扬中市第二重点高中2021-2022第一学期高二数学数学周练2
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．过点且垂直于直线的直线方程为
（
）
A．
B．
C．
D．
2.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部
周长(单位:cm)．根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如右)，那
么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是
(
)
A．
B．
C．
D．
3.
设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是
(
)
A．若,,,则
B．若,,,则
C．若,,,则
D．若,,,则
4.
某公司位员工的月工资(单位:元)为，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为
(
)
A．
B．
C．
D．
5.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若A＋C＝2B，a＝1，b＝，则S△ABC等于
（
）
A．
B．
C．
D．
6.
若两条平行直线与之间的距离是，则
（
）
A．
B．
C．
D．
7.已知点，若直线过点与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
8.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围
（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．下列说法正确的是
(
)
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
10．在中，给出下列个命题，其中正确的命题是
(
)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．以下对各事件发生的概率判断正确的是
(
)
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
B．从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为
C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
12．已知函数图象的一条对称轴为，且在内单调递减，则以下说法正确的是
（
）
A．是其中一个对称中心
B．
C．在上单调递增
D．
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13.点在直线上，则的最小值是______．
14.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为__
____，体积为______．
15.
在平行四边形ABCD中,
，边AB、AD的长分别为2、1，
若M、N分别是边BC、CD上
的点且满足,
则的取值范围是
．
16.
在△ABC中，，则当角B最大时，△ABC的面积为
．
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝bcosC＋csinB．
（1）求B的值．
设∠BAC的平分线AD与边BC交于点D，已知AD＝，cosA＝－，求b的值．
18．如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为6的正三角形，设
（1）若，求；（2）若，求．
19．2017年“国庆节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度分成七段，，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：
（1）求的值,并说明交警部门采用的是什么抽样方法?
（2）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值(精确到0.1)；
（3）若该路段的车速达到或超过即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率.
20．已知直线，，，记，，.
（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；
（2）在中，求边上中线长的最小值；（3）求面积的取值范围.
21．如图，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，是的中点.
（1）在图中作出并指明平面和平面交线；
（2）求证：；
（3）当时，求与平面所成角的正切值.
22．已知一条动直线.（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程.
1扬中市第二重点高中2021-2022第一学期高二数学数学周练2
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．过点且垂直于直线的直线方程为
（A）
A．
B．
C．
D．
2.为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部
周长(单位:cm)．根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如右)，那
么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是
(
C
)
A．
B．
C．
D．
3.
设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是
(
D
)
A．若,,,则
B．若,,,则
C．若,,,则
D．若,,,则
4.
某公司位员工的月工资(单位:元)为，其均值和方差分别为和，若从下月起每位员工的月工资增加元，则这位员工下月工资的均值和方差分别为
(
D
)
A．
B．
C．
D．
5.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若A＋C＝2B，a＝1，b＝，则S△ABC等于
（
C
）
A．
B．
C．
D．
6.
若两条平行直线与之间的距离是，则
（
A
）
A．
B．
C．
D．
7.已知点，若直线过点与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是（C）
A.
B.
C.
D.
8.设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围
（
B
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．下列说法正确的是
(
ABD
)
A．直线必过定点
B．直线在轴上的截距为
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且垂直于直线的直线方程为
10．在中，给出下列个命题，其中正确的命题是
(ABD
)
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
11．以下对各事件发生的概率判断正确的是
(
BCD
)
A．甲、乙两人玩剪刀、石头、布的游戏，则玩一局甲不输的概率是
B．从1名男同学和2名女同学中任选2人参加社区服务，则选中一男一女同学的概率为
C．将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字l，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的概率是
D．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是
12．已知函数图象的一条对称轴为，且在内单调递减，则以下说法正确的是
（
AD
）
A．是其中一个对称中心
B．
C．在上单调递增
D．
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13.点在直线上，则的最小值是__8____．
14.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积为__
____，体积为______．
15.
在平行四边形ABCD中,
，边AB、AD的长分别为2、1，
若M、N分别是边BC、CD上
的点且满足,
则的取值范围是
．
16.
