江苏省无锡市市北重点高中2022届高三上学期期初检测数学试题（Word版含答案）

无锡市市北重点高中2021—2022学年度第一学期
高三年级数学学科起初检测
日期2021.9
一、选择题（共8小题）
1.设集合，，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.“”是“直线与直线互相垂直”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.函数的大致图象是（
）
A.
B.
C.
D.
5.，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则三角形的面积为（
）
A.7
B.
C.
D.
6.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：其中为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（
）
A.60
B.65
C.66
D.69
7.设，分别为等比数列，的前项和，若，则（
）
A.
B.
C.
D.
8.已知正方体的棱长为2，以为球心，为半径的球面与平面的交线长为（
）
A.
B.
C.
D.π
二、多选题（共4小题）
9.在的展开式中（
）
A.的系数为40
B.的系数为32
C.常数项为16
D.常数项为8
10.如图，已知函数的图象与轴交于点，，若，图象的一个最高点，则下列说法正确的是（
）
A.
B.的最小正周期为4
C.一个单调增区间为
D.图象的一个对称中心为
11.已知，，则（
）
A.
B.
C.
D.
12.我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（
）
A.正方体的棱切球的半径为
B.正四面体的棱切球的表面积为
C.等长正六棱柱的棱切球的体积为
D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为
三、填空题（共4小题）
13.已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为___________.
14.化简：_____________.
15.若函数存在个零点，则所有这些零点的和等于____________________.
16.二进制是广泛采用的一种数制，我国古老的易经中就有二进制的思想.二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”.例如二进制数1011表示十进制数，现有五个二进制数101，1100，11001，10111，111111，其中十进制为偶数的是__________；从中随机选取两个数，它们的和不大于35（十进制）的概率为__________.
四、解答题（共6小题）
17.在①，②，③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.
的内角、、所对应的边分别为，，，已知______，，.
（1）求的值；
（2）求的面积.
18.设等差数列的前项和为，已知，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求证：.
19.某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：℃）的数据，如下表：
2
5
8
9
11
12
10
8
8
7
（1）求出与的回归方程；
（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6℃，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；
（3）设该地1月份的日最低气温，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.
附：①回归方程中，，.
②，.若，则，.
20.南京江宁禄口机场在今年7月20日发现6名疑似病人中有1人感染病毒，需要通过核酸检测确定该感染人员，核酸检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性表示没感染.拟采用两种方案检测：
方案甲：将这6名疑似病人咽拭子逐个检测，直到能确定感染人员为止；
方案乙：将这6名疑似病人随机分成2组，每组3人.先将其中一组的咽拭子混在一起检测，若结果为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每份咽拭子逐个检测，直到能确定感染人员为止；若结果为阴性，则对另一组中每份咽拭子逐个检测，直到能确定感染人员为止.
（1）求这两种方案检测次数相同的概率；
（2）如果每次检测的费用相同，请预测哪种方案检测总费用较少？并说明理由.
21.已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上.
（1）求椭圆C的方程：
（2）已知直线与椭圆C有两个不同的交点A，B，D为x轴上一点，是否存在实数k，使得是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k值及点D的坐标；若不存在，请说明理由.
22.已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设在上存在极大值，证明：.
无锡市市北重点高中2021-2022学年度第一学期
高三年级数学学科起初检测
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题）
1.【分析】可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可.
【解答】解：∵，，
∴.
故选：C.
【点评】本题考查了描述法和列举法的定义，对数函数的定义域和单调性，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题.
2.【分析】根据两个复数代数形式的除法法则化简复数为，它在复平面内的对应点的坐标为，从而得出结论
【解答】解：∵复数，它在复平面内的对应点的坐标为，
故选：A.
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的混合运算，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题.
3.【分析】根据充分必要条件的定义结合直线垂直的性质，从而得到答案.
【解答】解：若，则直线和直线互相垂直，是充分条件；
若直线与直线互相垂直，则m取任意实数，不是必要条件；
故选：A.
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了直线垂直的性质，是一道基础题.
4.【分析】根据题意，先分析函数的奇偶性，排除BD，再分析区间上，的符号，排除A，即可得答案.
【解答】解：根据题意，设，其定义域为，
则，为偶函数，排除BD，
在区间上，，，则，排除A，
故选：C.
【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值的分析，属于基础题.
5.【分析】求出的长度，由椭圆的定义可得，由余弦定理求得，从而求得三角形的面积.
