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第五讲
探索与表达规律
【提升训练】
一、单选题
1．计算：，，，，，……，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（
）2-1-c-n-j-y
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】
根据已知得出末尾数字以2，8，6，0四个数字不断循环出现，由此用2021除以4看得出的余数确定的个位数字，即可确定的个位数字．
【详解】
解：，，，，，……，
∴末尾数字以2，8，6，0四个数字不断循环出现，
∵2021÷4=505…1，
∴的个位数字是2，
∴的个位数字是3．
故选：D．
【点睛】
本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出所求式子的个位数字．
2．观察下列代数式的排列规律：，，，，．试猜想第100个代数式是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
分别将每个代数式进行转化，发现一般性的规律后，即可求解．
【详解】
解：∵第1个代数式是：
第2个代数式是：
第3个代数式是：
第4个代数式是：
……
∴第2n-1个代数式是：
第2n个代数式是：
∴第100个代数式是：
故选：A．
【点睛】
本题考查了代数式的规律探索，解题的关键是能通过给出的代数式，发现一般性规律．
3．一组数1，3，7，15，31…按下
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)列分组．第一组（1、3、7），第二组（1、3、7、15），第三组（1、3、7、15、31），…按此规律排列，则第10组所有数之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
先分别计算前几组的所有数之和，观察并找出规律，将n=10代入即可．
【详解】
解：第一组各数之和=1+3+7=11=；
第二组各数之和=1+3+7+15=26=；
第三组各数之和=1+3+7+15+31=57=；
…..
第n组各数之和=1+3+7+15+31+…+=；
所以，第10组所有数之和为，
故选：B．
【点睛】
本题考查有理数的乘方运算，探索与表达规律．能通过前几项的计算找出规律是解题关键．
4．观察下列一组数：-1，2，-3，4，-5，6，…，则第100个数是（ ）
A．100
B．-100
C．101
D．-101
【答案】A
【分析】
数字是从1开始连续的自然数，奇数位置为负，偶数位置为正，由此得出答案即可．
【详解】
解：∵奇数数字为负，偶数数字为正，
∴第100个数是100．
故选：A．
【点睛】
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．
5．一列数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中的第35个数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】C
【分析】
从这组数可以得出规律，当数为n时，则共有n个n，依次算出数字5、6….所在的序数，由此可算出第35个数．
【详解】
解：数字1是第1个数，
数字2是第2-3个数，
数字3是第4-6个数，
数字4是第7-10个数，
数字5是第11-15个数，
数字6是第16-21个数，
数字7是第22-28个数，
数字8是第29-36个数，
…..
所以，第35个数为8，
故选：C．
【点睛】
本题考查探索与表达规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
6．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…；
（2），，，，…
利用以上规律计算：的结果是（
）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【分析】
由（1）得到，由（2）得到，再代入计算即可．
【详解】
∵，，，，…；
，，，，…
∴，，
∴＝2020－2019＝1．
故选：D．
【点睛】
考查了有理数的混合运算，数字变化规律，解题关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．
7．观察下列等式：，，，，，…，那么的末位数字是（
）
A．1
B．3
C．7
D．0
【答案】D
【分析】
从运算的结果可以看出位数以7、9、3、1四个数字一循环，用2020除以4，然后根据已知算式得出规律，再求出即可．
【详解】
解：∵71=7，72=49，73=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)343，74=2401，75=16807，76=117649，…，
2020÷4=505，
∴505×（7+9+3+1）=10100，
∴71+72+73+…+72020的末位数字是0，
故选：D．
【点睛】
本题考查探索与表达规律——数字变化类．能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
8．将正整数按如图所示的规律排列下
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)去，若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是（ ）
A．22
B．23
C．24
D．25
【答案】B
【分析】
根据排列规律，得出第n排的最后的数为：n（n+1），据此作答即可．
【详解】
从图中可以发现，第n排的最后的数为：n（n+1）
∵第6排最后的数为：6×（6+1）＝21，
∴（7，2）表示第7排第2个数，
故第7排第二个数为21+2＝23．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了学生阅读理解及总结规律的能力，找到第n排的最后的数的表达式是解题的关键．
9．观察图中三角形三个顶点所标的数字规律，可知数2012应标在（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．第670个三角形的左下角
B．第671个三角形的右下角
C．第671个正方形的左下角
D．第671个三角形的正上方
【答案】D
【分析】
对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，然后利用总结得到的规律求解即可．
【详解】
每个三角形有三个角，三个数的顺序是右下、上、左下．
∵2012÷3=670…2，
∴2012这个数在第671个三角形的正上方顶点处．
故选：D．
【点睛】
此题考查了规律型：数字的变化，比较简单．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．【出处：21教育名师】
10．观察下列算式，，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】
观察可知，末位数字每4个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数是一个周期，末位分别为2，4，8，6．把2020除以4，正好整除，所以22020的末位数字与24的末位数字相同，为6．
【详解】
解：由题意可知，末位数字每4个算式是一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个周期，末位分别为2，4，8，6，
∵2020÷4=505
∴22020的末位数字与24的末位数字相同，为6，
故选：C．
【点睛】
本题考查探索与表达规律．正确得出数字尾数的变化规律是解题关键．
11．观察下列按一定规律排列的图标：
则第2020个图标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
观察图形根据寻找到的规律分析计算即可．
【详解】
观察图形发现：每4个图标为一组，
∵2020÷4＝505，
∴第2020个图标是第505组的第4个图标，
故选：D．
【点睛】
本题考查规律题，找到循环规律是关键．
12．将正整数依次按下表规律排列，则数应排的位置是第（
）
第列
第列
第列
第列
第一行
第二行
第三行
第四行
A．第行第列
B．第行第列
C．第行第列
D．第行第列
【答案】D
【分析】
每行有3列，奇数开始的从左
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边开始排列，偶数开始的从右边开始排列．每行的最后都是3的倍数．那么2019÷3=673，说明2019排在673行的最后，即673行第3列．21·世纪
教育网
【详解】
解：∵2019÷3=673，
∴2019排在673行的最后，
∴2019应在第673行第3列．
故选：D．
【点睛】
本题考查了探索规律的问题，解决此类问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．
13．在棋盘上的米粒故事中，皇帝往棋盘的第
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3格中加倍至4粒米……，以此类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在
第12格中所放的米粒数是(
)
A．22
B．24
C．2
D．2
【答案】C
【分析】
根据题意找出规律：每一格均是前一格的双倍，所以an=2n-1．
【详解】
解：设第n格中放的米粒数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是an，则
a1=1，
a2=a1×2，
a3=a2×2=a1×22，
…
an=a1×2n-1，
∴a12=a1×211=211．
故选：C．
【点睛】
本题考查探索与表达规律，解答本题的关键是从题意中找出规律：每一格均是前一格的双倍，即an=2n-1．
14．如图是一组有规律的图案，它们是由
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第2018个图案中涂有阴影的小正方形个数为( )
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8073
B．8072
C．8071
D．8070
【答案】A
【分析】
观察图形可知第1个、第2个、第3个图案中涂有阴影的小正方形的个数，易归纳出第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4n+1，由此求解即可.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：观察图形的变化可知：
第1个图案中涂有阴影的小正方形个数为：5=4×1+1；
第2个图案中涂有阴影的小正方形个数为：9=4×2+1；
第3个图案中涂有阴影的小正方形个数为：13=4×3+1；
…
发现规律：
第n个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4n+1；
∴第2018个图案中涂有阴影的小正方形个数为：4n+1=4×2018+1=8073．
故选：A．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，根据已有图形确定其变化规律是解题的关键.
