广东省广州市西关重点外国语高中2022届高三上学期8月月考数学试题（Word版含答案）

2022届西关外国语高中8月月考
数学试卷（问卷）
一?单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意.
1.
已知集合，集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.
已知复数，其中是虚数单位，则的共轭复数虚部为（
）
A.
B.
3
C.
D.
3.
展开式中的常数项为－160，则a＝（
）
A.
－1
B.
1
C.
±1
D.
2
4.
17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（
）
A.
B.
C.
D.
5.
已知正项等比数列满足：,若数列中存在两项使得，
则的最小值为
A.
9
B.
C.
D.
6.
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，且，则tanC＝（
）
A.
B.
C.
D.
7.
已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
8.
已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（
）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
二?多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，每小题至少有两个选项符合题意，全对得5分，选得2分，选错不得分.
9.
下列说法正确的是（
）
A.
集合的真子集个数为
B.
“函数恒成立”是“”的必要条件
C.
已知，则函数在定义域上为单调增函数
D.
命题“，”的否定是“，”
10.
在无穷数列中，若，总有，此时定义为“阶梯数列”.设为“阶梯数列”，且，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
11.
已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（
）
A.
椭圆焦点坐标为(2,0)?(-2,0)
B.
椭圆C的长轴长为
C.
直线的方程为
D.
12.
如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（　　）
A.
直线BD1⊥平面A1C1D
B.
三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
C.
异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°，90°]
D.
直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
三?填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）
13.
设为单位向量，且，则________.
14.
已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种．
15.
在三棱锥中，，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为_________．
16.
关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围______.
四?解答题（本题包括6小题.共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.
已知数列的前n项和为，，设
（1）判断数列否为等差数列，并说明理由.
（2）求数列前n项和．
18.
已知的三个内角所对的边分别为，，，且满足.
（1）求角；
（2）若，且边上的中线的长为，求此时的面积.
19.
如图，在等腰梯形中，，，矩形所在平面垂直于平面，设平面与平面的交线为.
（1）求证：平面；
（2）若的长度为，求二面角的大小.
20.
2020新年伊始爆发的新冠疫情让广大民众意识到健康的重要性，云南省全面开展爱国卫生7个专项行动及健康文明生活的6条新风尚行动，其中“科学健身”鼓励公众每天进行60分钟的体育锻炼．某社区从居民中随机抽取了若干名，统计他们的平均每天锻炼时间（单位：分钟/天），得到的数据如下表：（所有数据均在0~120分钟/天之间）
平均锻炼时间
人数
27
39
a
b
45
15
频率
009
0.13
0.38
c
0.15
0.05
（1）求，，的值；
（2）为了鼓励居民进行体育锻炼，该社区决定对运动时间不低于分钟的居民进行奖励，为使30%的人得到奖励，试估计的取值？
（3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，在该社区得到奖励的人中随机抽取4人，设这4人中日均锻炼时间不低于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望．
21.
已知椭圆：，是坐标原点，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的外角的平分线的垂线，垂足为，且．
（1）求椭圆的方程：
（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0（其中为坐标原点）．
①求证：直线经过定点，并求出定点坐标：
②求面积的最大值．
22.
已知函数．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当x＞0时，恒成立，求实数a的取值范围．
2022届西关外国语高中8月月考
数学试卷（问卷）
答案版
一?单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意.
1.
已知集合，集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
2.
已知复数，其中是虚数单位，则的共轭复数虚部为（
）
A.
B.
3
C.
D.
答案：B
3.
展开式中的常数项为－160，则a＝（
）
A.
－1
B.
1
C.
±1
D.
2
答案：B
4.
17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
5.
已知正项等比数列满足：,若数列中存在两项使得，
则的最小值为
A.
9
B.
C.
D.
答案：D
6.
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，且，则tanC＝（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
7.
已知定义在上的函数，，，，则，，的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
8.
已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是（
）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
答案：C
二?多项选择题：本题包括4小题，每小题5分，共20分，每小题至少有两个选项符合题意，全对得5分，选得2分，选错不得分.
9.
下列说法正确的是（
）
A.
集合的真子集个数为
B.
“函数恒成立”是“”的必要条件
C.
已知，则函数在定义域上为单调增函数
D.
命题“，”的否定是“，”
答案：BD
10.
在无穷数列中，若，总有，此时定义为“阶梯数列”.设为“阶梯数列”，且，，，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：ACD
11.
已知椭圆C：内一点M(1,2)，直线与椭圆C交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则下列结论正确的是（
）
A.
椭圆焦点坐标为(2,0)?(-2,0)
B.
椭圆C的长轴长为
C.
直线的方程为
D.
答案：BCD
12.
如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（　　）
A.
直线BD1⊥平面A1C1D
B.
三棱锥P﹣A1C1D的体积为定值
C.
异面直线AP与A1D所成角的取值范用是[45°，90°]
D.
直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
答案：ABD
三?填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）
13.
设为单位向量，且，则________.
答案：
14.
已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种．
答案：20
15.
在三棱锥中，，，，．平面平面，若球是三棱锥的外接球，则球的半径为_________．
答案：4
16.
关于的方程在上有两个不相等的实根，则实数的取值范围______.
答案：
四?解答题（本题包括6小题.共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.
已知数列的前n项和为，，设
（1）判断数列否为等差数列，并说明理由.
（2）求数列前n项和．
答案：（1）是，理由见解析；（2）.
18.
已知的三个内角所对的边分别为，，，且满足.
（1）求角；
（2）若，且边上的中线的长为，求此时的面积.
答案：（1）；（2）
19.
如图，在等腰梯形中，，，矩形所在平面垂直于平面，设平面与平面的交线为.
（1）求证：平面；
（2）若的长度为，求二面角的大小.
答案：（1）详见解析；（2）.
20.
2020新年伊始爆发的新冠疫情让广大民众意识到健康的重要性，云南省全面开展爱国卫生7个专项行动及健康文明生活的6条新风尚行动，其中“科学健身”鼓励公众每天进行60分钟的体育锻炼．某社区从居民中随机抽取了若干名，统计他们的平均每天锻炼时间（单位：分钟/天），得到的数据如下表：（所有数据均在0~120分钟/天之间）
平均锻炼时间
人数
27
39
a
b
45
15
频率
009
0.13
0.38
c
0.15
0.05
（1）求，，的值；
（2）为了鼓励居民进行体育锻炼，该社区决定对运动时间不低于分钟的居民进行奖励，为使30%的人得到奖励，试估计的取值？
（3）在第（2）问的条件下，以频率作为概率，在该社区得到奖励的人中随机抽取4人，设这4人中日均锻炼时间不低于80分钟的人数为，求的分布列和数学期望．
答案：（1），；；（2）；（3）分布列见解析；期望为．
21.
已知椭圆：，是坐标原点，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，过作的外角的平分线的垂线，垂足为，且．
（1）求椭圆的方程：
（2）设直线：与椭圆交于，两点，且直线，，的斜率之和为0（其中为坐标原点）．
①求证：直线经过定点，并求出定点坐标：
②求面积的最大值．
答案：（1）；（2）①证明见解析，；②.
22.
已知函数．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）当x＞0时，恒成立，求实数a的取值范围．
答案：（1）见解析；（2）（﹣∞，e﹣1]．