第十一讲 有理数的混合运算(考点讲解)（含答案）

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第十一讲
有理数的混合运算
【学习目标】
1、掌握有理数混合运算的法则，并能熟练地进行有理数加、减、乘、除、乘方的混合运算。
2、在运算过程中能合理使用运算律，简化运算。
【知识结构】
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【考点总结】
一、有理数的混合运算
(1)有理数的混合运算
一个算式中含有加、减、乘、除、乘方运算中的两种以上的运算，就是有理数的混合运算．
如：－42×[(1－7)÷6]3＋[(－5)3－3]÷(－2)3.
(2)混合运算的顺序
先算乘方，再算乘除，最后算加减．
如果有括号，先算括号里面的．
重点
混合运算的运算顺序
①加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算．
②含有多级运算时，要从高级到低级，即先做第三级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算，同级运算要从左到右依次运算．21cnjy.com
③有括号的按小括号、中括号、大括号的顺序进行．
二、混合运算中的简便运算技巧
(1)运算律的使用
有理数的混合运算要注意运用运算律简化运算．
运算律有：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律．
解题时要根据题目特征，灵活选择．
有理数运算的技巧
1
统一转化，即减法转化为加法，除法转化为乘法．
2
利用运算律改变运算顺序，能凑整的、同号的放在一起相加，能约分的放在一起乘．③注意乘方和乘方的相反数的区别．如：(－1)4≠－14.www.21-cn-jy.com
(2)有理数混合运算中的常见技巧
①巧逆用：逆用乘法分配律．
②巧拆分：先将一个数拆分成两部分的和，再借助于乘法分配律计算．
③巧分解：将一个数分解成几个因数的积．
④巧分段：借助于混合运算中的加减号或括号分段计算，最后再运算．
⑤巧转化：减法转化为加法，除法转化为乘法．
不是每个题都能用到上面的运算技巧，要根据题目的特点，灵活选择适当的方法，以简便为主．
三、有理数的混合运算的应用
利用混合运算，解决生活实际问题的主要步骤是：
①分析题意，弄清问题，将实际问题转化为数学问题；
②根据题意选择适当的运算列出算式；
③运用有理数的混合运算顺序与技巧进行计算；
【例题讲解】
【类型】一、有理数加减乘除混合运算
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例1、计算：
(1)－0.252÷3×(－1)2
013＋(－2)2×(－3)2；
(2)2－＋2
013－1×÷1.
分析：(1)算式中的“＋”号把整个算式分为两段，可以先分别计算“＋”前后的两项，再求和．计算中要注意各项的符号；21世纪教育网版权所有
(2)本题中的算式含有括号，要先算括号内的运算，再按照“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序进行运算．2·1·c·n·j·y
解：(1)原式＝－2÷×(－1)＋4×9
＝－×8×1＋4×9
＝－＋36＝35.
(2)2－＋(－1)2
013－1×÷1
＝2－＋(－1)－××＝－＋(－1)－×
＝－1＋＝－.
点评：学好有理数的混合运算需过
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)四关：符号关、转化关、运算顺序关和运算律关．在计算的过程中，要注意根据运算的法则，先确定符号，再算绝对值；要注意根据算式的特点，适时地化减为加、化除为乘、化带分数为假分数，化小数为分数等．【来源：21·世纪·教育·网】
【训练】（1）计算：．
【答案】-6
【详解】
解：
．
（2）；
【答案】（1）1；（2）6．
【详解】
（1）
．
【类型】二、有理数加减乘除混合运算的实际应用
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例2．2020春，新冠肺
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)炎疫情在全球爆发，呼吸机作为治疗中重要的呼吸辅助设备，需求量激增．某呼吸机生产厂家计划每天生产300台，但由于各种原因，实际每天生产的台数与计划相比有差别，下表是某周的生产情况（增产记为正，减产记为负）：21教育网
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减
（1）求该厂本周实际生产呼吸机的台数；
（2）求该厂产量最多一天比产量最少一天多生产的台数；
（3）该厂实行每日计件工
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)资制，每生产一台呼吸机可得600元，若超额完成任务，则超过部分每台另奖励200元；若未完成任务，则少生产一台扣100元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？
【答案】（1）2017台；（2）19台；（3）1267300元
【详解】
（1）
（台）
答：该厂本周实际生产呼吸机有2017台；
（2）（台）
答：该厂产量最多一天比产量最少一天多生产19台；
（3）
（元）
答：该厂工人这一周的工资总额是元．
【类型】三、含乘方的有理数混合运算
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例3．（1）
（2）
解：（1）＝0＋（－1）＝－1
【类型】四、简便运算
例
4、计算：eq
\b\lc\(\rc\)()÷eq
\b\lc\(\rc\)()＋eq
\b\lc\(\rc\)().
分析：算式中含有除法和加法，还有括号，可以先算括号里面的，也可以先把除法转化为乘法，利用乘法分配律简化运算．21·cn·jy·com
解：
(方法1)eq
\b\lc\(\rc\)()÷eq
\b\lc\(\rc\)()＋eq
\b\lc\(\rc\)()
＝eq
\b\lc\(\rc\)()÷eq
\b\lc\(\rc\)()＋eq
\b\lc\(\rc\)()
＝×eq
\b\lc\(\rc\)()＋eq
\b\lc\(\rc\)()＝eq
\b\lc\(\rc\)()＋eq
\b\lc\(\rc\)()＝－3.
(方法2)eq
\b\lc\(\rc\)()÷eq
\b\lc\(\rc\)()＋eq
\b\lc\(\rc\)()
＝eq
\b\lc\(\rc\)()×eq
\b\lc\(\rc\)()＋eq
\b\lc\(\rc\)()
＝×eq
\b\lc\(\rc\)()－×eq
\b\lc\(\rc\)()－×eq
\b\lc\(\rc\)()＋eq
\b\lc\(\rc\)()
＝－2＋1＋＋eq
\b\lc\(\rc\)()＝－3.
【训练】计算
解
：原式＝
＝
＝
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