15．观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．31
B．42
C．45
D．51
【答案】A
【分析】
根据已有图形的变化确定变化规律即可求出第10个图形中棋子的个数.
【详解】
解：第1个图棋子的个数为4；
第2个图棋子的个数为；
第3个图棋子的个数为；
第4个图棋子的个数为；
……
第10个图棋子的个数为.
故选：A.
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，灵活的观察图形，归纳出其变化规律是解题的关键.
16．己知下列一组数：，，，，，…则第个数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
仔细分析所给数据可得分子部分是从1开始的连续奇数，分母部分是从1开始的连续整数的平方，从而可以得到结果．
【详解】
解：第一个数：，
第二个数：，
第三个数：，
第四个数：，
第五个数：，
…
第n个数：．
故选：C．
【点睛】
本题是一道找规律的题目，解答本题的关键是认真分析所给数据得到规律，再把这个规律应用于解题．
17．如图是由从1开始的连结自然数组成，按此规律继续写下去，则前8行所有自然数的和与第10行最后一个数分别是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2080，100
B．4160，64
C．5050，100
D．2525，64
【答案】A
【分析】
只观察第一行的最后一个数，发现是行数的平方,即可求出第8行与第10行最后一个数，再求出前8行所有自然数的和．
【详解】
（1）由表得：第1行的最后一个数是：1＝12，
第2行的最后一个数是：4＝22，
第3行的最后一个数是：9＝32，
第4行的最后一个数是：16＝42，
所以第8行的最后一个数是：82＝64，
所以第10行的最后一个数是：102＝100，
前8行所有自然数的和为1+2+3+…+64==2080，
故选A．
【点睛】
本题是数字类的变化题，要认真观察图形，找行与
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)列中特殊位置数的规律；如每行有几个数，每行最后一个数或第一个数哪个数的规律比较简单或明显，从此入手，解决问题．
18．在科幻电影“银河护卫队”中，星球之间的穿梭往往靠宇宙飞船沿固定路径“空间跳跃”完成。如图所示：两个星球之间的路径只有条，三个星球之间的路径有条，四个星球之间的路径有条，…，按此规律，则七个星球之间“空间跳跃”的路径有（
）
A．15条
B．21条
C．28条
D．32条
【答案】C
【详解】
由图形可以知道,
两个星球之间,它们的路径只有1条;
三个星球之间的路径有2+1=3条;
四个星球之间的路径有3+2+1=6条;
……,
按此规律,七个星球之间”空间跳跃”的路径有
7+6+5+4+3+2+1=28条.
故选C.
【点睛】
本题考查找规律的题型,关键在于根据题意找出规律,利用规律解题即可.
19．下列图形（包括数）按照一定的规律排列，依此规律，第300个图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
观察图形和数字的变化图形个数为偶数时，数字位置在二、四象限的位置，第300个图形的数字与第10个图形的数字位置即可求解．
【详解】
解：观察图形及数字的变化可知：
每个数都比前一个数多3，
所以第n个图形上的数字为1+3（n﹣1）＝3n﹣2．
所以第300个图形上的数字为3×300﹣2＝898．
每六个循环．所以与第六图位置数字相同．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查图形的规律探索，解题的根据是根据题意找到规律进行求解.
20．古希腊著名的毕达哥
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)拉斯学派把1、3、6、10…
这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…
这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.则下列符合这一规律的等式是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)…
A．20=4+16
B．25=9+16
C．36=15+21
D．49=20+29
【答案】C
【分析】
根据题意，“正方形数”与“三角形数”之间的关系为：(n>1)，据此一一验证即可.
【详解】
解：A.20不是“正方形数”，此项不符合题意；
B.9，16不是“三角形数”，此项不符合题意；
C.36是“正方形数”，15，21是“三角形数”，且符合二者间的关系式，此项符合题意；
D.29不是“三角形数”，此项不符合题意.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查学生对探索题的总结能力，这类题目一般利用排除法比较容易得出答案.
