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第四讲
角的比较
【提升训练】
一、单选题
1．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．114°
B．142°
C．147°
D．156°
【答案】C
【分析】
根据平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理计算即可；
【详解】
∵CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，
∴，
∵a∥b，
∴，
又∵BC平分∠ABD，
∴，
∴；
故答案选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质和三角形内角和定理，准确计算是解题的关键．
2．若∠1=36°5′，∠2=36.5°，则∠1与∠2的大小关系是（
）
A．∠1=∠2
B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2
D．无法确定
【答案】C
【分析】
先把两个角统一化为度、分的形式，再比较即可得答案．
【详解】
∵36.5°=36°30′，36°30′＞36°5′，
∴∠1＜∠2，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是角的大小比较，解答本题的关键是先统一形式，注意以60为进制．
3．如图，是的平分线，，，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据角平分线的定义及已知条件即可求解．
【详解】
解：设∠DOB=k，
∵，
∴∠BOC=2k，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠COA=∠BOC=2k，
∴∠AOD=∠DOB+∠BOC+∠COA=5k，
∵∠BOD=18°，
∴∠AOD=5×18°=90°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义及角的计算，本题的解题关键是根据已知条件找出角度的关系，即可得出答案．
4．如图，三角板直角顶点O在直线上，是的角平分线，若的度数为y，的度数为x，则x与y满足的等量关系为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先求出=180°-y，结合角平分线的定义，可得=90°-
y，进而即可得到结论．
【详解】
∵的度数为y，
∴=180°-y，
∵是的角平分线，
∴==(180°-y)=90°-
y，
∵=90°，的度数为x，
∴90°-
y+x=90°，即：．
故选B．
【点睛】
本题主要考查角的和差倍分运算，熟练掌握角平分线的定义以及角的和差倍分运算，是解题的关键．
5．如图所示，∠1＝28°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．128°
B．118°
C．108°
D．152°
【答案】B
【分析】
由图可得，∠1与∠BOC互余，可求∠BOC，又因为∠2与∠COB互补，即可求出∠2的度数．
【详解】
解：∵∠1=28°，∠AOC=90°，
∴∠BOC=62°，
∵∠2+∠BOC=180°，
∴∠2=118°．
故选：B．
【点睛】
此题考查了余角和补角的知识，属于基础题，关键是识别图中的余角和补角．
6．如图，，射线是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，则的度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．随位置的变化而变化
【答案】A
【分析】
先求∠DOC=∠AOC，∠EOC=∠BOC，后利用=∠DOC＋∠EOC计算即可．
【详解】
∵，分别是，的平分线，
∴∠DOC=∠AOC，∠EOC=∠BOC，
∴=∠DOC＋∠EOC=∠AOC＋∠BOC
=（∠AOC＋∠BOC），
∵∠AOC＋∠BOC
=，
∴=×120°=60°，
故选A．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了角的平分线，两个的和，熟练掌握用部分等于整体一半的方式表示角的平分线是解题的关键．
7．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，若∠BOD＝150°，则∠BOC的度数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．150°
B．120°
C．90°
D．60°
【答案】B
【分析】
把∠BOD和∠COD的度数代入∠BOC＝360°﹣∠BOD﹣∠COD，即可求出答案．
【详解】
解：∵∠BOD＝150°，∠DOC＝90°，
∴∠BOC＝360°﹣∠BOD﹣∠COD＝360°﹣150°﹣90°＝120°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了周角，角的有关计算的应用，主要考查学生观察图形的能力和计算能力，注意：1周角＝360°．
8．下列说法正确的有（
）
①角的大小与所画边的长短无关；
②如图，也可用表示
③连接两点的线段叫做这两点之间的距离；
④两点之间线段最短；
⑤如果，那么是的平分线；
⑥点在线段上，若，则点是线段的中点．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】
利用角的定义可确定①，利用
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角的表示方法可确定②，利用两点之间的距离定义可确定③，利用线段公理可确定④，利用角平分线定义可确定⑤，利用线段中点定义可确定⑥．【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：①角的大小与角的张口大小有关与所画边的长短无关正确；
②如图，不可用表示,以B为顶点的角只有一个时才可以,
②不正确；
③两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离,为此连接两点的线段叫做这两点之间的距离不正确；
④两点之间线段最短正确；
⑤如果，如果OC在∠AOB的内部,那么是的平分线；如果OC在∠AOB外,
那么不是的平分线；为此⑤不正确；
⑥点在线段上，若，则点是线段的中点正确．
有3个说法正确①④⑥．
故选择：C．
【点睛】
本题考查角的定义，角的表示方法，两点之间的距离，线段公理，角平分线定义，线段中点定义，是基础题，只有掌握各知识是解题关键．
9．如图，已知，，平分，则度数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先求出∠AOC=50°，再根据角平分线的定义求出∠AOD即可．
【详解】
解：∵，，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=110°-60°=50°，
∵平分，
∴∠AOD=∠AOC=×50°=25°
故选：A．
【点睛】
主要考查了角平分线的定义和角的运算，要会结合图形找到其中的等量关系．
10．如图，是的平分线，，，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
【答案】D
【分析】
设∠BOD为x°，，得出∠BOC＝2x°，利用角平分线的性质得出∠AOB＝2∠BOC，根据可以求出x°,再求出．
【详解】
解：设∠BOD为x°，则∠COD为3x°，
∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝2x°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠COB＝4x°，
∵∠AOD＝75°，
∴∠AOD=∠BOD+∠AOB＝5
x°＝75°
∴x=15
∴∠AOB＝4×15°＝60°．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了角的计算和角平分线的定义，能够正确得出∠BOC＝2∠BOD是解题的关键．
11．如图，OC是的平分线，OD是的平分线，且，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据角平分线定义得出∠AOC=2∠COD，∠AOB=2∠AOC，代入求出即可．
【详解】
解：∵OD是的平分线，∠COD=25°，
∴∠AOC=2∠COD=50°，
∵OC是的平分线，
∴∠AOB=2∠AOC=100°，
故选：D．
【点睛】
本题考查了角平分线定义的应用，能理解角平分线定义是解此题的关键．
12．如图，平分平分∠BOD，则的大小为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由OE平分，OF平分可知，．即可求出，又由，即可求出的大小．
【详解】
，
，
．
∵OE平分，OF平分．
∴，．
∴，
∵，
∴，即．
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线的性质．根据题意结合角平分线的性质找出角的等量关系是解答本题的关键．
13．如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠BOA＞∠DOC
B．∠BOA﹣∠DOC＝90°
C．∠BOA+∠DOC＝180°
D．∠BOC≠∠DOA
【答案】C
【分析】
根据角的和差关系以及角的大小比较的方法，并结合图形计算后即可得出结论．
【详解】
解：A.∠BOA与∠DOC的大小不确定，故此结论不成立；
B.∠BOA?∠DOC的值不固定，故此结论不成立；
C.∵是直角三角板，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°，
∴∠BOC＋∠DOC＋∠DOC＋∠DOA＝180°，
即∠DOC＋∠BOA＝180°，故此结论成立；
D.∵是直角三角板，
∴∠BOD＝∠AOC＝90°，
∴∠BOD
?∠COD＝∠AOC
?∠DOC，
即∠BOC＝∠DOA，故此结论不成立；
故选：C．
【点睛】
本题考查了角的比较与运算，正确根据图形进行角的运算与比较是解题的关键．
14．把一副三角板按如图所示方式拼在一起，并作的平分线，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．120°
B．60°
C．30°
D．15°
【答案】C
【分析】
根据角平分线的定义和角的和差计算即可．
【详解】
解：∵一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°，
∴∠ABE＝∠ABC＋∠CBE＝30°＋90°＝120°，
∵BM平分∠ABE，
∴∠ABM＝∠ABE＝×120°＝60°，
∴∠CBM＝∠ABM?∠ABC＝60°?30°＝30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和角的计算．解题的关键是掌握角平分线的定义，明确一副三角板所对应的角度是60°，45°，30°，90°．
15．如图，是一副三角板的摆放图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠BAE=，则的大小是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据∠BAC=60°，∠BAE=，求出∠EAC的度数，再根据∠CAD=90°-∠EAC，即可求出∠CAD的度数
【详解】
解：∵∠BAC=60°，∠BAE=，
∴∠EAC=60°-=43°20′，
