扬中市第二重点高中2021-2022第一学期高三数学周练2
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．设集合，则
（
）
A．
B．
C．
D．
2．从编号分别为的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为
（
）
A.
B.
C.
D.
3．若a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题：
①若a∥α，b∥β，a⊥b，则α⊥β；②若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β；
③若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β；④若a∥α，b⊥β，a⊥b，则α∥β，
正确的个数为
（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．若，，则
（
）
A．
B．
C．
D．
5．已知a，b为正数，且直线与直线互相平行，则的最小值为
（
）
A.13
B.16
C.19
D.25
6．已知数列的前项和满足，则
（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知球O表面上的四点A，B，C，P满足AC＝BC＝，AB＝2，若四面体ABCD体积的最大值为，则球O的表面积为
（
）
A．
B．
C．
D．8π
8．已知为双曲线的左焦点，过点的直线与圆于两点（在之间），与双曲线在第一象限的交点为为坐标原点，若，则双曲线的离心率为
（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．已知两个命题
：对任意，总有；
：“”是“”的充分不必要条件.
则下列说法正确的是
（
）
A．为真命题
B．为假命题
C．为真命题
D.
为假命题
10.下列结论正确的是
（
）
A.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
B.已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C.已知为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交
D.若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
11．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是
(
)
A.是周期函数，且2是其一个周期
B.的图象关于直线对称
C.
D.
关于的方程（）在区间上的所有实根之和是12
12．如图,直角梯形ABCD，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．则
(
)
A．平面PED平面EBCD
B．二面角P﹣DC﹣B的大小为
C．
D．PC与平面PED所成角的正切值为
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．已知，其中，则
．
14．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机抽取一件，则其测量体温误差在区间内的概率为
.
（附：若随机变量服从正态分布，则）
15．已知圆与直线上任意一点向圆引切线，切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值为
.
16．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”.
（1）设，则在上的“新驻点”为
.（2）如果函数的“新驻点”分别为，那么的大小关系是
.
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分为100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所有数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：
（1）算出第三组[60，70）的频数，并补全频率分布直方图；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）
18.已知向量，函数
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
19．正项数列前n项和为，且
（1）求；（2）令，求前n项和．
20．如图，在三棱台中，二面角是直二面角，
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
21．在平面直角坐标系xOy中，已知R为圆x2+y2＝1上的一动点．R在x轴．y轴上的射影分别为点S，T，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C．曲线C与x轴交于A．B两点．（1）求曲线C的方程：（2）已知直线AP，BP分别交直线l：x＝4于点M．N．曲线C在点P处的切线与线段MN交于点Q．求的值．
22.
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；
（3）比较与的大小，并加以证明．扬中市第二重点高中2021-2022第一学期高三数学周练2
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．设集合，则
（
C
）
A．
B．
C．
D．
2．从编号分别为的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为
（
C
）
A.
B.
C.
D.
3．若a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题：
①若a∥α，b∥β，a⊥b，则α⊥β；②若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β；
③若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β；④若a∥α，b⊥β，a⊥b，则α∥β，
正确的个数为
（ B ）
A．0
B．1
C．2
D．3
4．若，，则
（
A
）
A．
B．
C．
D．
5．已知a，b为正数，且直线与直线互相平行，则的最小值为
（
D
）
A.13
B.16
C.19
D.25
6．已知数列的前项和满足，则
（ B ）
A．
B．
C．
D．
7．已知球O表面上的四点A，B，C，P满足AC＝BC＝，AB＝2，若四面体ABCD体积的最大值为，则球O的表面积为
（ A ）
A．
B．
C．
D．8π
8．已知为双曲线的左焦点，过点的直线与圆于两点（在之间），与双曲线在第一象限的交点为为坐标原点，若，则双曲线的离心率为
（ D ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．已知两个命题
：对任意，总有；
：“”是“”的充分不必要条件.
则下列说法正确的是
（
BC
）
A．为真命题
B．为假命题
C．为真命题
D.
为假命题
10.下列结论正确的是
（
CD
）
A.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
B.已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C.已知为坐标原点，点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交
D.若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
11．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是
(
BD
)
A.是周期函数，且2是其一个周期
B.的图象关于直线对称
C.
D.
