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21.2：二次函数的图像和性质
1．在直角坐标系中，函数y=
3x与y=
－x2+1的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
2．由二次函数，可知( )
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x=2
C．其最小值为1
D．当时，随的增大而增大
3．已知点A（1，y1），，C（2，y3），都在二次函数的图象上，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．顶点为（5，1），形状与函数y=x2的图象相同且开口方向相反的抛物线是（
）
A．y=(x-5)
2+1
B．y=x
2-
5
C．y=（x-5）2-
1
D．y=（x+5）2
-1
5．二次函数y=-（x-2）2的图象与y轴(
)
A．没有交点
B．有交点
C．交点为(1，0)
D．交点为(0，)
6．下列函数中，当时随的增大而增大的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知二次函数
y
x
32
，那么这个二次函数的图像有（
）
A．最高点3,
0
B．最高点3,
0
C．最低点3,
0
D．最低点3,
0
8．抛物线y=x2+4x+4的对称轴是(
)
A．直线x=4
B．直线x=－4
C．直线x=2
D．直线x=－2
9．下列对二次函数y＝2(x＋4)2的增减性描述正确的是(
)
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．当x＞－4时，y随x的增大而减少
D．当x＜－4时，y随x的增大而减少
10．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝4；④2AB＝3AC；其中正确结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
11．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
12．若平面直角坐标系内的点
M
满足横、纵坐标都为整数，则把点
M
叫做“整点”．例如：P(1，0)、Q(2，－2)都是“整点”．抛物线
y=mx2－2mx+m－1(m>0)与
x
轴交于
A、
B
两点，若该抛物线在
A、B
之间的部分与线段
AB
所围成的区域（包括边界）恰有
6
个整点，则
m
的取值范围是(
)
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
13．如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣k）交x轴于点A、B，（A左B右），交y轴于点C，△AOC的周长为12，sin∠CBA＝，则下列结论：①A点坐标（﹣3，0）；②a＝﹣；③点B坐标（8，0）；④对称轴x＝．其中正确的有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
14．关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
15．已知点A(﹣3，y1)，B(2，y2)均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P(m，n)是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥n，则m的取值范围是( )
A．﹣3＜m＜2
B．﹣＜m＜-
C．m＞﹣
D．m＞2
16．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中结论正确的有（
）
A．①③
B．①④
C．①②
D．①③④
17．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（
）
A．5
B．9
C．11
D．13
18．的图像如图所示，对称轴，若关于的(为实数)在的范围内有解，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
19．已知二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，下列结论：①;②;③;④正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
20．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）8a+7b+2c＞0；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
21．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
22．当2.5≤x≤5时，二次函数y=－（x－1）2+2的最大值为__.
23．二次函数y=-x2-2图像的顶点坐标是___________.
24．如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是________（填写正确结论的序号）．
25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．以下五个结论：①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有两个．那么，其中正确的结论是_____．
26．（2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：
①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中所有正确的结论是__________．
27．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），下列结论：①当时，；②；③当时，；④．其中正确的结论的序号是___________．
28．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点，有下列结论：
①abc0；
②a﹣2b+4c=0；
③25a﹣10b+4c=0；
④3b+2c0；
⑤a﹣b≥m（am﹣b）；
其中所有正确的结论是______．（填写正确结论的序号）
29．平面直角坐标系中，C（0，4），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动时，OB+BC的最小值为_____．
30．若A(x1,
y1)、B(x2,
y2)、C(x3,
y3)为函数图象上的三个点,其中x2＋x3＞4且－1＜x1＜0＜x2＜2＜x3＜4,则y1、y2、y3之间的大小关系是__________
31．已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，﹣3），B（4，0）
（1）点A的坐标是
；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标．
32．直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，一抛物线的顶点为A，且经过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点C（m，－4.5）在抛物线上，求m的值
33．已知抛物线y=a(x-h)2,当x=2时，有最大值，此抛物线过点(1，-3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小.
34．在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标.
35．某商场以每件40元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t＝180﹣3x．
（1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式（毛利润＝销售价﹣进货价）；
（2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？
36．如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，CO＝3AO，点P是抛物线上第一象限内的一动点，点Q在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PD∥y轴交BC于点D，求线段PD长度的最大值；
（3）如图2，当BQ交y轴于点M，∠QBC＝∠PBC，∠BCP＝45°，求点M的坐标．
37．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线下方抛物线上一动点．
①如图2所示，直线交线段于点，求的最小值；
②
如图3所示，连接过点作于，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图，抛物线与直线交于点和点，抛物线顶点为，直线与轴交于点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若轴上存在点使的面积为9，求点的坐标．
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精品试卷·第
2
页
（共
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页）
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21.2：二次函数的图像和性质
1．在直角坐标系中，函数y=
3x与y=
－x2+1的图像大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由一次函数的性质可知，y=
3x的函数图像过一、三象限，由二次函数性质可得y=
－x2+1中a<0，抛物线开口向下，故选D.