21．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2．3；先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上表示数字（
）的点重合．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】
由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数轴在此圆上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合．
【详解】
解：∵-1-（-2018）=2017，
2017÷4=504…1，
∴数轴上表示数-2018的点与圆周上起点处表示的数字重合，即与3重合．
故选：D．
【点睛】
本题考查了数轴，本题找到表示数-2018的点与圆周上起点处表示的数字重合，是解题的关键．
22．一列数，其中，则（
）
A．
B．1
C．2020
D．
【答案】A
【分析】
根据题意，可以写出这列数的前几项，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到a2020的值．
【详解】
解：由题意可得，
a1=-1，
a2=，
a3=，
a4=，
…，
由上可得，这列数依次以-1，，2循环出现，
∵2020÷3=673…1，
∴a2020=-1，
故选A．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数据．
23．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（
）
A．38
B．52
C．66
D．74
【答案】D
【分析】
分析前三个正方形可知，规律为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)右上和左下两个数的积减左上的数等于右下的数，且左上，左下，右上三个数是相邻的偶数．因此，图中阴影部分的两个数分别是左下是8，右上是10．
【详解】
解：由题意可得：
阴影部分左下是8，右上是10，
∴8×10-6=74，
故选：D．
【点睛】
本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于找出阴影部分的数．
24．一个纸环链按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中一部分，剩下的部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
【答案】B
【分析】
该纸链是5的倍数，剩下部分有12个，12=5×2+2，所以中间截去的是3+5n，从选项中数减3为5的倍数即得到答案．
【详解】
解：由题意，可知中间截去的是5n+3（n为正整数），
?当5n+3=2020时，n=，不符合题意，
当5n+3=2019时，n=，不符合题意，
当5n+3=2018时，n=403，符合题意，
当5n+3=2017时，n=，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的变化规律，从整体是5个不同颜色环的整数倍数，截去部分去3后为5的倍数，从而得到答案．
25．如图，第①个图形是由3根火
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)柴棒围成的，第②个图形是由9根火柴棒围成的，第③个图形是由18根火柴棒围成的，按此规律接下去，则第8幅图形的火柴棒根数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．108
B．110
C．111
D．114
【答案】A
【分析】
由图可知：第①个图形中有3根火柴棒，第②个图形中有9根火柴棒，第②个图形中有18根火柴棒，…依此类推第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）=n（n+1）根火柴；由此代入求得答案即可．
【详解】
解：∵第①有1个三角形，共有3×1根火柴；
第②个有1+2个三角形，共有3×（1+2）根火柴；
第③个有1+2+3个三角形，共有3×（1+2+3）根火柴；
…
∴第n个有1+2+3+…+n个三角形，共有3×（1+2+3+…+n）=n（n+1）根火柴；
∴第8个图形中火柴棒根数是×8×（8+1）=108，
故选：A．
【点睛】
此题考查了图形的变化规律，解题的关键是发现三角形个数的规律，从而得到火柴棒的根数．
26．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）
（2）
利用以上规律计算：（
）
A．1
B．2
C．2020
D．2021
【答案】A
【分析】
由题意可得，然后问题可进行求解．
【详解】
解：由题中所给定义可得：，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查数字规律的问题，关键是根据题意得到一般规律，然后可求解．
27．如图，用灰、白两色正方形瓷砖铺设地面，第10个图案中白色瓷砖数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．28
B．29
C．32
D．34
【答案】C
【分析】
根据图形的变化得到规律即可求解．
【详解】
解：观察图形的变化可知：
第1个图案中白色瓷砖块数为3×1＋2＝5；
第2个图案中白色瓷砖块数为3×2＋2＝8；
第3个图案中白色瓷砖块数为3×3＋2＝11；
．．
得到规律：
第10个图案中白色瓷砖块数为3×10＋2＝32．
故选C．
【点睛】
本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化发现规律．
28．观察下面一组数：，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，则第10行中从左边数第9个数是（
）【来源：21cnj
y.co
m】
第一行：
第二行：2；；4
第三行：；6
；；8；
第四行：10；；12；；14；；16
A．
B．90
C．
D．91
【答案】B
【分析】
奇数为负，偶数为正，每行的最后一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个数的绝对值是这个行的行数n的平方，所以第9行最后一个数字的绝对值是81，第10行从左边第9个数是81+9=90．【版权所有：21教育】
【详解】
解：由题意可得：9×9=81，81+9=90，
故第10行从左边第9个数是90．
故选B．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化．解题关键是确定第9行的最后一个数字，同时注意符号的变化．
29．把2020个数1，2，3，…，2020的每一个数的前面任意填上“＋”号或“－”号，然后将它们相加，则所得之结果为（
）21教育名师原创作品
A．正数
B．偶数
C．奇数
D．有时为奇数；有时为偶数
【答案】B
【分析】
这从1到2020一共2020个数，其中1010个奇数、1010个偶数，所以任意加上“+”或“-”，相加后的结果一定是偶数．
【详解】
解：这从1到2020一共2020个数，相邻两个数之和或之差都为奇数，
所以可以得到1010组奇数，这1010组奇数相加一定为偶数．
故选：B．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，掌握两个数的和与差的奇偶性相同是解题的关键．
30．已知整数，满足下列条件：，…，以此类推，的值是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
通过有限次计算的结果，发现并总结规律，根据发现的规律推算出要求的字母表示的数值．
【详解】
解：a0=0，
a1=-|a0+1|=-|0+1|=-1，
a2=-|a1+2|=-|-1+2|=-1，
a3=-|a2+3|=-|-1+3|=-2，
a4=-|a3+4|=-|-2+4|=-2，
a5=-|a4+5|=-|-2+5|=-3；
a6=-|a5+6|=-|-3+6|=-3；
a7=-|a6+7|=-|-3+7|=-4；
……
由此可以看出，这列数是0，-1，-1，-2，-2，-3，-3，-4，-4，……，
（2020+1）÷2=1010…1，故a2020=-1010，
故选：B．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类，需要掌握绝对值的运算法则．
31．电影院第一排有个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第排的座位数为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
