°﹣∠AEF＝30°，
根据折叠的性质可得∠AFA'＝2∠AFE＝60°，
∴∠A'FD＝180°﹣∠AFA'＝120°．
故答案为：120．
【点睛】
本题主要考查了角的计算问题，掌握折叠的性质并理清相关角的关系是解答本题的关键．
60．已知直角三角板ABC和直角三角板DEF，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠ABC＝45°，∠DEF＝60°．
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（1）如图1，将顶点C和顶点D重合，保持三角板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转，当CF平分∠ACB时，求∠BCE的度数；21cnjy.com
（2）在（1）的条件下，继续旋转三角板DEF，猜想∠ACF与∠BCE有怎样的数量关系？并利用图2所给的情形说明理由；
（3）如图3，将顶点C和顶点E重合，保持三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)板ABC不动，将三角板DEF绕点C旋转当CA落在∠DCF内部时，直接写出∠ACD与∠BCF的数量关系．
【答案】（1）45°；（2）∠ACF＝∠BCE，理由见解析；（3）∠ACD＝∠BCF﹣30°
【分析】
（1）利用角平分线的性质求出，然后利用余角的性质求解．
（2）依据同角的余角相等即可求解．
（3）分别用∠ACD与∠BCF表示出∠ACF，即可求解．
【详解】
解：（1）∵CF是∠ACB的平分线，∠ACB＝90°
∴∠BCF＝90°÷2＝45°
又∵∠FCE＝90°，
∴∠BCE＝∠FCE﹣∠BCF＝90°﹣45°＝45°；
（2）∵∠BCF+∠ACF＝90°，
∠BCE+∠BCF＝90°，
∴∠ACF＝∠BCE；
（3）∵∠FCA＝∠FCD﹣∠ACD＝60°﹣∠ACD，
∠FCA＝∠ACB﹣∠BCF＝90°﹣∠BCF，
∴60°﹣∠ACD＝90°﹣∠BCF，
∠ACD＝∠BCF﹣30°．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，角与角之间的关系，同角的余角相等的性质．要善于观察顶点相同的角之间关系．
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精品试卷·第
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