1.3正方形的性质 课后培优 2021-2022学年北师大版数学九年级上册（Word版含解析）

正方形的性质
一、单选题
1．正方形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相平行
B．每一条对角线平分一组对角
C．对角线相等
D．对边相等
2．如图，正方形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BD＝12，BE＝DF＝8，则四边形AECF的面积为（　　）
A．24
B．12
C．4
D．2
3．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（　　）
A．先变大后变小
B．保持不变
C．一直变大
D．一直变小
4．如图，以边长为4的正方形的中心为端点，引两条互相垂直的射线，分别与正方形的边交于、两点，则线段的最小值是（
）
A．
B．2
C．
D．4
5．如图，在正方形内，以为边作等边三角形，连接并延长交于点N，则的度数是（
）
A．60°
B．45°
C．30°
D．25°
6．如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是（
）
A．1
B．
C．
D．2
7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，P为对角线BD上一动点，则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，点A，B，E在同一条直线上，正方形，的边长分别为2，4，H、Q分别为线段、的中点，则的长为（
）
A．2.5
B．
C．
D．
9．如图，在正方形中，是的平分线，若正方形的边长是1，则的长是（
）
A．
B．
C．
D．
10．如图，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，∠BEC＝70°，那么∠DAE＝（
）
A．10°
B．15°
C．25°
D．30°
11．如图，在正方形中，点、分别在边、上，，交点为，，交于点．若，，那么正方形的面积为（
）
A．
B．
C．
D．
12．如图是将正方形和正方形拼在一起的图形，点，，在同一条直线上，连结，．若阴影部分的面积为8，则正方形的边长为（
）
A．2
B．3
C．4
D．6
二、填空题
13．如图，在正方形的外侧作等边，、相交于点，则为______度．
14．如图，在边长为4的正方形中，是边上的一点，且，点是对角线上一动点，则周长的最小值为______．
15．如图，点P是正方形ABCD内一点，以BC为边作等边三角形BPC，连接BD、PD，则∠PDB的大小为_________．
16．如图，正方形的边长为，点为对角线上一点，连接，过点分别作，，垂足为，，．则线段的长为______．
17．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任意作一条直线，分别交AD、BC于点E、F，若正方形的对角线长为，则图中阴影部分的面积是_____．
三、解答题
18．如图所示，正方形ABCD中，AC，BD交于点O．BD＝10，点E，F是BD上的两点，BE＝DF＝2．求四边形AECF的周长．
19．如图，是正方形的对角线，是直线上一点．
（1）若点在边上，，垂足是，且．求证：；
（2）若，连接，求的度数．
20．如图，已知点A在BG上，四边形ABCD与四边形DEFG都为正方形，其面积分别是7cm2和11cm2：
（1）求AG的长；
（2）求△CDE的面积．
21．如图，点P为正方形ABCD的对角转AC上一动点，过点P作PE⊥PB交射线DC于点E．
（1）如图1，当点E在边CD上时，求证：PB＝PE；
（2）如图2，当点E在DC的延长线上时，探求线段PA、PC、CE的数量关系并加以证明；
（3）如图3，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，若正方形ABCD的边长为4，当点E为CD的中点，则PF＝　　（请直接写出结果）．
参考答案
1．C
解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；
菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等．
故选：C．
2．A
解：连接AC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，AC=BD=12，
∴AO=CO=BO=DO，
∵BE=DF=8，
∴BF=DE=BD-BE=4，
∴OE=OF，EF=DF-DE=4，
∴四边形AECF是菱形，
∴菱形AECF的面积=AC?EF=×12×4=24，
故选：A．
3．B
解：连接DE，
∵S△CDE=S矩形ECFG，
S△CDE=S正方形ABCD，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．即保持不变．
故选：B．
4．C
解：过点O作OG⊥AD于点G，如图
∵四边形ABCD是正方形，且对角线AC、BD相交于点O