依题意，电影院第一排有个座位，第排与第一排相差排，又后面每排比前排多2个座位，所以第排比第一排多的座位为：，即可；21cnjy.com
【详解】
解：由题知，电影院第一排有个座位；又后面每排比前排多2个座位；
第排与第一排相差：排，∴第排比第一排多的座位为：；
∴第排的座位为：；
故选：B
【点睛】
本题考查规律的使用，关键在规律的总结和巧妙使用，此处重在归纳总结；
32．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如3的差倒数是＝﹣，﹣的差倒数为＝．现已知x1＝2，x2是x1的差倒数，x3是x2差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2020+x2021的和为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．1
B．﹣
C．
D．﹣
【答案】A
【分析】
根据题意，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得x2020+x2021的和．
【详解】
解：由题意可得，
x1＝2，
x2＝＝﹣1，
x3＝，
x4＝＝2，
…，
由上可得，这列数依次以2，﹣1，循环出现，
∵2020÷3＝673…1，2021÷3＝673…2，
∴x2020+x2021＝2+（﹣1）＝1，
故选：A．
【点睛】
本题考查数字的变化类、差倒数，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．
33．设一列数，，，…，，…中任意三个相邻的数之和都是，已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由题可知，a1，a2，a3每
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三个循环一次，可得a30=a3，a92=a2，所以x=4-x，即可求a2=2，a3=11，再由三个数的和是20，可求a2021=a2=2．21·cn·jy·com
【详解】
解：由题可知，a1+a2+a3=a2+a3+a4，
∴a1=a4，
∵a2+a3+a4=a3+a4+a5，
∴a2=a5，
∵a4+a5+a6=a3+a4+a5，
∴a3=a6，
……
∴a1，a2，a3每三个循环一次，
∵30÷3=10，
∴a30=a3，
∵92÷3=30…2，
∴a92=a2，
∴x=4-x，
∴x=2，
∴a2=2，
∵2021÷3=673…2，
∴a2021=a2=2，
故选：A．
【点睛】
本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的运算解题是关键．
34．如图，圆圈内分别标有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0~11这12个数字，电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈．一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按顺时针方向跳了2020次后，落在的圆圈中所标的数字为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【分析】
由一圈有12个数可知：电子跳蚤每跳
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)动12次一循环，结合2020=12×168+4即可得出：电子跳蚤按顺时针方向跳了2020次后，落在数字为4的圆圈内，此题得解．2·1·c·n·j·y
【详解】
解：依题意，可知：电子跳蚤每跳动12次一循环，
∵2020=12×168+4，
∴电子跳蚤按顺时针方向跳了2020次后，落在数字为4的圆圈内．
故选C．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，观察图形，找出电子跳蚤每跳动12次一循环是解题的关键．
35．下列图形都是由同样大
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)小的黑色三角形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个黑色三角形，第②个图形中有4个黑色三角形，第③个图形中有8个黑色三角形，第④个图形中有13个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图形中黑色三角形的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．32
B．33
C．34
D．35
【答案】C
【分析】
根据前4个图形中黑色三角形的个数，总结出规律，然后根据规律得出答案即可．
【详解】
第①个图形中有1个黑色三角形，
第②个图形中有4个黑色三角形，，
第③个图形中有8个黑色三角形，，
第④个图形中有13个黑色三角形，，
第⑤个图形中黑色三角形的个数为，
第⑥个图形中黑色三角形的个数为，
第⑦个图形中黑色三角形的个数为，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查图形类规律，找到规律是解题的关键．
36．一列数，其中为不小于2的整数，则（
）
A．
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】
由题意易得，，，…..；由此可得规律为按照三个一循环进行下去，因此问题可求解．
【详解】
解：由为不小于2的整数可得：
，，，…..；
∴该列数的规律为按照三个一循环排列下去，
∴，
∴2；
故选B．
【点睛】
本题主要考查数字规律，关键是由题意得到数字的一般规律，进而问题可求解．
37．一列数…，其中，，，…，（n为不小于2的整数），则（
）
A．
B．2
C．2018
D．
【答案】D
【分析】
根据通项公式可以依次求出前几个数，发现每三个数为一个循环，依次为、2、-1，用2020÷3根据商和余数确定结果，如果余数为1，是；如果余数为2，是2，如果整除是-1，从而得出结论．
【详解】
解：由通项公式，依次代入得：
，
，
，
，
，
发现，每三个数为一个循环，
，
则的值为；
故选：．
【点睛】
本题是数字类的变化规律题，认真观察、仔细思考，注意从第一个数开始依次计算，善用联想是解决这类问题的方法．
38．下列图形都是由同样大小的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)▲按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个▲；第2个图形中一共有9个▲；第3个图形中一共有12个…按此规律排列，则第6个图形中▲的个数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．18
C．20
D．21
【答案】D
【分析】
仔细观察图形，找到图形中圆形个数的通项公式，然后代入n=6求解即可．
【详解】
解：观察图形得：
第1个图形有3+3×1=6个三角形，
第2个图形有3+3×2=9个三角形，
第3个图形有3+3×3=12个三角形，
…
第n个图形有3+3n=3（n+1）个三角形，
当n=6时，3×（6+1）=21，
故选择：D．
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的读题并找到图形变化的规律，难度不大．
二、填空题
39．将正整数按如图所示的规律
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是
____
www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】（11，3）
【分析】
根据图中的数据，可知第几排有几个数，每排的数据奇数排从左到右是由小变大，每排的数据偶数排从左到右是由大变小，由此可以判断58所在的位置．
【详解】
解：由题意可得，
∵58＝（1+2+3+…+10）+3，
∴58所对应的有序数对是（11，3），
故答案为：（11，3）．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
40．观察下列等式：，，，，，，…则……的末位数字是
_________．
【答案】2
【分析】
根据各数的个位数字的变化，可得出每项
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的个位数字分别为3，9，7，1，…，且四次一循环，再结合“10÷4=2……2，3+9+7+1=20”可得出原式的末位数字为2．21世纪教育网版权所有
