河南省林州市第一重点高中2021-2022学年高一上学期开学检测（普通班）数学试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 河南省林州市第一重点高中2021-2022学年高一上学期开学检测（普通班）数学试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 717.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-16 15:01:15 | ||
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文档简介
林州一中2021级高一开学检测
数学试卷
一．选择题（每题5分，共60分，第12题为多项选择题）
1．[2020山东卷]设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．[2021山西大学附中高一模块诊断]下列集合中表示同一集合的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．[合肥一中高一期中]已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
4．[2021沙市中学期中]已知且，则下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．某市天然气公司在一些居民小区安装天然气管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法：若整个小区每户都安装，则收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付费用不足1000元，则这个小区的住户数至少为（
）
A．19
B．20
C．22
D．21
6．[人大附中高一期中]设集合，，若，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．2
7．[2021山东省滨州市五校联考高一期中]已知集合，，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知全集，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．[2021河北正定中学期末]设集合，若集合，，则的充要条件是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．[2021合肥一中高一段考]若命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11．某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（
）
A．7人
B．8人
C．9人
D．10人
12．（多项选择题）[核心素养·逻辑推理]若集合具有以下性质：
（1），；
（2）若，，则，且时，．
则称集合是“好集”．下列命题中正确的是（
）
A．集合是“好集”
B．有理数集是“好集”
C．整数集不是“好集”
D．设集合是“好集”，若，，则
二．填空题（每题5分，共20分）
13．（开放创新）能够说明“设，，是任意实数．若，则”是假命题的一组整数，，的值依次为______．
14．若命题“二次函数的图象恒在轴上方”为真命题，则实数的取值范围是______．
15．已知条件；条件；条件，若是的充要条件，则______．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______．（本题第一空2分，第二空3分）
16．（探索创新）[2021烟台一中高一期中]若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称这两个集合构成“蚕食”．对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为______．
三．解答题（17题10分，18~22每题12分，共70分）
17．（10分）[2021深圳中学高一期中]已知集合，．
（1）若，求；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
18．（12分）[2021重庆八中高一月考]已知集合，，，且，求，的值．
19．（12分）在①，，②存在集合，非空集合，使得这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数．
问题：求解实数，使得命题，，命题______都是真命题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（12分）[重庆一中月考]已知关于的方程有实数根，．
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
21．（12分）设，，分别为的内角，，所对的边，求证：方程与有公共根的充要条件是．
22．（12分）[2021北京四中高一期中]给定数集，若对于任意，，有，，则称集合为闭集合．
（1）判断集合，是否为闭集合，并给出证明；
（2）若集合，为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
（3）若集合，为闭集合，且，，证明：．
林州一中2021级高一开学检测
数学试卷参考答案