∵∠EAD=90°，
∴∠CAD=90°-∠EAC=90°-43°20′=46°40′；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了度分秒的换算，关键是求出∠EAC的度数，是一道基础题．
16．有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段，则是线段的中点；③在同一平面内，，，；④两点之间，线段最短．其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【分析】
根据平角的定义、中点定义、角的和差以及两点之间，线段最短的性质直接判断即可．
【详解】
解：①直线是一个平角，角是由有公共端点的两条射线组成的，故错误；
②如果线段，则是线段的中点；M不一定在线段AC上，故错误；
③在同一平面内，，，；射线OC不一定在∠AOB内部，故错误；
④两点之间，线段最短．正确，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平角的定义、线段中点的定义、角的和差和线段的性质，准确掌握定义，画出图形是解题关键．
17．如图，直线交于点，已知于点平分，若，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．71°
B．72°
C．73°
D．74°
【答案】D
【分析】
根据垂直的定义得∠AOE=∠BO
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)E=90°，由角平分线的定义和对顶角的性质可得∠AOD=∠BOC=2∠COF．把∠DOE=∠AOD+90°，
∠EOF=90°-∠BOF=90°-∠COF代入∠DOE=3∠EOF+5°可求出∠COF，进而可求出∠AOD的值．
【详解】
解：∵，
∴∠AOE=∠BOE=90°．
∵平分，
∴∠AOD=∠BOC=2∠COF．
∵∠DOE=∠AOD+90°，
∠EOF=90°-∠BOF=90°-∠COF，
，
∴∠AOD+90°=3(90°-∠COF)+5°，
∴2∠COF+90°=270°-3∠COF+5°，
∴∠COF=37°，
∴∠AOD=2×37°=74°．
故选D．
【点睛】
本题考查了角的和差，以及角平分线的定义，正确识图是解答本题的关键．
18．如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠COD，∠AOD＝75°，则∠BOD＝（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．35°
B．25°
C．20°
D．15°
【答案】B
【分析】
根据角平分线的定义和∠BOD＝∠COD，用∠BOD表示其它的角，再利用∠AOD＝75°即可求得∠BOD的度数．
【详解】
解：∵∠BOD＝∠COD，
∴∠BOC=2∠BOD，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC=∠BOC=2∠BOD，
∵∠AOD＝75°，
∴∠BOD+2∠BOD=75°，即∠BOD=25°，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义及角的计算，本题的解题关键是根据已知条件找出角度的关系，即可得出答案．
19．已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC是∠AOB的平分线的是（
）
A．∠AOC=∠BOC
B．∠AOB=2∠AOC
C．∠AOC+∠COB=∠AOB
D．∠BOC=∠AOB
【答案】C
【分析】
直接利用角平分线的定义分别分析得出答案．
【详解】
如图：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A、∠AOC＝∠BOC，能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意；
B、∠AOB＝2∠AOC，能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意；
C、∠AOC＋∠COB＝∠AOB，不能确定OC平分∠AOB，故此选项符合题意；
D、∠BOC＝∠AOB，能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键．
20．如图，是内的一条射线，、分别平分、，若，，则的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据角平分线定义得出∠DOA=∠AOB，∠EOA=∠AOC，求出∠DOE=∠DOA-∠EOA=∠BOC，代入求出即可．21教育名师原创作品
【详解】
解：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，∠AOC=m°，∠BOC=n°，
∴∠DOA=∠AOB，∠EOA=∠AOC，
∴∠DOE=∠DOA-∠EOA=∠AOB-∠AOC=（∠AOB-∠AOC）=∠BOC=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，主要考查学生的推理能力，数形结合思想的运用．
21．如图，∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，下列四个等式中正确的是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠COB＝∠BOA；④∠COD＝3∠COB．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【答案】C
【分析】
根据∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，得到∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，进而得到∠BOC=∠AOB，∠DOC＝3∠BOC从而判断出①②错误，③④正确．
【详解】
解：因为∠AOB＝∠BOD，
所以∠AOB=∠AOD，
因为OC平分∠AOD，
所以∠AOC=∠DOC=∠AOD，
所以∠BOC=∠AOC－∠AOB＝∠AOD－∠AOD=∠AOD=∠AOB，
故①错误，③正确；
因为∠DOC=∠AOD，∠BOC=∠AOD，
所以∠DOC＝3∠BOC
故②错误，④正确．
【点睛】
本题考查了角的和差倍数关系，根据题意表示∠AOB=∠AOD，∠AOC=∠DOC=∠AOD，进而根据角的关系即可作出判断．
22．如图所示，已知直线AB上有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一点O，射线OD和射线OC在AB同侧，∠AOD＝42°，∠BOC＝34°，OM是∠AOD的平分线，则∠MOC的度数是（ ）
A．125°
B．90°
C．38°
D．以上都不对
【答案】A
【分析】
由OM是∠AOD的平分线，求得∠AOM＝21°，利用∠BOC＝34°，根据平角的定义求出答案．
【详解】
∵OM是∠AOD的平分线，
∴∠AOM＝21°．
又∵∠BOC＝34°，
∴∠MOC＝180°－21°－34°＝125°．
故选：A．
【点睛】
此题考查角平分线的有关计算，几何图形中角度的和差计算，根据图形掌握各角之间的关系是解题的关键．
23．如图，，若，则∠2的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
根据OA⊥OB，得到∠AOB=90°∠AOB=∠1+∠2=90°，即可求出.
【详解】
解：∵OA⊥OB
∴∠AOB=90°
∵∠AOB=∠
1+∠
2=90°
∠
1=55°16′
∴∠
2=90°-55°16′=34°44′
故选：D
【点睛】
此题主要考查了角度的计算，熟记度分秒之间是六十进制是解题的关键.
24．下列各式计算正确的是（
）
A．（）°＝118″
B．38°15′＝38.15°
C．24.8°×2＝49.6°
D．90°－85°45′＝4°55′
【答案】C
【分析】
根据1°=60′，1′=60″，结合各选项进行判断即可．
【详解】
解：A、()°=30′，故本选项错误；
B、38゜15′=38.25°，故本选项错误；
C、24.8°×2=49.6°，计算正确，故本选项正确；
D、90°-85°45′=4°15′，故本选项错误；
故选：C．21教育网
【点睛】
本题考查了度分秒的换算，解答本题的关键是掌握1°=60′，1′=60″．
25．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，的大小是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．25°
B．35°
C．55°
D．65°
【答案】C
【分析】
根据∠BAC=60°，∠1=25°，求出∠EAC的度数，再根据∠2=90°-∠EAC，即可求出∠2的度数．
【详解】
解：∵∠BAC=60°，∠1=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)25°，
∴∠EAC=35°，
∵∠EAD=90°，
∴∠2=90°-∠EAC=90°-35°=55°；
故选：C．2-1-c-n-j-y
【点睛】
本题主要考查了涉及三角板之间的角度的计算，关键是求出∠EAC的度数，是一道基础题．
26．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：如图所示，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵∠BCD=60°，∠BCA=45°，
∴∠ACD=∠BCD-∠BCA=60°-45°=15°，
∠α=180°-∠D-∠ACD=180°-90°-15°=75°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
27．和的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且,那么的另一半落在的(
)
A．另一边上
B．内部;
C．外部
D．以上结论都不对
【答案】C
【分析】
根据题意画出图形，利用数形结合即可得出结论.
【详解】
解：如图所示：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)．
故选C.
【点睛】
本题考查的是角的大小比较，能根据题意画出图形是解答此题的关键.
28．如图．∠AOB＝∠COD，则(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．∠1＞∠2
B．∠1＝∠2
C．∠1＜∠2
D．∠1与∠2的大小无法比较
【答案】B
【解析】
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB-∠BOD=∠COD-∠BOD，
∴∠1=∠2；
故选B．
【点睛】考查了角的大小比较，培养了学生的推理能力．
29．阅读下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若AP=BP，则点P是线段AB的中点；④°=°6＇；⑤小于平角的角可分为锐角和钝角，其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】
根据直线、线段、角度换算以及角的概念，对选项一一分析即可．
【详解】
解：
①过两点有且只有一条直线，正确；
②两点之间，线段最短，正确；
③若点P在线段AB上正确，若点P在线段AB外则错误，故错误；
④°=°36＇，错误；
⑤小于平角的角可分为锐角、钝角，还应包含直角，错误；
故正确的有2个，
故选：B.
