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第五讲
探索与表达规律
【基础训练】
一、单选题
1．我们知道4不是3的倍数，5也不是3的倍数，但4与5的和却是3的倍数．现从1到100这100个自然数中，任意选两个不同的数组成一个有序数对，其中，均不是3的倍数，但与的和恰好是3的倍数，则这样的有序数对共有（
）对．2-1-c-n-j-y
A．1089
B．1122
C．2176
D．2244
2．如图，圆的周长为4个单位长度，数轴处每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴上左边部分按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示数字为（
）www-2-1-cnjy-com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．0
B．1
C．2
D．3
3．对一组数的一次操作变换记为，定义变换法则如下：；且规定，为大于1的整数．如：，，，则（ ）21
cnjy
com
A．
B．
C．
D．
4．已知有公共端点的射线OA、OB、OC、OD，若点P1、P2、P3、…，按如图所示规律排列，则点P2020落在（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．射线OA上
B．射线OB上
C．射线OC上
D．射线OD上
5．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方2剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，剪的次数记为n，得到的正三角形的个数记为，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6060
B．8080
C．6058
D．6061
6．如图，是由相同的花盆按一定
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．56
B．72
C．90
D．110
7．计算，，，，，……归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的结果中个位数字是（
）
A．2
B．8
C．6
D．0
8．让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12+1得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1得a3；依此类推，则a2020的值为（ ）
A．26
B．65
C．122
D．123
9．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（
）21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．61
B．62
C．63
D．65
10．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2021应标在（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．第505个正方形的左下角
B．第505个正方形的右下角
C．第506个正方形的左下角
D．第506个正方形的右下角
11．正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和1，若正方形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2021所对应的点是
（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．点
B．点
C．点
D．点
12．已知整数，，，……满足下列条件，：……以此类推，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
13．图①是一个三角形，分
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按这样的方法继续下去，第n个图形中有（
）个三角形（用含n的代数式表示）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
14．如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子中的整数为（
）
2
5
…
A．
B．0
C．2
D．5
15．已知一列数：……将这列数排成下列形式：
第1行1
第2行
第3行
第4行
第5行
…
按上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数是（
）
A．
B．49
C．
D．51
16．下列图形是按一定规律排列的．依照此规律，第⑥个图形需（
）根火柴棒
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40
B．41
C．42
D．43
17．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2n﹣3
B．4n﹣1
C．4n﹣3
D．4n﹣2
18．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
19．任意大于1的正整数m的三次幂均可以“拆解”成m个连续奇数的和，例如：，，，以此类推，现已知的“拆解数”中有一个数是2077，则m的值是（
）
A．45
B．46
C．47
D．48
20．一组数据排列如下：
1
2
3
4
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
9
10
…
按此规律，某行最后一个数是148，则此行的所有数之和是（ ）
A．9801
B．9603
C．9025
D．8100
21．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第20个这样的图案需要黑色棋子的个数为（
）【出处：21教育名师】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．448
B．452
C．544
D．602
22．按照规律排列的一列数：-1，2，-4，8，-16，32，……则第2020个数应为（
）．
A．
B．
C．
D．
23．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，剪的次数记为，得到的正三角形的个数记为，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6053
B．6058
C．6061
D．6062
24．如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，其中第一个图(图①)有4根火柴棍，第二个图(图②)有12根火柴棍，第三个图(图③)有24根火柴棍，，则第n个图中火柴棍的根数是（
）
【来源：21·世纪·教育·网】
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2n(n+1)
B．n(n+2)
C．4n(n+1)
D．4n(n-1)
25．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（
）根．2·1·c·n·j·y
A．8080
B．6066
C．6061
D．6060
26．把所有偶数从小到大排列，并按如下规律分组：
第1组：
2，4
第2组：
6，8，10，12
第3组：
14，16，18，20，22，24
第4组：
26，28，30，32，34，36，38，40
……
现有等式Am=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左往右数），如A10=（2，3），则A2020=（
）
A．（31，63）
B．（32，18）
C．（32，19）
D．（31，41）
27．根据图中数字的规律，则x+y的值是（
）．
A．729
B．550
C．593
D．738
28．若，则使p最接近的正整数n是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
29．这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21……，第5行的数是_______．21cnjy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．109
B．91
C．78
D．73
30．如图图形都是由●按照一定规
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第13个图形中●的个数为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)…
①
②
③
④
A．92
B．96
C．103
D．118
31．对于一个自然数，如果能找到正整数、，使得，则称为“好数”．例如：，则是一个“好数”，在8，9，10，11这四个数中，“好数”的个数共有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
32．如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第3次移动到A3，……，第n次移动到An，则△OA2A2019的面积是（ ）www.21-cn-jy.com
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A．504
B．
C．
D．1009
33．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第7个图形中小圆圈的个数为(
)21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．46
B．52
C．56
D．60
34．如图，每个图案都由若干个“●”组成，其中第①个图案中有7个“●”，第②个图案中有13个“●”，…，则第⑨个图案中“●”的个数为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．87
B．91
C．103
D．111
35．放成一排的2005个盒子中共有
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)4010个小球，其中最左端的盒子中放了a个小球，最右端的盒子中放了b个小球，如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个，则(
)21教育网
A．a=b=2
B．a=b=1
C．a=1，b=2
D．a=2，b=1
36．若一列不全为零的数除了第一个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数和最后一个数外，每个数都等于前后与它相邻的两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2028个，且具有“波动性质”，则这2028个数的和是（
）
A．－64
B．16
C．0
D．18
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
37．如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第18个图案需要______枚棋子，摆第n个图案需要______枚棋子．【来源：21cnj
y.co
m】
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38．阅读下列材料：
……
计算________．
39．小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：
第1行：3﹣2=1
第2行：8+7﹣6﹣5=4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10=9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16