【详解】
解：∵，，，，，，…
∴每项的个位数字分别为3，9，7，1，…，且四次一循环．
∵10÷4=2……2，3+9+7+1=20，
0×2+3+9=12
∴……的末位数字是2．
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类以及尾数特征，根据各数个位数字的变化，找出变化规律是解题的关键．
41．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2020个单项式是_____．
【答案】2020
【分析】
根据系数的规律：第n个对应的系数是2n-1．指数的规律：第n个对应的指数是n，即可求解．
【详解】
根据分析的规律可知，
系数的规律：第n个对应的系数是2n-1．指数的规律：第n个对应的指数是n，
所以第2020个单项式是:
(2020×2?1)x2020，
即4039x2020，
故答案为4039x2020．
【点睛】
考查单项式，找出单项式系数以及次数的规律是解决问题的关键．
42．如图所示，第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，，则第个图案由_______个基础图形组成．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】100
【分析】
观察图形很容易看出每加一个图案就增加3个基础图形，然后写出第n个图案的基础图形的个数为3n+1，再把33代入进行计算即可得解．
【详解】
解：第一个图案基础图形的个数：3+1=4；
第二个图案基础图形的个数：3×2+1=7；
第三个图案基础图形的个数：3×3+1=10；
…
第n个图案基础图形的个数就应该为：3n+1．
第33个图案基础图形的个数为3×33+1=100．
故答案为：100．
【点睛】
本题是对图形变化规律的考查，观察图形得到后一个图形比前一个图形多3个基础图形是解题的关键．
43．已知：，，，，，…，那么的个位数字是______．
【答案】2
【分析】
先根据题意找出规律：从21开始，2
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)n的个位数字依次是2，4，8，6，……，即2，4，8，6循环，每4个循环一次，再计算2021除以4的余数即得结果．
【详解】
解：，的个位数字是2，
，的个位数字是4，
，的个位数字是8，
，的个位数字是6，
，的个位数字是2，，
规律：从21开始，2n的个位数字依次是2，4，8，6，……，即2，4，8，6循环，每4个循环一次．
2021÷4=505…..1，所以的个位数字是2．
故答案为2．
【点睛】
本题是典型的规律探求问题，主要考查了有理数的乘方和探求规律，解题的关键是根据已知得出2n的个位数字的循环规律．
44．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；按这样的规律下去，第5幅图中有______个正方形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】55
【分析】
根据已知图形找出每幅图中正方形个数的变化规律，即可计算出第5幅图中正方形的个数．
【详解】
解：观察图形发现
第1幅图有1个正方形，
第2幅图有1+4=5个正方形，
第3幅图有1+4+9=14个正方形，
……
则第5幅图有1+4+9+16+25=55个正方形．
故答案为：55．
【点睛】
本题考查的是探索规律题，找出正方形个数的变化规律是解决此题的关键．
三、解答题
45．观察下列各式：
13+23＝9＝×4×9＝×22×32，
13+23+33＝36＝×9×16＝×32×42，
13+23+33+43＝100＝×16×25＝×42×52，……
（1）请写出第4个式子
；
（2）若n为正整数，试猜想13+23+33+…+n3＝
；
（3）试利用（2）中猜想的结论比较13+23+33+…+103与（﹣54）2的大小．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）根据题目中的等式，可以写出第4个式子；
（2）根据题目中的等式，可以写出第n个式子；
（3）根据（2）中的结果，可以将13+23+33+…+103化简，然后与（﹣54）2比较大小，从而可以解答本题．
【详解】
解：（1）由题意可得，
第4个式子是：13+23+33+43+53＝225＝×25×36＝×52×62，
故答案为：13+23+33+43+53＝225＝×25×36＝×52×62；
（2）13+23+33+…+n3＝n2（n+1）2，
故答案为：n2（n+1）2；
（3）∵13+23+33+…+103＝×102×112＝552＞（﹣54）2，
∴13+23+33+…+103＞（﹣54）2．
【点睛】
本题考查了数字变化规律，根据逐项增加计算所得的结构总结出规律是解题的关键．
46．用一样长的小木棒按下图中的方式搭图形.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）按图示规律填空：
图形标号
①
②
③
…
小木棒的根数
9
…
（2）按照这种规律搭下去，搭第个图形需要________根小木棒；
（3）请求出搭第100个图形需要的小木棒的根数.
【答案】（1）16，23；（2）；（3）
【分析】
（1）根据图形可知，后一个图形中小木棒数量比前一个图形小木棒数量多7，据此可填出表中数据；
（2）第一个图形需要9根小木棒，后面每一个图形都比前一个多7根，据此即可求得答案；
（3）根据（2）的代数式即可求得时的小木棒的数量．
【详解】
（1）第一个图形中小木棒的根数为9；
第二个图形中小木棒的根数为9+7=16；
第三个图形中小木棒的根数为16+7=23；21教育网
填表如下：
图形标号
①
②
③
…
小木棒的根数
9
16
23
…
故答案为：16，23；
（2）根据（1）的规律：
可以发现第几个图形中小木棒的根数为：；
故答案为：；
（3）当，需要的小木棒的根数为：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了图形的变化规律
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．观察图形得到后一个图形比前一个图形多7根小木棒是解题的关键．
47．如图，给出四个点阵，表示每个点阵中点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）请问第个点阵中的点的个数_________．
（2）猜想第个点阵中的点的个数________．
（3）若已知点阵中点的个数为，问这个点阵是第几个?
【答案】（1）17；（2）4n?3；（3）第10个
【分析】
（1）观察图形，它们的点数分别是1，5，9，13，…，再由这组数的每一个数找出相同的规律，即而表示出第n个点阵中的点的个数；故可得到第个点阵中的点的个数；
（2）根据（1）中找到的规律即可写出第个点阵中的点的个数；
（3）由（2）得出的规律，可设点的个数为37的点阵为第x个，列方程，解此方程即得答案．
【详解】
（1）由点阵图形可得它们的点的个数分别为：1，5，9，13，…，并得出以下规律：
第一个点数：1＝1＋4×（1?1）
第二个点数：5＝1＋4×（2?1）
第三个点数：9＝1＋4×（3?1）
第四个点数：13＝1＋4×（4?1）
…
因此可得：
第n个点数：1＋4×（n?1）＝4n?3．
故第个点阵中的点的个数4×5-3=17；
故答案为：17；
（2）第n个点数：s＝4n?3，
故填：4n?3；
（3）设这个点阵是x个，根据（2）得：
4x?3＝37
解得：x＝10．
答：这个点阵是第10个．
【点睛】
此题考查了学生观察、分析、归纳问题规律的能力．关键是通过观察图形发现第n个点数：1＋4×（n?1）这个规律．21
cnjy
com
48．阅读理解：小明是一个好学的学
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)生，下面是他从网络搜到两位数乘11速算法．规律：“头尾一拉，中间相加，满十进一”．例如：①24×11=264．计算过程：24
两数拉开，中间相加，即
2+4=6，最后结果264；②68×11=748．计算过程：68两数分开，中间相加，即6+8=14，满十进一，最后结果748．
（1）计算：①25×11=
，②87×11=
；
（2）若某一个两位数十位数字是a，个位数字是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)b（a+b<10），将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是
，十位数字是
，个位数字是
；（用含
a、b
的代数式表示）21
cnjy
com
（3）请你利用所学的知识解释其中原理.
