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21.3：二次函数与一元二次方程
1．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2
B．x＞8
C．﹣2＜x＜8
D．x＜﹣2或x＞8
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（
）
A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2
B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)
C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2
D．若≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝
3．如图是抛物线图象的一部分．当时，自变量x的范围是(
)
A．或
B．或
C．
D．
4．二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3
B．5
C．﹣3和5
D．3和﹣5
5．一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，则二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点（ ）
A．（﹣3，0）
B．（3，0）
C．（﹣3，27）
D．（3，27）
6．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集为（ ）
A．或
B．
C．
D．无法确定
7．已知函数y＝﹣3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程﹣3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）．
A．m＜n＜b＜a
B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．m＜a＜b＜n
8．二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（??
）
A．1????
B．－1??
C．2???
D．－2
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B坐标为(3，0)，对称轴为直线x＝1．下列结论正确的是( )
A．abc＜0
B．b2＜4ac
C．a+b+c＞0
D．当y＜0时，﹣1＜x＜3
10．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点．以下四个结论：
①abc＞0；
②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；
③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；
④≥2．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是(
)
A．c＜﹣3
B．c＜﹣2
C．c＜
D．c＜1
12．已知:抛物线y1=x2+2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线y2=x2-2ax-1(a>0)与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧)，在使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时，a的取值范围是（
）
A．0
B．a≥
C．≤a＜
D．13．如图，已知二次函数y=x2+
x?1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是抛物线上的一个动点，记△APC的面积为S，当S=2时，相应的点P的个数是（ ）
A．4
个
B．3个
C．2个??
D．1个
14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，有下列结论：①；②；③三次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b，则．其中，正确结论的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
15．若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1
B．m≥﹣5
C．m＜﹣4
D．m≤﹣4
16．已知二次函数y＝﹣(x﹣2)2+c，当x＝x1时，函数值为y1：当x＝x2时，函数值为y2，假设|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1，y2的大小关系是______.
17．已知方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1，则抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为_________．
18．若二次函数的图像经过（2，0），且其对称轴为直线x=-1，则当函数值y>0成立时，x的取值范围是________.
19．已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示，图象与x轴的一个交点坐标为，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是___________．
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
20．已知二次函数与一次函数图像交于，两点，则关于的不等式的解集为_______．
21．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是_______.
22．已知二次函数y=-x2+2x+5，当x________时，y随x的增大而增大
23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：
①ab＜0；
②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；
③4a+2b+c＜0；
④当x＞1时，y随x值的增大而增大；
⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3；
⑥3a+2c＜0．
其中不正确的有_____．
24．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
25．已知关于的二次函数和一次函数，若函数的图象始终在函数的图象的一侧，则常数的取值范围是__________．
26．已知3x－y=3a2－6a+9，x+y=a2+6a－9，若，则实数a的值为____．
27．当时，，则的取值范围是_______．
28．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是__________．
29．如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是_____．
30．抛物线y＝(a2+1)x2+bx+c经过点A（﹣3，t）、B（4，t）两点，则不等式(a2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t的解集是_____________________．
31．画出二次函数y＝x2－2x的图象，利用图象回答：
(1)方程x2－2x＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0?
(3)x取什么值时，函数值小于0?
32．已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值：
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.
33．已知二次函数的图象与x轴交于两点，且，求a的值．
34．给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3（k≠0），
（1）当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；
（2）当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；
（3）由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：
①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
35．已知：二次函数，当时，函数有最大值.
(1)求此二次函数图象与坐标轴的交点；
(2)将函数图象轴下方部分沿轴向上翻折，得到的新图象，若点是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于的一元二次方程恒有实数根时，求实数的最大值.
36．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1?x2＝．
应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝
，x1?x2＝
．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．
37．已知：二次函数y=（n﹣1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上．
（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；
（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；
（3）若y关于x的函数关系式为y=nx2﹣m2x﹣2n﹣2
①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；
②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．
38．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16
cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以
cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC上)，设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)．
(1)经过几秒钟后，S1＝S2?