2．由二次函数，可知( )
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线x=2
C．其最小值为1
D．当时，随的增大而增大
【答案】C
【解析】根据二次函数的性质，直接根据a的值得出开口方向，再利用顶点坐标的对称轴和增减性，分别分析即可．
【解答】解：由二次函数y=2（x-3）2+1，可知：
A：∵a＞0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B．∵其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C．其最小值为1，故此选项正确；
D．当x＜3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质，这是中考中考查重点知识．
3．已知点A（1，y1），，C（2，y3），都在二次函数的图象上，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：∵二次函数中，，对称轴，
∵点A（1，y1），，C（2，y3），在对称轴的右侧，
对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∵，
∴
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉二次函数的性质是解题关键．
4．顶点为（5，1），形状与函数y=x2的图象相同且开口方向相反的抛物线是（
）
A．y=(x-5)
2+1
B．y=x
2-
5
C．y=（x-5）2-
1
D．y=（x+5）2
-1
【答案】A
【解析】形状与函数y=x2的图象相同开口方向相反，二次项系数是-，再用顶点式求即可．
【解答】∵形状与函数y=x2的图象相同且开口方向相反，
∴二次项系数是-
∵抛物线顶点坐标为(5,1)，
∴抛物线解析式为y=
-
(x-5)2+1
故选：A．
【点评】本题考查求二次函数解析式问题，关键是形状相同且开口方向相反时二次项系数的值，掌握顶点式．
5．二次函数y=-（x-2）2的图象与y轴(
)
A．没有交点
B．有交点
C．交点为(1，0)
D．交点为(0，)
【答案】B
【解答】∵由x＝0得，
∴二次函数y=-（x-2）2的图象与y轴交于点（0，-1）.
故选：B.
6．下列函数中，当时随的增大而增大的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
∵-2<0,
∴当时随的增大而增大,故A正确；
∵-2<0,
∴当时随的增大而减小,故B不正确；
∵-1<0,
∴当时随的增大而减小,故C不正确；
∵1>0,对称轴
∴当时随的增大而增大,故D不正确；
7．已知二次函数
y
x
32
，那么这个二次函数的图像有（
）
A．最高点3,
0
B．最高点3,
0
C．最低点3,
0
D．最低点3,
0
【答案】B
【解析】根据二次函数的顶点式进行作答.
【解答】由题知，y
x
32+0，所以，这个二次函数由最高点且为3,
0.所以答案选B.
【点评】本题考查了二次函数的顶点式，熟练掌握二次函数的顶点式是本题解题关键.
8．抛物线y=x2+4x+4的对称轴是(
)
A．直线x=4
B．直线x=－4
C．直线x=2
D．直线x=－2
【答案】D
【解答】解：根据配方法，可得y＝x2＋4x＋4=（x+2）2，因此可得对称轴为x=-2
或根据对称轴的公式x=-，代入a=1，b=4，可得x=-2
故选：D
9．下列对二次函数y＝2(x＋4)2的增减性描述正确的是(
)
A．当x＞0时，y随x的增大而减小
B．当x＜0时，y随x的增大而增大
C．当x＞－4时，y随x的增大而减少
D．当x＜－4时，y随x的增大而减少
【答案】D
【解答】试题分析：由函数表达式可以得到函数的对称轴是x=-4，抛物线开口向上，所以当x<-4时，y随的增大而减小，当x>-4时，y随x
的增大而增大．故选D.
10．如图，抛物线y1＝a（x+2）2﹣3与y2＝（x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②2a＝1；③当x＝0时，y2﹣y1＝4；④2AB＝3AC；其中正确结论是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
【答案】D
【解析】根据与y2=（x-3）2+1的图象在x轴上方即可得出y2的取值范围；把A（1，3）代入抛物线y1=a（x+2）2-3即可得出a的值；由抛物线与y轴的交点求出，y2-y1的值；根据两函数的解析式直接得出AB与AC的关系即可．
【解答】①∵抛物线y2=（x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数，故本结论正确；
②把A（1，3）代入，抛物线y1=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a=，故本结论错误；
③由两函数图象可知，抛物线y1=a（x+2）2-3解析式为y1=（x+2）2-3，当x=0时，y1=（0+2）2-3=-，y2=（0-3）2+1=，故y2-y1=+=
，故本结论错误；
④∵物线y1=a（x+2）2-3与y2=（x-3）2+1交于点A（1，3），
∴y1的对称轴为x=-2，y2的对称轴为x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本结论正确．
故选:D．
【点评】本题考查二次函数的性质，根据题意利用数形结合进行解答是解题关键．
11．已知抛物线y=-x2+1，下列结论：
①抛物线开口向上；
②抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0）；
③抛物线的对称轴是y轴；
④抛物线的顶点坐标是（0，1）；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到的．
其中正确的个数有（
）
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
【答案】B
【解析】根据a确定抛物线的开口方向；令y=0解方程得到与x轴的交点坐标；根据抛物线的对称轴、顶点坐标以及平移的性质，对各小题分析判断后即可得解．
【解答】①∵a=-1＜0，∴抛物线开口向下，故本小题错误；
②令y=0，则-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，抛物线与x轴交于点（-1，0）和点（1，0），故本小题正确；
③抛物线的对称轴=0，是y轴，故本小题正确；
④抛物线的顶点坐标是（0，1），故本小题正确；
⑤抛物线y=-x2+1是由抛物线y=-x2向上平移1个单位得到，故本小题正确；
综上所述，正确的有②③④⑤共4个．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，理解二次函数图象与系数关系是关键.
