扬中市第二重点高中2021-2022第一学期高三数学周练1
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．对于集合，我们把集合叫做集合的差集，记作，若，，则为
（
B
）
A．
B．
C．
D．
2．已知为非零实数，则“”是“”的
（
D
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
3．若不等式的解集为，则函数的图象为
（
B
）
4.
已知，，，则的大小关系为
( D )
A．
B.
C.
D.
5．设，若f（a）+f（1+a）＞2，则a的范围
（ C ）
A．（﹣，+∞）
B．（﹣，1）
C．（﹣，0）
D．（0，）
6．设函数，则函数的图像可能为
( B )
A．
B.
C．
D．
7．如图所示，直线为双曲线的一条渐近线，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为
（
C
）
B．
C．
D．
8．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，下列说法：①函数的最小正周期是；②函数的图象关于点成中心对称；
③点的坐标是.其中正确结论的个数是
（
B
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．下列四个命题中，真命题为
（
AB
）
A．若复数满足，则
B．若复数满足，则
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则
10．已知正方体的棱长为2，分别是的中点，过的平面与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平面截该正方体的截面为底面，以为顶点的棱锥记为棱锥，则（
AC
）
A．正方体的外接球的体积为
B．正方体的内切球的表面积为
C．棱锥的体积为
D．棱锥的体积为
11．下列命题中，真命题是
（
CD
）
A.
，且
B.
，使得
C.
若，则
D.
若，则的最小值为
12．已知函数，，都有成立，且任取，，以下结论正确的是
（
AB
）
A.
B.
，
C.
D.
若，则
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．记为等差数列的前项和，已知，则
.
14．已知角的终边经过点，则
.
15.
设，则的最小值为__
___．
16．若函数为定义在上的偶函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为
.
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设数列的前n和为,已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
17.解：（1）数列的前n和为,，已知，，
当时，由，
可得，，．
（2）设．
可得：
．
18．已知向量，其中，若函数的直线正周期为.
（1）求的值；（2）在中，若，求的值.
18．解：（1）
，
因为的最小正周期为；
（2）由（1）知，
，
，
又，
，
；
19.
为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
个数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）：①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
①从设备的生产流水线上随机抽取件零件，计算其中次品件数的数学期望；
②从样本中随机抽取件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望.
19．解：（1），
，
，
因为设备的数据仅满足一个不等式，故其性能等级为丙.
（2）易知样本中次品共件，可估计设备生产零件的次品率为.
①由题意可知，于是.
②由题意可知的取值有、、，
，，.
的概率分布列为：
故.
【点睛】本题考查正态分布概率的应用，同时也考查了利用二项分布求数学期望以及随机变量分布列与数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.
20．如图，直三棱柱的侧棱长为4，，且，点，分别是棱，上的动点，且．
（1）求证：无论点在何处，总有；
（2）当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的余弦值．
20．解：根据题意，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示．则，，，，，．
（1）证明：设（），则．
得，，
故，即总有．
（2）易知
，
当且仅当时，取等号．
此时，，则，．
设平面的法向量为，则即
令，则，所以．
同理可得平面的一个法向量．
所以，
所以二面角的余弦值为．
21．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
21.解：（1）由已知，的坐标分别是，由于的面积为，
①，
又由，化简得②，
①②两式联立解得：或（舍去），，椭圆方程为；
（2）设直线的方程为，的坐标分别为
则直线的方程为，令，得点的横坐标，
直线的方程为，令，得点的横坐标，
，
把直线代入椭圆得，
由韦达定理得，，
∴，是定值．
22．已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2．(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若x＞0，证明：(ex－1)ln(x＋1)＞x2．
22．解：
(1)由题意可知，当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，x∈R，
则f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，则x＝0，
当x＞0时，f′(x)＞0；当x＜0时，f′(x)＜0，
所以f(x)在(－，0]上单调递减，在[0，＋)上单调递增．
