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22.3：三角形的性质
1．如果两个相似三角形相似比是，那么它们的对应角平分线之比是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若，则相似比等于（
）
A．
B．
C．
D．周长：周长
3．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高米），且落在对方区域离网米的位置上，已知她的击球高度是米，则她应站在离网的（
）
A．7.5米处
B．8米处
C．10米处
D．15米处
4．若，相似比为，则与对应的中线之比为(?
?
?
?
)
A．
B．
C．
D．
5．如图，在中，为边上一点，，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
6．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（
）
A．60m
B．40m
C．30m
D．20m
7．如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B
向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得
BC=3.2m"，CA=0.8m，
则树的高度为（
）
A．4.8m
B．6.4m
C．8m
D．10m
8．两个相似三角形的面积比为1:4，那么它们的对应中线的比为(
)
A．1:2
B．2:1
C．
D．
9．如图，是一种雨伞的轴截面图，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF＝40
cm，当点O沿AD滑动时，雨伞开闭．若AB＝3AE，AD＝3AO，此时B，D两点间的距离为( )
A．60
cm
B．80
cm
C．100
cm
D．120
cm
10．如图，在的内部，与相交于点,添加以下条件不能使成立的是
（?
?
?
?
）
A．
B．
C．
D．
11．已知，，则与的面积比为________．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝2cm，DB＝6cm，则CD＝___．
13．两个相似三角形的周长分别为和，则它们对应边上的高之比为________．
14．如图，在中，＝，为边上的高，如果＝，＝，那么边的长是________．
15．如图，中，，且，，则___________
16．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD＝4，CD＝9，则AD＝_____．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是CD延长线上一点，连接BE交AD于点F，连接CF，若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点N，M，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若△DAC∽△ABC，则∠B＝__度．
19．如图，在菱形中，，与交于点
，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点
，，连接，则下列结论中一定成立的是__________．
①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点、、、构成的四边形是菱形
20．已知Rt△ABC≌Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，BC＝6，AC＝8，点D是边AB的中点，∠FDE的两边分别与AC交于点G、H．当△BDH与△ADG相似时，CH的长为__．
21．如图，方格纸上的每个小方格都是边长为小正方形，我们把格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是一个格点三角形．
（1）填空：________，________；
（2）请先在方格纸中画出一个格点三角形，使，并且．再回答：与的周长之比为________．
22．如图所示是由边长为的个正三角形组成的正六边形网格，
①请在左图中画一个与已知相似但不全等的格点三角形；
②请写出该正六边形网格中所有格点直角三角形的斜边的长________．
23．如图，在阳光下，一棵树的影子不完全落在水平地面上，树影有一部分落在教学楼的第一级台阶上，每一级台阶的高度均为，小浩测得落在地面上的树影长为，落在台阶上的树影长为，同时，磊磊测得身高
的佳佳在水平地面上的影长为，求树的高度．
24．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个定点坐标分别为，，
.
（1）画出关于轴对称的，点的对称点分别是点，则的坐标：
（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）；
（2）画出点关于轴的对称点，连接，，，则的面积是___________.
25．如图，方格纸上的每个小方格都是边长为小正方形，我们把格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是一个格点三角形．
（1）填空：________，________；
（2）请先在方格纸中画出一个格点三角形，使，并且．再回答：与的周长之比为________．
26．如图，在中，于．已知，，求？
27．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边?
，高
．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？
28．如图，在中，，，点为边上一点，且AD=3cm，动点从点出发沿线段向终点运动．作，与边相交于点．
找出图中的一对相似三角形，并说明理由；
当为等腰三角形时，求的长；
求动点从点出发沿线段向终点运动的过程中点的运动路线长．
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22.3：三角形的性质
1．如果两个相似三角形相似比是，那么它们的对应角平分线之比是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们对应的角平分线之比是．
故选．
【点评】本题考查相似三角形的相似比问题，须熟练掌握：①相似三角形的对应高、角平分线、中线的比等于相似比；②相似三角形的周长比等于相似比；③相似三角形的面积比等于相似比的平方．
2．若，则相似比等于（
）
A．
B．
C．
D．周长：周长
【答案】D
【解析】根据相似三角形的性质进行求解即可得.
【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，
∴相似比k=AB：A′B′=△ABC周长：△A′B′C′，
k2=S△ABC：S△A′B′C′，
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于对应边的比，相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似三角形的相似比的平方是解题的关键.
3．小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高米），且落在对方区域离网米的位置上，已知她的击球高度是米，则她应站在离网的（
）
A．7.5米处
B．8米处
C．10米处
D．15米处
【答案】C
【解析】
试题分析：设她应站在离网的x米处，根据题意得：，解得：x=10．
故选C．
考点：相似三角形的应用．
4．若，相似比为，则与对应的中线之比为(?
