中小学教育资源及组卷应用平台
12.2一次函数（第5课时）教学设计
课题
12.2（5）函数
单元
第十二单元
学科
数学
年级
八年级上
教材分析
12.2（5）函数作为沪科版八年级上第十二单元第五课时内容，主要围绕利用一次函数进行应用决策、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系展开了论述，考察了学生如何将一次函数应用于生活中的实际问题和一元一次方程、不等式的的计算中。
学情分析
该课时主要围绕利用一次函数进行应用决策、一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系展开了论述，这些内容是一次函数和实际应用问题联系起来的重要范例，也是一次函数与一元一次方程和不等式联系起来的重要展示，需要学生在生活中处处留心生活中的数学知识，并运用所学解决生活中的实际问题。
学习目标
1、能根据实际问题中变量之间的联系，确定一次函数关系式。2、能将简单的实际问题转化为数学问题（建立一次函数），从而解决实际问题。3、再应用一次函数解决问题的过程中，体会数学的抽象性和广泛性。
重点
培养正比例函数和一次函数图象的性质。
难点
培养学生用数形结合的思想方法解决问题。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
我们前面学习了哪些有关一次函数的知识？一次函数的特殊形式及其图象、性质一次函数的定义、图象、性质用待定系数法求一次函数解析式等等通过前面的思考和讨论，其实我们不难发现，一次函数也可以帮我们解决很多实际问题．
教师引导学生回忆之前学过的一次函数及正比例函数的概念和性质，为新知识的讲解打下基础.
通过复习，检查学生对之前所学知识的掌握，查漏补缺，为新知识的讲解打下基础.
讲授新课
例1：为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米时，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费。超过8立方米时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费。设一户每月用水量为x立方米，应交纳水费y元。（1）给出y与x之间的函数表达式。（2）画出上述函数图像。（3）当该市一户某月的用水量为x=5或x=10时，求其应缴纳的水费。（4）该市一户某月交水费26.6元，求该户这个月的用水量。分析：用水时以8立方米为界，分成两段，收费标准不一样；当x≤8时，每立方米收费(1+0.3)元，当x≥8时，超出部分每立方米收费(1.5+1.2)
元。另外,收费时x一般取整数，不足1立方米的可并入下月计费。解：（1）y与x之间的函数表达式为：y=
(1+0.3)x
（0≤x≤8）
(1.5+1.2)(x-8)+1.3×8=2.7x-11.2
(x>8)(2)如图，函数图像是一段折线。（3）当x=5时，y=1.3×5=6.5（元）当x=10时，y=2.7×10-11.2=15.8（元）即当用水量为5时，用水量为该户应缴水费6.5元；当10时，该户应缴水费15.8元。（4）y=26.6>1.3×8,可见该户用水超过8
，
因此2.7x-11.2=26.6
解得x=14,即该户本月用水14
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也有很多应用.例题展示：例2、某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人100元.经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？分析：假设该单位参加旅游人数为x，按甲旅行社的优惠条件，应付费用80x(元)；按乙旅行社的优惠条件，应付费用(60x+1000)(元)．问题变为比较80x
与60x+1000
的大小了．解法一：设该单位参加旅游人数为x.那么选甲旅行社，应付费用80x(元)；选乙旅行社，应付(60x+1000)(元).
记
y1=
80x，y2=
60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象，
y1与y2的图象交于点(50,4000).观察图象，可知：当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；当人数为0～49人时，选择甲旅行社费用较少；当人数为51～100人时，选择乙旅行社费用较少.解法二：设选择甲、乙旅行社费用之差为y，则y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000. 画出一次函数y=
20x-1000的图象如下图.它与x轴交点为（50,0）
由图知：（1）当x=50时，y=0，即y1=y2；（2）当x＞50时，y
＞
0，即y1
＞
y2；（3）当x＜50时，y
＜0，即y1
＜
y2.解法三：（1）当y1=y2，即80x=
60x+1000时，x=50.
所以当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；（2）当y1
＞
y2，即80x
＞
60x+1000时，
得x
＞
50.
所以当人数为51～100人时
，选择乙旅行社费用较少；（3）当y1
＜
y2，即80x
＜
60x+1000时，得x＜50.