……
根据以上规律，“2021”在第行，从左往右数第个，那么______．
40．如图，连接在一起的两个正方形的边长都
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动，当微型机器人移动了2021cm时，它停在_____点．【版权所有：21教育】
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41．将正整数按如图方式进行有规律的排
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数是7，第4行最后一个数是10，…，依次类推，第一个2021出现在第______行．
1
2
3
4
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
12
13
……
42．如图所示，将一个等边三角形纸片剪成四个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)完全相同的小等边三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的等边三角形…如此继续下去，结果如下表：
所剪次数
1
2
3
4
…
等边三角形个数
4
7
10
13
…
则：（1）剪20次，得到等边三角形的个数是____．
（2）若，则______．
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43．如图，把10个两两互不相等的正整数写成图表的形式，其中两个箭头所指的数等于这两个箭头始点两个数之和（如），则的最小可能值是__________．21·cn·jy·com
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44．下列图形都是由同样大小的圆按照一
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)定规律摆放而成，其中第①个图形有5个小圆，第②个图形有9个小圆，第③个图形有13个小圆，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆的个数为________个．
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三、解答题
45．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；…
青解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：______________．
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：______=_______（n为正整数）；
（3）求的值．
46．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一系列图案，请仔观察，并回答下列问题：21世纪教育网版权所有
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（1）第5个图案中有白色纸片多少张？
（2）第n个图案中有白色纸片多少张？
（3）第几个图案有白色纸片有2020张？（写出必要的步骤）
47．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表：
加数的个数n
和S
1
2
3
4
5
（1）若时，则和S的值为_______；（直接填空）
（2）根据表中的规律猜想：用n的代数式表示和S的公式为：________；
（3）计算：的值．
48．观察下列各式：
，而，所以；
，而，所以；
，而，
所以；
所以（1）（____________）________．
根据以上规律填空：
（2）（________）[____________]．
（3）猜想：____________．
49．某展览馆选用规格为60×60cm2（边长为60cm的正方形）的黑白两种颜色的大理石地砖，按下图的方式铺设通向展厅的走廊地面．21教育名师原创作品
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（1）依据上图规律，第个图形中需要黑色大理石地砖
块；
（2）铺设完毕后，施工人员发现整个走廊地面恰好是符合上图规律的一个完整图形，且用去的黑色大理石地砖是白色大理石地砖的，求走廊的长度．
50．观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：
；
（2）写出第100个等式：
；
（3）写出你猜想的第n个等式：
（用含n的等式表示）．
51．如图①所示是一个三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③，按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成各题．
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（1）将下表填写完整：
图形编号
①
②
③
④
⑤
三角形个数
1
5
（2）在第n个图形中有_________________个三角形；（用含n的式子表示）
（3）按照上述方法，能否得到个三角形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由．
52．观察下列等式：，，，把这三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：＝
．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①＝
；
②＝
．
（3）探究并计算：．
（4）拓展：从中找出10个相加为1的数．（并列式验证）
53．观察下列各式：
，而，∴；
，而，∴；
，而，∴；
根据以上规律填空：
（1）___________．
（2）___________．
（3）求．
54．观察下列等式：
，，……
（1）仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______．
（2）直接写出下面算式的结果：____________；
以下两小题，需写出解答过程：
（3）计算：
（4）探究并计算：．
55．如下数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答：
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（1）第8行的最后一个数是_____；
（2）第n行的第一个数是_____，第n行共有___个数；
（3）数字2021排在第几行？从左往右数，第几个？请简要说明理由．
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精品试卷·第
2
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（共
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第五讲
探索与表达规律
【基础训练】
一、单选题
1．我们知道4不是3的倍数，5也不是3的倍数，但4与5的和却是3的倍数．现从1到100这100个自然数中，任意选两个不同的数组成一个有序数对，其中，均不是3的倍数，但与的和恰好是3的倍数，则这样的有序数对共有（
）对．
A．1089
B．1122
C．2176
D．2244
【答案】D
【分析】
先判断出只有一个除3余1的数和一个除3余2的数的和是3的倍数，即可得出结论．
【详解】
解：从1到100这100个自然数中，除3余1的数为，除3余2的数为，为自然数），
而，
所以是3的倍数，
而，，
所以，以及不是3的倍数，
即：两个数的和是3的倍数，只有一个除3余1的数和一个除3余2的数的和是3的倍数，
所以，是除3余1的数，必是除3余2的数或是除3余2的数，必是除3余1的数，
而从1到100这100个自然数中，除3余1的数有34个，除3余2的数有33个，
满足条件的有序数对共有对，
答案：．
【点睛】
此题是约数与倍数，主要考查了整除问题，判断出只有一个除3余1的数和一个除3余2的数的和是3的倍数是解本题的关键．
2．如图，圆的周长为4个单位长度，数轴处每个数字之间的距离为1个单位长度，在圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将数轴上左边部分按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示的点重合），则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示数字为（
）
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A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】
由于圆的周长为4个单位长度，所以
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)只需先求出数轴在此圆上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合．
【详解】
解：∵-1-（-2020）=2019，
2019÷4=504…3，
∴数轴上表示数-2020的点与圆周上表示数字1的点重合．
故选：B．
【点睛】
本题考查了数轴，本题找到表示数-2020的点与圆周上起点处表示的数字重合是解题的关键．
3．对一组数的一次操作变换记为，定义变换法则如下：；且规定，为大于1的整数．如：，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据题目提供的变化规律，找到点的坐标的变化规律并按此规律求得的值即可．
【详解】
解：P1（1，-1）=（0，2），
P2（1，-1）=P1(P1)=P1(0，2)=（2，-2），
P3（1，-1）=P1（P2）=P1（2，-2）=（0，4）=（0,22），
P4（1，-1）=P1（P3）=P1（0，4）=（4，-4），
P5（1，-1）=P1（P4）=P1（4，-4）=（0，8）=（0,23），
P6（1，-1）=P1（P5）=P1（0，8）=（8，-8），
…
当n为奇数时，Pn（1，-1）=（0，），
∴=（0,
）=（0，21011），
应该等于．
故选C．
【点睛】
本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用此规律解题．
4．已知有公共端点的射线OA、OB、OC、OD，若点P1、P2、P3、…，按如图所示规律排列，则点P2020落在（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．射线OA上
B．射线OB上
C．射线OC上
D．射线OD上
【答案】B
【分析】
根据图形可以发现点的变化规律：P1到P5顺时针，P5到P9逆时针，每8个点为一周期循环，从而可以得到点P2020落在哪条射线上．
【详解】
解：由图可得，
P1到P5顺时针，P5到P9逆时针，每8个点为一周期循环，
∵（2020﹣1）÷8＝252…3，
∴点P2020落在射线OB上，
故选：B．
【点睛】
本题考查了图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
5．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方2剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，剪的次数记为n，得到的正三角形的个数记为，则等于（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6060
B．8080
C．6058
D．6061
【答案】D
【分析】
根据规律得出数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有4+3(n-1)=3n+1．