?
?
?
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵，相似比为，
∴与对应的中线之比为．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应中线的比等于相似比是解答本题的关键．
5．如图，在中，为边上一点，，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，即可证得△ABC∽△BDC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长．
【解答】解：∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴，
∵BC＝2，AC＝3，
∴CD＝，
∴AD＝AC－CD＝．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（
）
A．60m
B．40m
C．30m
D．20m
【答案】B
【解答】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC．∴△EAB∽△EDC．∴．
又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴，解得：AB＝40（m）．故选B．
7．如图，身高为1.6m的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B
向A走去，当走到C点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得
BC=3.2m"，CA=0.8m，
则树的高度为（
）
A．4.8m
B．6.4m
C．8m
D．10m
【答案】C
【解答】解：因为人和树均垂直于地面，所以和光线构成的两个直角三角形相似，
设树高x米，则，即
∴x=8
故选C．
8．两个相似三角形的面积比为1:4，那么它们的对应中线的比为(
)
A．1:2
B．2:1
C．
D．
【答案】A
【解析】根据相似三角形对应高线的比等于相似比，对应面积的比等于相似比的平方即可解答.
【解答】∵两个相似三角形的面积比为1:4，
∴它们的相似比为1：2，
∴它们的对应中线的比为1:2.
故选A.
【点评】本题考查对相似三角形性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
9．如图，是一种雨伞的轴截面图，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF＝40
cm，当点O沿AD滑动时，雨伞开闭．若AB＝3AE，AD＝3AO，此时B，D两点间的距离为( )
A．60
cm
B．80
cm
C．100
cm
D．120
cm
【答案】D
【解析】
分析：先求出==3，然后判定△AOE和△ADB相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
详解：∵AB=3AE，AD=3AO，∴==3．又∵∠EAO=∠BAD，∴△AOE∽△ADB，∴==3．
∵OE=40cm，∴=3，解得：BD=120cm．
故选D．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判断出△AOE和△ADB相似是解题的关键．
10．如图，在的内部，与相交于点,添加以下条件不能使成立的是
（?
?
?
?
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据已知和相似三角形的判定方法逐项排查即可．
【解答】解：A、∵且，
∴，故不符合题意；
B、由，得不出，故B符合题意；
C、∵，，
∴，∴，∵
∴，故不符合题意；
D、∵，∴
∵，∴，故不符合题意．
故答案为．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定方法，即①有两个对应角相等的三角形相似，②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
11．已知，，则与的面积比为________．
【答案】9
【解析】直接利用相似三角形的面积比是相似比的平方求解即可．
【解答】解：∵，，
∴与的面积比为．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积之比为相似比的平方是解答本题的关键．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．若AD＝2cm，DB＝6cm，则CD＝___．
【答案】cm．
【解析】先证明△ACD∽△CBD，再根据相似三角形的对应边成比例代入求解即可.
【解答】解：如图，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠B+∠2＝90°，
∵∠2+∠1＝90°，
∴∠B＝∠1，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∵AD＝2cm，DB＝6cm，
∴，
∴CD＝（cm）．
故答案是cm．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，是典型的母子相似图形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
13．两个相似三角形的周长分别为和，则它们对应边上的高之比为________．
【答案】
【解析】根据相似三角形对应高之比等于相似比，那么它们对应边上的高之比为5：16．
【解答】解：已知两个相似三角形的周长分别为和，
则它们的相似比是，
那么它们对应边上的高之比为．
故答案为：．
【点评】本题考查了对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
14．如图，在中，＝，为边上的高，如果＝，＝，那么边的长是________．
【答案】
【解析】由在△ABC中，=90°，CD为边AB上的高，易证得△ACD∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例，再利用勾股定理求解即可．
【解答】解：∵CD为边AB上的高，＝，
∴∠ADC=∠CDB=90°，∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
∴，
∴CD?=AD·BD，
∴CD=，
在RT△ADC中
∵AC=，
故答案为：.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
15．如图，中，，且，，则___________
【答案】14
【解析】由及，得，再证△ADE∽△ABC，推出，代入值，即可求出BC．
【解答】解：∵,，
∴
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，则BC=14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的对应边的比相等．
16．在直角△ABC中，AD是斜边BC上的高，BD＝4，CD＝9，则AD＝_____．
【答案】6
【解析】
试题解析：∵△ABC是直角三角形，AD是斜边BC上的高，
∴AD2=BD?CD（射影定理），
∵BD=4，CD=9，
∴AD=6．
故答案为6.