(2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值．
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21.3：二次函数与一元二次方程
1．已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣2，4），B（8，2），如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2
B．x＞8
C．﹣2＜x＜8
D．x＜﹣2或x＞8
【答案】D
【解析】根据函数图像写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可；
【解答】∵A（﹣2，4），B（8，2），
∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案选D．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式的计算，准确计算是解题的关键．
2．抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a＜0）经过点(0，2)，且关于直线x＝﹣1对称，（x1，0）是抛物线与x轴的一个交点，有下列结论，其中结论错误的是（
）
A．方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2
B．若x1＝2，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)
C．若m＝4时，方程ax2＋bx＋c＝m有两个相等的实数根，则a＝﹣2
D．若≤x≤0时，2≤y≤3，则a＝
【答案】D
【解析】根据已知条件可将二次函数y＝ax2＋bx＋c变形为y
=a（x＋1）2﹣a＋2，把x=-2代入，可对A进行判断；利用对称性可对B进行判断；依据一元二次方程根的差别式可对C进行判断；根据抛物线的图象与性质可对D进行判断.
【解答】解：由已知可得，c＝2，b＝2a，
∴y＝ax2＋2ax＋2＝a（x2＋2x）＋2＝a（x＋1）2﹣a＋2，
A.当x＝﹣2时，y＝2，
∴方程ax2＋bx＋c＝2的一个根是x＝﹣2；故A正确，不符合题意；
B.若x1＝2，函数的对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴的另一个交点为(﹣4，0)，正确，不符合题意；
C.ax2＋2ax＋2＝4时，△＝4a2＋8a＝0，
∴a＝0或a＝﹣2，
∴a＝﹣2，正确，不符合题意；
D.若﹣≤x≤0时2≤y≤3；
在﹣≤x≤0时，当x＝﹣1时，y有最大值2﹣a，当x＝0时，有最最小值2；
∴3＝2﹣a，
∴a＝﹣1，
故D.错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活运用求根公式和函数图象的增减性是解题的关键．
3．如图是抛物线图象的一部分．当时，自变量x的范围是(
)
A．或
B．或
C．
D．
【答案】C
【解析】先求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，再根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，函数图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
当时，．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能利用函数图象求出不等式组的解是解答此题的关键．
4．二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ）
A．3
B．5
C．﹣3和5
D．3和﹣5
【答案】D
【解析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解关于x的方程即可．
【解答】解：根据题意，得
x2+2x﹣7＝8，
即x2+2x﹣15＝0，
解得x＝3或﹣5，
故选D．
【点评】本题考查关键将二次函数转化为求一元二次方程，再进行求解．
5．一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，则二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点（ ）
A．（﹣3，0）
B．（3，0）
C．（﹣3，27）
D．（3，27）
【答案】D
【解析】一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，可以求得b、c的关系，再观察二次函数y=2x2-bx-c，可以返现当x=3时，该函数中b和c的关系可以与前面统一，本题得以解决．
【解答】∵一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，
∴32+3b+c=0，
∴3b+c=-9，
∴当x=3时，y=2×32-3b-c=18-（3b+c）=18-（-9）=18+9=27，
∴二次函数y=2x2-bx-c的图象必过点（3，27），
故选D．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集为（ ）
A．或
B．
C．
D．无法确定
【答案】A
【解析】由图象判断x=2是对称轴，与x轴一个交点是（5，0），则另一个交点（﹣1，0），结合函数图象即可求解ax2+bx+c＜0．
【解答】由图象可知二次函数的对称轴是x=2，与x轴一个交点坐标（5，0），由函数的对称性可得：与x轴另一个交点是（﹣1，0），∴ax2+bx+c＜0的解集为x＞5或x＜﹣1．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次不等式．能够根据二次函数图象特点求出函数与x轴的两个交点是，数形结合解不等式是解题的关键．
7．已知函数y＝﹣3﹣（x﹣m）（x﹣n），并且a，b是方程﹣3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）．
A．m＜n＜b＜a
B．a＜m＜n＜b
C．a＜m＜b＜n
D．m＜a＜b＜n
【答案】D
【解析】令抛物线解析式中，得到方程的解为，，即为抛物线与轴交点的横坐标为，，再由抛物线开口向下得到或时小于0，根据与时函数值小于0，即可确定出，，，的大小关系．
【解答】解：函数，
抛物线开口向下，
a，b是方程﹣3﹣（x﹣m）（x﹣n）＝0的两个根
当或时，，
又当或时，，
实数，，，的大小关系为m＜a＜b＜n．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，难度较大，熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键．
8．二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（??
）
A．1????
B．－1??
C．2???
D．－2
【答案】A
【解答】试题分析：根据角抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0）然后把（2，0）代入y＝a(x－4)2－4(a≠0)可求出a=1.