12．若平面直角坐标系内的点
M
满足横、纵坐标都为整数，则把点
M
叫做“整点”．例如：P(1，0)、Q(2，－2)都是“整点”．抛物线
y=mx2－2mx+m－1(m>0)与
x
轴交于
A、
B
两点，若该抛物线在
A、B
之间的部分与线段
AB
所围成的区域（包括边界）恰有
6
个整点，则
m
的取值范围是(
)
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
【答案】B
【解析】先将抛物线化为顶点式写出顶点坐标，然后根据顶点坐标以及恰有6个整点确定A点范围，最后根据A点坐标代入求出m的取值范围.
【解答】∵，
∴抛物线顶点坐标为（1，－1），
如图所示，
∵该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有6个整点，
∴点A在（－1，0）与（－2，0）之间，包括点（－1，0），
当抛物线绕过（－1，0）时，，
当抛物线绕过（－2，0）时，，
∴的取值范围为，
故选B．
【点评】本题为二次函数关系式与图象的综合运用，要熟悉表达式之间的转化，以及熟练掌握二次函数的图象.
13．如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣k）交x轴于点A、B，（A左B右），交y轴于点C，△AOC的周长为12，sin∠CBA＝，则下列结论：①A点坐标（﹣3，0）；②a＝﹣；③点B坐标（8，0）；④对称轴x＝．其中正确的有（ ）个．
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【解析】令y=0，求得A点坐标，B点用字母k表示的坐标，再把抛物线的解析式化成一般形式，则可用a与k的代数式表示OC，进而根据sin∠CBA=，用a与k的代数式表示BC，在由勾股定理得出a与k的方程，求得a的值，再根据△AOC的周长为12，求得k的值，则题目中的问题便可解决．
【解答】令y＝0，则y＝a（x+3）(x﹣k）＝0，
解得x＝﹣3或k，
∴A(﹣3,0），B(k,0），
故①正确；
∵y＝a（x+3）（x﹣k）＝ax2+（3a﹣ak）x﹣3ak，
∴C（0,﹣3ak），
∴OC＝﹣3ak，
∵sin∠CBA＝，
∴，
∴BC＝，
∵BC2﹣OC2＝OB2，
∴45a2k2﹣9a2k2＝k2，
∴a2＝，
∵抛物线的开口向下，
∴a＝﹣，
故②正确；
∴OC＝k，
∴AC＝，
∵△AOC的周长为12，
∴3+k+＝12，
解得，k＝8，
∴B（8,0），
故③正确；
∵A（﹣3,0），B（8,0），
∴对称轴为：x＝，
故④正确．
综上所述①②③④都正确
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，通过函数图象可判断函数解析中系数的特征，已知函数解析式，可求得函数与坐标轴交点坐标及其坐标轴，本题还考查了锐角三角函数的应用．
14．关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（
）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【答案】D
【解析】由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为，
∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等；
故①正确；
当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≥0，
∴，
∴；
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≤0，
∴
∴a＜，
综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．
15．已知点A(﹣3，y1)，B(2，y2)均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P(m，n)是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥n，则m的取值范围是( )
A．﹣3＜m＜2
B．﹣＜m＜-
C．m＞﹣
D．m＞2
【答案】C
【解析】根据点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥n，可知该抛物线开口向上，对称轴是直线x＝m，则
＜m，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决．
【解答】解：∵点A（﹣3，y1），B（2，y2）均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P（m，n）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥n，
∴抛物线有最小值，
∴抛物线开口向上，
∴点A到对称轴的距离比点B到对称轴的距离大，
∴＜m，
解得m＞
，
故选C．
【点评】本题考查了二次函数性质，主要利用了二次函数的增减性以及对称轴，判断出抛物线开口向上是解题的关键．
16．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B(﹣1，0)，则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中结论正确的有（
）
A．①③
B．①④
C．①②
D．①③④
【答案】B
【解析】由图象可知，当x＝1时，y＝a+b+c最大，故①正确；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0，故②错误；二次函数与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故③错误；对称轴为x＝1，B（﹣1，0），所以A（3，0），由图象可得，y＞0时，﹣l＜x＜3，故④正确．
【解答】解:①由图象可知，x=1时，y=a+b+c最大，因此二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；
②由图象可知，x=-1时，y=0，即a-b+c=0，因此a-b+c=0，故②错误；
③由图象可知，函数图象与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，故③错误；
④∵对称轴为x=1，B(-1，0)，
∴A(3，0)，
∴y＞0时，-1＜x＜3，
故④正确，
则答案为：①④．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
17．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0,2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3,6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（
）
A．5
B．9
C．11
D．13
【答案】C
【解析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线于点P，由PF=PE结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF周长最小，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的长度，进而得出△PMF周长的最小值.