【解答】解：由题意可得，，，故，，，
∵，
∴，，故三角形的面积.
【点评】本题考查椭圆的定义、标准方程，简单性质，以及余弦定理的应用，求出AF1的值，是解题的关键.
6.【分析】由已知可得方程，解出即可.
【解答】解：由已知可得，解得，
两边取对数有，
解得，
故选：B.
【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题.
7.【分析】设，分别为公比为的等比数列，公比为的的前项和，，，令可得，再由等比数列的求和公式可得，，由等比数列的通项公式可得所求值.
【解答】解：设，分别为公比为的等比数列，公比为的的前项和，，，
，
∴，
，
由，且，
可得，，
∴，
故选：C.
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题.
8.【分析】根据题意求出交线所在圆弧的圆心和半径，进而求解结论.
【解答】解：由题意知，
如图，在平面内任取一点P，使，则，
故以A为球心，为半径的球面与平面的交线是以为圆心，以2为半径的圆弧，
故该交线长为.
故选：D.
【点评】本题为空间几何体交线问题，找到球面与正方体的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，属基础题.
二、多选题（共3小题）
9.【解答】AC.
10.【分析】由题意可求得A，T，由周期公式可得ω的值，再将点D的坐标代入解析式中，即可求得φ，结合三角函数的性质即可求解.
【解答】解：因为图象的一个最高点，所以，
因为，所以，
所以，
所以，，所以，
所以的最小正周期为4，故B正确；
由周期公式，可得，
将点代入中，
可得，即，
结合，可得，故A错误；
因为，所以，则为的一个单调增区间，故C正确；
将代入中，可得，
所以的一个对称中心为，故D正确；
故选：BCD.
【点评】本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查三角函数的图象与性质，属于中档题.
11.【分析】先把已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解.
【解答】解：∵，，∴，，
因为，∴，故，即，
∴，所以选项A错误，
∵，所以选项B正确，
∵，∴，
即，所以选项C正确，
由于B正确，所以，所以选项D正确.
故选：BCD.
【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题.
12.【分析】由棱切球的定义，分别求出选项ABC中棱切球的半径，再求表面积与体积判断；对于D，求出等长正四棱锥的底面与四个侧面内切圆的面积判断.
【解答】解：正方体的棱切球的半径为正方体面对角线的一半，长度为，故A错误；
如图，四面体为棱长为1的正四面体，
取中点E，BC中点F，连接EF，则EF为其棱切球的直径，，则，则其棱切球的半径为，棱切球的表面积为，故B正确；
如图，为等长正六棱柱，
其棱切球的半径为棱锥的棱长1，则其棱切球的体积为，故C正确；
由棱切球的定义可知，棱切球被每一个面所截，截面为该面的内切圆，则等长正四棱锥的底面内切圆的面积为，每一个侧面正三角形的内切圆的半径r满足，则，四个侧面三角形的内切圆的面积为，则等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为，故D正确.
故选：BCD.
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查多面体棱切球表面积与体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题.
三、填空题（共3小题）
13.【分析】将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线，根据球O与正四面体的各棱都相切，可得球O的直径为正方体的棱长，
【解答】解：将正四面体ABCD，补成正方体，则正四面体ABCD的棱为正方体的面上对角线.
∵正四面体ABCD的棱长为4
∴正方体的棱长为，
∵球O与正四面体的各棱都相切，
∴球O的直径为正方体的棱长，
则球O的体积.
【点评】本题考查球的体积公式解题的关键是将正四面体ABCD，补成正方体，找出球的半径，属于中档题.
14.【分析】通分，根据二倍角公式，利用两角和与差的公式求解即可.
【解答】解：由
.
故答案为4.
【点评】本题主要考查了二倍角公式，两角和与差的公式的应用，属于基本知识的考查.
15.【分析】判断函数为奇函数，而是把函数向右平移1个单位得到的，再由对称性求解的所有零点的和.
【解答】解：函数的定义域为，
且满足，
可得函数为奇函数，奇函数的图象关于原点中心对称，
若函数有零点，则必有偶数个零点，
而是把函数向右平移1个单位得到的，
又存在个零点，则为偶数，且以这个零点为横坐标的点两两关于点对称.
∴所有这些零点的和等于.
故答案为：.
【点评】本题考查函数零点的判定，考查函数奇偶性的性质及应用，考查运算求解能力，是中档题.
