第九讲 有理数的乘方(考点讲解)（含答案）

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第九讲
有理数的乘方
【学习目标】
1、理解有理数乘方的定义；
2、掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；
【知识结构】
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【考点总结】
一、乘方的意义
1、乘方的定义
求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．如图，a叫做底数，n叫做指数，an读作：a的n次幂(a的n次方)．21世纪教育网版权所有
乘方是一种特殊的乘法运算(因数相同)，幂是乘方运算的结果；
乘方的底数是相同因数，指数是相同因数的个数．
2、乘方的意义
an表示n个a相乘．
即an＝.
如：(－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)表示3个(－2)相乘．
重点：(－a)n与－an的区别
①(－a)n表示n个－a相乘，底数是－a，指数是n，读作：－a的n次方；
②－an表示n个a乘积的相反数，底数是a，指数是n，
读作：a的n次方的相反数．
如：(－3)3底数是－3，指数是3，读作负3的3次方，表示3个(－3)相乘．
(－3)3＝(－3)×(－3)×(－3)＝－27.
－33底数是3，指数是3，读作3的3次方的相反数．
－33＝－(3×3×3)＝－27.
3、乘方的书写
①一个数可以看成这个数本身的一次方．如5就是51，通常指数1省略不写．
②负数或分数做底数时，应用括号把负数或分数括起来，再在其右上角写指数，指数应写小一点．如(－1)2不能写成－12，eq
\b\lc\(\rc\)()2不能写成2.21cnjy.com
二、乘方运算的符号法则
乘方运算的符号法则
乘方运算就是根据乘方的意义把它转化为乘法进行计算．如：33＝3×3×3＝27.
①正数的任何次幂都是正数；
②负数的奇次幂是负数；
③负数的偶次幂是正数；
④0的奇次幂、偶次幂都是0.
任何一个有理数的偶次幂都是非负数，即a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2n≥0(n为正整数)；若用n表示正整数，则2n表示偶数，而用(2n＋1)表示奇数，则(－1)2n＝1，(－1)2n＋1＝－1.21教育网
三、有理数乘方的运算
乘方运算的方法如下：
与有理数的加、减、乘、除四种运算一样，有理数的乘方也是一种运算，其运算的方法是：
①确定幂的符号；
②进行乘法的运算．
规律
：对于乘方的理解
①乘方是一种运算，是特殊的乘法(因数相同的乘法运算)，幂是乘方运算的结果．
②因为an表示n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法进行乘方运算，即将乘方转化成乘法运算．
四、绝对值与乘方非负性的综合运用
1、平方、立方及平方的非负性
在an中，若n＝2，则为a2，读作a的2次幂，也读作a的平方；
当n＝3时，a3可读作a的3次方，也可读作a的立方．
平方、立方是乘方中最常见的．
①根据乘方与乘法的关系可知：
正数的平方是正数，
负数的平方也是正数，
0的平方等于0.也就是任何一个有理数的平方都是非负数．
②平方等于它本身的数：0,1；
立方等于它本身的数：0,1，－1.
2、绝对值的非负性
任何一个数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
3、非负数的性质
性质：若几个非负数的和等于0，则这几个非负数都等于0.
比如：若|a|＋b2＝0，则a＝0，且b＝0.
【例题讲解】
【类型】一、有理数幂的概念理解
例1．（1）比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　）
　
A．
它们底数相同，指数也相同
　
B．
它们底数相同，但指数不相同
　
C．
它们所表示的意义相同，但运算结果不相同
　
D．
虽然它们底数不同，但运算结果相同
【答案】D．
解：比较（﹣4）3=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43=﹣4×4×4=﹣64，
底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.
（2）底数是____，运算结果是____．
【答案】-3
81
【详解】解：的底数是，
运算结果是=81，
故答案为：-3，81．
（3）计算（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
故答案选B．
【类型】二、有理数的乘方运算
例2．（1）计算的结果（
）
A．
B．
C．1
D．2021
【答案】B
【详解】
解：．
故选：B
（2）计算的结果是（
）
A．
B．9
C．
D．6
【答案】B
【详解】
解：（-3）2=9．
故选：B．
（3）下列数或式：，在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数是（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【详解】解：（-2）3=-8＜0，＞0，-52=-25＜0，0，m2+1≥1＞0，
∴在数轴上所对应的点一定在原点右边的个数为2，
故选：C．
【类型】三、有理数乘方逆运算
例3．（1）若，且，则的值为（
）
A．
B．
C．5
D．
【答案】B
【详解】
解：∵a2=4，b2=9，
∴a=±2，b=±3，
∵ab＜0，
∴a=2，则b=-3，
a=-2，则b=3，
则a-b的值为：2-（-3）=5或-2-3=-5．
故选：B．
（2）所得的结果是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
=
=
=，
故选：A．
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