1．C【解析】，，则，故选C．
2．A【解析】对于A，，∴；对于B，为点集，为数集，集合中元素不同．∴；对于C，，，∴；对于D，集合，中的元素是不同的点，∴．故选A．
3．B【解析】由Venn图，可知阴影部分表示的集合为．因为，，所以．故选B．
4．C【解析】∵且，∴，，∴．故选C．
秒杀法
取，，，则可排除A，B，D．故选C．
5．D【解析】设这个小区的住户数为，则由题意可得，解得，因为是整数，所以这个小区的住户数至少为21．故选D．
6．A【解析】因为，所以或或．当时，，，不符合题意，舍去；当时，，，符合题意；当时，，，符合题意．综上，可知实数的值为．故选A．
解题通法
集合中元素的特征是确定性、互异性和无序性，解题时应根据集合间的关系及无序性得到集合中参数满足的等量关系，算出参数的值后再检验元素的互异性．
7．A【解析】由题意得，当时，，要使，则．故选A．
解题通法
补集思想及运用补集思想解题的步骤
1．补集思想
对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时，可从问题的反面入手，探求已知和未知间的关系，这样能化难为易、化隐为显，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化思想的体现．
2．解题的步骤
第一步：否定已知条件，考虑反面问题．第二步：求解反面问题对应的参数范围．第三步：取反面问题对应的参数取值范围的补集．
8．C【解析】因为，所以．因为集合，，所以，，，所以．故选C．
9．A【解析】由题意，知，由可得，得，反之亦成立．故的充要条件是，．故选A．
10．A【解析】若命题“是的必要不充分条件”是真命题，则的范围比的范围小，则的取值范围是，∵命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值范围是．故选A．
技巧点拨
探求使某一结论成立的充分不必要条件或必要不充分条件时，一般先找到使该结论成立的充要条件，然后通过对该充要条件缩小范围或扩大范围，得到使该结论成立的充分不必要条件或必要不充分条件．
11．D【解析】如图所示，设，两项公益活动都参加的有人，则仅参加项的有人，仅参加项的有人，，两项公益活动都不参加的有人，根据题意得，解得，所以只参加项不参加项的有人），故选D．
12．BCD【解析】对于A，假设集合是“好集”，因为，，所以，这与矛盾，所以集合不是“好集”，故A错误；对于B，因为，，且对任意的，，有，且时，，所以有理数集是“好集”，故B正确；对于C，因为，但，所以整数集不是“好集”，故C正确；因为集合是“好集”，所以，又，所以，即，又，所以，即，故D正确．故选BCD．
规律总结
解决以集合为背景的新定义问题关键要抓住三点：（1）紧扣新定义，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够灵活应用；（2）按新定义的特点和性质“照章办事”，逐条分析、验证、运算，并且转化为已学的式子或结论；（3）用好集合的运算与性质．
13．3，2，1（答案不唯一）【解析】由题意，整数，，满足，但不满足，所以，，的值依次可以为3，2，1．
14．【解析】由题意，“二次函数的图象恒在轴上方”为真命题，则，∴．
15．2
【解析】由条件可得，因为是的充要条件，所以，解得，因为是的必要不充分条件，所以，解得．
16．【解析】当时，，此时满足；当时，，此时集合，只能是“蚕食”关系，当集合，有公共元素时，解得，当集合，有公共元素时，解得．故的取值集合为．
17．【解析】（1）∵．∴，
又，
∴．（5分）
（2）选①．
∵，∴，
∴，∴．（10分）
选②
∵，∴，
∴，∴．（10分）
选③．
∵，∴，
∴，∴．（10分）
18．【解析】∵，∴必有，，，
∴，解得或．（5分）
当时，，又，∴，但，
∴不满足，∴不符合题意；（9分）
当时，，∴，可得．
综上，，．（12分）
19．思路导引
由命题为真，可得在上恒成立，求出的范围，通过命题为真，求出的范围，进而求得两范围的交集．
【解析】选条件①，
由命题为真，可得在上恒成立．
因为，所以，所以，（5分）
由命题为真，则方程有解．
所以，
所以．（10分）
又因为，都为真命题，所以，所以．
所以实数的值为1．（12分）
选条件②，
由命题为真，可得在上恒成立．
因为，所以．所以．（5分）
由命题为真，可得或，
因为非空集合，所以必有，
所以或，（10分）
又因为，都为真命题，所以，解得．
所以实数的取值范围是．（12分）
20．【解析】（1）因为命题是真命题，所以是假命题，
所以对于方程，
有，即，解得．
故实数的取值范围是．（6分）
（2）如果是的必要不充分条件，
那么能推出，但由不能推出，（8分）
因此，
因此，解得，
故实数的取值范围是．（12分）
21．【解析】证明充分性：
因为，所以，方程可化为，即，
所以该方程的两根分别为，．（4分）
同理可得的两根分别为，．（7分）
故两个方程有公共根．（8分）
证明必要性：
设两个方程有公共根，则，，显然．两式相加得．
所以．（10分）
代入，得，所以．
综上所述，方程与有公共根的充要条件是．（12分）
方法归纳
充要条件的证明策略：
（1）要证明为的充要条件，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，即证明“若，则”为真且“若，则”为真．
（2）在证明的过程中也可以用集合的思想来证明，证明与的解集是相同的，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚什么是条件，什么是结论．