故选A
9．如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B坐标为(3，0)，对称轴为直线x＝1．下列结论正确的是( )
A．abc＜0
B．b2＜4ac
C．a+b+c＞0
D．当y＜0时，﹣1＜x＜3
【答案】D
【解析】利用抛物线开口向上得到a＞0，由对称轴为直线得到b=-2a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，则可对A选项进行判断；利用抛物线与x轴有2个交点，可对B选项进行判断；利用x=1时，y＜0可对C选项进行判断；利用抛物线的对称性得A点坐标为（-1，0），通过抛物线在x轴下方对应的自变量的范围可对D选项进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以A选项错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△＝b2﹣4ac＞0，所以B选项错误；
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，所以C选项错误；
∵对称轴为直线x＝1．
而点B坐标为(3，0)，
∴A点坐标为(﹣1，0)，
∴当y＜0时，﹣1＜x＜3，所以D选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；
当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
10．已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点．以下四个结论：
①abc＞0；
②该抛物线的对称轴在x=﹣1的右侧；
③关于x的方程ax2+bx+c+1=0无实数根；
④≥2．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】由a>0可知抛物线开口向上，再根据抛物线与x轴最多有一个交点可c>0，由此可判断①，根据抛物线的对称轴公式x=﹣可判断②，由ax2+bx+c≥0可判断出ax2+bx+c+1≥1＞0，从而可判断③，由题意可得a﹣b+c＞0，继而可得a+b+c≥2b，从而可判断④.
【解答】①∵抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点，
∴抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵0＜2a≤b，
∴＞1，
∴﹣＜﹣1，
∴该抛物线的对称轴在x=﹣1的左侧，故②错误；
③由题意可知：对于任意的x，都有y=ax2+bx+c≥0，
∴ax2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故③正确；
④∵抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点，
∴当x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a+b+c≥2b，
∵b＞0，
∴≥2，故④正确，
综上所述，正确的结论有3个，
故选C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系.
11．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是(
)
A．c＜﹣3
B．c＜﹣2
C．c＜
D．c＜1
【答案】B
【解析】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，由此可知方程x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，即△=1-4c>0，再由题意可得函数y=
x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，由此可得关于c的不等式组，解不等式组即可求得答案.
【解答】由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，
所以x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等的实数根，
整理，得：x2+x+c＝0，
所以△=1-4c>0，
又x2+x+c＝0的两个不相等实数根为x1、x2，x1＜1＜x2，
所以函数y=
x2+x+c＝0在x=1时，函数值小于0，
即1+1+c<0，
综上则，
解得c＜﹣2，
故选B.
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.
12．已知:抛物线y1=x2+2x-3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线y2=x2-2ax-1(a>0)与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧)，在使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时，a的取值范围是（
）
A．0B．a≥
C．≤a＜
D．【答案】C
【解析】根据题意可知的对称轴为可知使y1>0且y2≤0的x的取值范围内恰好只有一个整数时，只要符合将代入中，使得，且将代入中使得即可求出a的取值范围.
【解答】由题意可知的对称轴为
可知对称轴再y轴的右侧，
由与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)可知当时
可求得
使的x的取值范围内恰好只有一个整数时
只要符合将代入中，使得，且将代入中使得
即
求得解集为：
故选C
【点评】本题主要考查了二次函数图像的性质，利用数形结合思想解决二次函数与不等式问题是解题关键.
13．如图，已知二次函数y=x2+
x?1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，点P是抛物线上的一个动点，记△APC的面积为S，当S=2时，相应的点P的个数是（ ）
A．4
个
B．3个
C．2个??
D．1个
【答案】C
【解析】先确定A点坐标为（-3，0），B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，-1），再分类讨论．
【解答】依题意可得A的坐标为（-3，0），B的坐标为（1,0），C的坐标为（0，-1）,
点P在抛物线上，而且S△APC=2，那么符合条件的有
（1）当点P和点B重合，其面积即为4×1÷2=2，
（2）假设动点P在y轴的左侧上，则S△APC=，解得，把代入y=x2+
x?1，得（舍去），
所以点P（-4，）.
在y轴的右侧上找不到适合的点，由此只有两个点．
故选：C
点评：该题分析较为复杂，主要考查学生对二次函数与直角坐标系各坐标交点以及线上动点与固定点所形成图形面积的计算应用．
14．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，有下列结论：①；②；③三次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b，则．其中，正确结论的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】将已知的一元二次方程整理为:一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，确定出二次函数解析式，令y=0，?得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断.
【解答】一元二次方程化为一般形式得：
，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∴，故②正确；
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
，
而选项①中，只有在m=0时才能成立，故①错误；
二次函数y=
=
=
=
=，
当y=0时，=0，
∴x=2或x=3，
∴抛物线与x轴的交点为（2,0）与（3,0），即a=2，b=3，
∴a+b=2+3=5，故③正确，
故选：C.