【解答】如图
过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线于点P，此时△PMF周长最小
∵F（0,2）M（3,6），
∴ME=6，FM
∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11
故选C
【点评】本题考查了二次函数的性质和最短路径问题，熟练掌握各个知识点是解题关键.，
18．的图像如图所示，对称轴，若关于的(为实数)在的范围内有解，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据二次函数解析式求出最小值，再求出x=4时的函数值，然后根据二次函数的增减性写出t的取值范围即可．
【解答】解：∵对称轴为直线x=1，
∴，
解得：，
∴；
当x=1时，，此时y为最小值；
当x=4时，，
∴在-1＜x＜4的范围内有：-1≤y＜8，
∵x2+bx-t=0可变形为x2+bx=t，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称轴，二次函数的增减性以及最值问题，要注意自变量的取值范围的影响．
19．已知二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，下列结论：①;②;③;④正确的个数是（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】根据题意，由对称轴为直线，开口向下，则，抛物线与x轴的另一个交点为，当时，可判断①；当时，可判断②；由，可判断③；由，代入计算，即可判断④；然后得到答案.
【解答】解：根据题意，
∵二次函数的图像的对称轴为直线，开口向下，且与轴的其中的一个交点是，
∴，抛物线与x轴的另一个交点为，，
由图可知，当时，函数图像在x轴上方，则，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线经过点，
∴当时，，故②错误；
∵，，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∵，则，
∴，故④正确；
∴正确的选项有①③④，共3个；
故选：C.
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
20．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）8a+7b+2c＞0；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】根据抛物线的对称轴为直线x=2，可判断（1），利用x=-1时，y=0，则a-b+c=0，结合对称轴可得c=-5a，所以8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，再根据抛物线开口向下可判断（2），利用抛物线的对称性得到C关于对称轴对称的点的坐标，然后利用二次函数的增减性即可得到判断（3），作出直线y=-3，然后依据函数图象进行判断，即可判断（4）．
【解答】解：∵，
∴4a+b=0，故（1）正确．
∵抛物线与x轴的一个交点为（-1，0），
∴a-b+c=0
又∵b=-4a，
∴a+4a+c=0，即c=-5a，
∴8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＞0，故（2）正确；
∵抛物线的对称轴为x=2，C（，），
∴C关于对称轴对称的点坐标（，）．
∵-3＜＜，在对称轴的左侧，
∴y随x的增大而增大，
∴
，故（3）错误．
方程a（x+1）（x-5）=0的两根为x=-1或x=5，
过y=-3作x轴的平行线，直线y=-3与抛物线的交点的横坐标为方程的两根，
依据函数图象可知：．
故（4）正确．
故选C．．
【点评】本题主要考查的是二次函数的图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的性质以及数学结合是解题的关键．
21．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为____.
【答案】2
【解析】
∵二次函数y=2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，
∴2x2=2，x=±1，
∴A，B两点相当于在原坐标系中的坐标为（-1，2），（1，2），
∴S△OAB=×2×2=2，
故答案为2．
22．当2.5≤x≤5时，二次函数y=－（x－1）2+2的最大值为__.
【答案】
【解析】根据二次函数的性质进行解答即可
【解答】解：函数y＝－（x－1）2＋2的图象的开口向下，对称轴为直线x＝1，
当2.5≤x≤5时，y的值随x值的增大而减小，
所以当x＝2.5时，y最大＝－（2.5－1）2＋2＝-．
故答案为-.
【点评】此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题时根据函数的解析式判断出函数的增减性质，然后根据范围判断出取最值的x值，然后求出最大值即可，此题易错为不考虑2≤x≤5的范围，单纯的考虑y＝－（x－1）2＋2的最大值，出现错误答案．
23．二次函数y=-x2-2图像的顶点坐标是___________.