【点睛】
本题考查直线、线段、角度换算以及角的概念．解题的关键是熟练掌握这些概念．
30．已知∠,∠,则∠和∠的大小关系是（
）
A．∠∠
B．∠∠
C．∠∠
D．无法确定
【答案】C
【分析】
一度等于60′,知道分与度之间的转化,统一单位后比较大小即可求解．
【详解】
解：∵∠α=21′,∠β==21.6′,
∴∠∠．
故选：C．
【点睛】
考查了度分秒的换算,熟练掌握角的比较与运算,能够在度与分之间进行转化．
31．计算：的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先进行度、分、秒的乘法除法计算，再算减法．
【详解】
．
故选：B．
【点睛】
本题考查了度、分、秒的四则混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可．
32．如图所示，OC、OD分别是∠AOB、∠AOC的平分线，且∠COD
＝
30°，则∠
AOB
为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．100°
B．120°
C．135°
D．150°
【答案】B
【分析】
先求出∠AOC的大小，然后便可得出∠AOB的大小．
【详解】
∵∠COD=30°，OD是∠AOC的角平分线
∴∠AOD=30°，∴∠AOC=60°
∵OC是∠AOB的角平分线
∴∠COB=60°
∴∠AOB=120°
故选：B．
【点睛】
本题考查角平分线的概念，解题关键是得出∠AOC的大小．
二、填空题
33．如图，点D在∠AOB的平分线OC上，点E在OA上，ED∥OB，∠AOB＝50°，则∠ODE的度数是__．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】25°
【分析】
利用角平分线可得∠BOC＝，然后利用平行线的性质可得答案．
【详解】
解：∵OC平分∠AOB，∠AOB＝50°，
∴∠BOC＝＝25°，
∵ED∥OB，
∴∠EDO＝∠DOB＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义和平行线的性质，准确计算是解题的关键．
34．已知，，平分，则的大小为___________．
【答案】或
【分析】
分OC在的内部和外部两种情况进行讨论，再利用角平分线的性质和角的和差关系求解即可．
【详解】
解：当OC在的外部时，如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，，
∴∠BOC=∠BOA+∠AOC=80°+30°=110°；
∵平分，
∴
当OC边在∠BOA的内部时，如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵，，
∴∠BOC=∠BOA-∠AOC=80°-30°=50°；
∵平分，
∴
故答案为：或
【点睛】
本题考查了角的计算和角平分线的定义，掌握角平分线的性质及角的和差关系是解决本题的关键．
35．如图，射线，，均在内部，且．平分，平分．
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请从A，B两题中任选一题作答．我选择______．
A．若，，则的度数为______．
B．若，则的度数为______．（用含的式子表示）
【答案】A或B
50°
【分析】
A：根据角平分线的定义得到∠COE，∠COD的度数，再利用角的和差计算结果；
B：根据角平分线的定义得到∠COE=∠BOC，∠COD=∠AOC，再利用角的和差计算结果．
【详解】
解：A题：
∵OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，
∴∠BOE=∠COE=∠BOC，∠AOD=∠COD=∠AOC，
又∵∠AOC=30°，∠BOC=130°，
∴∠DOE=∠COE-∠COD
=∠BOC-∠AOC
=（∠BOC-∠AOC）
=×（130°-30°）
=50°；
B题：
∵OE平分∠BOC，OD平分∠AOC，
∴∠BOE=∠COE=∠BOC，∠AOD=∠COD=∠AOC，
又∵∠AOB=∠BOC-∠AOC，
∴∠DOE=∠COE-∠COD
=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）
=∠AOB
=．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，角的和差，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．21世纪教育网版权所有
36．如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝_____°．
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【答案】45°．
【分析】
根据角平分线的定义得到∠DOC＝，∠COE＝，根据角的和差即可得到结论．
【详解】
解：∵OD平分，
∴∠DOC＝，
∵OE平分，
∴∠COE＝，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝＝∠AOB＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及有关角的计算，解题关键是熟练掌握角平分线的定义．
37．已知，其平分线为，其平分线为，则_______．
【答案】或
【分析】
分两种情况讨论，当在角内部时，；在角外部时，；计算得出答案即可．
【详解】
解：∵，平分，，平分，
∴，，
如图1，当在角内部时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴；
如图2，在角外部时，
．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了角平分线定义，发挥空间想象能力，考虑两种情况，运用分类讨论的方法是解题关键．
三、解答题
38．已知同一平面上以O为端点有三条射线；
①若，求的度数；
②若，（均为锐角），求的度数（用表示）．
【答案】①100°或60°；②∠α+∠β或∠β-∠α或∠α-∠β
【分析】
①分两种情况讨论，①若OC在∠AOB外部时，②OC在∠AOB内部时，分别计算出∠AOC的度数即可；
②1）、∠α≥∠β，OC在∠AOB外部时；2）∠α≥∠β，OC在∠AOB内部时，3）∠α＜∠β，当OC均在∠AOB外部，依次计算即可．21·cn·jy·com
【详解】
解：①若OC在∠AOB外部时，
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∠AOC=80°+20°=100°；
若OC在∠AOB内部时，∠AOC=80°-20°=60°；
∴∠AOC=100°或60°．
②1）、若∠α≥∠β时，当OC在∠AOB外部时，∠AOC=∠α+∠β，
2）、若∠α≥∠β时，若OC在∠AOB内部时，∠AOC=∠α-∠β，
3）、若∠α＜∠β时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
OC均在∠AOB外部，∠AOC=∠α+∠β，或∠AOC=∠β-∠α，
故∠AOC=∠α+∠β或∠β-∠α或∠α-∠β．
【点睛】
此题考查了余角和补角的知识，解题的关键是分类讨论，难点在于比较容易漏解．
39．乐乐对几何中角平分线部分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的学习兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧．已知∠AOB＝100°，射线OE、OF分别是∠AOC和∠COB的平分线．21
cnjy
com
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（1）如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；
（2）如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数；
（3）若射线OC在∠AO
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)B的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC，均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数．（不写探究过程）
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【分析】
（1）先根据角平分线的定义可得，再根据角的和差、角平分线的定义可得，然后根据即可得；
（2）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得；
（3）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得，再分①射线在的内部，②射线在的内部，③射线在的内部三种情况，分别根据角的和差即可得．
【详解】
解：（1）是的平分线，，
，
，
，
是的平分线，
，
；
（2），
，
是的平分线，是的平分线，
，
；
（3）是的平分线，是的平分线，
，
由题意，分以下三种情况：
①如图，延长至点，当射线在的内部时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
，
；
②如图，延长至点，延长至点，当射线在的内部时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
，
；
③如图，延长至点，当射线在的内部时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
，
，
；
综上，的度数为或．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
40．如图∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB．完成下列问题．
（1）求∠AOC和∠BOC的度数．
（2）过点O引一条射线OD，使OD与∠AOB的一边垂直，请直接写出∠COD的度数．（小于平角）
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【答案】（1）∠AOC=∠BOC=60°；（2）30°或150°
【分析】
（1）根据角平分线定义即可求出；
（2）当OD⊥OA时，分两种情况
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，当OD在∠COB内部时，当OD在∠COD外部时，根据∠AOD=90°，∠AOC=60°，利用这两角和与差计算可求；当OD⊥OB时，分两种情况，当OD在∠COA内部时，当OD在∠COA外部时，根据∠BOD=90°，∠BOC=60°，利用这两角的和与差计算即可．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
解：（1）∵射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝，
∵∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝＝60°；
（2）如图，当OD⊥OA时，分两种情况
当OD在∠COB内部时，
∵∠AOD=90°，∠AOC=60°，
∴∠COD=∠AOD-∠AOC=90°-60°=30°，
当OD在∠COD外部时，
∵∠AOD=90°，∠AOC=60°，
∴∠COD=∠AOD+∠AOC=90°+60°=150°，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∴∠COD＝30°或150°；
当OD⊥OB时，分两种情况
当OD在∠COA内部时，
∵∠BOD=90°，∠BOC=60°，