22．【解析】（1）因为，，，所以不是闭集合；（1分）
任取，，设，，，，
则且，
所以，
同理，，故为闭集合．（3分）
（2）结论：不一定．
不妨令，，
则由（1）可知，，为闭集合，易知2，，，
因此，不一定是闭集合．（7分）
（3）不妨假设，则由，得存在且，故．
同理，存在且，故．
因为，所以或．
若，则由为闭集合且，得，与矛盾．
若，则由为闭集合且，得，与矛盾．
综上，不成立，故．（12分）
数学试卷
一．选择题（每题5分，共60分，第12题为多项选择题）
1．[2020山东卷]设集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．[2021山西大学附中高一模块诊断]下列集合中表示同一集合的是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
3．[合肥一中高一期中]已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（
）
A．
B．
C．
D．
4．[2021沙市中学期中]已知且，则下列不等式恒成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．某市天然气公司在一些居民小区安装天然气管道时，采用一种鼓励居民使用天然气的收费办法：若整个小区每户都安装，则收整体初装费10000元，再对每户收费500元，某小区住户按这种收费方法全部安装天然气后，每户平均支付费用不足1000元，则这个小区的住户数至少为（
）
A．19
B．20
C．22
D．21
6．[人大附中高一期中]设集合，，若，则实数的值为（
）
A．
B．
C．
D．2
7．[2021山东省滨州市五校联考高一期中]已知集合，，若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知全集，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．[2021河北正定中学期末]设集合，若集合，，则的充要条件是（
）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．[2021合肥一中高一段考]若命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
11．某公司共有50人，此次组织参加社会公益活动，其中参加项公益活动的有28人，参加项公益活动的有33人，且，两项公益活动都不参加的人数比都参加的人数的三分之一多1人，则只参加项不参加项的有（
）
A．7人
B．8人
C．9人
D．10人
12．（多项选择题）[核心素养·逻辑推理]若集合具有以下性质：
（1），；
（2）若，，则，且时，．
则称集合是“好集”．下列命题中正确的是（
）
A．集合是“好集”
B．有理数集是“好集”
C．整数集不是“好集”
D．设集合是“好集”，若，，则
二．填空题（每题5分，共20分）
13．（开放创新）能够说明“设，，是任意实数．若，则”是假命题的一组整数，，的值依次为______．
14．若命题“二次函数的图象恒在轴上方”为真命题，则实数的取值范围是______．
15．已知条件；条件；条件，若是的充要条件，则______．若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是______．（本题第一空2分，第二空3分）
16．（探索创新）[2021烟台一中高一期中]若一个集合是另一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称这两个集合构成“蚕食”．对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为______．
三．解答题（17题10分，18~22每题12分，共70分）
17．（10分）[2021深圳中学高一期中]已知集合，．
（1）若，求；
（2）在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
18．（12分）[2021重庆八中高一月考]已知集合，，，且，求，的值．
19．（12分）在①，，②存在集合，非空集合，使得这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解问题中的实数．
问题：求解实数，使得命题，，命题______都是真命题．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（12分）[重庆一中月考]已知关于的方程有实数根，．
（1）若命题是真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
21．（12分）设，，分别为的内角，，所对的边，求证：方程与有公共根的充要条件是．
22．（12分）[2021北京四中高一期中]给定数集，若对于任意，，有，，则称集合为闭集合．
（1）判断集合，是否为闭集合，并给出证明；
（2）若集合，为闭集合，则是否一定为闭集合？请说明理由；
（3）若集合，为闭集合，且，，证明：．
林州一中2021级高一开学检测
数学试卷参考答案
1．C【解析】，，则，故选C．
2．A【解析】对于A，，∴；对于B，为点集，为数集，集合中元素不同．∴；对于C，，，∴；对于D，集合，中的元素是不同的点，∴．故选A．
3．B【解析】由Venn图，可知阴影部分表示的集合为．因为，，所以．故选B．
4．C【解析】∵且，∴，，∴．故选C．