【答案】（0，-2）
【解析】根据二次函数解析式，进行配方得出顶点是形式，即可的得出顶点坐标．
【解答】y=-x2-2=-(x+0)2-2，
∴这个二次函数图象的顶点坐标为(0，－2)．
故答案为(0，－2)
【点评】本题考查了二次函数的性质，把二次函数配方成顶点式是解题的关键.
24．如图，抛物线y1=a（x+2）2+m过原点，与抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②x=0时，y2=5；③当x＞3时，y1﹣y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．正确结论是________（填写正确结论的序号）．
【答案】①③④
【解析】根据题意分别求出两个二次函数的解析式，根据函数的对称轴判定①；令x=0，求出y2的值，比较判定②；观察图象，判定③；令y=3，求出A、B、C的横坐标，然后求出AB、AC的长，判定④．
【解答】∵抛物线y1=a（x+2）2+m与抛物线y2=（x﹣3）2+n的对称轴分别为x=-2，x=3，
∴两条抛物线的对称轴距离为5，故①正确；
∵抛物线y2=（x﹣3）2+n交于点A（1，3），
∴2+n=3，即n=1；
∴y2=（x﹣3）2+1，
把x=0代入y2=（x﹣3）2+1得，y=≠5，②错误；
由图象可知，当x＞3时，y1＞y2，∴x＞3时，y1﹣y2＞0，③正确；
∵抛物线y1=a（x+2）2+m过原点和点A（1，3），
∴，
解得
，
∴.
令y1=3，则，
解得x1=-5，x2=1，
∴AB=1-（-5）=6，
∴A（1，3），B（-5，3）；
令y2=3，则（x﹣3）2+1=3，
解得x1=5，x2=1，
∴C（5，3），
∴AC=5-1=4，
∴BC=10，
∴y轴是线段BC的中垂线，故④正确．
故答案为①③④．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，已知函数值求自变量的值．
25．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，与y轴负半轴交于点C．以下五个结论：①2a+b＝0；②a+b+c＞0；③4a+b+c＞0；④只有当a＝时，△ABD是等腰直角三角形；⑤使△ACB为等腰三角形的a的值可以有两个．那么，其中正确的结论是_____．
【答案】①④⑤
【解析】先根据图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为-1，3确定出AB的长及对称轴，再由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴AB＝4，
∴对称轴x＝＝=1，
即2a+b＝0；
故①正确；
②由抛物线的开口方向向上可推出a＞0，而＞0
∴b＜0，
∵对称轴x＝1，
∴当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0；
故②错误；
③∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，
∴10a+2b+2c＝0，
∴5a+b+c＝0，
∴a+4a+b+c＝0，
∵a＞0，
∴4a+b+c＜0，
故③错误；
④要使△ABD为等腰直角三角形，必须保证D到x轴的距离等于AB长的一半；
D到x轴的距离就是当x＝1时y的值的绝对值．
当x＝1时，y＝a+b+c，
即|a+b+c|＝2，
∵当x＝1时y＜0，
∴a+b+c＝﹣2，
又∵图象与x轴的交点A，B的横坐标分别为﹣1，3，
∴当x＝﹣1时y＝0即a﹣b+c＝0；
x＝3时y＝0．
∴9a+3b+c＝0，
解这三个方程可得：b＝﹣1，a＝，c＝﹣；
⑤要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，
当AB＝BC＝4时，
∵AO＝1，△BOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣9＝7，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣，
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；
同理当AB＝AC＝4时，
∵AO＝1，△AOC为直角三角形，
又∵OC的长即为|c|，
∴c2＝16﹣1＝15，
∵由抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＝﹣
与2a+b＝0、a﹣b+c＝0联立组成解方程组，解得a＝；
同理当AC＝BC时
在△AOC中，AC2＝1+c2，
在△BOC中BC2＝c2+9，
∵AC＝BC，
∴1+c2＝c2+9，此方程无解．
经解方程组可知只有两个a值满足条件．
故⑤正确．
故答案为：①④⑤．
【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0；
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号；
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；
（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：
①2个交点，b2-4ac＞0；
②1个交点，b2-4ac=0；
③没有交点，b2-4ac＜0．
26．（2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：
①；②；③抛物线经过点与点，则；④无论取何值，抛物线都经过同一个点；⑤，其中所有正确的结论是__________．
【答案】②④⑤．
【解答】由图象可知，抛物线开口向上，则a＞0，
顶点在y轴右侧，则b＜0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，0），且对称轴为直线x=1，
∴抛物线y=ax2+bx+c过点（3，0），
∴当x=3时，y=9a+3b+c=0，
∵a＞0，
∴10a+3b+c＞0，故②正确；
∵对称轴为x=1，且开口向上，
∴离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∴y1＜y2，故③错误；
当x=﹣时，y=a?（﹣）2+b?（﹣）+c=，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0，
