广东省连州市重点高中2022届高三上学期9月第三次测试数学试题（Word版含答案）

连州市重点高中2022届高三上学期9月第三次测试
数学试题
一、单选题(共40分)
1．已知集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵.今有如图所示的堑堵形状容器装满水，当水量使用了一半时，水面高度占的（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数与（其中，）的部分图象如图所示，则（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
5．已知抛物线的焦点为点，点，抛物线上点满足，为坐标原点，则的长等于（
）
A．1
B．
C．2
D．
6．若，且，则（
）
A．-7
B．
C．
D．-7或
7．(本题5分)已知函数的图象与轴切于坐标原点，则、的值分别为（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
8．2020年12月4日是第七个“国家宪法日”．某校开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为，连续答对两道题的概率为．用事件表示“甲同学答对第一道题”，事件表示“甲同学答对第二道题”，则（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题(共20分)
9．在统计中，有一组样本数据，，…，利用最小二乘法得到两个变量的线
性回归方程为，那么下列说法正确的是（
）
相关系数不可能等于1
直线必经过点
直线表示最接近与之间真实关系的一条直线
相关系数为，且越接近于1，相关程度越大；越接近于0，相关程度越小
10．四边形中，，，，，，则下列表示错误的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（
）A．
B．
C．
D．
12．在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：①，，且，和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：②的模（表示向量，的夹角）在正方体中，有以下四个结论，正确的有（
）
A．
B．
C．方向相同
D．与正方体表面积的数值相等
三、填空题(共20分)
13．已知函数是定义在上的偶函数，且，当时，，则______．
14．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l于A，若直线AF的倾斜角为120°，那么________．
15．某人用随机模拟的方法估计无理数e的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作x轴的垂线与曲线相交于点B，过B作y轴的垂线与y轴相交于点如图，然后向矩形OABC内投入M粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有N粒，则无理数e的估计值是___________.
16．已知等比数列{An}满足An＋1＋An＝9·2n－1，n∈N
，设数列{An}的前n项和为Sn．若不等式Sn＞kAn－2对一切n∈N
恒成立，则实数k的取值范围是__________．
四、解答题(共70分)
17．(本题10分)在中，分别为角的对边，且.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
18．(本题12分)已知数列满足，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
19．(本题12分)已知矩形所在平面与直角梯形所在的平面垂直，交线为，，，且，，点是棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20．(本题12分)品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出（且）瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序．这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以，，，…，表示第一次排序时被排在，，，…，的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述．下面取研究，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，，，，等可能地为，，，的各种排列，且各轮测试相互独立．
（1）直接写出的可能取值，并求的分布列和数学期望；
（2）若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，则认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能．求出现这种现象的概率，并据此解释该测试方法的合理性．
21．(本题12分)已知椭圆：的左右焦点分别为，，焦距为2，椭圆的上顶点为，为正三角形，过点的直线与椭圆相交于，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若，求直线的一般方程.
22．(本题12分)已知函数，．
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页
连州市重点高中2022届高三上学期9月第三次测试
数学试题
参考答案
1．C
2．D
3．C
4．D
5．B
6．A
7．B
8．D
BCD
10．AC
11．ABC
12．ACD
13．
14．4
15．
16．
17．（1）由正弦定理得：，
，，
，
整理可得：，
，，，又，；
（2）为锐角三角形，，，即，
解得：；
由正弦定理可得：，
，，则，，
即的取值范围为.
18．解：（1）依题，∴是以为公比的等比数列，
又，，成等差数列.
∴，即，∴，
∴.
（2）由（1）得，设，
①
②
①-②：，
∴.
19．（1）因为矩形所在平面与直角梯形所在的平面垂直，平面平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，所以两两垂直，
所以如图，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
平面的一个法向量，
∵
∴，
∴平面.
（2），，平面的一个法向量，
由得，令，则，，
∴，
平面的一个法向量，
∴，
∵二面角为钝二面角，
∴二面角的余弦值为.
20．解：（1）的可能取值为，，，，
，，，
，，所以的分布列为
从而的数学期望．
（2）记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，“在某轮测试中有”为事件，则，
又各轮测试相互独立，，
因为表示仅凭随机猜测得到较低偏离程度的结果的概率，而，该可能性非常小，
所以我们可以认为该品酒师确实有较好的酒味鉴别能力，不是靠随机猜测，故这种测试合理．
21．（1）由题意得，即，若为正三角形，则，
故可得，从而椭圆的标准方程为；
（2）由题意可得直线斜率不为0，所以设其方程为，，
将与联立，得
则①，②
若，则，所以③
由①③得④
由②③得⑤
由④⑤得，解得，
所以直线的一般方程为或.
22．函数的定义域为.
（1），
设
当时，因为函数图象的对称轴为，．
所以当时，，，函数在上单调递减；
当时，令．得，
当时，，，当时，，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）若有两个零点，即有两个解，．设，，
设，因为函数在上单调递减，且，
所以当时，，，当时，，．
以函数在上单调递增，在上单调递减，
且时，，，
所以．
即实数的取值范围为.
答案第1页，总2页
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