所以当人数为0～49人时，选择甲旅行社费用较少；新知讲解（2）前面我们已经学过一元一次方程和一元一次不等式的解法，它们与一次函数有什么联系呢？想一想，议一议。例3、(1)解方程2x+6=0；
(2)当自变量x为何值时，一次函数y=2x+6的值为0？
关于问题（1）容易求出它的解为x=-3。关于问题（2）画出y=2x+6的图象。从图中可以看出，一次函数y=2x+6的图象与x轴的交点坐标为（-3,0），这就是当y=0时，得x=-3.而x=-3正好是方程2x+6=0的解。因为，任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0的形式，所以解一元一次方程都可以转化为求一次函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）中y=0时的x的值。从图象上看，就是求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。例4、根据例3一次函数y=2x+6的图象，你能得出一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
2x+6>0，就是函数y=2x+6中函数值y>0.观察图象，当图象在x轴上方时，它上面的点的纵坐标y>0;同样地，图象在轴下方时，它上面的点的纵坐标y<0.因为图象与x轴交于点（-3,0）由图象可知，要使y>0，即2x+6>0应有想x>-3;要使y<0,即2x+6<0应有x<-3.因为任何一个一元一次不等式都可以转化为kx+b>0（或kx+b<0）的形式，所以解一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）就是求使一次函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）取正值（或负值）时的取值范围。三、课堂演练1、一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为
2200
米．2.电信局为满足不同客户的需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图(MN∥CD)，若通话时间为500分钟，则应选择哪种方案更优惠( B )A．方案AB．方案BC．两种方案一样优惠D．不能确定3、某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA元和yB元．(1)分别求出yA、yB与x之间的函数关系式；解：(1)yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000，
yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680；(2)试讨论A、B两地中，哪个的运费较少；(2)∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320，∴当－8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少；当－8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多；当－8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少；(3)考虑B
地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．设两地运费之和为y元，则y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680.由题意得yB＝3x＋4680≤4830，解得x≤50.∵y随x的增大而减小，x最大为50，∴y最小＝－2×50＋9680＝9580.∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨；B地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之和最少，最少是9580元．4、观察一次函数y=2x+6和y=3的图象，求一元一次方程2x+6=3的解和一元一次不等式2x+6>3的解集。解：x=-1.5,
x＞-1.55.函数y=2x+6的图象如图，利用图象：(1)求方程2x+6=0的解；由图象可得：图象过点(-3，0).∴方程2x+6=0的解为x=-3(2)求不等式2x+6>0的解集由图象可得：当x＞-3时，函数y=2x+6的图象在x轴上方.∴不等式2x+6>0的解集为x＞-3；(3)若-1≤y≤3，求x的取值范围.由图象可得：函数图象过F(1.5，3)，G(-3.5，-1)两点，当-3.5≤x≤-1.5时，函数y=2x+6的函数值满足-1≤y≤3，∴x的取值范围是-3.5≤x≤-1.5.
教师引导学生总结交流探讨成果，分享经验和体会，然后开展例题的讲解。根据课本内容，进行分析，并提出设问，引导学生正确理解分析。教师引导学生例2的探究，仿照上面的步骤，再次进行思考和交流。教师将学生分成三个大组，每个组思考出一种切实可行的方法，不能重复，并在最后进行总结交流。教师引导学生回顾相关知识，并引导学生思考一元一次方程、不等式与一次函数的联系。教师对例题作出深入的阐释，帮助学生理解。教师引导学生进行课堂演练，在进行的过程中不断慢慢讲解和阐释相关的步骤和思路。
通过分享交流，让学生对应用问题的兴趣大大加深。帮助学生正确理解分析内容。交流合作，巩固提升。帮助学生深入理解这三种解题方法。培养学生逻辑思维能力，帮助学生理解和思考一元一次方程、不等式与一次函数的联系。教师对例题作出深入的阐释，帮助学生理解。通过讲解和阐释相关的步骤和思路帮助学生不断提高。
课堂小结
利用一次函数进行方案决策从数学的角度分析数学问题，建立函数模型列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系结合实际需求，选择最佳方案一次函数与一元一次方程、一元一次不等式解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
提纲挈领，巩固提升。
提纲挈领，巩固提升。
板书
利用一次函数进行方案决策一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共34张PPT)
12.2函数
第五课时
沪科版
八年级上
正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)
的图象和性质
k的正负性
y=kx(k是常数，
k≠0)的图象
直线y=kx经过
的象限
性质
图象必经过的点
k＞0
k＜0
x
y
0
x
y
0
一、三象限
二、四象限
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
图象必经过原点（0，0）
新知导入
一次函数函数的图象和性质
当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
与y轴的交点是（0，b），
与x轴的交点是（
，0），
当k>0，
b>0时，经过一、二、三象限；
当k>0
，b<0时，经过一、三、四象限；
当k<0
，b>0时，经过一、二、四象限；
当k<0
，b<0时，经过二、三、四象限.
图象
性质
新知导入
用待定系数法求一次函数表达式
2.
根据已知条件列出关于k、b的方程组；
1.