∴当x=﹣时，y=a?（﹣）2+b?（﹣）+c=0，
即无论a，b，c取何值，抛物线都经过同一个点（﹣，0），故④正确；
x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又∵x=1时函数取得最小值，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
∵b=﹣2a，
∴am2+bm+a≥0，故⑤正确；
故答案为②④⑤．
27．如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，与轴的交点在和之间（不包括这两个点），下列结论：①当时，；②；③当时，；④．其中正确的结论的序号是___________．
【答案】①②③
【解析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），利用函数图象得到在x轴上方所对应的自变量的范围，从而可对①进行判断；利用x=-1，y=0，得到b=-2a，c=-3a，而2＜c＜3，所以2＜-3a＜3，则可利用不等式的性质可对②进行判断；根据二次函数的性质得到二次函数的最大值为a+b+c，则a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1），于是可对③进行判断；利用b=-2a，c=-3a可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线与x轴交于A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∵抛物线开口向下，
∴当-1＜x＜3，y＞0，所以①正确；
∵抛物线与x轴交于A（-1，0），对称轴为直线x=1，
∴a-b+c=0，，
∴b=-2a，c=-3a，
∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
而抛物线与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），
∴2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴二次函数的最大值为a+b+c，
∴a+b+c＞mx2+bm+c（m≠1）
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），所以③正确；
∵b=-2a，c=-3a，
∴b2-4ac=9a2-4a?（-3a）=21a2，所以④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
28．如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点，有下列结论：
①abc0；
②a﹣2b+4c=0；
③25a﹣10b+4c=0；
④3b+2c0；
⑤a﹣b≥m（am﹣b）；
其中所有正确的结论是______．（填写正确结论的序号）
【答案】③④⑤
【解析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题.
【解答】由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵抛物线过点过点，
∴，
∴a+2b+4c=0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣1．且过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（，0），
当x=时，y=0，即，
整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；
∵b=2a，a+b+c＜0，
∴b+b+c<0，
即3b+2c＜0，故④正确；
∵x=﹣1时，函数值最大，
∴a﹣b+cm2a﹣mb+c，
∴a﹣bm（am﹣b），所以⑤正确；
故答案为：③④⑤．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．
29．平面直角坐标系中，C（0，4），A为x轴上一动点，连接AC，将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，当点A在x轴上运动时，OB+BC的最小值为_____．
【答案】4+4
【解析】过点B作BE⊥x轴，由旋转可知AC=AB，易证△ACO≌△BAE，则AE=OC=4，OA=BE，作点O关于BE的对称点D，则BE垂直平分OD，得到OB=BD，当点C、B、D三点共线时OB+BC=BD+BC=CD，然后设点A坐标为（x，0），则OA=x（），则点E为（x+4，0），则点D为（2x+8，0），得到OD=2x+8，利用勾股定理求出CD，结合二次函数的性质得到当x=0时，OB+BC最小，故可求解．
【解答】解：过点B作BE⊥x轴，
∴∠AEB=∠COA=90°，
∵将AC绕A点顺时针旋转90°得到AB，
∴∠CAB=90°，AC=AB，
∴∠OCA+∠CAO=∠CAO+∠BAE=90°，
∴∠OCA=∠BAE，
∴△ACO≌△BAE，
∴CO=AE=4，OA=BE，
如图，作点O关于BE的对称点D，则BE垂直平分OD，
∴OB=DB，
∴当点C、B、D三点共线时OB+BC=BD+BC=CD，OB+BC的最小值为CD；
设点A坐标为（x，0），则OA=x（），
∴点E为（x+4，0），则点D为（2x+8，0），
∴OD=2x+8，
在直角三角形OCD中，由勾股定理，得：，
∴，
∵，
∴当时，CD有最小值，
当x=0时，A（0，0），B（4，0）
∴OB+BC=4+
故答案为：4+4．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的性质，轴对称求最短距离问题，以及勾股定理，解题的关键是正确理解题意，找到使OB+BC得到最小值的情况，然后进行分析解答．
30．若A(x1,
y1)、B(x2,
y2)、C(x3,
y3)为函数图象上的三个点,其中x2＋x3＞4且－1＜x1＜0＜x2＜2＜x3＜4,则y1、y2、y3之间的大小关系是__________
【答案】
【解析】根据函数解析式确定抛物线的对称轴为x=2，再利用二次函数增减性“开口向下，左增右减”可知最小，再计算求得y2-y3的值，即可解答.