【详解】
解：∵剪1次得到4个正三角形，
剪2次得到4+3×1个正三角形，
剪3次得到4+3×2个正三角形，
…，
∴剪n次得到4+3(n-1)=3n+1个正三角形，
∴剪2020次得到3×2020+1=6061个正三角形，即=6061．
故选D．
【点睛】
此类题考查图形的规律，从数据中，很容易发现规律，再分析整理，得出结论．
6．如图，是由相同的花盆按一定的规律
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．56
B．72
C．90
D．110
【答案】C
【分析】
由题意可知，三角形每条边上有3盆
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)花，共计3×3-3盆花，正四边形每条边上有4盆花，共计4×4-4盆花，正五边形每条边上有5盆花，共计5×5-5盆花，…则正n变形每条边上有n盆花，共计n×n-n盆花，结合图形的个数解决问题．
【详解】
解：∵第一个图形：三角形每条边上有3盆花，共计32-3盆花，
第二个图形：正四边形每条边上有4盆花，共计42-4盆花，
第三个图形：正五边形每条边上有5盆花，共计52-5盆花，
…
第n个图形：正n+2边形每条边上有n+2盆花，共计（n+2）2-（n+2）盆花，
则第8个图形中花盆的个数为（8+2）2-（8+2）=90盆．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查归纳与总结的能力，关键在于根据题意总结归纳出花盆总数的变化规律．
7．计算，，，，，……归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的结果中个位数字是（
）
A．2
B．8
C．6
D．0
【答案】D
【分析】
由31-1=2，32-1=8，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)33-1=26，34-1=80，35-1=242，…得出末尾数字以2，8，6，0四个数字不断循环出现，由此用2020除以4看得出的余数确定个位数字即可．
【详解】
解：∵2020÷4=505，
∴32020-1的个位数字是0，
故选：D．
【点睛】
本题考查了尾数的特征，关键是能根据题意得出个位数字循环的规律是解决问题的关键．
8．让我们轻松一下，做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12+1得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算n32+1得a3；依此类推，则a2020的值为（ ）
A．26
B．65
C．122
D．123
【答案】A
【分析】
根据题意可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可计算出a2020的值．
【详解】
解：由题意可得，
a1=52+1=26，
a2=(2+6)2+1=65，
a3=(6+5)2+1=122，
a4=(1+2+2)2+1=26，
…，
由上可得，这列数字依次以26，65，122循环出现，
∵2020÷3=673…1，
∴a2020的值与a1的值相同，
∴a2020的值为26，
故选：A．
【点睛】
本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出a2020的值．
9．蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，…，按此规律，第5个图的蜂巢总数的个数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．61
B．62
C．63
D．65
【答案】A
【分析】
根据前几个图形，可以写出蜂巢的个数，从而可以发现蜂巢个数的变化规律，进而得到第五个图形中蜂巢总的个数，本题得以解决．
【详解】
解：由图可得，
第一个图有1个蜂巢，
第二个图有1+6×1＝7个蜂巢，
第三个图有1+6×1+6×2＝19个蜂巢，
…，
则第五个图中蜂巢的总数为：1+6×1+6×2+6×3+6×4＝61，
故选：A．
【点睛】
本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中蜂巢个数的变化规律，求出相应的图形中蜂巢总的个数．
10．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2021应标在（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．第505个正方形的左下角
B．第505个正方形的右下角
C．第506个正方形的左下角
D．第506个正方形的右下角
【答案】D
【分析】
观察图形可知每个正方形上标
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)4个数，由2021÷4=505……1可得出2021标在第506个正方形上，且位置与1所标的位置相同，结合1所标的位置即可得出2021标在第506个正方形的右下角．
【详解】
解：观察图形，可知：每个正方形上标4个数，
∵2021÷4=505……1，505+1=506，
∴2021标在第506个正方形上，且位置与1所标的位置相同，
∴2021标在第506个正方形的右下角．
故选：D．
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形的变化找出正方形四个顶点所标的数字的规律是解题的关键．
11．正方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为0和1，若正方形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，则数轴上数2021所对应的点是
（
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(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．点
B．点
C．点
D．点
【答案】C
【分析】
由题意可知转一周后，C、B、A、D分别对应的点为1、2、3、4，可知其四次一循环，由次可确定出2021所对应的点．
【详解】
解：因为由图可知：当正方形在转动第一周的过
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)程中，1所对应的点是C，2所对应的点是B，3所对应的点是A，4所对应的点是D，并且四次一循环．
所以2021÷4=505…1，
∴2021所对应的点是C．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查实数与数轴，确定出点的变化规律是解题的关键．
12．已知整数，，，……满足下列条件，：……以此类推，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据题中的条件依次写出多个的取值，然后可发现n为偶数时，即可解答．
【详解】
解：，
，
，
，
，
，
，
…
以此类推可知，对于，当且n为偶数时，，
∴，
故选：B．
【点睛】
本题考查了数字规律变化问题，根据前几个数字找出题中的规律是解题的关键．
13．图①是一个三角形，分别连接这个三角
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间小三角形三边的中点，得到图③．按这样的方法继续下去，第n个图形中有（
）个三角形（用含n的代数式表示）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】
由题意易得第一个图形三角形的个数为1个，第
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)二个图形三角形的个数为5个，第三个图形三角形的个数为9个，第四个图形三角形的个数为13个，由此可得第n个图形三角形的个数．
【详解】
解：由题意得：
第一个图形三角形的个数为4×1-3=1个，
第二个图形三角形的个数为4×2-3=5个，
第三个图形三角形的个数为4×3-3=9个，
第四个图形三角形的个数为4×4-3=13个，
……
∴第n个图形三角形的个数为个；
故选：D．
【点睛】
本题主要考查图形规律问题，关键是根据图形得到一般规律即可．
14．如表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2018个格子中的整数为（
）21
cnjy
com
2
5
…
A．
B．0
C．2
D．5
【答案】C
【分析】
根据三个相邻格子的整数的和相等
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)列式求出a、c的值，再根据有一个不同数是5可得b=5，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，再用2018除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．
【详解】
解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴-1+a+b=a+b+c，
解得c=-1，
a+b+c=b+c+2，
解得a=2，
所以数据从左到右依次为-1、2、b、-1、2、b，
有一个不同数是5，即b=5，
所以每3个数“-1、2、5”为一个循环组依次循环，
∵2018÷3=672…2，
∴第2018个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为2．
故选：C．
【点睛】
此题考查数字的变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．
15．已知一列数：……将这列数排成下列形式：
第1行1
第2行
第3行
第4行
第5行
…
按上述规律排下去，那么第10行从左边数第5个数是（
）
A．
B．49
C．
D．51
【答案】C
【分析】
分析可得：第n行有n个数，此行第一个数的绝对值为；且奇数为正，偶数为负；故第10行从左边数第1个数绝对值为46，故这个数为-46，那么从左边数第5个数等于-50．21·cn·jy·com
【详解】
解：第n行有n个数，此行第一个数的绝对值为，且奇数为正，偶数为负．
所以从左边数第5个数等于-50．
故选：C．
【点睛】
本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，要求学生要有一定的解题技巧．解题的关键是分析得到第n行有n个数，此行第一个数的绝对值为，且奇数为正，偶数为负．
16．下列图形是按一定规律排列的．依照此规律，第⑥个图形需（
）根火柴棒
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．40
B．41
C．42
D．43
【答案】C
【分析】
根据图形找出图形中的规律即可求解；
【详解】
第一个图形：12；
第二个图形：18；
第三个图形：24；
……
则第n个图形有6+6n个，
故第六个图形有：6+36=42个
故选：C．
【点睛】
本题考查了规律探索的题目，关键是仔细观察图形，找到规律；
17．如图，①是一个三角形，分别连接这个
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为（ ）www.21-cn-jy.com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2n﹣3
B．4n﹣1
C．4n﹣3
D．4n﹣2
【答案】C
【分析】
由题意易得第一个图形三角形的个数为1个，第二
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)个图形三角形的个数为5个，第三个图形三角形的个数为9个，第四个图形三角形的个数为13个，由此可得第n个图形三角形的个数．www-2-1-cnjy-com
【详解】
解：由题意得：
第一个图形三角形的个数为4×1-3=1个，
第二个图形三角形的个数为4×2-3=5个，
第三个图形三角形的个数为4×3-3=9个，
第四个图形三角形的个数为4×4-3=13个，
…..