【答案】（1）①275，②957；（2）百位数是：a，十位数是a+b，个位数是：b；（3）答案见解析
【分析】
（1）根据“头尾一拉，中间相加，满十进一”口诀计算即可得出答案；
（2）根据“头尾一拉，中间相加，满十进一”口诀计算即可得出答案；
（3）根据乘法的简便计算即可得出答案.
【详解】
解：（1）①275，②957；
（2）百位数是：a，十位数是a+b，个位数是：b；
（3）两位数乘以11可以看成
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)这个两位数乘以10再加上这个两位数，若两位数的十位数为a，个位数为b，则11×(10a+b)
=10×(10a+b)+(10a+b)=100a+10b+10a+b=100a+10(a+b)+b
根据上述代数式，不难总结出规律口诀：头尾一拉，中间相加，满十进一.
【点睛】
本题考查的是用已知的规律计算类同的算式的积的能力，解题的关键是理解清楚题目意思，然后利用规律进行计算.
49．观察下列各不等式，发现规律并回答问题：
；；；......
（1）根据规律写出第4个式子：
（2）利用规律求的值.
【答案】（1）
；（2）
．
【分析】
（1）根据所给的式子找出第一、第二、第三个式子的规律，进而可写出第四个式子；
（2）先类比（1）的规律将原式变形，再计算即可．
【详解】
解：（1）第4个式子：
；
（2）
=
=
=
=
=
．
【点睛】
本题考查数字的变化规律，找出分数分子与分母的特点，得出拆分的规律是解题的关键．
50．如右图,将一张正方形纸
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)片剪成四个形状大小一样的小正方形(称为剪一次),
然后将其中一个小正方形再按相同的方法剪成四个小正形,再将其中一个小正方形剪成四个小正方形,如反复做下去.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
填表:
剪的次数
1
2
3
4
5
小正方形个数
剪了2011次,共剪出多少个小正方形?
【答案】
【小题1】依次填：4、7、10、13、16
【小题2】6034
【详解】
一张正方形的纸按照题目要求剪小正方形，每多剪一次就以次增加3个小正方形．到了3乘以剪的次数加上原来的1个正方形就等于小正方形的个数．
即：小正方形的个数=3n+1(n为正整数)
51．有一列有序数对：，，，，，按此规律，第5对有序数对为？
【答案】
【分析】
根据题意各数对为（，），（，），（，）第n个数对是，由此可以得出第5对有序数对．
【详解】
解：第1对是，，；
第2对是，，；
第3对是，，；
第4对是，，，
第5对有序数对为．
答案：；
【点睛】
此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律与符号排列规律，利用规律解决问题．
52．如图是用大小相等的小五角星按一定规律拼成的一组图案，第个图案中有颗五角星，第个图案中有颗五角星，第个图案中有颗五角星，…，请根据你的观察完成下列问题．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）根据上述规律，分别写出第个图案和第个图案中小五角星的颗数；
（2）按如图所示的规律，直接写出第个图案中小五角星的颗数；（用含的代数式表示）
（3）第2021个图案中有多少颗五角星？
【答案】（1）第4个图案13颗；第5个图案16颗；（2）颗；（3）6064颗
【分析】
（1）观察图形，观察图形发现图形的规律，然后利用规律可找出第4个图案和第5个图案中小五角星的颗数；
（2）根据各图形中五角星个数的变化，可找出第n个图案中有（3n+1）颗五角星；
（3）代入n=2021即可求出结论．
【详解】
解：（1）第个图案中有颗五角星，
第个图案中有颗五角星，
第个图案中有颗五角星，
则第个图案中小五角星的颗数；
第个图案中小五角星的颗数
（2）（1）第个图案中有颗五角星，
第个图案中有颗五角星，
第个图案中有颗五角星，
则第个图案中小五角星的颗数；
第个图案中小五角星的颗数，…，
则第个图案中有颗五角星．
（3）当时，，
第个图案中有颗五角星．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图形中五角星个数的变化，找出第n个图案中有（3n+1）颗五角星是解题的关键．
53．观察下列等式：
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个算式：
；
（2）由此计算：
（3）用含n的代数式表示第n个等式：an=
．（n为正整数）
【答案】（1）；（2）；（3）=
【分析】
（1）仿照已知等式得到第5个等式即可；
（2）原式利用得出的规律变形，计算即可求出值；
（3）分子是1，分母是两个连续奇数的乘积，等于分子是1，分母是这两个连续奇数的两个分数差的，由此即可得出答案．
【详解】
解：（1）第5个等式：，
故答案为：；
（2）
=
=
=
=；
（3）用含n的代数式表示第n个等式：
=（n为正整数），
故答案为：=．
【点睛】
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，发现式子的变化规律，求出所求式子的值．
54．探索规律：下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而成的，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）观察图形，填写下表：
图形
①
②
③
……
正方形的个数
5
……
图形的周长
12
……
（2）请推测第个图形中，正方形的个数为_____，图形的周长为________（都用含的式子表示）；
（3）当时，求出图形的周长．
【答案】（1）8，18，11，24；（2）3n+2，6n+6；（3）12120
【分析】
（1）根据图形数出n=1，2，3，…，正
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)方形的个数，算出图形的周长；
（2）根据（1）规律依此类推，可得出第n个图形中，正方形的个数及周长；
（3）把n=2019代入进行计算即可得到答案．
【详解】
解：（1）第1个图形中，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)正方形的个数为5，周长为12；
第2个图形中，正方形的个数为5+3=8，周长为12+6=18，
第3个图形中，正方形的个数为5+3×2=11，周长为12+6×2=24．
（2）由（1）得，第n个图形
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)中，正方形的个数为5+3×（n-1）=3n+2，周长为12+6×（n-1）=6n+6；
（3）当n=2019时，周长=6×2019+6=12120．
【点睛】
本题为数字型猜想归纳题，着重考查同学们的阅读
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)理解、探索规律和归纳猜想等多方面的能力．解题思维过程是从特殊情况入手→探索、发现规律→归纳、猜想出结果→取特殊值代入验证，即体现特殊→一般→特殊的解题过程．同时启发同学们在学习过程中关注结果的同时，更应注重概念、法则、公式、公理的形成和发展过程．
55．按如图所示的规律摆放三角形：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）图④中三角形的个数为
；
（2）试用含n的式子表示你发现的规律．
【答案】（1）13；（2）第n个图形中三角形的个数为3n+2
【分析】
（1）根据题目中图形，可以写出图④三角形个数；
（2）根据题目中图形，可以写出第n个图中三角形个数；
【详解】
解：（1）由图可得，
图④中三角形的个数为：5+4×2＝5+8＝13，
故答案为：13；
（2）由图可得，
第n个图形中三角形的个数为：（n+2）+2n＝3n+2，
即发现的规律是：第n个图形中三角形的个数为3n+2．
【点睛】
本题考查图形的变化类规律探索，解题的关键是明确题意，找出图形变化的规律，利用数形结合的数学思想．
56．如图，数学活动课上小明用火柴棍
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)拼图形，1个三角形需3根，2个三角形需5根，3个三角形需7根，．．．，若图形中有30个三角形，则需要火柴棍的根数为___________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】61
【分析】
根据图形得出每增加一个三角形就增加了2根火柴棍，据此得出答案．
【详解】