【解答】解：函数，开口向下，对称轴为
∵－1＜x1＜0＜x2＜2＜x3＜4
∴位于对称轴左侧，位于对称轴右侧，且离对称轴最远∴最小
∵
∴
∴
故答案为
【点评】本题主要考查二次函数增减性，开口向上，左减右增；开口向下，左增右减.
31．已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，﹣3），B（4，0）
（1）点A的坐标是
；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标．
【答案】（1）（﹣4，0）；（2）y=
x2﹣
；（3）顶点C的坐标是（0，﹣）．
【解析】(1)由题意可知该抛物线的对称轴是轴，点与点关于轴对称，即可求出点坐标；(2)将，代入抛物线解析式中，利用待定系数法即可求解抛物线的解析式；(3)根据(2)中抛物线的解析式，可得顶点坐标.
【解答】解：(1)∵该抛物线的对称轴是轴，
∴点与点关于轴对称，
∵，
∴；
(2)把点，代入，
得：，
解得，
∴该抛物线的解析式为2；
(3)由(2)知，该抛物线的解析式为2，则顶点C的坐标是．
故答案为(1)；(2)2；(3)顶点的坐标是．
【点评】本题考查了二次函数的解析式，图像和性质.解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，利用待定系数法求二次函数的解析式.
32．直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，一抛物线的顶点为A，且经过点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点C（m，－4.5）在抛物线上，求m的值
【答案】（1）y=-0.5(x+2)；(2)1或-5
【解析】
试题分析：（1）利用x轴上的点y坐标为0，y轴上的点x坐标为0代入直线的表达式求出A、B点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式；
（2）把x=m时，y=﹣4.5代入抛物线的表达式求出m．
试题解析：解：（1）由直线y=﹣x﹣2，令x=0，则y=﹣2，∴点B坐标为（0，﹣2），令y=0，则x=﹣2，∴点A坐标为（﹣2，0），设抛物线解析式为y=a（x﹣h）2+k．∵抛物线顶点为A，且经过点B，∴y=a（x+2）2，∴﹣2=4a，解得：a=﹣0.5，∴抛物线解析式为y=﹣0.5（x+2）2，即y=﹣0.5x2﹣2x﹣2；
（2）∵点C（m，﹣4.5）在抛物线y=﹣0.5x2﹣2x﹣2上，∴﹣0.5m2﹣2m﹣2=﹣4.5，∴m2+4m﹣5=0，解得：m1=1，m2=﹣5．
33．已知抛物线y=a(x-h)2,当x=2时，有最大值，此抛物线过点(1，-3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小.
【答案】当x＞2时，y随x的增大而减小
【解析】
由于已知抛物线当x=2时，函数有最大值，得出h=2，可设抛物线为y=a（x-2）2，然后把（1，-3）代入求出a，然后根据二次函数的性质求解．
解：当x=2时，有最大值，
∴h=2.
又∵此抛物线过(1，-3)，
∴-3=a(1-2)2.
解得a=-3.
∴此抛物线的解析式为：y=-3(x-2)2.
当x＞2时，y随x的增大而减小.
34．在同一平面直角坐标系中，画出函数y=x2，y=(x+2)2，y=(x-2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标.
【答案】图形见解析，抛物线y=x2的对称轴是直线x=0，顶点坐标为(0，0).抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2，顶点坐标为(-2，0).抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2，0).
【解析】
利用描点法可画出这三个函数的图象，分别由图象可得出对称轴及顶点坐标．
解：函数图象如图所示：
抛物线y=x2的对称轴是直线x=0,顶点坐标为(0,0).
抛物线y=(x+2)2的对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,0).
抛物线y=(x-2)2的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,0).
35．某商场以每件40元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量t（件）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为t＝180﹣3x．
（1）试写出每天销售这种服装的毛利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数表达式（毛利润＝销售价﹣进货价）；
（2）每件销售价为多少元，才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？
【答案】507元.
【解析】
（1）根据毛利润=销售价-进货价可得y关于x的函数解析式；
（2）将（1）中函数关系式配方可得最值情况.
解：（1）根据题意，y=（x-42）t=（x-42）(-3x+204)=-3x2+330x-8568，
由得42≤x≤68；
（2）∵y=-3x2+330x-8568=-3（x-55）2+507，
∴当x=55时，y的最大值507元.