关于的方程（）在区间上的所有实根之和是12
12．如图,直角梯形ABCD，，，，为中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．则
( AB )
A．平面PED平面EBCD
B．二面角P﹣DC﹣B的大小为
C．
D．PC与平面PED所成角的正切值为
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．已知，其中，则 3 ．
14．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布，从已经生产出的测温门中随机抽取一件，则其测量体温误差在区间内的概率为
.
（附：若随机变量服从正态分布，则）
15．已知圆与直线上任意一点向圆引切线，切点为，若线段长度的最小值为，则实数的值为
.
16．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”.
（1）设，则在上的“新驻点”为
.（2）如果函数的“新驻点”分别为，那么的大小关系是
.
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分为100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所有数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组并画出了样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，回答下列问题：
（1）算出第三组[60，70）的频数，并补全频率分布直方图；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）
17．解：（1）因为各组的频率之和等于1，
所以分数在[60，70）内的频率为：
f＝1﹣10（0.005+0.015+0.030+0.025+0.010）＝0.15，
所以第三组[60，70）的频数为120×0.15＝18（人），
完整的频率分布直方图如图，
（2）因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，
从图中可看出众数的估计值为75分；
因为（0.05+0.15+0.15）×10＝0.35＜0.5，
（0.05+0.15+0.15+0.3）×10＞0.5，
所以中位数位于[70，80）上，所以中位数的估计值为：
70+＝75；
又根据频率分布直方图，样本的平均数的估计值为：
45×（10×0.005）+55×（10×0.015）+65×（10×0.015）
+75×（10×0.03）+85×（10×0.025）+95×（10×0.01）＝73.5．
所以，样本的众数为75分，平均数为73.5分．
18.已知向量，函数
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
18．解：（1），
由，
，
；
（2），
，
，
，
19．正项数列前n项和为，且
（1）求；（2）令，求前n项和．
19．解：（1）正项数列{an}前n项和为Sn，且，
可得，解得a1＝1，
n≥2时，，
两式相减可得，
化为（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，由an＞0，可得an﹣an﹣1＝2，
则an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；
（2）bn＝an?（）n＝（2n﹣1）?（）n，
前n项和Tn＝1?+3?（）2+5?（）3+…+（2n﹣1）?（）n，
Tn＝1?（）2+3?（）3+5?（）4+…+（2n﹣1）?（）n+1，
相减可得Tn＝+2[（）2+（）3+…+（）n]﹣（2n﹣1）?（）n+1
＝+2?﹣（2n﹣1）?（）n+1，化简可得Tn＝3﹣（2n+3）?（）n．
20．如图，在三棱台中，二面角是直二面角，
（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
20．证明：（1）连接，在等腰梯形中，
过作交于点，
因为，
所以，所以，
即，又二面角是直二面角，
，
所以，又，
又因为；
（2）如图，在平面内，过点，由（1）可知，
以为原点，的方向为的正方向，建立空间直角坐标系，
则：，
，
设是平面的一个法向量，
则，
取，
由（2）可知，
所以是平面的一个法向量，
，
又二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为
21．在平面直角坐标系xOy中，已知R为圆x2+y2＝1上的一动点．R在x轴．y轴上的射影分别为点S，T，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C．曲线C与x轴交于A．B两点．（1）求曲线C的方程：（2）已知直线AP，BP分别交直线l：x＝4于点M．N．曲线C在点P处的切线与线段MN交于点Q．求的值．
21．解：（1）设，则，
又R在x，y轴上的射影分别为点S，T，所以，
由，得
＝1，故曲线C的方程为＝1；
（2）设，
不妨设直线AP的方程为，令x＝4，得点M的纵坐标为，
同理可得点N的纵坐标，设曲线C在点P处的切线方程为，
联立，整理得，
因为，
整理得，
将代入上式并整理，得，
所以曲线C在点P处的切线方程为，
令x＝4，则点Q的纵坐标为，
设，所以，
所以，
将代入上式得，解得λ＝1，所以＝1．
22.
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为；
（3）比较与的大小，并加以证明．
22.
解：（1）函数的定义域是，导函数为．
所以，
又，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）由已知．
所以只需证明方程
在区间有唯一解．
即方程
在区间有唯一解．
设函数
，
则
．
当
时，，故在区间单调递增．
又
，，
所以
存在唯一的，使得．
综上，存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率为．
（3）．证明如下：
首先证明：当时，．
设
，
则
．
当
时，，，
所以
，故在单调递增，
所以
时，有，
即当
时，有．
所以
．
1