∴第n个图形三角形的个数为个；
故选C．
【点睛】
本题主要考查图形规律问题，关键是根据图形得到一般规律即可．
18．如图所示的数码叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第8行第3个数（从左往右数）为（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于的结果再乘，再把n的值代入即可得出答案．
【详解】
解：根据给出的数据可得：第n行的第三个数等于的结果再乘，
则第8行第3个数（从左往右数）为；
故选：B．
【点睛】
本题考查与实数运算相关的规律题，通过阅读题意归纳总结有关规律再运算是解题关键．
19．任意大于1的正整数m的三次幂均可以“拆解”成m个连续奇数的和，例如：，，，以此类推，现已知的“拆解数”中有一个数是2077，则m的值是（
）
A．45
B．46
C．47
D．48
【答案】B
【分析】
根据有理数的乘方和数字的变化寻找规律即可求解．
【详解】
解：，第一项为，最后一项为3+2×1
，第一项为，最后一项为7+2×2
，第一项为，最后一项为13+2×3
…
的第一项为，最后一项为，
的第一项为，最后一项为，
2071到2161之间有奇数2077，
∴m的值为46．
故选：B．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，数字的变化规律，解决本题的关键是根据数字的变化情况寻找规律．
20．一组数据排列如下：
1
2
3
4
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
9
10
…
按此规律，某行最后一个数是148，则此行的所有数之和是（ ）
A．9801
B．9603
C．9025
D．8100
【答案】A
【分析】
每一行的最后一个数字分别
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)是1，4，7，10…，易得第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）＝3n﹣2，由此建立方程求得最后一个数是148在哪一行，再由求和法计算可得．【来源：21cnj
y.co
m】
【详解】
解：∵每一行的最后一个数分别是1，4，7，10…，
∴第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）＝3n﹣2，
∴3n﹣2＝148，
解得：n＝50，
因此第50行最后一个数是148，
∴此行的数之和为50+51+52+…+147+148＝
=9801，
故选：A．
【点睛】
本题考查了有理数中的规律探究问题，熟练掌握数字的规律，并灵活选用方程思想求解是解题的关键．
21．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第20个这样的图案需要黑色棋子的个数为（
）21
cnjy
com
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．448
B．452
C．544
D．602
【答案】C
【分析】
观察各图可知，第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个），第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个），第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个），第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）…由此可以推出第n个图案需要的个数为（个），所以第20个图案需要的个数只需将n=20代入即可．
【详解】
解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为(1+2+3)×2（个）；
第二个图案需要的个数为[(1+2+3+4)×2+2×1]（个）；
第三个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5)×2+2×2]（个）；
第四个图案需要的个数为[(1+2+3+4+5+6)×2+2×3]（个）；
…
第n个图案需要的个数为（个）
∴第20个图案需要的个数为(1+2+3+…+22)×2+2×19=544（个）
故选C．
【点睛】
本题考查了图形的变化．解题的关键是观察各个图形找到它们之间的规律．
22．按照规律排列的一列数：-1，2，-4，8，-16，32，……则第2020个数应为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
从所给的数中，不难发现：-1=（-1）1，2=（-1）2×21，-4=（-1）3×22…进而得出这一列数的第2020个数．
【详解】
解：∵-1=（-1）1×20，2=（-1）2×21，-4=（-1）3×22…
∴这一列数的第2020个数是：（-1）2020×22019=22019．
故选：B．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
23．如图，将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，剪的次数记为，得到的正三角形的个数记为，则（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．6053
B．6058
C．6061
D．6062
【答案】C
【分析】
根据规律得出数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．即剪n次时，共有．
【详解】
解：所剪次数1次，正三角形个数为4个，
所剪次数2次，正三角形个数为7个，
所剪次数3次，正三角形个数为10个，
…
剪次时，共有，
把代入，
故选：C．
【点睛】
本题考查图形的规律，从数据中，很容易发现规律，再分析整理，得出结论．
24．如图，用火柴棍摆出一列正方形图案，其中第一个图(图①)有4根火柴棍，第二个图(图②)有12根火柴棍，第三个图(图③)有24根火柴棍，，则第n个图中火柴棍的根数是（
）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．2n(n+1)
B．n(n+2)
C．4n(n+1)
D．4n(n-1)
【答案】A
【分析】
通过图形中火柴棍的根数与序数n的对应关系，找到规律即可解决．
【详解】
解：设摆出第n个图案用火柴棍为Sn．
①图，S1＝4=2×1×2；
②图，S2＝4＋3×4?（1＋3）＝4＋2×4＝4×（1＋2）=2×2×3；
③图，S3＝4（1＋2）＋5×4?（3＋5）＝4×（1＋2＋3）=2×3×4；
…；
第n个图中火柴棍的根数是：Sn＝4×（1＋2＋3＋…+n）＝2n（n+1），
故选：A．
【点睛】
本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细的观察每一个图形，找到有关图形个数的规律．
25．按如图所示的规律搭正方形：搭一个小正方形需要4根小棒，搭两个小正方形需要7根小棒，搭2020个这样的小正方形需要小棒（
）根．
A．8080
B．6066
C．6061
D．6060
【答案】C
【分析】
通过归纳与总结得出规律：每增加1个正方形，火柴棒的数量增加3根，由此求出第n个图形时需要火柴的根数的代数式，然后代入求值即可．
【详解】
解：搭2个正方形需要4+3×1＝7根火柴棒；