∴∠COD=∠BOD-∠BOC=90°-60°=30°，
当OD在∠COA外部时，
∵∠BOD=90°，∠BOC=60°，
∴∠COD=∠BOD+∠BOC=90°+60°=150°，
∴∠COD＝30°或150°；
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
故∠COD的度数为30°或150°．
【点睛】
本题考查角平分线定义，两直线垂直，直角，角的和差，掌握以上基本知识是解题关键．
41．如图，从点O引出6条射线，，，，，，且，平分，平分，．
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（1）若，则_________（用含m的代数式表示）；
（2）求的度数．
【答案】（1）（105-m）；（2）45°
【分析】
（1）利用周角的定义，根据∠AOE=360°-∠AOB-∠EOF-∠BOF得出结果；
（2）设∠BOF=α，∠AOE=β，根
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)据角平分线的定义得到∠COF=∠BOF=α，∠DOE=∠AOE=β，求出∠BOF+∠AOE=105°，根据∠EOF得到α+β+∠COD=150°，结合α+β=105°即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵∠AOB=120°，∠EOF=135°，∠BOF=m°，
∴∠AOE=360°-∠AOB-∠EOF-∠BOF
=360°-120°-135°-m°
=（105-m）°；
（2）设∠BOF=α，∠AOE=β，
∵OF平分∠BOC，OE平分∠AOD，
∴∠COF=∠BOF=α，∠DOE=∠AOE=β，
∵∠EOF=∠COF+∠DOE+∠COD=150°，
∠BOF+∠AOE=360°-∠AOB-∠EOF=360°-120°-135°=105°，
∴α+β+∠COD=150°，α+β=105°，
∴∠COD=150°-（α+β）=45°．
【点睛】
本题考查了角度的计算，角平分线的定义，求角度的方法一般是转化为角的和、差计算．
42．如图，点O在直线上，，若平分．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的度数；
（2）若，这样的射线有几条？请在图中画出，并求出的度数．
【答案】（1）70°；（2）2条；见解析；160°或20°
【分析】
（1）先利用平角的定义得出∠BOC，再利用角平分线的性质即可
（2）分成两种情况，OE在AB的上方或者下方，再利用角的和差关系计算即可
【详解】
解：（1）∵点O在直线上，
∴是平角，，
∵，
∴，
∵平分，
∴；
（2）两条；如图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
当在上方时，∵，，
∴；
当在下方时，∵，，
∴．
【点睛】
本题考查角的和差关系，角平分线的性质、平角的定义，观察图形发现角与角之间的和差关系是关键，分类讨论思想是易错点也是难点【出处：21教育名师】
43．如图，已知为所在平面内一条射线，平分，平分．
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（1）如图1，当在内部时，则_______度（直接写出结果）；
（2）如图2，当在外部时，求的度数；
（3）如图3，射线和所在的直线分别为直线和直线，当在内部时，根据题意画出符合要求的图形，并求出的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）画图见解析，
【分析】
（1）由平分，平分，可得
再利用，从而可得答案；
（2）由平分平分，可得
再利用，从而可得答案；
（3）如图所示，由平分平分，可得
再求解再利用，从而可得答案．
【详解】
解：（1）
平分，平分，
故答案为：
（2）平分平分，
（3）如图所示．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
平分平分，
【点睛】
本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，周角的含义，掌握角平分线的含义与角的和差是解题的关键．
44．如图，射线OC在∠AOB的内部，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线．
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（1）如果∠AOB＝140°，∠AOC＝60°，那么∠MON是多少度？
（2）请写出∠MON与∠BOC的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）∠MON＝40°；（2）∠MON＝∠BOC．理由见解析．
【分析】
（1）根据角平分线的定义求得∠AOM及∠AON的度数，再由角之间的和差关系计算即可；
（2）根据角平分线的定义表示出∠AOM及∠AON，再由角之间的和差关系即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵射线OC在∠AOB的内部，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线，且∠AOB＝140°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝∠AOB＝×140°＝70°，∠AON＝∠AOC＝×60°＝30°，
∴∠MON＝∠AOM－∠AON＝70°－30°＝40°；
（2）∠MON＝∠BOC，理由如下：
∵射线OC在∠AOB的内部，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线，
∴∠AOM＝∠AOB，∠AON＝∠AOC，
∴∠MON＝∠AOM－∠AON＝(∠AOB－∠AOC)＝∠BOC．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义和角度的和差倍分计算，熟练掌握并运用角平分线定义是解题的关键．
45．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
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（1）将图1中的三角板摆放成如图2所示的位置，使一边在的内部，当平分时，_________；
（2）在（1）的条件下，作线段的延长线（如图3所示），说明射线是的平分线；
（3）将图1中的三角板摆放成如图4所示的位置，使一边在的内部，请探究与之间的数量关系．
【答案】（1）35°；（2）理由见详解；（3）
【分析】
（1）由题意易得，，然后问题可求解；
（2）由（1）及题意易得，，然后可得，进而问题可求解；
（3）由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为35°；
（2）由（1）及题意得，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴射线是的平分线；
（3），理由如下：由题意得，
，，
∴．
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键．
46．已知O为直线AB上的一点，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．
（1）在图1中，当∠COF＝36°时，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)则∠BOE＝
，当∠COF＝m°时，则∠BOE＝
；以此判断∠COF和∠BOE之间的数量关系是
；
（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）72°；2m°；∠BOE=2∠COF；（2）不发生变化，理由见解析；（3）∠BOE+2∠COF=360°，理由见解析
【分析】
（1）先求出∠EOF，利用角平分线的定义可知∠AOE=2∠EOF，然后利用互补的定义得出即可；
（2）设∠AOC=x°，由角平分线的定义求出∠EOF，进而表示出∠COF，再利用平角定义表示出∠BOE，即可得出结论；
（3）同（2）的步骤求解即可．
【详解】
解：（1）∵∠COE＝90°，∠COF＝36°，
∴∠EOF=90°-36°=54°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOE=2∠EOF
=108°，
∴∠BOE=180°-108°=72°；
同理可求∠BOE=2m°；
由第一和第二空可知：∠BOE=2∠COF．
故答案为：72°；2m°；∠BOE=2∠COF；
（2）∠BOE=2∠COF不会变化，其证明过程是：
设∠AOC=x°，则∠AOE=(90-x)°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF=∠AOF=∠AOE=(45-x)°，
∴∠COF=∠COE-∠EOF=90°-(45-x)°=(45+x)°，
∠BOE=180°-∠AOE=180°-(90-x)°=(90+x)°，
∴∠BOE=2∠COF．
（3）∠BOE+2∠COF=360°，其理由是：
设∠AOC=x°，则∠AOE=∠AOC-∠COE=(x-90)°．
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF=∠EOF=∠AOE=(x-45)°，
∴∠COF=∠AOC-∠AOF=x°-(x-45)°=(x+45)°，
∠BOE=180°-∠AOE=180°-(x-90)°=(270-x)°，
∴∠BOE+2∠COF=(270°-x)°+2(x+45)°=360°．
【点睛】
此题主要考查了角的和差，以及角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
47．阅读下面材料：数学课上，老师给出了
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如下问题：如图1，∠AOB=80°，OC平分∠AOB．若∠BOD=20°，请你补全图形，并求出∠COD的度数．
以下是小红的解答过程：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB=80°，
所以∠BOC=∠AOB=
°；
因为∠BOD=20°，
所以∠COD=∠
+∠
=
°．
小李说：“我觉得这个题有两种情况，小红考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”．
请完成以下问题：
（1）请你将小红的解答过程补充完整；
（2）根据小李的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COD的度数．（要求写出解答过程）
【答案】（1）40，BOC，BOD，60；（2）∠COD=20°，图形与过程见解析
．
【分析】
（1）由OC为角平分线求出∠BOC度数，根据∠BOC+∠BOD即可求出∠COD的度数；
（2）由OC为角平分线求出∠BOC度数，根据∠BOC-∠BOD即可求出∠COD的度数．
【详解】
解：（1）如图2，∵OC平分∠AOB，∠AOB=80°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，
∵∠BOD=20°，
∴∠COD=∠BOC+∠BOD=40°+20°=60°．
故答案为：40，BOC，BOD，60．
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（2）如图3，即为另一种情况对应的图形，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
∵OC平分∠AOB，∠AOB=80°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，