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E是CD延长线上一点，连接BE交AD于点F，连接CF，若△ABF与△CEF的面积相等，则DE的长为________．
【答案】1
【解析】设DE=x．利用相似三角形的性质求出DF，根据三角形的面积相等构建方程即可解决问题．
【解答】设DE＝x．
∵DF∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∴，
∴，
∴DF，AF＝4，
∵△ABF与△CEF的面积相等，
∴?AF?AB?EC?DF，
∴2(x+2)，
∴x11，x21（舍去），
经检验，x1是方程的解且符合题意，
故答案为：1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点N，M，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若△DAC∽△ABC，则∠B＝__度．
【答案】30．
【解析】证明∠CAB=2∠B，根据直角三角形两锐角互余，构建方程求解即可．
【解答】由作图可知，AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB，
∵△DAC∽△ABC，
∴∠CAD＝∠B，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠CAB+∠B＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
故答案为30．
【点评】本题考查作图-基本作图，相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
19．如图，在菱形中，，与交于点
，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点
，，连接，则下列结论中一定成立的是__________．
①；②与全等的三角形共有5个；③；④由点、、、构成的四边形是菱形
【答案】①④
【解析】由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ACD的中位线，得出OG=CD=AB，①正确；
先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，④正确；
由菱形的性质得得出△ABG≌△BDG≌△DEG，由SAS证明△ABG≌△DCO，得出△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，得出②不正确；
证出OG是△ABD的中位线，得出OG∥AB，OG=AB，得出△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，由相似三角形的性质和面积关系得出S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；即可得出结果．
【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∴∠BAG=∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，
∵CD=DE，
∴AB=DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG=DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG=CD=AB，①正确；
∵AB∥CE，AB=DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，
∴OD=AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，
，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；
∵OB=OD，AG=DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OG=AB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积=△ABD的面积，△ABF的面积=△OGF的面积的4倍，AF：OF=2：1，
∴△AFG的面积=△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积=△AOG的面积=△BOG的面积，
∴S四边形ODGF=S△ABF；③不正确；
正确的是①④．
故答案为：①④．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大．
20．已知Rt△ABC≌Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，BC＝6，AC＝8，点D是边AB的中点，∠FDE的两边分别与AC交于点G、H．当△BDH与△ADG相似时，CH的长为__．
【答案】或．
【解析】根据勾股定理求出AB的长，然后分为三种情况讨论：当△BDH与△ADG相似时，①∠A＝∠DBH，②∠A＝∠BHD，③∠A＝∠HDB，对于①∠A＝∠DBH，②∠A＝∠BHD利用三角形相似的性质即可求解，③根据外角的性质判断出不存在．
【解答】∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝8，
∴AB＝10，
①当△BDH与△ADG相似时，∠A＝∠DBH，
∴AH＝BH，
∵点D是边AB的中点
∴HD⊥AB
∴∠ADH＝∠C＝90°
∴△ADH∽△ACB
∴
∴
∴AH
∴CH＝AC﹣AH＝8；
②当△BDH与△ADG相似时，∠A＝∠BHD
∵∠ABH＝∠DBH
∴△ABH∽△HBD
∴
∴BH5
∴CH；
③当△BDH与△ADG相似时，∠A＝∠HDB
∵HDB是△ADH的外角
∴∠HDB＞∠A
∴这种情况不存在．
故答案为或．
【点评】本题考查了三角形相似的判定和性质，勾股定理，根据题意选择适当的方法证明两三角形相似，并利用三角形相似的性质解答是本题的关键．
21．如图，方格纸上的每个小方格都是边长为小正方形，我们把格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是一个格点三角形．
（1）填空：________，________；
（2）请先在方格纸中画出一个格点三角形，使，并且．再回答：与的周长之比为________．
【答案】（1）；（2）图详见解析，
【解析】（1）根据勾股定理可以求出的长，在中求出的值；
（2）根据相似三角形的相似比等于周长比即可得出答案．
【解答】（1）根据，
∴
，
，
（2）如图所示，
∵
，并且．
∴
与的周长之比为：．
【点评】本题考查网格作图、勾股定理、锐角三角函数的应用、相似三角形的性质等，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
22．如图所示是由边长为的个正三角形组成的正六边形网格，
①请在左图中画一个与已知相似但不全等的格点三角形；
②请写出该正六边形网格中所有格点直角三角形的斜边的长________．
【答案】①图详见解析；
②，，，
【解析】①根据相似图形即是由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．
②根据正六边形网格由边长为的个正三角形组成，即可求出所有格点直角三角形的斜边的长．
【解答】解：①所画图形如下所示：
②该正六边形网格中所有格点直角三角形如上图所示，共有四种情况，其斜边分别为：，，，．
故答案为：，，，．
【点评】本题考查了相似变换，注意相似变换不改变角的大小、但是对应边都扩大（或缩小）相同的倍数．
23．如图，在阳光下，一棵树的影子不完全落在水平地面上，树影有一部分落在教学楼的第一级台阶上，每一级台阶的高度均为，小浩测得落在地面上的树影长为，落在台阶上的树影长为，同时，磊磊测得身高
的佳佳在水平地面上的影长为，求树的高度．
【答案】树的高度为米．
【解析】根据题意可得在同一个时间佳佳跟树的影长与本身高度之比是相等的，所以根据这一特点列出相应的比例式，但要注意题目中影长并不是落在同一平面内，所以在列式时要用树的高度减去落在台阶上的高度，然后求解即可．
【解答】
解：如图所示，过点C作，交AB于点G，延长CE交AF于点D
设AB表示树高且为米，CE为台阶的高度，EF为台阶上的影长，
易得四边形AGCD是平行四边形，AG=DC
由题意可得：CE=0.2m，EF=0.1m，BC=2.4m
，即，解得GB=3.84m，
即
即
解得．
答：树的高度为米．
【点评】本题主要考查相似三角形的实际应用，在解题时需注意树的影子不在同一平面内，故不能盲目的根据物体的高度与影长成正比来列方程，本题需通过作辅助线构造平行四边形或者相似三角形来求解．
24．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，已知三个定点坐标分别为，，
.