搭3个正方形需要4+3×2＝10根火柴棒；
搭n个这样的正方形需要4+3（n﹣1）＝3n+1根火柴棒；
∴搭2020个这样的正方形需要3×2020+1＝6061根火柴棒；
故选C．
【点睛】
本题考查了图形规律型：图形的变化．解题的关键是发现各个图形的联系，找出其中的规律，有一定难度，要细心观察总结．
26．把所有偶数从小到大排列，并按如下规律分组：
第1组：
2，4
第2组：
6，8，10，12
第3组：
14，16，18，20，22，24
第4组：
26，28，30，32，34，36，38，40
……
现有等式Am=（i，j）表示正偶数m是第i组第j个数（从左往右数），如A10=（2，3），则A2020=（
）
A．（31，63）
B．（32，18）
C．（32，19）
D．（31，41）
【答案】B
【分析】
由题意知：第n组中偶数的个数为2n个，知第n组最后一个偶数为，计算n=31时即第31组最后一个偶数为1984，继而得到答案．
【详解】
由题意知：第n组中偶数的个数为2n个，知第n组最后一个偶数为，
∵第31组最后一个偶数为，而，
∴A2020=（32,18），
故选：B．
【点睛】
此题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含n的代数式表示规律由此解决问题是解题的关键．
27．根据图中数字的规律，则x+y的值是（
）．
A．729
B．550
C．593
D．738
【答案】C
【分析】
结合题意，根据数字规律，分别计算得x和y的值，从而得到x+y的值．
【详解】
根据题意，得：
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了数字规律、有理数运算、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、有理数加法和乘法、代数式计算的性质，从而完成求解．
28．若，则使p最接近的正整数n是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】
先用“裂项法”变形化简得到p，再根据分子不变，分母越大分数值越小，所以先确定n=4时的p值，看其与的大小，即可求出结论．
【详解】
解：原式
当时，
当时，
当分子不变时，分母越大分数值越小，
∴当n=6和n=7时的分数值均小于n=4和n=5时，
∴当n=4时最接近．
故选：A．
【点睛】
本题考查分式的加减法，熟练运用“裂项法”进行变形化简是解题的关键．
29．这是一根起点为0的数轴，现有同学将它弯折，如图所示，例如：虚线上第一行0，第二行6，第三行21……，第5行的数是_______．21教育名师原创作品
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．109
B．91
C．78
D．73
【答案】C
【分析】
先根据三角形各边上数字的变化情况，得到虚线上第4行的数字，然后归纳出虚线上第n行的数字，再令n=5求解即可．
【详解】
解：∵虚线上第一行0，第二行6，第三行21
∴由图象即可得；第四行是21+7+8+9=45，
第n行的数是
∴令n=5，可得．
故答案为C．
【点睛】
本题主要考查了数字变化规律，根据图形发现数字的排列规律是解答本题关键．
30．如图图形都是由●按照一定规律组
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第13个图形中●的个数为（
）．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)…
①
②
③
④
A．92
B．96
C．103
D．118
【答案】D
【分析】
根据已知图形得出图n中点的个数为（n+1）2-（1+2+3+…+n-1），据此可得．
【详解】
因为图①中点的个数为4=22-0，
图②中点的个数为8=32-1，
图③中点的个数为13=42-（1+2），
图④中点的个数为19=52-（1+2+3），
……
所以图10中点的个数为112-（1+2+3+…+9）=121-45=76，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中点的个数为（n+1）2-（1+2+3+…+n-1）．2·1·c·n·j·y
31．对于一个自然数，如果能找到正整数、，使得，则称为“好数”．例如：，则是一个“好数”，在8，9，10，11这四个数中，“好数”的个数共有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】
根据题意，由n＝x＋y＋xy，可
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)得n＋1＝x＋y＋xy＋1，所以n＋1＝（x＋1）（y＋1），因此如果n＋1是合数，则n是“好数”，据此判断即可．【出处：21教育名师】
【详解】
根据分析，
∵8＝2＋2＋2×2，
∴8是好数；
∵9＝1＋4＋1×4，
∴9是好数；
∵10＋1＝11，11是一个质数，
∴10不是好数；
∵11＝2＋3＋2×3，
∴11是好数．
综上，可得在8，9，10，11这四个数中，“好数”有3个：8、9、11．
故选C．
【点睛】
此题主要考查了有理数的混合
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化；此题还考查了对“好数”的定义的理解，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果n＋1是合数，则n是“好数”．
32．如图，在纸面所在的平面
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置O点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，第3次移动到A3，……，第n次移动到An，则△OA2A2019的面积是（ ）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．504
B．
C．
D．1009
【答案】B
【分析】
观察图形可知：，由，推出，由此即可解决问题．
【详解】
观察图形可知：点在数轴上，，
，
，点在数轴上，
，
故选B．
【点睛】
本题考查三角形的面积，数轴等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
33．如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第7个图形中小圆圈的个数为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．46
B．52
C．56
D．60
【答案】D
【分析】
设第n个图形中有an个小圆圈(n为正整
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)数)，根据图形中小圆圈个数的变化可找出“an＝4+n(n+1)(n为正整数)”，再代入n＝7即可求出结论.
【详解】
解：设第n个图形中有an个小圆圈(n为正整数).
观察图形，可知：a1＝4+1×2，a2＝4+2×3，a3＝4+3×4，a4＝4+4×5，…，
∴an＝4+n(n+1)(n为正整数)，
∴a7＝4+7×8＝60.
故选D.
【点睛】
本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中小圆圈个数的变化找出变化规律“an＝4+n(n+1)(n为正整数)”是解题的关键.