∴OA=OB=OD
，∠OAF=∠OBE=45°，AC⊥BD
∴∠AOB=∠BOE+∠AOE=90°
∵OE⊥OF
∴∠AOE+∠AOF=90°
∴∠FOA=∠EOB
在△FOA和△EOB中
∴
△FOA≌△EOB(ASA)
∴OF=OE
∵OE⊥OF
∴由勾股定理得：
∴当OF最小时，EF最小
∵OG⊥AD
∴OF≥OG
即当OF与OG重合时，线段OF最小，最小值为OG的长，从而EF的最小值为
∵OA=OD，OG⊥AD
∴G点是AD的中点
∴OG=AD=2
∴
故选：C．
5．B
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∵△BCM是等边三角形，
∴BM=BC，∠MBC=∠BMC=60°，
∴AB=BM，∠ABM=30°，
∴∠BAM=∠AMB，
又∵∠BAM+∠AMB+∠ABM=180°，
∴∠BAM=∠BMA=75°，
∴∠CMN=180°-∠CMB-∠BMA=45°，
故选B．
6．C
解：四边形是正方形，
，，
∵在中，，
，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：（负值舍去），
，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
7．B
解：如图，连接EC，PC，
∵AP＋PE＝PC＋PE≥EC，
∴EC就是AP＋PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为4cm，点E是边AD的中点，
∴CD＝4cm，ED＝2cm，
∴CE＝，
∴AP＋PE的最小值是2cm．
故选：B．
8．C
解：∵H、Q分别为线段DF、EF的中点，
∴HQ为三角形FDE的中位线，
∴，
∵点A，B，E在同一条直线上，正方形ABCD，BEFG的边长分别为2，4，
∴AD=AB=2，BE=4，∠A=90°，
∴AE=AB+BE=6，
∴，
∴，
故选C.
9．C
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴
∵AC，BC是正方形的对角线
∴
∵是的平分线，
∴
∴，
∴
∴
∴
故选C
10．C
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE＝∠CDE＝∠EBC＝45°，AD＝CD，∠BCD＝90°，
在△AED和△CED中，
，
∴△AED≌△CED（SAS），
∴∠DAE＝∠ECD，
又∵∠BEC＝70°，
∴∠BCE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBC＝180°﹣70°﹣45°＝65°，
∵∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝90°﹣65°＝25°，
∴∠DAE＝25°，
故选：C．
11．B
解：四边形是正方形，
，，
，，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
，
设，则，
，
，
设为，
，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
（舍负），
正方形的面积为．
故选：．
12．C
解：如图，连接CF，
∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，
∴∠BDC=45°，∠GCF=45°，
∴∠BDC=∠GCF，
∴BD∥CF，
∴S△BDF=S△BCD=8，
∴S△BDF=BC×BC÷2=8．
∴BC=4，
故选：C．
13．120．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°，
∴∠EFC＝180°﹣∠BFC＝120°；
故答案为：120．
14．6
解：如图，作作关于的对称点，
正方形是轴对称图形，是它的一条对称轴，则在上，
，
，
当三点共线时候，最小，
四边形是正方形，
，
，
，
周长的最小值为的最小值，
即．
故答案为：6．
15．30°
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，BC＝CD，
∵△BPC是等边三角形，
∴∠PBC＝∠BCP＝∠BPC＝60°，BP＝PC＝BC，
∵BC＝CD，∠BCD＝90°，
∴∠DBC＝45°，
∴∠PBD＝∠PBC﹣∠DBC＝60°﹣45°＝15°，
∵∠BCD＝90°，∠BCP＝60°，
∴∠PCD＝90°﹣60°＝30°，
∵PD＝DC，
∴∠DPC＝
，
∴∠PDB＝180°﹣∠PBD﹣∠BPC﹣∠CPD＝180°﹣15°﹣60°﹣75°＝30°，
故答案为：30°．
16．
解：延长NE与AD交于F，
∵四边形ABCD是正方形，EM⊥AB，EN⊥BC，
∴∠MAE=45°，∠AME=∠BME=∠ENB=∠B=90°，
∴四边形BMEN是矩形，∠AEM=45°，
∴ME=AM=BN=5，NC=BC-BN=13
同理可以证明四边形NCDF是矩形，四边形AMEF是正方形，
∴DF=CN，EF=AM=5，
∴，
故答案为：13.