解：根据题意可知，每增加一个三角形就增加了2根火柴棍，
图中有1个三角形，需火柴棍的根数为3，
图中有2个三角形，需火柴棍的根数为5，5=
，
图中有3个三角形，需火柴棍的根数为7，
7=
，
．．．．．．
图中有30个三角形需要=61根火柴棍，
故答案为：61．
【点睛】
本题主要考查图形的变化规律，对于
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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第五讲
探索与表达规律
【提升训练】
一、单选题
1．计算：，，，，，……，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（
）21·cn·jy·com
A．0
B．1
C．2
D．3
2．观察下列代数式的排列规律：，，，，．试猜想第100个代数式是（
）
A．
B．
C．
D．
3．一组数1，3，7，15，31…按下列
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分组．第一组（1、3、7），第二组（1、3、7、15），第三组（1、3、7、15、31），…按此规律排列，则第10组所有数之和为（ ）www.21-cn-jy.com
A．
B．
C．
D．
4．观察下列一组数：-1，2，-3，4，-5，6，…，则第100个数是（ ）
A．100
B．-100
C．101
D．-101
5．一列数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中的第35个数为（
）
A．6
B．7
C．8
D．9
6．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…；
（2），，，，…
利用以上规律计算：的结果是（
）
A．
B．
C．0
D．1
7．观察下列等式：，，，，，…，那么的末位数字是（
）
A．1
B．3
C．7
D．0
8．将正整数按如图所示的规律排列下去，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)若用有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是（ ）2·1·c·n·j·y
A．22
B．23
C．24
D．25
9．观察图中三角形三个顶点所标的数字规律，可知数2012应标在（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．第670个三角形的左下角
B．第671个三角形的右下角
C．第671个正方形的左下角
D．第671个三角形的正上方
10．观察下列算式，，，，，，，，，用你所发现的规律得出的末位数字是（
）
A．2
B．4
C．6
D．8
11．观察下列按一定规律排列的图标：
则第2020个图标是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．将正整数依次按下表规律排列，则数应排的位置是第（
）
第列
第列
第列
第列
第一行
第二行
第三行
第四行
A．第行第列
B．第行第列
C．第行第列
D．第行第列
13．在棋盘上的米粒故事中，皇帝往棋盘
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，在第3格中加倍至4粒米……，以此类推，每一格均是前一格的双倍，那么他在
第12格中所放的米粒数是(
)
A．22
B．24
C．2
D．2
14．如图是一组有规律的图案，它们是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第2018个图案中涂有阴影的小正方形个数为( )www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．8073
B．8072
C．8071
D．8070
15．观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．31
B．42
C．45
D．51
16．己知下列一组数：，，，，，…则第个数为（
）
A．
B．
C．
D．
17．如图是由从1开始的连结自然数组成，按此规律继续写下去，则前8行所有自然数的和与第10行最后一个数分别是（
）【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2080，100
B．4160，64
C．5050，100
D．2525，64
18．在科幻电影“银河护卫队”中，星球之间的穿梭往往靠宇宙飞船沿固定路径“空间跳跃”完成。如图所示：两个星球之间的路径只有条，三个星球之间的路径有条，四个星球之间的路径有条，…，按此规律，则七个星球之间“空间跳跃”的路径有（
）2-1-c-n-j-y
A．15条
B．21条
C．28条
D．32条
19．下列图形（包括数）按照一定的规律排列，依此规律，第300个图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
20．古希腊著名的毕达哥拉斯学派
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)把1、3、6、10…
这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…
这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.则下列符合这一规律的等式是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)…
A．20=4+16
B．25=9+16
C．36=15+21
D．49=20+29
21．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2．3；先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示数的点与圆周上表示数字（
）的点重合．【来源：21cnj
y.co
m】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0
B．1
C．2
D．3
22．一列数，其中，则（
）
A．
B．1
C．2020
D．
23．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（
）
A．38
B．52
C．66
D．74
24．一个纸环链按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中一部分，剩下的部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2017
B．2018
C．2019
D．2020
25．如图，第①个图形是由3根火柴棒围
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)成的，第②个图形是由9根火柴棒围成的，第③个图形是由18根火柴棒围成的，按此规律接下去，则第8幅图形的火柴棒根数是（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．108
B．110
C．111
D．114
26．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）
（2）
利用以上规律计算：（
）
A．1
B．2
C．2020
D．2021
27．如图，用灰、白两色正方形瓷砖铺设地面，第10个图案中白色瓷砖数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．28
B．29
C．32
D．34
28．观察下面一组数：，将这组数排成如图的形式，按照如图规律排下去，则第10行中从左边数第9个数是（
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第一行：
第二行：2；；4
第三行：；6
；；8；
第四行：10；；12；；14；；16
A．
B．90
C．
D．91
29．把2020个数1，2，3，…，2020的每一个数的前面任意填上“＋”号或“－”号，然后将它们相加，则所得之结果为（
）
A．正数
B．偶数
C．奇数
D．有时为奇数；有时为偶数
30．已知整数，满足下列条件：，…，以此类推，的值是（
）
A．
B．
C．
D．
31．电影院第一排有个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第排的座位数为（
）
A．
B．
C．
D．