34．如图，每个图案都由若干个“●”组成，其中第①个图案中有7个“●”，第②个图案中有13个“●”，…，则第⑨个图案中“●”的个数为(
)
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
A．87
B．91
C．103
D．111
【答案】D
【分析】
根据第①个图案中“●”有：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1+3×（0+2）个，第②个图案中“●”有：1+4×（1+2）个，第③个图案中“●”有：1+5×（2+2）个，第④个图案中“●”有：1+6×（3+2）个，据此可得第⑨个图案中“●”的个数．
【详解】
解：∵第①个图案中“●”有：1+3×（0+2）=7个，
第②个图案中“●”有：1+4×（1+2）=13个，
第③个图案中“●”有：1+5×（2+2）=21个，
第④个图案中“●”有：1+6×（3+2）=31个，
…
∴第9个图案中“●”有：1+11×（8+2）=111个，
故选：D．
【点睛】
本题考查规律型：图形的变化，解题的关键是将原图形中的点进行无重叠的划分来计数．
35．放成一排的2005个盒
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)子中共有4010个小球，其中最左端的盒子中放了a个小球，最右端的盒子中放了b个小球，如果任何相邻的12个盒子中的小球共有24个，则(
)
A．a=b=2
B．a=b=1
C．a=1，b=2
D．a=2，b=1
【答案】A
【分析】
因为任何相邻的12个盒子中的小球共有24个，可以得出4010个小球是以12个一循环，由此找出规律解答即可．
【详解】
解：将盒子从左到右排序，设第i个盒子中放
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)了ai个小球，则a1+a2+a3+…a12
=a2+a3+a4+…a13
=24
所以a1=a13，同理a1=a13=a25=…=a2005，
又（a1+a2+a3+…a12）+…+（a1993+a1994+a1995+…a2004）+a2005=24×167+a2005=4010
所以a1=a2005=2，
即a=b=2．
故选：A．
【点睛】
本题考查探索与表达规律．解决此题的关键是找出盒子放球的规律，并以此找出问题的突破口，推出答案解决问题．
36．若一列不全为零的数除了第一个数和
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)最后一个数外，每个数都等于前后与它相邻的两数之和，则称这列数具有“波动性质”．已知一列数共有2028个，且具有“波动性质”，则这2028个数的和是（
）
A．－64
B．16
C．0
D．18
【答案】C
【分析】
设这列数依次为，先得出，，，再得出和，然后归纳类推出一般规律即可得．
【详解】
设这列数依次为
由题意得：
三式相加得：
即
同理可得：
则有
即该数列连续六个数相加等于0
因为
所以这2028个数的和是0
故选：C．
【点睛】
本题考查了数字类规律探索问题，依据题意，列出等式，观察发现一般规律是解题关键．
二、填空题
37．如图是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第18个图案需要______枚棋子，摆第n个图案需要______枚棋子．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】1027
【分析】
依次解出n=1，2，3，…，图案需要的棋子枚数．再根据规律以此类推，可得出第18个及第n个图案需要的棋子枚数．
【详解】
解：时，总数是；
时，总数为；
时，总数为；
；
时，总数为枚；
；
时，有枚．
故答案为：1027，．
【点睛】
本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
38．阅读下列材料：
……
计算________．
【答案】
【分析】
根据题干中给出的算式，总结出规律，据此计算．
【详解】
解：由题意可得：
，
∴
=
=
=
=
=
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数字型规律，有理数的混合运算，解题的关键是读懂例子，总结出运算规律．
39．小刚在做数学题时，发现下面有趣的结果：
第1行：3﹣2=1
第2行：8+7﹣6﹣5=4
第3行：15+14+13﹣12﹣11﹣10=9
第4行：24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16
……
根据以上规律，“2021”在第行，从左往右数第个，那么______．
【答案】48
【分析】
根据题意先分析出前面几行的规律，然后总结出一般规律，分别确定出m和n的值，即可得出结论．
【详解】
由题意：
第1行的第1个数为：；
第2行的第1个数为：；
第3行的第1个数为：；
第4行的第1个数为：；
……
∴第行的第1个数为：；
当时，，
即：第44行的第1个数为：2024；
根据题中规律可得：2021在第44行从左往右第4个数，
∴，
∴，
故答案为：48．
【点睛】
本题考查算式类变化规律探究问题，观察清楚每个算式的变化情况，确定出相同点与不同点是解题关键．
40．如图，连接在一起的
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动，当微型机器人移动了2021cm时，它停在_____点．2-1-c-n-j-y
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】F
【分析】
先通过观察发现：每移动8cm为一个循环组依次循环，则用2021除以8，根据商的余数情况，即可确定最后停留的位置．
【详解】
解：∵两个正方形的边长都为1cm，
∴从A开始移动8cm后回到点A，
∵2021÷8＝252……5，
∴移动2021cm时停在点F处．
故填：F．
【点睛】
本题主要考查了图形变化的规律，发现每移动8cm为一个循环组成为解答本题的关键．
41．将正整数按如图方式进行有规
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数是7，第4行最后一个数是10，…，依次类推，第一个2021出现在第______行．
1
2
3
4
3
4
5
6
7
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
12
13
……
【答案】675
【分析】
由题意易得第一行最后一个数是3×1-2=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)1，第二行最后一个数是3×2-2=4，第三行最后一个数是3×3-2=7，第四行最后一个数是3×4-2=10，第五行最后一个数字是3×5-2=13……；依此规律可得第n行最后一个数是（3n-2），然后问题可求解．
【详解】
解：由题意得：
第一行最后一个数是3×1-2=1，第二行最后
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)一个数是3×2-2=4，第三行最后一个数是3×3-2=7，第四行最后一个数是3×4-2=10，第五行最后一个数字是3×5-2=13……；
∴该列数的规律为：第n行最后一个数是（3n-2），
∴，解得：，
∴第674行最后一个数字是674×3-2=2020，
∴第一个2021出现在第675行；
故答案为675．
【点睛】
本题主要考查数字规律，关键是根据题中所给数字中得到一般规律，然后进行求解即可．
42．如图所示，将一个等边三
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)角形纸片剪成四个完全相同的小等边三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的等边三角形…如此继续下去，结果如下表：
所剪次数
1
2
3
4
…
等边三角形个数
4
7
10
13
…
则：（1）剪20次，得到等边三角形的个数是____．
（2）若，则______．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】61
673
【分析】
（1）从表格中的数据，不难发现：多剪一次，多3个三角形．继而即可求出剪20次时等边三角形的个数．
（2）根据（1）中结果，令3n+1=2020，解之即可．
【详解】
解：（1）由图可知没剪的时候，有一个三角形，以后每剪一次就多出三个，所以总的正三角形的个数为3n+1．
∴剪20次，得到等边三角形的个数是3×20+1=61；
（2）令3n+1=2020，
解得：n=673．
【点睛】
此类题属于找规律，难度适中，从所给数据中，很容易发现规律，再分析整理，得出结论．
43．如图，把10个两两互不相等的正整数写成图表的形式，其中两个箭头所指的数等于这两个箭头始点两个数之和（如），则的最小可能值是__________．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】
【分析】
根据题意与图表，设a5＜a8，a1＜a10分析并进一步列出等式，用a1，a5，a8，a10表示出a4，就可以解决问题．
【详解】
解：由题意可知，
①a1+a5=a2，
②a2+a6=a3，
③a3+a7=a4，
④a5+a8=a6，
⑤a6+a9=a7，
⑥a8+a10=a9，
把①②④⑤⑥都经过代换，代入③，整理后可得，
a1+3a5+3a8+a10=a4，
a5＜a8；a1＜a10要a4最小，则a1＜a5＜a8＜a10，
为了不重复所以它们最小依次取值为1，2，4，7；
因此a4=a1+3a5+3a8+a10=1+6+12+7=26；
即a4的最小可能值为
26．
故答案为：26．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【点睛】
本题考查了数字型规律，通过
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．把a4用a1，a5，a8，a10来表示是解题的关键．
44．下列图形都是由同样大小