∵∠BOD=20°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=40°-20°=20°．
【点睛】
本题考查角平分线的应用，解答本题的关键是对所有情况都要考虑到，并根据角度的不同位置进行分类讨论
．
48．已知直线经过点，，是的平分线．
（1）如图1，若，则____________°，____________°；
（2）如图1，若，求；（用含的式子表示）
（3）将图1中的绕顶点顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变（，是的平分线，），（2）中的结论是否还成立？试说明理由；
（4）将图1中的绕顶点逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，直接写出用含的代数式表示的式子．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（1）30，30；（2）；（3）成立，理由见解析；（4）
【分析】
（1）如图1，根据平角的定义和∠COD＝
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)90°，得∠AOC＋∠BOD＝90°，从而求得∠BOD，由角平分线定义可求得∠BOE，利用角的差可得∠DOE；
（2）首先用含的式子表示出∠BOC，然后根据角平分线定义可得∠COE，再利用角的差可得∠DOE；
（3）首先用含的式子表示出∠BOC，然后根据角平分线定义可得∠COE，再利用角的差可得（2）中的结论还成立；
（4）首先用含的式子表示出∠BOC，然后根据角平分线定义可得∠COE，再利用角的和可得∠DOE．
【详解】
解：（1）∵，，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝90°－∠AOC＝90°－60°＝30°，
∴∠BOC＝∠BOD＋∠COD＝30°＋90°＝120°，
∵是的平分线，
∴∠BOE＝∠BOC＝60°，
∴∠DOE＝∠BOE－∠BOD＝60°－30°＝30°，
故答案为：30，30；
（2）∵，平分，
∴，
∴；
（3）成立；
∵，平分，
∴，
∴；
（4）∠DOE＝180°?α，
如图3，∵，OE平分∠BOC，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义及角的和差计算，能根据图形确定所求角和已知各角的关系是解此题的关键．
49．如图，已知∠AOB内部有三条射线，若OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）若∠AOB＝100°，求∠EOC的度数；
（2）若∠AOB＝70°，如果将题中“平分”的条件改为且∠DOE：∠DOC＝3：2，求∠EOC的度数．2·1·c·n·j·y
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；
（2）根据∠DOE：∠DOC＝3：2，设∠DOE＝3x，∠DOC＝2x，根据条件分别求出∠EOD，∠DOC即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵OE平分∠AOD，OC平分∠BOD，
∴∠EOD＝∠AOD，∠DOC＝∠DOB，
∴∠EOC＝（∠AOD+∠DOB）＝∠AOB，
∵∠AOB＝100°，
∴∠EOC＝50°；
（2）∵∠DOE：∠DOC＝3：2，
∴设∠DOE＝3x，∠DOC＝2x，
∵∠DOC＝∠DOB，
∴∠DOB：∠DOC＝3：2，
∴∠DOB＝3x＝∠DOE，
∵∠EOA＝∠AOD，
∴∠AOD＝4x，
∵∠AOB＝100°，
∴3x+4x＝70°，
∴x＝10°，
∴∠EOC＝∠EOD+∠DOC＝5x＝50°．
【点睛】
本题考查了与角平分线有关的角的计算，掌握角平分线的定义及角的和差关系是求解的关键．
50．填空，完成下列说理过程：
如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．
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（1）求的度数；
（2）如果，求的度数．
【答案】（1）90°；（2）155°
【分析】
（1）由已知条件和观察图形，再利用角平分线的性质就可求出角的度数；
（2）由已知条件和观察图形，再利用角平分线的性质就可求出角的度数．
【详解】
解：（1）因为是的平分线，
所以，
因为是的平分线，
所以，
所以；
（2）由（1）可知，
因为，
所以，
则：．
【点睛】
本题考查角平分线的定义、平角的定义，互余、互补的意义以及角的和差关系，通过图形直观得出各个角之间的关系式正确解答的关键．
51．已知是内部的一条射线：、分别为、上的点，线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转
（1）如图1若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值；
（2）如图2若、分别在、内部旋转时，总有，求的值；
（3）知识迁移，如图3，是线段上的一点，点从点出发在线段上向运动，点从点出发在线段上向点运动，点、的速度比是2：1，在运动过程中始终有，求：______
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【答案】（1）60°；（2）；（3）
【分析】
（1）先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=140°计算即可得解；
（2）设旋转时间为t，表示出∠BON、∠COM，然后列方程求解得到∠AOC、∠BOC的关系，再整理即可得解；
（3）设运动时间为t，点M、N的速度分别为2v、v，然后表示出CM、BN，即可求解．
【详解】
解：（1）∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s，
∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，
∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°，
∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°，
∵∠AOB=140°，
∴∠BON′+∠COM′=140°-80°=60°；
（2）设旋转时间为t，则∠BON=∠BOC-10t°，∠COM=∠AOC-30t°，
∵∠COM=3∠BON，
∴∠AOC-30t°=3（∠BOC-10t°），
∴∠AOC=3∠BOC，
∴；
（3）设运动时间为t，则CM=AC-2vt，BN=BC-vt，
∵CM=2BN，
∴AC-2vt=2（BC-vt），
∴AC=2BC，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了角的计算，两点间的距离，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度是解题的关键．
52．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方将直角三角板绕点O按每秒10°的速度逆时计旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分，此时，与之间的数量关系为
．
（2）若射线OC的位置保持不变，且．
①则当旋转时间t为6秒时，求的度数；
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
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【答案】（1），理由见解析；（2）①；②t的值为2，8，32．
【分析】
（1）根据角平分线的性质，以及角的等量代换即可得解；
（2）①根据条件画出相应图像，再计算即可得；②分别画出OA平分时、OC平分时、OD平分时的图像计算即可得．
【详解】
解：（1）与之间的数量关系为，理由如下：
，
，
，
平分，
，
，
故答案为：∠BOC=∠BOE；
（2）①如图3，∵旋转时间t为6秒，
．
，
，
；
②如图2当OA平分时，，
即，解得：；
如图3，当OC平分时，
，
，
即，解得：；
如图4当OD平分时，
，
转过的角度为，
即，解得：．
综上，t的值为2、8、32．
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【点睛】
本题考查了角平分线的性质、角的等量代换
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)、旋转过程中的分类讨论、一元一次方程的应用；解决本题关键在于熟知角平分线的性质，能数形结合进行角的等量代换，在旋转过程中，注意图像的变化，完整的分类讨论．21cnjy.com
53．如图，射线OC、OD把AOB
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分成三个角，且度数之比是∠AOC：∠COD：∠DOB=2：3：4，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，且OM⊥ON．21·世纪
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（1）求∠COD的度数；
（2）求∠AOB的补角的度数．
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【答案】（1）；（2）∠AOB的补角的度数为45°
【分析】
（1）可设∠AOC、∠COD、∠DOB的角度分别为2k、3k、4k，由题意可以列出关于k的方程，求出k值即可得到∠COD的度数；【版权所有：21教育】
（2）由（1）可以得到∠AOC、∠COD、∠DOB的度数，从而得到∠AOB的度数，进而求得∠AOB的补角的度数．
【详解】
解：（1）∵∠AOC：∠COD：∠DOB=2：3：4，
∴可设∠AOC、∠COD、∠DOB的角度分别为2k、3k、4k，
∵OM⊥ON，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，
∴∠MON=k+3k+2k=90°，
∴k=15°，
∴∠COD=3k=45°；
（2）由（1）可以得到：
∠AOC=2k=30°，∠DOB=4k=60°，
∴∠AOB=∠AOC+∠COD+∠DOB=135°，
∴180°-∠AOB=45°，
∴∠AOB的补角为45°．
【点睛】
本题考查角度运算与比的综合应用，根据比的意义用未知数表示各角度后再根据各角的大小关系列出方程，求出未知数后即可得到各角度大小
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54．综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师和同学们
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．
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（1）问题探究：
①如图1，点C在线段上，，点M、N分别是线段、的中点．求线段的长；
②善于思考的小聪发现：只要点C在线段上，任意改变点C的位置，其他条件不变，的长就是．小聪理由如下：因为M、N分别是线段、的中点，所以，所以．老师肯定了小聪的方法．
（2）继续探究：
①如图2，是直角，射线在内部，且是的平分线，是的平分线，则_______．（直接写出结果）
②如图2，是直角，射线在内部，且是锐角，是的平分线，是的平分线．当的大小发生改变时，的大小也会发生改变吗？如果不变，求岀的度数；如果改变，请说明理由．（类比小聪的方法）
（3）深入探究：
如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线、．若，则______．（直接写出结果）