设所求的一次函数表达式为y=kx+b；
3.
解方程，求出k、b;
4.
把求出的k，b代回表达式即可.
新知导入
新知导入
我们前面学习了哪些有关一次函数的知识？
一次函数的定义、图象、性质；
用待定系数法求一次函数解析式等等
通过前面的思考和讨论，其实我们不难发现，一次函数也可以帮我们解决很多实际问题．
一次函数的特殊形式及其图象、性质；
例题展示
例1：为节约用水，某城市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米时，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费。超过8立方米时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元的污水处理费。设一户每月用水量为x立方米，应交纳水费y元。
（1）给出y与x之间的函数表达式。
（2）画出上述函数图像。
（3）当该市一户某月的用水量为x=5或x=10时，求其应缴纳的水费。
（4）该市一户某月交水费26.6元，求该户这个月的用水量。
例题展示
分析：用水时以8立方米为界，分成两段，收费标准不一样；当x≤8时，每立方米收费(1+0.3)元，当x≥8时，超出部分每立方米收费(1.5+1.2)
元。另外,收费时x一般取整数，不足1立方米的可并入下月计费。
解：（1）y与x之间的函数表达式为：
y=
(1+0.3)x
（0≤x≤8）
(1.5+1.2)(x-8)+1.3×8=2.7x-11.2
(x>8)
(2)如图，函数图像是一段折线。
30
20
10
8
16
x/
y/元
O
例题展示
（3）当x=5时，y=1.3×5=6.5（元）
当x=10时，y=2.7×10-11.2=15.8（元）
即当用水量为5时，用水量为该户应缴水费6.5元；当10时，该户应缴水费15.8元。
（4）y=26.6>1.3×8,可见该户用水超过8
，
因此2.7x-11.2=26.6
解得x=14,即该户本月用水14
在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函数，分段函数在生活中也有很多应用.
归纳总结
例题展示
例2、某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人100元.经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠;乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？
分析：假设该单位参加旅游人数为x，按甲旅行社的优惠条
件，应付费用80x(元)；按乙旅行社的优惠条件，应付费用
(60x+1000)(元)．问题变为比较80x
与60x+1000
的大小了．
例题展示
解法一：设该单位参加旅游人数为x.那么选甲旅行社，应付费用80x(元)；选乙旅行社，应付(60x+1000)(元).
记
y1=
80x，y2=
60x+1000.在同一直角坐标系内作出两个函数的图象，
y1与y2的图象交于点(50,4000).
x／人
50
60
y／元
800
1600
3200
2400
4000
4800
5600
O
10
20
30
40
70
80
90
y1=
80x
y2=
60x+1000
例题展示
观察图象，可知：
当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；
当人数为0～49人时，选择甲旅行社费用较少；
当人数为51～100人时，选择乙旅行社费用较少.
x／人
50
60
y／元
800
1600
3200
2400
4000
4800
5600
O
10
20
30
40
70
80
90
y1=
80x
y2=
60x+1000
例题展示
解法二：设选择甲、乙旅行社费用之差为y，
则y=y1-y2=80x-(60x+1000)=20x-1000.
画出一次函数y=
20x-1000的图象如下图.
O
20
40
60
-200
-400
-600
-800
-1000
y
x
y=
20x-1000
它与x轴交点为（50,0）
由图知：
（1）当x=50时，y=0，即y1=y2；
（2）当x＞50时，y
＞
0，即y1
＞
y2；
（3）当x＜50时，y
＜0，即y1
＜
y2.
例题展示
解法三：
（1）当y1=y2，即80x=
60x+1000时，x=50.
所以当人数为50时，选择甲或乙旅行社费用都一样；
（2）当y1
＞
y2，即80x
＞
60x+1000时，
得x
＞
50.
所以当人数为51～100人时
，选择乙旅行社费用较少；
（3）当y1
＜
y2，即80x
＜
60x+1000时，得x＜50.
所以当人数为0～49人时，选择甲旅行社费用较少；
例题展示
例3、(1)解方程2x+6=0；
(2)当自变量x为何值时，一次函数y=2x+6的值为0？
前面我们已经学过一元一次方程和一元一次不等式的解法，它们与一次函数有什么联系呢？想一想，议一议。
关于问题（1）容易求出它的解为x=-3。
关于问题（2）画出y=2x+6的图象。从图中可以看出，一次函数y=2x+6的图象与x轴的交点坐标为（-3,0），这就是当y=0时，得x=-3.而x=-3正好是方程2x+6=0的解。
0
x
y
6
－3
y=2x+6
A（0,6）
B（-3,0）
例题展示
因为，任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0的形式，所以解一元一次方程都可以转化为求一次函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）中y=0时的x的值。从图象上看，就是求直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。
例题展示
例4、根据例3一次函数y=2x+6的图象，你能得出一次不等式2x+6>0和2x+6<0的解集吗？
y=2x+6
1
2
3
-1
-2
-3
-4
1
3
4
5
7
O
A(0,6)
B(-3,0)
2
6
4
-1
x
y
2x+6>0，就是函数y=2x+6中函数值y>0.观察图象，当图象在x轴上方时，它上面的点的纵坐标y>0;同样地，图象在轴下方时，它上面的点的纵坐标y<0.