17．
解：在正方形ABCD中，
，
，
，
又∵
，
∴
，
∴
，
∴图中阴影部分的面积等于
，
∵正方形的对角线长为，
∴
，
，
∴图中阴影部分的面积等于
．
故答案为：．
18．4
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OD＝OB，OA＝OC，BD⊥AC，
∵BE＝DF，
∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF为菱形，
∵BD＝10，BE＝DF＝2，
∴OE＝5﹣2＝3，OC＝5，
∴CE＝，
∴菱形AECF的周长为4．
19．（1）见解析；（2）或
解：证明：（1）连接．
四边形是正方形，
．
，
，．
∴．
．
四边形是正方形，
．
．
．
（2）分两种情形：
①如图2，点在的延长线上
，
．
，
又，
．
②如图3，点在的延长线上，
，
又
．
由上①②可知的度数是或
20．（1）2；（2）
解：（1）∵四边形ABCD与四边形DEFG都为正方形，
其面积分别是7cm2和11cm2，
∴
，，
由勾股定理得：
（2）如图，延长
过作于
正方形
正方形
（负根舍去）
所以△CDE面积．
21．（1）见解析；（2）AP﹣PC＝EC．证明见解析；（3）．
解：（1）证明：如图1，连接PD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠PCB＝∠PCD＝45°，
在△PCB和△PCD中，
，
∴△PCB≌△PCD（SAS），
∴PB＝PD，∠CBP＝∠CDP，
∵PE⊥PB，
∴∠BPE＝∠BCE＝90°，
∴∠CBP+∠CEP＝180°，
∵∠CEP+∠PED＝180°，
∴∠PED＝∠CBP，
∴∠PED＝∠CDP，
∴PE＝PD，
∴PB＝PE；
（2）解：结论：AP﹣PC＝EC．理由如下：
如图2，过点P作PT⊥PC交BC于T，过点T作TH⊥BC交AC于H，过点H作HK⊥AB于K，设PE交BC于点O．
∵∠ECO＝∠BPO＝90°，∠EOC＝∠BOP，
∴∠E＝∠PBT，
∵∠BPE＝∠TPC＝90°，
∵∠BPT＝∠EPC，
∵∠PCE＝∠PTC＝45°，
∴PT＝PC，
在△BPT和△EPC中，
，
∴△BPT≌△EPC（AAS），
∴BT＝EC，
∵HT⊥BC，
∴∠TCH＝∠THC＝45°，
∴CT＝TH，
∵TP⊥CH，
∴PC＝PH，
∵HK⊥AB，
∴∠HKB＝∠KBT＝⊥HTB＝90°，
∴四边形BTHK是矩形，
∴HK＝BT＝EC，
∵∠AKH＝90°，∠KAH＝45°，
∴AH＝KH＝EC，
∵PA﹣PC＝PA﹣PH＝AH，
∴PA﹣PC＝EC；
（3）解：如图3中，过点P作PL⊥BE于L，过点F作FQ⊥CD于Q，FJ⊥BC于J．
∵BC＝CD＝4，CE＝ED＝2，∠BCE＝90°，
∴BE＝＝＝2，
∵△BPE是等腰直角三角形，PL⊥BE，
∴BL＝EL＝，
∴PL＝BE＝，
∵FC平分∠BCE，FQ⊥CD，FJ⊥BC，
∴FQ＝FJ，
∵＝＝＝，
∴EF＝BE＝，
∴FL＝LE﹣EF＝﹣＝，
∴PF＝＝＝．