(2)由条件得f′(x)＝ex－1－2ax，令h(x)＝ex－1－2ax，则h′(x)＝ex－2a，
①当2a≤1，即a≤时，在[0，＋∞]上，h'(x)≥0，即h(x)单调递增，
所以h(x)≥h(0)，即f′(x)≥f′(0)＝0，∴f(x)在[0，＋∞]上为增函数，
∴f(x)≥f(0)＝0，时满足条件．
②当2a≥1时，令h'(x)＝0，解得x＝ln2a，在[0，ln2a]上，h'(x)＜0，h(x)单调递减，
∴当x∈(0，ln2a)时，有h(x)＜h(0)＝0，
即f′(x)＜f′(0)＝0，则f(x)在(0，ln2a)上为减函数，∴f(x)＜f(0)＝0，不合题意．
综上，实数a的取值范围为．
(3)由(2)得，当a＝且x＞0时，ex＞1＋x＋，即ex－1＞x＋＝，
要证不等式(ex－1)ln(x＋1)＞x2，只需证明ex－1＞，
只需证明＞，只需证ln(x＋1)＞，
设F(x)＝ln(x＋1)－(x＞0)，则F′(x)＝－＝(x＞0)，
所以当x＞0时，F′(x)＞0恒成立，故F(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又F(0)＝0．∴F(x)＞0恒成立，∴原不等式成立．
1扬中市第二重点高中2021-2022第一学期高三数学周练1
姓名
一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．
1．对于集合，我们把集合叫做集合的差集，记作，若，，则为
（
）
A．
B．
C．
D．
2．已知为非零实数，则“”是“”的
（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
3．若不等式的解集为，则函数的图象为
（
）
4.
已知，，，则的大小关系为
(
)
A．
B.
C.
D.
5．设，若f（a）+f（1+a）＞2，则a的范围
（
）
A．（﹣，+∞）
B．（﹣，1）
C．（﹣，0）
D．（0，）
6．设函数，则函数的图像可能为
(
)
A．
B.
C．
D．
7．如图所示，直线为双曲线的一条渐近线，是双曲线的左、右焦点，关于直线的对称点为，且是以为圆心，以半焦距为半径的圆上的一点，则双曲线的离心率为
（
）
B．
C．
D．
8．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，下列说法：①函数的最小正周期是；②函数的图象关于点成中心对称；
③点的坐标是.其中正确结论的个数是
（
）
A．
B．
C．
D．
二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）
9．下列四个命题中，真命题为
（
）
A．若复数满足，则
B．若复数满足，则
C．若复数满足，则
D．若复数满足，则
10．已知正方体的棱长为2，分别是的中点，过的平面与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平面截该正方体的截面为底面，以为顶点的棱锥记为棱锥，则（
）
A．正方体的外接球的体积为
B．正方体的内切球的表面积为
C．棱锥的体积为
D．棱锥的体积为
11．下列命题中，真命题是
（
）
A.
，且
B.
，使得
C.
若，则
D.
若，则的最小值为
12．已知函数，，都有成立，且任取，，以下结论正确的是
（
）
A.
B.
，
C.
D.
若，则
三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13．记为等差数列的前项和，已知，则
.
14．已知角的终边经过点，则
.
15.
设，则的最小值为_
___．
16．若函数为定义在上的偶函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为
.
四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设数列的前n和为,已知.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．已知向量，其中，若函数的直线正周期为.
（1）求的值；（2）在中，若，求的值.
19.
为评估设备生产某种零件的性能，从设备生产零件的流水线上随机抽取个零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：
直径
58
59
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
73
合计
个数
1
1
3
5
6
19
33
18
4
4
2
1
2
1
100
经计算，样本直径的平均值，标准差，以频率值作为概率的估计值.
（1）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为，并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）：①；②；③.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；若仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部都不满足，则等级为丁，试判断设备的性能等级.
（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.
①从设备的生产流水线上随机抽取件零件，计算其中次品件数的数学期望；
②从样本中随机抽取件零件，计算其中次品件数的概率分布列和数学期望.
20．如图，直三棱柱的侧棱长为4，，且，点，分别是棱，上的动点，且．
（1）求证：无论点在何处，总有；
（2）当三棱锥的体积取最大值时，求二面角的余弦值．
21．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
22．已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2．(1)当a＝0时，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
(3)若x＞0，证明：(ex－1)ln(x＋1)＞x2．
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