广东省东莞市第四重点高中2021-2022学年高二上学期9月第三次测试数学试题（Word版含答案）

东莞市第四重点高中2021-2022学年高二上学期9月第三次测试
数学试题
班级：
姓名：
分数：
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。）
1．在空间直角坐标系中，点（-2,1,4）关于轴对称的点坐标是（　
）
A．（-2
,
1
,
-4）
B．（2
,
1
,
-4）
C．（-2
,
-1
,
-4）
D．（2
,
-1
,
4）
2．空间直角坐标系中，已知，，则线段的中点为
A．
B．
C．
D．
3．已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．4
4．已知，，且，则向量与的夹角为（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知向量，，且，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．5
6．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△ABC为等边三角形，△PAC为等腰直角三角形，PA＝PC＝4，平面PAC⊥平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是（
）
A．
B．
C．
D．
8．空间内有三点A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，则点B到AC的中点P的距离为（
）
A．
B．5
C．
D．
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。部分选对的得2分。）
9．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，下列结论正确的有（
）
A．
B．
C．是平面ABCD的一个法向量
D．
10．若，，与的夹角为，则的值为（
）
A．17
B．－17
C．－1
D．1
11．如图，已知，分别是正方体的棱和的中点，则（
）
A．与是异面直线
B．与所成角的大小为
C．与平面所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
12．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．下列结论中正确的是（
）
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知空间向量，若，则________，_______．
14．如图，设为平行四边形所在平面外任意一点，为的中点.若，则________，________.
15．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为________
16．已知向量且与互相垂直，则k的值是________.
四、解答题：（本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，若且与垂直，求.
18．如图所示，在三棱柱中，是的中点，化简下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．如图所示，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点.求直线与所成角的余弦值；
20．如图，长为1的正方体中，，分别为，的中点，在棱上，且，为的中点.
（1）求证：；
（2）求的长.
（3）求与所成角的余弦值；
东莞市第四重点高中2021-2022学年高二上学期9月第三次测试
数学答案
一、单项选择题：
1．C
点（x，y，z）关于x轴的对称点的坐标为：（x，﹣y，﹣z），
2．D
根据中点坐标公式，中点坐标为.故选.
3．C
.
4．D
∵，∴，∴.
∴.又，
∴与的夹角为，故选D.
5．B
，解得，所以，所以，
6．
B
取的中点，连结，，，，平面平面，平面平面，平面，又，，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
是等腰直角三角形，，为直角三角形，
，0，，，0，，，0，，，，，
，0，，，，，
，．
7．D
以D为原点，DA，DC，DD1为坐标轴建立坐标系，设正方体棱长为1，则＝，＝，cos
〈，〉＝＝0.∴〈，〉＝.
8．C
二、多项选择题：
9．ABC
因为，所以，A正确；因为，所以，B正确；由,，可得是平面ABCD的一个法向量，C正确；BD在平面ABCD内，可得，D错误．
10．AC
由已知，，
，解得或，
11．AD
对选项A，
与是异面直线，故A正确；以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设正方体边长为，对选项B，，，，，所以，，设与所成角为，则，又因为，所以，故B错误.
对选项C，由题知：平面的法向量为，因为，，
设与平面所成角为，则，，故C错误；
对选项D，，，设平面的法向量，
则，令得，设平面的法向量，则，令得，
设二面角的平面角为，则，
又因为为锐角，所以，故D正确.
12．ACD
依题意可知，所以四点共面.因为，，所以，则，结合线面平行的判定定理可知ACD正确.而与不平行，所以B不正确.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．3
∵，∴，解得，∴，．
14．
连接交于,由平行四边形的性质，为的中点，
所以,,
因为在平面所在平面外，∴不共面，
由空间向量唯一分解定理，可得,
15．
以长方体的顶点为坐标原点，
过的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
因为的坐标为，所以,
所以.
16．由向量，则，，因为与互相垂直，所以，即，解得.
四、解答题：（本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．解：因为，所以
整理可得：，解得或，因为与垂直，所以，整理可得：，即，
所以，所以.
18．解：（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
19．解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.，，，，所以，，
所以，
故直线与所成角的余弦值为；
20．解：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，因为，，所以，所以即.
（2），所以，所以的长为.
（3）由（1）知，，
，，，
设与所成角，则
，
故与所成角的余弦值为.
2
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