【答案】（1）；（2）①45°；②不变，∠MON=45°；（3）．
【分析】
（1）根据线段中点的意义，得
计算即可；
（2）①根据角的平分线的性质，得∠MON，代入计算即可；
②不变，原理同上；
（3）根据角的平分线的性质，得∠MON，代入计算即可．
【详解】
解：（1）因为，
所以
因为点M、N分别是和的中点
所以
所以；
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（2）①根据角的平分线的性质，得∠MON，
∵∠AOB=90°，
∴∠MON==45°，
故答案为：45°；
②不变．理由如下：
因为是平分线，是平分线，
所以，
所以
因为
所以
．
（3）因为是平分线，是平分线，
所以，
所以
因为
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了线段的中点，角的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)平分线，线段的和，角的和，类比的思想，熟练掌握线段中点的意义，角的平分线的性质，灵活用线段的和和角的和是解题的关键．
55．直线与直线相交于点O，平分，过点O作．
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（1）如图1，若，求①的度数；②的度数．
（2）请根据题目条件重新画图．
①当时，求的度数．
②设，请探究与之间的数量关系．
【答案】（1）①35°；②55°；（2）①图形见详解，45°；②=
【分析】
（1）①先求出∠AOC的度数，再结合角平分线的定义，即可求解；②先求出∠AOE=35°，再根据余角的定义，即可求解；
（2）①先根据题意画出图形，进而即可求解；②根据补角和平分线的定义，得到∠COE=90°-，再结合余角的定义，即可得到结论．
【详解】
解：（1）①∵，
∴∠AOC=180°-110°=70°，
∵平分，
∴∠COE==×70°=35°；
②∵平分，
∴∠COE=∠AOE=35°，
∵，
∴=90°-35°=55°；
（2）①如图：
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∵，平分，
∴∠COE=∠AOE==×90°=45°，
∵，
∴=90°-45°=45°；
②∵，
∴∠AOC=180°-，
∵平分，
∴∠COE=∠AOE==90°-，
∵，
∴∠AOE+∠BOF=90°，即：90°-+=90°，
∴=．
【点睛】
本题主要考查角的和差倍分运算，熟练掌握补角，余角，角平分线的定义，是解题的关键．
56．如图，已知∠1=24°40′，OD平分∠BOC，求∠AOD的度数．
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【答案】102°20′
【分析】
由∠1已知，故能求出∠BOC，又因为OD平分∠BOC，即能求出∠DOC，进而求出∠AOD的度数．
【详解】
解：∵∠1＝24°40′，
∴∠BOC＝155°20′，
∵OD平分∠BOC，
∴∠DOC＝77°40′，
∴∠AOD＝∠1+∠DOC＝102°20′．
故答案为102°20′．
【点睛】
本题主要考查角的比较与运算，还涉及角平分线的知识点，比较简单．
57．如图所示，平分，平分．
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（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）据角平分线的定义求得∠AOC和∠COE的度数，再相加可得∠AOE的度数；
（2）据角平分线的定义和得到，再由求得的度数，最后由平分求得的度数．
【详解】
解（1）如图
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∵平分，
∴
∵平分，
∴
∴；
（2）如图
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∵
∴
∵平分
∴
∴
又
∴
∵平分
∴．
【点睛】
此题考查角平分线的定义和角的有关运算，理解角平分线的定义和结合图形能进行角的加减是关键．
58．如图，O是直线AB上的一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）指出图中∠AOD的补角
（2）若∠BOC=68°，求∠EOC的度数
（3）直接写出∠BOD与∠AOE的数量关系．
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【答案】（1）∠AOD的补角是∠BOD和∠COD
；（2）56°；（3）∠BOD+∠AOE=90°．
【分析】
（1）根据互为补角的和等于180°找出即可；
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（2）先求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义解答；
（3）根据角平分线的定义表示出∠BOD与∠AOE，然后整理即可得解．
【详解】
解：（1）∵∠AOD+∠BOD＝180°，OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD，
∴∠AOD+∠COD＝180°，
∴∠AOD的补角是∠BOD和∠COD
（2）∵∠BOC=68°
∴∠AOC=180°-68°=112°
∵OE平分∠AOC
∴∠EOC=∠AOC
即∠EOC=56°
（3）∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠BOD＝∠BOC，∠AOE＝∠AOC，
∴∠BOD+∠AOE＝（∠BOC+∠AOC）＝×180°＝90°，
∴∠BOD与∠AOE的数量关系是∠BOD+∠AOE=90°（或互余）．
【点睛】
本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键．
59．如图，在直线AD上任取一点O，过点O做射线OB，OE平分∠DOB，OC平分∠AOB，∠BOC＝26°时，求∠BOE的度数．
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【答案】
【分析】
根据角平分线定义求出∠AOB度数，再根据角互补关系求出∠DOB度数，最后利用角平分线定义可求∠BOE度数．www.21-cn-jy.com
【详解】
解：∵OC平分∠AOB，∠BOC＝26°，
∴∠AOB＝2∠BOC＝52°．
∴∠BOD＝180°﹣52°＝128°．
∵OE平分∠DOB，
∴∠BOE＝∠DOB＝×128°＝64°．
【点睛】
本题主要考查余角与补角以及角平分线的定义，正确找到角的和差倍分关系是解题的关键．
60．如图①所示，把一块三角板ABC（∠ACB＝90°）放置在直线MN上，使AC边与MN重合，作∠BCN的角平分线CD．www-2-1-cnjy-com
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（1）求∠ACD的度数；
（2）若将三角板绕点C旋转到如图②所示的位置，其它条件不变，作∠ACM的角平分线CE，求∠DCE的度数．
【答案】（1）135°，（2）135°．
【分析】
（1）根据角平分线求出∠DCB的度数，再加上90°即可；
（2）根据角平分线，求出∠ACE+∠DCB=45°，再加上90°即可．
【详解】
解：（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠NCB＝90°,
CD平分∠BCN，
∴∠DCB=∠BCN=45°，
∠ACD=∠ACB+∠DCB=135°；
（2）CE平分∠ACM，
∴∠ACE=∠ACM，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACM+∠NCB＝90°，
∠ACE+∠DCB=（∠ACM+∠NCB）=45°，
∠DCE=∠ACE+∠DCB+∠ACB=135°．
【点睛】
本题考查了角的和差以及角平分线，解题关键是准确识图，理解角平分线的定义，正确的运用角的和差进行计算．
61．如图，已知、、在同一条直线上，，，平分，求的度数．
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【答案】50°
【分析】
根据等量代换得到∠AOE=∠COD，再根据
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角平分线的定义得到∠AOE=∠COD=∠BOC，利用平角的定义得到3∠AOE+30°=180°，即可求出∠AOE．
【详解】
解：∵∠AOD=∠COE，即∠AOE+∠EOD=∠COD+∠EOD，
∴∠AOE=∠COD，
∵OC平分∠DOB，
∴∠COD=∠BOC，
∴∠AOE=∠COD=∠BOC，
∴∠AOE+∠COD+∠BOC+∠DOE=180°，
即3∠AOE+30°=180°，
∴∠AOE=50°．
【点睛】
本题考查了角平分线定义的应用，能理解角平分线定义是解此题的关键．
62．如图甲，O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．
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（1）将图甲中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转至图乙的位置，使射线成为的平分线，求此时的度数；
（2）继续将图乙的三角尺绕点O按顺时针方向旋转至下图丙的位置，使在的内部，问的度数是否会随着位置的变化而变化？请说明理由；
（3）在上述直角三角尺从图甲旋转至图丙的位置的过程中，若三角尺绕点O按每秒的速度旋转，当直角边所在的直线恰好平分时，求此时三角尺旋转运动的时间？
【答案】（1）63°；（2）的度数不会随着位置的变化而变化，理由见详解；（3）12秒或2秒
【分析】
（1）先求出∠AOC，∠BOC的度数，再求出∠BON的度数，进而即可求解；
（2）先用∠AOM分别表示出∠AON，∠COM，进而即可得到结论；
（3）分两种情况：①当射线OM平分∠AOC时，②当射线MO平分∠AOC时，分别求解，即可．
【详解】
（1）解：，
∴∠AOC=180°×=72°，∠BOC=180°×=108°，
∵∠MON=90°，OB平分∠MON，
∴∠BON=45°，
∴∠CON=∠BOC-∠BON=108°-45°=63°；
（2）的度数不会随着位置的变化而变化，理由如下：
∵∠AON=90°-∠AOM，∠COM=∠AOC-∠AOM=72°-∠AOM，
∴=90°-∠AOM-（72°-∠AOM）=90°-∠AOM-72°+∠AOM=18°，
∴的度数不会随着位置的变化而变化；
（3）有两种情况：①当射线OM平分∠AOC时，
∠AOM=∠AOC=36°，∠MOA+∠AOB=36°+180°=216°，
∴t=216÷18=12（秒）；
②当射线MO平分∠AOC时，∠MOB=36°，
∴t=36÷18=2（秒），
综上所述：三角尺旋转运动的时间为12秒或2秒．
【点睛】
本题主要考查角的和差倍分运算，熟练掌握分类讨论思想方法以及数形结合思想方法是解题的关键．
63．如图，已知，，平分，平分．求的度数．
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【答案】45°．
【分析】
先求∠BOC的度数，再利用角的平分线的性质和角的和的定义求解即可．
【详解】
∵，，
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∴∠BOC=150°，
∵平分，
∴∠BOD==75°，
∴∠AOD=∠AOB
-∠BOD=
15°，
∵平分,
∴∠AOE==30°，
∴=∠AOD+∠AOE=45°．
【点睛】
本题考查了角的和，角的差，角的平分线，熟练掌握角的平分线，灵活运用两个角的和的定义是解题的关键．
64．已知如图，平分，平分，
（1）若，求；
（2）若，其他条件不变，求.