秒杀法
取，，，则可排除A，B，D．故选C．
5．D【解析】设这个小区的住户数为，则由题意可得，解得，因为是整数，所以这个小区的住户数至少为21．故选D．
6．A【解析】因为，所以或或．当时，，，不符合题意，舍去；当时，，，符合题意；当时，，，符合题意．综上，可知实数的值为．故选A．
解题通法
集合中元素的特征是确定性、互异性和无序性，解题时应根据集合间的关系及无序性得到集合中参数满足的等量关系，算出参数的值后再检验元素的互异性．
7．A【解析】由题意得，当时，，要使，则．故选A．
解题通法
补集思想及运用补集思想解题的步骤
1．补集思想
对于一些比较复杂、抽象，条件和结论之间关系不明确，难以从正面入手的数学问题，在解题时，可从问题的反面入手，探求已知和未知间的关系，这样能化难为易、化隐为显，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化思想的体现．
2．解题的步骤
第一步：否定已知条件，考虑反面问题．第二步：求解反面问题对应的参数范围．第三步：取反面问题对应的参数取值范围的补集．
8．C【解析】因为，所以．因为集合，，所以，，，所以．故选C．
9．A【解析】由题意，知，由可得，得，反之亦成立．故的充要条件是，．故选A．
10．A【解析】若命题“是的必要不充分条件”是真命题，则的范围比的范围小，则的取值范围是，∵命题“是的必要不充分条件”是假命题，则的取值范围是．故选A．
技巧点拨
探求使某一结论成立的充分不必要条件或必要不充分条件时，一般先找到使该结论成立的充要条件，然后通过对该充要条件缩小范围或扩大范围，得到使该结论成立的充分不必要条件或必要不充分条件．
11．D【解析】如图所示，设，两项公益活动都参加的有人，则仅参加项的有人，仅参加项的有人，，两项公益活动都不参加的有人，根据题意得，解得，所以只参加项不参加项的有人），故选D．
12．BCD【解析】对于A，假设集合是“好集”，因为，，所以，这与矛盾，所以集合不是“好集”，故A错误；对于B，因为，，且对任意的，，有，且时，，所以有理数集是“好集”，故B正确；对于C，因为，但，所以整数集不是“好集”，故C正确；因为集合是“好集”，所以，又，所以，即，又，所以，即，故D正确．故选BCD．
规律总结
解决以集合为背景的新定义问题关键要抓住三点：（1）紧扣新定义，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够灵活应用；（2）按新定义的特点和性质“照章办事”，逐条分析、验证、运算，并且转化为已学的式子或结论；（3）用好集合的运算与性质．
13．3，2，1（答案不唯一）【解析】由题意，整数，，满足，但不满足，所以，，的值依次可以为3，2，1．
14．【解析】由题意，“二次函数的图象恒在轴上方”为真命题，则，∴．
15．2
【解析】由条件可得，因为是的充要条件，所以，解得，因为是的必要不充分条件，所以，解得．
16．【解析】当时，，此时满足；当时，，此时集合，只能是“蚕食”关系，当集合，有公共元素时，解得，当集合，有公共元素时，解得．故的取值集合为．
17．【解析】（1）∵．∴，
又，
∴．（5分）
（2）选①．
∵，∴，
∴，∴．（10分）
选②
∵，∴，
∴，∴．（10分）
选③．
∵，∴，
∴，∴．（10分）
18．【解析】∵，∴必有，，，
∴，解得或．（5分）
当时，，又，∴，但，
∴不满足，∴不符合题意；（9分）
当时，，∴，可得．
综上，，．（12分）
19．思路导引
由命题为真，可得在上恒成立，求出的范围，通过命题为真，求出的范围，进而求得两范围的交集．
【解析】选条件①，
由命题为真，可得在上恒成立．
因为，所以，所以，（5分）
由命题为真，则方程有解．
所以，
所以．（10分）
又因为，都为真命题，所以，所以．
所以实数的值为1．（12分）
选条件②，
由命题为真，可得在上恒成立．
因为，所以．所以．（5分）
由命题为真，可得或，
因为非空集合，所以必有，
所以或，（10分）
又因为，都为真命题，所以，解得．
所以实数的取值范围是．（12分）
20．【解析】（1）因为命题是真命题，所以是假命题，
所以对于方程，
有，即，解得．
故实数的取值范围是．（6分）
（2）如果是的必要不充分条件，
那么能推出，但由不能推出，（8分）
因此，
因此，解得，
故实数的取值范围是．（12分）
21．【解析】证明充分性：
因为，所以，方程可化为，即，
所以该方程的两根分别为，．（4分）
同理可得的两根分别为，．（7分）
故两个方程有公共根．（8分）
证明必要性：
设两个方程有公共根，则，，显然．两式相加得．
所以．（10分）
代入，得，所以．
综上所述，方程与有公共根的充要条件是．（12分）
方法归纳
充要条件的证明策略：
（1）要证明为的充要条件，需要从充分性和必要性两个方面进行证明，即证明“若，则”为真且“若，则”为真．
（2）在证明的过程中也可以用集合的思想来证明，证明与的解集是相同的，证明前必须分清充分性和必要性，即搞清楚什么是条件，什么是结论．
22．【解析】（1）因为，，，所以不是闭集合；（1分）
任取，，设，，，，
则且，
所以，
同理，，故为闭集合．（3分）
（2）结论：不一定．
不妨令，，
则由（1）可知，，为闭集合，易知2，，，
因此，不一定是闭集合．（7分）
（3）不妨假设，则由，得存在且，故．
同理，存在且，故．
因为，所以或．
若，则由为闭集合且，得，与矛盾．
若，则由为闭集合且，得，与矛盾．
综上，不成立，故．（12分）
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