32．若x是不等于1的实数，我们把称为x的差倒数，如3的差倒数是＝﹣，﹣的差倒数为＝．现已知x1＝2，x2是x1的差倒数，x3是x2差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2020+x2021的和为（ ）【版权所有：21教育】
A．1
B．﹣
C．
D．﹣
33．设一列数，，，…，，…中任意三个相邻的数之和都是，已知，，，则（
）
A．
B．
C．
D．
34．如图，圆圈内分别标有0~11这12
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个数字，电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈．一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按顺时针方向跳了2020次后，落在的圆圈中所标的数字为（
）
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A．2
B．3
C．4
D．5
35．下列图形都是由同样大小的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)黑色三角形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个黑色三角形，第②个图形中有4个黑色三角形，第③个图形中有8个黑色三角形，第④个图形中有13个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图形中黑色三角形的个数为（
）21·世纪
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．32
B．33
C．34
D．35
36．一列数，其中为不小于2的整数，则（
）
A．
B．2
C．
D．
37．一列数…，其中，，，…，（n为不小于2的整数），则（
）
A．
B．2
C．2018
D．
38．下列图形都是由同样大小的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)▲按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个▲；第2个图形中一共有9个▲；第3个图形中一共有12个…按此规律排列，则第6个图形中▲的个数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6
B．18
C．20
D．21
二、填空题
39．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是
____
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
40．观察下列等式：，，，，，，…则……的末位数字是
_________．
41．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2020个单项式是_____．
42．如图所示，第个图案由个基础图形组成，第个图案由个基础图形组成，，则第个图案由_______个基础图形组成．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
43．已知：，，，，，…，那么的个位数字是______．
44．如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；按这样的规律下去，第5幅图中有______个正方形．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
三、解答题
45．观察下列各式：
13+23＝9＝×4×9＝×22×32，
13+23+33＝36＝×9×16＝×32×42，
13+23+33+43＝100＝×16×25＝×42×52，……
（1）请写出第4个式子
；
（2）若n为正整数，试猜想13+23+33+…+n3＝
；
（3）试利用（2）中猜想的结论比较13+23+33+…+103与（﹣54）2的大小．
46．用一样长的小木棒按下图中的方式搭图形.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）按图示规律填空：
图形标号
①
②
③
…
小木棒的根数
9
…
（2）按照这种规律搭下去，搭第个图形需要________根小木棒；
（3）请求出搭第100个图形需要的小木棒的根数.
47．如图，给出四个点阵，表示每个点阵中点的个数，按照图形中的点的个数变化规律，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）请问第个点阵中的点的个数_________．
（2）猜想第个点阵中的点的个数________．
（3）若已知点阵中点的个数为，问这个点阵是第几个?
48．阅读理解：小明是一个好学
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的学生，下面是他从网络搜到两位数乘11速算法．规律：“头尾一拉，中间相加，满十进一”．例如：①24×11=264．计算过程：24
两数拉开，中间相加，即
2+4=6，最后结果264；②68×11=748．计算过程：68两数分开，中间相加，即6+8=14，满十进一，最后结果748．
（1）计算：①25×11=
，②87×11=
；
（2）若某一个两位数十位数
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)字是a，个位数字是b（a+b<10），将这个两位数乘11，得到一个三位数，则根据上述的方法可得，该三位数百位数字是
，十位数字是
，个位数字是
；（用含
a、b
的代数式表示）21世纪教育网版权所有
（3）请你利用所学的知识解释其中原理.
49．观察下列各不等式，发现规律并回答问题：
；；；......
（1）根据规律写出第4个式子：
（2）利用规律求的值.
50．如右图,将一张正方形纸片剪
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)成四个形状大小一样的小正方形(称为剪一次),
然后将其中一个小正方形再按相同的方法剪成四个小正形,再将其中一个小正方形剪成四个小正方形,如反复做下去.
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填表:
剪的次数
1
2
3
4
5
小正方形个数
剪了2011次,共剪出多少个小正方形?
51．有一列有序数对：，，，，，按此规律，第5对有序数对为？
52．如图是用大小相等的小五角星按一定规律拼成的一组图案，第个图案中有颗五角星，第个图案中有颗五角星，第个图案中有颗五角星，…，请根据你的观察完成下列问题．21教育网
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（1）根据上述规律，分别写出第个图案和第个图案中小五角星的颗数；
（2）按如图所示的规律，直接写出第个图案中小五角星的颗数；（用含的代数式表示）
（3）第2021个图案中有多少颗五角星？
53．观察下列等式：
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个算式：
；
（2）由此计算：
（3）用含n的代数式表示第n个等式：an=
．（n为正整数）
54．探索规律：下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而成的，
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（1）观察图形，填写下表：
图形
①
②
③
……
正方形的个数
5
……
图形的周长
12
……
（2）请推测第个图形中，正方形的个数为_____，图形的周长为________（都用含的式子表示）；
（3）当时，求出图形的周长．
55．按如图所示的规律摆放三角形：
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（1）图④中三角形的个数为
；
（2）试用含n的式子表示你发现的规律．
56．如图，数学活动课上小明用火
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)柴棍拼图形，1个三角形需3根，2个三角形需5根，3个三角形需7根，．．．，若图形中有30个三角形，则需要火柴棍的根数为___________．21cnjy.com
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