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【答案】（1）45°，（2）
【分析】
（1）先求出∠AOC＝90°+30°＝1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)20°，再由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，得出∠COM＝60°，∠CON＝15°，即可求出∠MON＝45°；
（2）由∠AOB＝α，∠BOC＝30°，得出∠AOC＝α+30°，由OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，得出∠COM和∠CON，即可求出∠MON＝；
【详解】
解（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝90°+30°＝120°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM＝∠AOC＝60°，∠CON＝∠BOC＝15°，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝60°﹣15°＝45°；
（2）∵∠AOB＝α，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝α+30°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM＝（α+30°）＝+15°，∠CON＝15°，
∴∠MON＝∠COM﹣∠CON＝+15°﹣15°＝；
【点睛】
本题考查了角的计算和角的平分线的定义；弄清各个角之间的关系是解题的关键．
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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第四讲
角的比较
【提升训练】
一、单选题
1．如图，a∥b，∠ABD的平分线交直线a于点C，CE⊥直线c于点E，∠1＝24°，则∠2的大小为（
）
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A．114°
B．142°
C．147°
D．156°
2．若∠1=36°5′，∠2=36.5°，则∠1与∠2的大小关系是（
）
A．∠1=∠2
B．∠1＞∠2
C．∠1＜∠2
D．无法确定
3．如图，是的平分线，，，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
4．如图，三角板直角顶点O在直线上，是的角平分线，若的度数为y，的度数为x，则x与y满足的等量关系为（
）21·世纪
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A．
B．
C．
D．
5．如图所示，∠1＝28°，∠AOC＝90°，点B，O，D在同一直线上，则∠2的度数为（ ）
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A．128°
B．118°
C．108°
D．152°
6．如图，，射线是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，则的度数为（
）
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A．
B．
C．
D．随位置的变化而变化
7．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，若∠BOD＝150°，则∠BOC的度数为（ ）
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A．150°
B．120°
C．90°
D．60°
8．下列说法正确的有（
）
①角的大小与所画边的长短无关；
②如图，也可用表示
③连接两点的线段叫做这两点之间的距离；
④两点之间线段最短；
⑤如果，那么是的平分线；
⑥点在线段上，若，则点是线段的中点．
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A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．如图，已知，，平分，则度数为（
）
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A．
B．
C．
D．
10．如图，是的平分线，，，则等于（
）
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A．75°
B．70°
C．65°
D．60°
11．如图，OC是的平分线，OD是的平分线，且，则等于（
）
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A．
B．
C．
D．
12．如图，平分平分∠BOD，则的大小为（ ）
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A．
B．
C．
D．
13．如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（
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A．∠BOA＞∠DOC
B．∠BOA﹣∠DOC＝90°
C．∠BOA+∠DOC＝180°
D．∠BOC≠∠DOA
14．把一副三角板按如图所示方式拼在一起，并作的平分线，则的度数是（
）
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A．120°
B．60°
C．30°
D．15°
15．如图，是一副三角板的摆放图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠BAE=，则的大小是（ ）21cnjy.com
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A．
B．
C．
D．
16．有如下说法：①直线是一个平角；②如果线段，则是线段的中点；③在同一平面内，，，；④两点之间，线段最短．其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
17．如图，直线交于点，已知于点平分，若，则的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．71°
B．72°
C．73°
D．74°
18．如图，OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝∠COD，∠AOD＝75°，则∠BOD＝（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．35°
B．25°
C．20°
D．15°
19．已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC是∠AOB的平分线的是（
）
A．∠AOC=∠BOC
B．∠AOB=2∠AOC
C．∠AOC+∠COB=∠AOB
D．∠BOC=∠AOB
20．如图，是内的一条射线，、分别平分、，若，，则的大小为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
21．如图，∠AOB＝∠BOD，OC平分∠AOD，下列四个等式中正确的是（ ）
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①∠BOC＝∠AOB；②∠DOC＝2∠BOC；③∠COB＝∠BOA；④∠COD＝3∠COB．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
22．如图所示，已知直线AB上
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)有一点O，射线OD和射线OC在AB同侧，∠AOD＝42°，∠BOC＝34°，OM是∠AOD的平分线，则∠MOC的度数是（ ）21·cn·jy·com
A．125°
B．90°
C．38°
D．以上都不对
23．如图，，若，则∠2的度数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
24．下列各式计算正确的是（
）
A．（）°＝118″
B．38°15′＝38.15°
C．24.8°×2＝49.6°
D．90°－85°45′＝4°55′
25．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，，的大小是（
）
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A．25°
B．35°
C．55°
D．65°
26．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（
）
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A．
B．
C．
D．
27．和的顶点和一边都重合,另一边都在公共边的同侧,且,那么的另一半落在的(
)
A．另一边上
B．内部;
C．外部
D．以上结论都不对
28．如图．∠AOB＝∠COD，则(
)
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A．∠1＞∠2
B．∠1＝∠2
C．∠1＜∠2
D．∠1与∠2的大小无法比较
29．阅读下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两点之间，线段最短；③若AP=BP，则点P是线段AB的中点；④°=°6＇；⑤小于平角的角可分为锐角和钝角，其中正确的有（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
30．已知∠,∠,则∠和∠的大小关系是（
）
A．∠∠
B．∠∠
C．∠∠
D．无法确定
31．计算：的值为（
）
A．
B．
C．
D．
32．如图所示，OC、OD分别是∠AOB、∠AOC的平分线，且∠COD
＝
30°，则∠
AOB
为（
）
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A．100°
B．120°
C．135°
D．150°
二、填空题
33．如图，点D在∠AOB的平分线OC上，点E在OA上，ED∥OB，∠AOB＝50°，则∠ODE的度数是__．
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34．已知，，平分，则的大小为___________．
35．如图，射线，，均在内部，且．平分，平分．
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请从A，B两题中任选一题作答．我选择______．
A．若，，则的度数为______．
B．若，则的度数为______．（用含的式子表示）
36．如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，则∠DOE＝_____°．
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37．已知，其平分线为，其平分线为，则_______．
三、解答题
38．已知同一平面上以O为端点有三条射线；
①若，求的度数；
②若，（均为锐角），求的度数（用表示）．
39．乐乐对几何中角平分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)线部分的学习兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧．已知∠AOB＝100°，射线OE、OF分别是∠AOC和∠COB的平分线．www.21-cn-jy.com
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（1）如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；
（2）如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数；
（3）若射线OC在∠AOB的外部绕