（1）画出关于轴对称的，点的对称点分别是点，则的坐标：
（_________，_________），（_________，_________），（_________，_________）；
（2）画出点关于轴的对称点，连接，，，则的面积是___________.
【答案】（1）画图见解析；-4，-1；-3，-3；-1，-2；（2）画图见解析，4.
【解析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接可得；
（2）作出点C关于y轴的对称点，然后连接得到三角形，根据面积公式计算可得．
【解答】（1）如图所示，
即为所求，；
（2）如图所示，的面积是
【点评】本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质．
25．如图，方格纸上的每个小方格都是边长为小正方形，我们把格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的就是一个格点三角形．
（1）填空：________，________；
（2）请先在方格纸中画出一个格点三角形，使，并且．再回答：与的周长之比为________．
【答案】（1），；（2）图详见解析，
【解析】（1）根据勾股定理即可求出的长，如图，在中利用正切的定义即可求出的值．
（2）将△ABC各边放大3倍即可画出符合要求的格点三角形，然后再根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，根据勾股定理，得，∴，
在Rt△BCM中，；
故答案为：，；
（2）所画格点△如图所示，
∵，并且．
∴与的周长之比为．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的作图和性质、勾股定理和锐角三角函数等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
26．如图，在中，于．已知，，求？
【答案】18
【解析】根据射影定理得到等积式，代入计算即可．
【解答】解：∵，，
∴△ACD∽△ABC，
∴.
∴，又，，
∴．
【点评】本题考查了射影定理，解题的关键是根据射影定理得到等积式.
27．如图，一块材料的形状是锐角三角形，边?
，高
．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，这个正方形零件的边长是多少？
【答案】这个正方形零件的边长为．
【解析】先根正方形对边平行可得BC//EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”证得，可得；设正方形的边长为，则，然后列分式方程解答即可．
【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵AD⊥BC
∴设正方形的边长为，则，
∴
，解得．
答：这个正方形零件的边长为．
【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的应用等知识点，证得和灵活应用数形结合思想是解答本题的关键．
28．如图，在中，，，点为边上一点，且AD=3cm，动点从点出发沿线段向终点运动．作，与边相交于点．
找出图中的一对相似三角形，并说明理由；
当为等腰三角形时，求的长；
求动点从点出发沿线段向终点运动的过程中点的运动路线长．
【答案】（1）；（2）的长为或或；（3）cm.
【解析】
【解析】(1)由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠B＝45°由三角形的外角性质和已知条件证出∠ADE＝∠BEF，即可得出结论；
(2)分三种情况：①若EF＝BF，由相似三角形的性质和勾股定理求出AE＝DE＝即可；
②若EF＝BE，由相似三角形的性质和勾股定理求出AE即可；
③若BF＝BE，则∠FEB＝∠EFB，由△ADE∽△BEF得出AE＝AD＝3即可．
(3)由（1）得出△ADE∽△BEF，得到，得出是的二次函数，即可得出结果．
【解答】解：，理由如下：
∵在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
分三种情况
①如图，若，则，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，若，则
又∵，
∴，
∴，
∴；
③如图，若，则
又∵，
∴，
∴．
综上所述，当为等腰三角形时，的长为或或．
设，长为．
∵在中，，．
∴，，
由得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值，
∵从运动的过程中可以得出点运动的路程正好是，
∴点运动路程为．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值，相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，灵活运用性质进行计算是解题的关键．
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精品试卷·第
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