因为图象与x轴交于点（-3,0）由图象可知，要使y>0，即2x+6>0应有想x>-3;要使y<0,即2x+6<0应有x<-3.
因为任何一个一元一次不等式都可以转化为kx+b>0（或kx+b<0）的形式，所以解一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）就是求使一次函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）取正值（或负值）时的取值范围。
例3
画出函数y=-3x+6的图象，结合图象：
（1）求方程
-3x+6=0
的解；
（2）求不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集.
例题展示
解:
（1）画出函数y=-3x+6的图象，如图，图象与x轴交点B的坐标为（2,
0）.所以，方程-3x+6=0的解就是交点B的横坐标：x=2.
（2）结合图象可知，y>0时x的取值范围是x<2;y<0时x的取值范围是x>2.所以，不等式-3x+6>0的解集是x<2,不等式-3x+6<0的解集是x>2.
例题展示
求一元一次方程
kx+b=0的解．
一次函数与一元一次方程的关系
求一次函数y=
kx+b
中y=0时相应x的值．
从“函数值”看
求一元一次方程
kx+b=0的解．
求直线y=
kx+b与
x
轴交点的横坐标．
从“函数图象”看
归纳总结
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
一次函数与一元一次不等式的关系
求y=kx+b的值大
于(或小于)0时，
x的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
求直线y=kx+b
在x轴上方(或下方)
的图象所对应的x
的取值范围
从“函数图象”看
归纳总结
课堂演练
解析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为
b米/秒，由题意得
1600+100a=1400+100b,
1600+300a=1400+200b,
解得a=2,b=4.
故这次越野跑的全程为1600+300×2=2200米．
1、一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为
米．
2200
课堂演练
2.电信局为满足不同客户的需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图(MN∥CD)，若通话时间为500分钟，则应选择哪种方案更优惠( )
A．方案A
B．方案B
C．两种方案一样优惠
D．不能确定
B
课堂演练
3、某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA元和yB元．
(1)分别求出yA、yB与x之间的函数关系式；
解：(1)yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000，
yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680；
课堂演练
(2)试讨论A、B两地中，哪个的运费较少；
(2)∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320，
∴当－8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少；
当－8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多；
当－8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少；
课堂演练
(3)考虑B
地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．
设两地运费之和为y元，则y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680.
由题意得yB＝3x＋4680≤4830，解得x≤50.
∵y随x的增大而减小，x最大为50，
∴y最小＝－2×50＋9680＝9580.
∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨；B地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之和最少，最少是9580元．
课堂演练
4、观察一次函数y=2x+6和y=3的图象，求一元一次方程2x+6=3的解和一元一次不等式2x+6>3的解集。
y=2x+6
y=3
-1.5
1
2
3
-1
-2
-3
-4
1
3
4
5
7
O
A(0,6)
B(0,-3)
2
6
4
-1
x
y
解：x=-1.5,
x＞-1.5
课堂演练
5.函数y=2x+6的图象如图，利用图象：
(1)求方程2x+6=0的解；
由图象可得：图象过点(-3，0).
∴方程2x+6=0的解为x=-3；
(2)求不等式2x+6>0的解集；
由图象可得：当x＞-3时，函数y=2x+6的图象在x轴上方.
∴不等式2x+6>0的解集为x＞-3；
课堂演练
(3)若-1≤y≤3，求x的取值范围.
由图象可得：函数图象过F(1.5，3)，G(-3.5，-1)两点，
当-3.5≤x≤-1.5时，函数y=2x+6的函数值满足-1≤y≤3，
∴x的取值范围是-3.5≤x≤-1.5.
课堂小结
利用一次函数进行方案决策
从数学的角度分析数学问题，建立函数模型
列出不等式（方程），求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系
结合实际需求，选择最佳方案
课堂小结
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式
解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
解一元一次不等式可以看作：当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围.
作业布置
教材相关练习题
一课一练相应内容
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
欢迎加入21世纪教育网教师合作团队！！月薪过万不是梦！！
详情请看：
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