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有5个小圆，第②个图形有9个小圆，第③个图形有13个小圆，…，按此规律排列，则第n个图形中小圆的个数为________个．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
【答案】．
【分析】
根据图形的变化寻找规律即可求解．
【详解】
解：观察图形，可知
第①个图形有5个小圆，即5=1×4+1
第②个图形有9个小圆，即9=2×4+1
第③个图形有13个小圆，即13=3×4+1
…
第n个图形有（4n+1）个小圆，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化规律写出一般式．
三、解答题
45．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；…
青解答下列问题：
（1）按以上规律列出第5个等式：______________．
（2）用含有n的代数式表示第n个等式：______=_______（n为正整数）；
（3）求的值．
【答案】（1）；（2），；（3）
【分析】
（1）根据题目中的式子的特点，可以写出第五个等式；
（2）根据题目中的式子的特点，可以写出第n个等式；
（3）根据（2）中的结果，可以写出所求式子的值．
【详解】
解：（1）由题意可得，
第5个等式：，
故答案为：；
（2），
故答案为：，；
（3）
．
【点睛】
本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．【来源：21·世纪·教育·网】
46．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一系列图案，请仔观察，并回答下列问题：21·世纪
教育网
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）第5个图案中有白色纸片多少张？
（2）第n个图案中有白色纸片多少张？
（3）第几个图案有白色纸片有2020张？（写出必要的步骤）
【答案】（1）16张；（2）（3n+1）张；（3）673个
【分析】
（1）观察图形的变化可得第5个图案中有白色纸片有3×5+1=16张；
（2）结合（1）即可得规律，第n个图案中有白色纸片（3n+1）张；
（3）结合（2）发现的规律即可求得白色纸片有2020张是第几个图案．
【详解】
解：（1）观察图形的变化可知：
第1个图案中有白色纸片张数为：3×1+1=4；
第2个图案中有白色纸片张数为：3×2+1=7；
第3个图案中有白色纸片张数为：3×3+1=10；
第4个图案中有白色纸片张数为：3×4+1=13；
第5个图案中有白色纸片张数为：3×5+1=16；
（2）根据（1）发现规律：
第n个图案中有白色纸片张数为：（3n+1）张．
（3）根据（2）可知：
3n+1=2020，
解得n=673．
答：第673个图案有白色纸片有2020张．
【点睛】
本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．
47．从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如表：
加数的个数n
和S
1
2
3
4
5
（1）若时，则和S的值为_______；（直接填空）
（2）根据表中的规律猜想：用n的代数式表示和S的公式为：________；
（3）计算：的值．
【答案】（1）72；（2）n（n+1）；（3）2698
【分析】
（1）直接利用题目提供的规律将加法转化为乘法求得其和即可；
（2）根据规律直接猜想出答案即可；
（3）根据题意，可以得到题目中式子等于前54个数减去前16个数，本题得以解决．
【详解】
解：（1）2+4+6+8+10+12+14+16=8×9=72，
故答案为：72；
（2）S=2+4+6+8+…+2n=n（n+1），
故答案为：n（n+1）；
（3）34+36+38+…+108
=（2+4+6+…+34+…+108）-（2+4+6+…+32）
=54×55-16×17
=2698．
【点睛】
本题是对数字变化规律的考查，观察出相乘的两个因数与偶数的关系是解题的关键．
48．观察下列各式：
，而，所以；
，而，所以；
，而，
所以；
所以（1）（____________）________．
根据以上规律填空：
（2）（________）[____________]．
（3）猜想：____________．
【答案】（1）1+2+3+4+5，225；（2）1+2+3+…+n，；（3）11375
【分析】
（1）观察所给的各式即可得到答案；
（2）根据题干中已知等式知从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方，据此可得；
（3）先利用所得规律计算出13+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)23+33+…+153、13+23+33+…+103，再由113+123+133+143+153=（13+23+33+…+153）-（13+23+33+…+103）计算可得答案．21cnjy.com
【详解】
解：（1）13+23=1+8=9，而（1+2）2=9，
∴13+23=（1+2）2；
13+23+33=6，而（1+2+3）2=36，
∴13+23+33=（1+2+3）2；
13+23+33+43=100，而（1+2+3+4）2=100，
∴13+23+33+43=（1+2+3+4）2；
∴13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225．
（2）根据题意知13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=；
（3）∵13+23+33+…+153=（）2=14400，13+23+33+…+103=（）2=3025，
∴113+123+133+143+1
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)53=（13+23+33+…+153）-（13+23+33+…+103）=14400-3025=11375．
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知得出从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方．【版权所有：21教育】
49．某展览馆选用规格为60×60cm2（边长为60cm的正方形）的黑白两种颜色的大理石地砖，按下图的方式铺设通向展厅的走廊地面．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）依据上图规律，第个图形中需要黑色大理石地砖
块；
（2）铺设完毕后，施工人员发现整个走廊地面恰好是符合上图规律的一个完整图形，且用去的黑色大理石地砖是白色大理石地砖的，求走廊的长度．
【答案】（1）1＋3n；（2）10.2米
【分析】
（1）结合图形，发现：第一个图中有4块黑色的正方形瓷砖，后边依次多3块黑色瓷砖；
（2）第n个图形中的大理石地板数量=5×（2n+1），由（1）可知其中的白色大理石的个数，根据白色大理石地砖是黑色人理石地砖的，求出n即可计算．
【详解】
解：（1）结合图形，得第一个图中有4
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)块黑色的正方形瓷砖，后边依次多3块黑色瓷砖；
∴第n个图案有黑色瓷砖4+3（n-1）=3n+1（块），
故答案为：3n+1．
（2）观察图形可知：第n个图形中的大理石地板数量=5×（2n+1），
∴白色大理石的个数=5（2n+1）-（3n+1）=7n+4．
∴，
解得：n=8．
∴走廊长度=（2n+1）×60cm=（2×8+1）×60cm=1020cm=10.2m．
【点睛】
【点睛】
考查了规律型：图形的变化，此类题中要
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)注意能够正确发现规律：在4的基础上，依次多3块黑色瓷砖，即第n个图案有黑色瓷砖4+3（n-1）=3n+1（块）．
50．观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：
；
（2）写出第100个等式：
；
（3）写出你猜想的第n个等式：
（用含n的等式表示）．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【分析】
（1）观察前几个等式即可写出第6个等式；
（2）结合（1）观察数字的变化规律即可写出第100个等式；
（3）结合（1）观察数字的变化规律即可写出第n个等式．
【详解】
解：观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：，
……
按照以上规律，
（1）第6个等式：即：．
（2）第100个等式：即：．
（3）第n个等式：．
【点睛】
本题考查了规律型：数字的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律．
51．如图①所示是一个三角形，分别连接
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)这个三角形三边的中点得到图②，再分别连接图②中间的小三角形三边的中点，得到图③，按此方法继续连接，请你根据每个图中三角形的个数的规律完成各题．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）将下表填写完整：
图形编号
①
②
③
④
⑤
三角形个数
1
5
（2）在第n个图形中有_________________个三角形；（用含n的式子表示）
（3）按照上述方法，能否得到个三角形？如果能，请求出n；如果不能，请简述理由．
【答案】（1）③9，④13，⑤17；（2）4n－3；（3）能得到，n=504．
【分析】
（1）通过相邻的两个图形中
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)三角形个数比较：后面的三角形是将前面相邻的最中间的三角形分成了四个小三角形，即后面的三角形个数比它前面相邻的三角形多4个，即可写出；
（2）通过每个图形中三角形的个数，找到每个图形中三角形的个数与第n个图形的关系即可；
（3）利用（2）得到的规律公式，若能求出正整数n的值，即能得到；若求出的n不是正整数，即不能得到.