36．如图1，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C，CO＝3AO，点P是抛物线上第一象限内的一动点，点Q在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P作PD∥y轴交BC于点D，求线段PD长度的最大值；
（3）如图2，当BQ交y轴于点M，∠QBC＝∠PBC，∠BCP＝45°，求点M的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）；（3）M（0，1）．
【解析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）设点P（x，﹣x2+2x+3），则点D（x，﹣x＋3）（0＜x＜3），则，即可求解；
（3）证明△CMB≌△CPB（ASA），则CM＝CP＝2，OM＝3﹣2＝1，即可求解．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），则OA＝1，
又∵CO＝3AO，
∴OC＝3，C（0，3），
把A，C两点的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）由﹣x2+2x+3＝0得点B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx＋b，
将点B（3，0），C（0，3）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x＋3，
设点P（x，﹣x2+2x+3），则点D（x，﹣x＋3）（0＜x＜3），
∴，
∴当时，PD有最大值；
（3）∵B（3，0），C（0，3），
∴OC＝OB，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO＝45°，
∵∠BCP＝45°，
∴∠BCP＝∠BCO＝45°，
∴CP∥OB，
设P（t，3），代入抛物线y＝﹣x2＋2x＋3得P（2，3），
故CP＝2﹣0＝2，
在△CMB和△CPB中，
，
∴△CMB≌△CPB（ASA），
∴CM＝CP＝2，
∴OM＝3﹣2＝1，
∴点M（0，1）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、三角形全等、等腰直角三角形的性质等，有一定的综合性，难度适中．
37．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点为直线下方抛物线上一动点．
①如图2所示，直线交线段于点，求的最小值；
②
如图3所示，连接过点作于，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①当时，的最小值为；②存在，点M的坐标为或（4，-6）．
【解析】（1）解：在直线，分别令，.可得A(8，0)、B(0，4)，将A(8，0)、B(0，4)代入，解得b、c的值再代入即可解答.
（2）解：①如图1，过C作∥轴交直线AB于点E，过M作∥轴交直线AB于点F.可得CE∥MF，求出直线AB的解析式，进而求出C,E的坐标，即可求出答案；
②由△BOC∽△ABC∠ABC=∠AOB=90°，又于，即∠BDM=∠ABC=90°，∠BAC
<
45°．因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在图2中，取AC中点H，连接BH，可得∠BHO=2∠BAC，，过D作DT轴于T，过M作MGTD交其延长线于G.可证△TBD∽△GDM，再根据三角函数得出当∠BMD=2∠BAC时，，∠MBD=2∠BAC时，，设（），则，，当∠BMD=2∠BAC时，，又，即可得出，当∠MBD=2∠BAC时，，，即可求出M的坐标
【解答】（1）解：在直线，分别令，.可得A(8，0)、B(0，4)，
将A(8，0)、B(0，4)代入有
解得：
∴
（2）解：①如图1，过C作∥轴交直线AB于点E，过M作∥轴交直线AB于点F.可得CE∥MF，
∴
设，
∵MF∥轴交直线AB于点F，直线AB：
∴，则
可求得C(2，0)，C作CE∥y轴交直线AB于点E，
∴E(2，5)，CE=5.
∴，
∴当时，的最小值为.
②存在.
理由如下：∵C(2，0)；B(0，4)；A(8，0)．
∴OC=2，OB=4，OA=8
可证△BOC∽△ABC.有∠ABC=∠AOB=90°，又于
∴∠BDM=∠ABC=90°，∠BAC
<
45°．因此在只能是∠BMD=2∠BAC或∠MBD=2∠BAC.在图2中，取AC中点H，连接BH，可得∠BHO=2∠BAC，
OH=OAAH=3，tan∠BHO=.
过D作DT轴于T，过M作MGTD交其延长线于G.
可证△TBD∽△GDM，
又DMAB，
tan∠DMB=，tan∠DBM=.
当∠BMD=2∠BAC时，∴，
∠MBD=2∠BAC时，，
设（），
则，
∴
当∠BMD=2∠BAC时，，又，
∴
解之得，，又0
<
m
<
8，
∴，点M的坐标为.
当∠MBD=2∠BAC时，
又，
∴
解之得，，又0∴，点M的坐标为
综合得存在满足条件的点M的坐标为或（4，-6）
【点评】本题主要考查二次函数综合题，解题关键是熟练掌握二次函数图像的性质及勾股定理的计算公式.
38．如图，抛物线与直线交于点和点，抛物线顶点为，直线与轴交于点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）若轴上存在点使的面积为9，求点的坐标．
【答案】（1）；；（2）或．
【解析】（1）根据抛物线顶点为，可设抛物线的解析式为，将代入后即可得出抛物线解析式，再设一次函数的解析式为，并结合和可得方程组，求解后可得一次函数解析式；
（2）设P（0，n），根据S△PAB＝S△PAC?S△BPC列出关于n的方程，解方程求得n值，则得点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为，
∴设二次函数解析式为，
将代入得，
．
解得：．
∴二次函数解析式为．
设一次函数的解析式为，
将和代入得
，
解得，
∴一次函数的解析式为．
（2）由一次函数可知．
设，
∴．
∴．
∴．
解得：或16．
∴或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式以及根据三角形面积求点坐标等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键．
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精品试卷·第
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