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC，均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数．（不写探究过程）www-2-1-cnjy-com
40．如图∠AOB＝120°，射线OC平分∠AOB．完成下列问题．
（1）求∠AOC和∠BOC的度数．
（2）过点O引一条射线OD，使OD与∠AOB的一边垂直，请直接写出∠COD的度数．（小于平角）
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41．如图，从点O引出6条射线，，，，，，且，平分，平分，．
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（1）若，则_________（用含m的代数式表示）；
（2）求的度数．
42．如图，点O在直线上，，若平分．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）求的度数；
（2）若，这样的射线有几条？请在图中画出，并求出的度数．
43．如图，已知为所在平面内一条射线，平分，平分．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）如图1，当在内部时，则_______度（直接写出结果）；
（2）如图2，当在外部时，求的度数；
（3）如图3，射线和所在的直线分别为直线和直线，当在内部时，根据题意画出符合要求的图形，并求出的度数．【来源：21cnj
y.co
m】
44．如图，射线OC在∠AOB的内部，OM、ON分别是∠AOB、∠AOC的平分线．
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（1）如果∠AOB＝140°，∠AOC＝60°，那么∠MON是多少度？
（2）请写出∠MON与∠BOC的数量关系，并说明理由．
45．如图1，点O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的下方．2-1-c-n-j-y
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（1）将图1中的三角板摆放成如图2所示的位置，使一边在的内部，当平分时，_________；【出处：21教育名师】
（2）在（1）的条件下，作线段的延长线（如图3所示），说明射线是的平分线；
（3）将图1中的三角板摆放成如图4所示的位置，使一边在的内部，请探究与之间的数量关系．
46．已知O为直线AB上的一点，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．
（1）在图1中，当∠CO
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)F＝36°时，则∠BOE＝
，当∠COF＝m°时，则∠BOE＝
；以此判断∠COF和∠BOE之间的数量关系是
；21教育名师原创作品
（2）若将∠COE绕点O旋转至图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2的位置，试问（1）中∠COF和∠BOE之间的数量关系是否发生变化？若不发生变化，请你加以证明；若发生变化，请你说明理由；21
cnjy
com
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，继续探究∠COF和∠BOE之间的数量关系，并说明理由．
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47．阅读下面材料：数学课上，老
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)师给出了如下问题：如图1，∠AOB=80°，OC平分∠AOB．若∠BOD=20°，请你补全图形，并求出∠COD的度数．
以下是小红的解答过程：
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解：如图2，因为OC平分∠AOB，∠AOB=80°，
所以∠BOC=∠AOB=
°；
因为∠BOD=20°，
所以∠COD=∠
+∠
=
°．
小李说：“我觉得这个题有两种情况，小红考虑的是OD在∠AOB外部的情况，事实上，OD还可能在∠AOB的内部”．21世纪教育网版权所有
请完成以下问题：
（1）请你将小红的解答过程补充完整；
（2）根据小李的想法，请你在图3中画出另一种情况对应的图形，并求出此时∠COD的度数．（要求写出解答过程）2·1·c·n·j·y
48．已知直线经过点，，是的平分线．
（1）如图1，若，则____________°，____________°；
（2）如图1，若，求；（用含的式子表示）
（3）将图1中的绕顶点顺时针旋转到图2的位置，其它条件不变（，是的平分线，），（2）中的结论是否还成立？试说明理由；【版权所有：21教育】
（4）将图1中的绕顶点逆时针旋转到图3的位置，其它条件不变，直接写出用含的代数式表示的式子．
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49．如图，已知∠AOB内部有三条射线，若OE平分∠AOD，OC平分∠BOD．
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（1）若∠AOB＝100°，求∠EOC的度数；
（2）若∠AOB＝70°，如果将题中“平分”的条件改为且∠DOE：∠DOC＝3：2，求∠EOC的度数．
50．填空，完成下列说理过程：
如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和．
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（1）求的度数；
（2）如果，求的度数．
51．已知是内部的一条射线：、分别为、上的点，线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转
（1）如图1若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值；
（2）如图2若、分别在、内部旋转时，总有，求的值；
（3）知识迁移，如图3，是线段上的一点，点从点出发在线段上向运动，点从点出发在线段上向点运动，点、的速度比是2：1，在运动过程中始终有，求：______
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52．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC．将一直角三角板AOB（）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方将直角三角板绕点O按每秒10°的速度逆时计旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分，此时，与之间的数量关系为
．
（2）若射线OC的位置保持不变，且．
①则当旋转时间t为6秒时，求的度数；
②在旋转的过程中，是否存在某个时刻
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，使得射线OA，OC与OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由．
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53．如图，射线OC、OD把AOB分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)成三个角，且度数之比是∠AOC：∠COD：∠DOB=2：3：4，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，且OM⊥ON．
（1）求∠COD的度数；
（2）求∠AOB的补角的度数．
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54．综合与实践
问题情境：在数学活动课上，老师
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)和同学们以“线段与角的共性”为主题开展数学活动，发现线段的中点的概念与角的平分线的概念类似，甚至它们在计算的方法上也有类似之处，它们之间的题目可以转换，解法可以互相借鉴．
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（1）问题探究：
①如图1，点C在线段上，，点M、N分别是线段、的中点．求线段的长；
②善于思考的小聪发现：只要点C在线段上，任意改变点C的位置，其他条件不变，的长就是．小聪理由如下：因为M、N分别是线段、的中点，所以，所以．老师肯定了小聪的方法．
（2）继续探究：
①如图2，是直角，射线在内部，且是的平分线，是的平分线，则_______．（直接写出结果）
②如图2，是直角，射线在内部，且是锐角，是的平分线，是的平分线．当的大小发生改变时，的大小也会发生改变吗？如果不变，求岀的度数；如果改变，请说明理由．（类比小聪的方法）【来源：21·世纪·教育·网】
（3）深入探究：
如图3，若，在角的外部作射线，再分别作和的角平分线、．若，则______．（直接写出结果）21
cnjy
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55．直线与直线相交于点O，平分，过点O作．
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（1）如图1，若，求①的度数；②的度数．
（2）请根据题目条件重新画图．
①当时，求的度数．
②设，请探究与之间的数量关系．
56．如图，已知∠1=24°40′，OD平分∠BOC，求∠AOD的度数．
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57．如图所示，平分，平分．
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（1）若，，求的度数；
（2）若，，求的度数．
58．如图，O是直线AB上的一点，OC为任意一条射线，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC．
（1）指出图中∠AOD的补角
（2）若∠BOC=68°，求∠EOC的度数
（3）直接写出∠BOD与∠AOE的数量关系．
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59．如图，在直线AD上任取一点O，过点O做射线OB，OE平分∠DOB，OC平分∠AOB，∠BOC＝26°时，求∠BOE的度数．
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60．如图①所示，把一块三角板ABC（∠ACB＝90°）放置在直线MN上，使AC边与MN重合，作∠BCN的角平分线CD．
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（1）求∠ACD的度数；
（2）若将三角板绕点C旋转到如图②所示的位置，其它条件不变，作∠ACM的角平分线CE，求∠DCE的度数．
61．如图，已知、、在同一条直线上，，，平分，求的度数．
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62．如图甲，O为直线上一点，过点O作射线，使，将一直角三角尺的直角顶点放在点O处，一边在射线上，另一边在直线的上方．
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（1）将图甲中的三角尺绕点O按顺时针方向旋转至图乙的位置，使射线成为的平分线，求此时的度数；
（2）继续将图乙的三角尺绕点O按顺时针方向旋转至下图丙的位置，使在的内部，问的度数是否会随着位置的变化而变化？请说明理由；
（3）在上述直角三角尺从图甲旋转至图丙的位置的过程中，若三角尺绕点O按每秒的速度旋转，当直角边所在的直线恰好平分时，求此时三角尺旋转运动的时间？
63．如图，已知，，平分，平分．求的度数．
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64．已知如图，平分，平分，
（1）若，求；
（2）若，其他条件不变，求.
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精品试卷·第
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