16.【分析】根据条件中对二进制的定义，分别对5个二进制数转换为十进制的数，即可求解，先求出从5个数中，随机选取两个的总数，再求出满足条件的个数，即可求解.
【解答】解：根据条件中对二进制的定义，分别对5个二进制数转换为十进制的数，
，
，
同理可得，，，
即十进制为偶数的是1100，
从5个数中，随机选取两个，总共有，
其中随机选取两个数，
它们的和不大于35的共有4种情况，分别为：5和12，5和25，5和23，12和23，则所求的概率为，
故答案为：1100，.
【点评】本颞主要考查二进制的转换，以及古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于基础题.
四、解答题（共6小题）
17.【分析】选择条件①，②，③都求出，再可求出，由正弦定理求出，再利用三角形的面积公式即可求解.
【解答】解：若选①：，
由正弦定理得，
∵，
∴，
∴，∵，∴，
∴，∵，∴，
（1）∵，，∴，
∴.
（2）∵，∴，
由正弦定理得，∴，
∴，
若选②：，
由正弦定理得，
∵，∴，∴，
即，∵，∴，
下面步骤同①.
若选③：，则，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
下面步骤同①.
【点评】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练运用正弦定理、三角形面积公式与两角和差公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
18.【分析】（1）设等差数列的公差为，由题设列出与的方程组，解得与，即可求得其通项公式；
（2）先由（1）求得与，再利用裂项相消法求得，即可证明结论.
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，由题设可得：，解得：，
∴；
（2）由（1）可得：，
∴，
∴
.
【点评】本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和及不等式证明中的应用，属于中档题.
19.【分析】（1）利用回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；
（2）根据的符号判断，把代入回归方程计算预测值；
（3）求出样本的方差，根据正态分布知识得.
【解答】解：（1），.
，
，
∴，.
∴回归方程为：.
（2）∵，∴与之间是负相关.
当时，.
∴该店当日的营业额约为9.56千元.
（3）样本方差，
∴最低气温，
∴，，
∴.
∴.
【点评】本题考查了线性回归方程的求解，数值预测，正态分布，属于中档题.
20.【分析】（1）设甲方案检测的次数是，则，乙方案检测的次数是，则，分别求出对应的概率，然后由，求解即可得到答案.
（2）利用期望的计算公式分别求出和，比较即可得到答案.
【解答】解：（1）由题意，可设甲方案检测的次数是，则，
设乙方案检测的次数是，则，方案甲与方案乙相互独立，
，，，，
用事件D表示方案甲所需检测的次数等于方案乙所需检测的次数，
则，
所以这两种方案检测次数相同的概率为；
（2）由（1）可知，，
所以，
又，，
所以，
所以，
所以方案乙检测总费用较少.
【点评】本题考查了分布列与数学期望的求解，解题的关键是掌握它们的求解方法以及求解公式，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题.
21.【分析】（1）由椭圆的对称性即可判断不在椭圆上，因此可由，，三点在椭圆上确定椭圆的方程；
（2）可先假设存在实数k，根据是以D为直角顶点的等腰直角三角形，建立关系，利用韦达定理进行求解即可.
【解答】解：（1）由对称知：，都在椭圆C上，对于椭圆在第一象限的图像上的点，
易知y是x的减函数，故，只有一个点符合，显然不在椭圆上，
∴，，三点在椭圆上，∴，
将代入椭圆方程可得，解得，
∴椭圆C的方程为.
（2）设，，假设存在符合题意，
由，得，，
∴或，
设中点，则，，
∴，，
∴，
由是以为直角顶点的等腰直角三角形，有，，
∴，即，解得或，
∴当时，点坐标为；当时，点坐标为.
【点评】本题主要考查了椭圆方程的求解，直线与椭圆的位置关系等相关知识，属于中档题.
22.【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的极大值M，证明结论成立即可.
【解答】解：（1）由题意，函数，
则，
当时，令，单调递增，
当时，令，解得：或，令，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
当时，令，解得：或，令，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
综上：当时，在递增，在递减，在递增，
当时，在上单调递增，
时，在递增，在递减，在递增；
（2）证明：由函数，则，
令，可得令，解得：，
当时，，在递增，此时，
故，函数在上单调递增，此时不存在极大值，
当时，令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
∵在上存在极大值，故，解得：，
∵，，，，
易证，存在，，存在，使得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极大值，即，，
由，，
故.
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是难题.