【详解】
解：（1）由图可知：后面的三角形是将前面相邻的最中间的三角形分成了四个小三角形，即后面的三角形个数比它前面相邻的三角形多4个，
∵图②中有5个三角形，
∴图③中有5+4=9个三角形，
图④中有5+4+4=13个三角形，
图⑤中有5+4+4+4=17个三角形；
故从左向右依次填写：9，13，17；
（2）∵后面的三角形个数比它前面相邻的三角形个数多4个，
∴图①中的三角形个数为：1=4×1－3
图②中的三角形个数为：5=4×1－3＋4=4×2－3
图③中的三角形个数为：9=4×2－3＋4=4×3－3
图④中的三角形个数为：13=4×3－3＋4=4×4－3
故图n中的三角形个数为：4n－3；
（3）若能，则4n－3=2013
解得n=504，
∵n为正整数，
∴能得到2013个三角形．
【点睛】
此题考查的是探索规律题，利用图形的特征逐一分析得出公式以及利用该公式解决最后问题是解答本题的关键．
52．观察下列等式：，，，把这三个等式两边分别相加得：．
（1）猜想并写出：＝
．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
①＝
；
②＝
．
（3）探究并计算：．
（4）拓展：从中找出10个相加为1的数．（并列式验证）
【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）这10个数的和为1，验证见解析
【分析】
（1）根据题目中的例子，可以写出相应的猜想；
（2）①根据题目中的例子，可以直接写出所求式子的值；
②根据题目中的例子，可以直接写出所求式子的值；
（3）根据题目中的例子和所求式子的特点，可以计算出所求式子的值；
（4）根据题意和题目中的数据，可以写出10个相加为1的数，并列式验证．
【详解】
解：（1）猜想并写出：，
故答案为：；
（2）①＝=
故答案为：；
②
＝
＝1﹣
＝，
故答案为：；
（3）
＝
＝
＝
＝；
（4）这10个数的和为1，
验证：
＝
＝
＝1，
即这10个数的和为1．
【点睛】
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的特点，求出所求式子的值．
53．观察下列各式：
，而，∴；
，而，∴；
，而，∴；
根据以上规律填空：
（1）___________．
（2）___________．
（3）求．
【答案】（1）1+2+3+4+5，225；（2）1+2+3+…+n，；（3）11375．
【分析】
（1）观察所给的各式即可得到答案；
（2）根据题干中已知等式知从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方，据此可得；
（3）先利用所得规律计算出13+23+3
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)3+…+153、13+23+33+…+103，再由113+123+133+143+153=（13+23+33+…+153）-（13+23+33+…+103）计算可得答案．
【详解】
解：（1）根据以上各式可知，13+23+33+43+53=（1+2+3+4+5）2=225，
故答案为：1+2+3+4+5，225；
（2）根据题意知13+23+33+…+n3=（1+2+3+…+n）2=，
故答案为：1+2+3+…+n，；
（3）∵13+23+33+…+153=（）2=14400，
13+23+33+…+103=（）2=3025，
∴113+123+133+143+153
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)=（13+23+33+…+153）-（13+23+33+…+103）=14400-3025=11375．
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知得出从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方．
54．观察下列等式：
，，……
（1）仿照上面的等式，把后面这个代数式写成上面等式右边的形式：______．
（2）直接写出下面算式的结果：____________；
以下两小题，需写出解答过程：
（3）计算：
（4）探究并计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】
（1）观察题干中所给的式子可得结果；
（2）原式各项利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（3）先去绝对值，再利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（4）将原式变形为，再利用拆项法变形，计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）由题意可得：
=；
（2）由题意可得：
=
=
=；
（3）
=
=
=；
（4）
=
=
=
=
=
=
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，数字型规律，解题的关键是理解题干中的拆项方法．
55．如下数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)
（1）第8行的最后一个数是_____；
（2）第n行的第一个数是_____，第n行共有___个数；
（3）数字2021排在第几行？从左往右数，第几个？请简要说明理由．
【答案】（1）64；（2），；（3）第45行从左往右数第85个数，见解析
【分析】
（1）第8行的最后一个数是8的平方；
（2）根据规律：每一行的最后一个数是所在行数的平方，先算出第行的最后一个数，再加上1，得第行第一个数，每行数的个数是上一行数的个数加2，则第行有个数；21教育网
（3）每一行的最后一个数是所在行数的平方，即可得出2021排在第几行，再求出是第几个数．
【详解】
解：（1）每一行的最后一个数是所在行数的平方，
则第8行的最后一个数是64，
故答案是：64；
（2）∵第行的最后一个数是，
∴第行第一个数是，
第1行有1个数，
第2行有3个数，
第3行有5个数，
…
第行有个数，
故答案是：，；
（3）每一行的最后一个数是所
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)在行数的平方，又2021＜2025＝452，故2021排在第45行，第45行共有89个数，2025是第45行从左往右数第89个数，故2021是第45行从左往右数第85个数．
【点睛】
本题考查找规律，解题的关键是找出题目中数字间的规律．
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精品试卷·第
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