在△ABC中，，则当角B最大时，△ABC的面积为
．
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝bcosC＋csinB．
（1）求B的值．
设∠BAC的平分线AD与边BC交于点D，已知AD＝，cosA＝－，求b的值．
17.解：（1）因为a＝bcosC＋csinB，
由＝＝，得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．
又因为sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
所以sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，
即cosBsinC＝sinCsinB．
因为0＜C＜π，所以sinC≠0，所以sinB＝cosB．
又0＜B＜π，所以sinB≠0，从而cosB≠0，所以tanB＝1，
所以B＝．
（2）因为AD是∠BAC的平分线，设∠BAD＝θ，所以A＝2θ，
因为cosA＝－，所以cos2θ＝cosA＝－，即2cos2θ－1＝－，所以cos2θ＝，
因为0＜A＜π，所以0＜θ＜，所以cosθ＝，所以sinθ＝＝．
在△ABD中，sin∠ADB＝sin(B＋θ)＝sin(＋θ)＝sincosθ＋cossinθ
＝
EQ
\F(,2)×(＋)＝
EQ
\F(7,10)．
由＝，所以AB＝＝×
EQ
\F(7,10)×＝．
在△ABC中，sinA＝＝，
所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝
EQ
\F(,2)×(－)＝
EQ
\F(17,50)．
由＝，所以b＝＝
EQ
\F(×
EQ
\F(,2),
EQ
\F(17,50))＝5．
18．如图，在四边形ABCD中，△ABC是边长为6的正三角形，设
（1）若，求；（2）若，求．
18.解：（1）如图，，
的中点，且，
即；
（2）设∠DBC=θ，则∠DBA=60°﹣θ，设，
由得：
，
，
即①，
又,
②
19．2017年“国庆节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度分成七段，，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：
（1）求的值,并说明交警部门采用的是什么抽样方法?
（2）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值(精确到0.1)；
（3）若该路段的车速达到或超过即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率.
19．解:（1）由频率分布直方图知:
(a＋0.05＋0.04＋0.02＋0.02＋0.005＋0.005)×5＝1，
∴a＝0.06，(4分)该抽样方法是系统抽样；
（2）根据众数是最高矩形底边中点的横坐标,即众数的估计值为，
∵前三个小矩形的面积和为0.005×5＋0.020×5＋0.040×5＝0.325，
第四个小矩形的面积为0.06×5＝0.3，
∴中位数在第四组，设中位数为,
则0.325＋0.06×x＝0.5?x≈2.9，
∴数据的中位数估计值为77.9km/h；
（3）样本中车速在[90,95）有0.005×5×120＝3（辆）(，
∴估计该路段车辆超速的概率(12分)
考点：古典概型及其概率计算公式，众数、中位数、平均数
20．已知直线，，，记，，.
（1）当时，求原点关于直线的对称点坐标；
（2）在中，求边上中线长的最小值；（3）求面积的取值范围.
20．解：（1）当时，直线，
设原点关于的对称点为，则
解得故所求点的坐标为.
（2）法一：由，得，
故为直角三角形，且为斜边，中线长为，
由，得与的交点，
由，得与的交点，
故中线长，即当时，中线长有最小值为.
法二：因为点是轴上动点，所以当垂直轴时最短，此时中线长最小值为.
（3）由，得与交点，
由两点间距离公式得，点到距离，
三角形面积
，
当时，；当时；
当时.所以，，.
21．如图，平面平面，四边形是边长为4的正方形，，是的中点.
（1）在图中作出并指明平面和平面交线；
（2）求证：；
（3）当时，求与平面所成角的正切值.
21．解：（1）如图，延长与交于点，连接，
直线即为所求交线.
（2）因为四边形是正方形，所以.
又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以.
（3）如图，过点作于点，连接，
因为平面平面，平面平面，
，
平面，所以平面.
所以即为与平面所成的角，
在中，，，，
所以，，
从而，，在中，，
所以
.
【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质，以及面面垂直的性质，线面角的求法，属于中档题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理.
22．已知一条动直线.（1）求证：直线恒过定点，并求出定点P的坐标；
（2）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由．
（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当取最小值时，求直线的方程.
22．解：（1）整理直线方程得(3x+y-6)m+3x-y-2=0.
由3x+y-6=0且3x-y-2=0解得，
（2）设直线方程为，
若满足条件①，则，
又∵直线过点P(，2)，∵＋＝1，可得
解得，
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1；
即3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
若满足条件②，则，
由题意得，＋＝1，整理得，
解得，或.∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
综上所述：存在同时满足①②两个条件的直线方程为3x＋4y－12＝0；
（3）设，由题意得：，
，
设，
，
当时，取得最小值，
此时，直线方程为3x＋3y－10＝0
.
1