【点评】此题考查已知一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系式，二次函数图象与坐标轴交点，根与系数的关系公式及根的判别式公式是解此题中的关键计算.
15．若满足＜x≤1的任意实数x，都能使不等式2x3﹣x2﹣mx＞2成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1
B．m≥﹣5
C．m＜﹣4
D．m≤﹣4
【答案】D
【解析】根据题意可以得到关于m的不等式，再根据二次函数和反比例函数的性质可以去的m的取值范围．
【解答】解：∵2x3-x2-mx＞2，
∴2x2-x-m＞，
抛物线y=2x2-x-m的开口向上，对称轴为直线x=，
而双曲线y=分布在第一、三象限，
∵＜x≤1，2x2-x-m＞，
∴x=时，2×--m≥4，解得m≤-4，
x=1时，2-1-m＞2，解得m＜-1，
∴实数m的取值范围是m≤-4．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质、反比例函数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出相应的m的取值范围．
16．已知二次函数y＝﹣(x﹣2)2+c，当x＝x1时，函数值为y1：当x＝x2时，函数值为y2，假设|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1，y2的大小关系是______.
【答案】y1＜y2
【解析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性即可确定出y1与y2的大小关系.
【解答】解：∵y＝﹣(x﹣2)2+c，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝2，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＜y2.
故答案为：y1＜y2.
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性，难点在于根据解析式确定开口方向和对称轴．
17．已知方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1，则抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为_________．
【答案】
【解答】试题分析：根据一元二次方程与二次函数的关系可知抛物线与x轴两交点的横坐标，再根据距离公式即可得出答案.
解：∵方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1，
∴抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点的横坐标分别为，﹣1，
∴两个交点间距离为.
故答案为.
18．若二次函数的图像经过（2，0），且其对称轴为直线x=-1，则当函数值y>0成立时，x的取值范围是________.
【答案】
【解答】试题分析：直接利用二次函数对称性得出图象与x轴的另一个交点，再画出图象，得出y＞0成立的x的取值范围．
解：如图所示：∵图象经过点（2，0），且其对称轴为x=﹣1，
∴图象与x轴的另一个交点为：（﹣4，0），
则使函数值y＞0成立的x的取值范围是：﹣4＜x＜2．
故答案为﹣4＜x＜2．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确利用数形结合得出x的取值范围是解题关键．
19．已知二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示，图象与x轴的一个交点坐标为，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是___________．
x
…
-1
0
1
2
…
y
…
0
3
4
3
…
【答案】
【解析】根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，可以得到该函数与x轴的另一个交点的坐标．
【解答】解：由表格可知，
二次函数的对称轴是直线，
∵二次函数与x轴的一个交点为（-1，0），
∴它与x的轴的另一个交点为（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
20．已知二次函数与一次函数图像交于，两点，则关于的不等式的解集为_______．
【答案】
【解析】先把不等式转化为两个函数解析式的表示形式，然后结合图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值范围就是不等式的解集．
【解答】可整理为
∵二次函数与一次函数图像交于，两点，如图，
∴关于的不等式的解集为：，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力．
21．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是_______.
【答案】（0，2）
【解析】令x=0求出y值，即可得答案.
【解答】∵当x＝0时，y＝2，
∴抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．
故答案为：（0，2）
【点评】此题考查了二次函数与x轴、y轴的交点坐标，当x=0时，求得二次函数与y轴的交点，当y=0时，求得二次函数与x轴的交点.
22．已知二次函数y=-x2+2x+5，当x________时，y随x的增大而增大
【答案】x<1
【解析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其开口方向及对称轴，利用二次函数的增减性可求得答案．
【解答】解：∵y=-x2+2x+5=-（x-1）2+6，
∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，
∴当x＜1时，y随x的增大而增大，
故答案为：＜1．
【点评】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
23．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，给出的下列6个结论：
①ab＜0；
②方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3；
③4a+2b+c＜0；
④当x＞1时，y随x值的增大而增大；
⑤当y＞0时，﹣1＜x＜3；
⑥3a+2c＜0．
其中不正确的有_____．
【答案】⑤
【解析】①由图象可知，a>0,b<0,则问题可解；②根据图象与x轴交点，问题可解；③由图象可知，当x=2时，对应的点在x轴下方，x=2时，函数值为负；④由图象可知，抛物线对称轴为直线x=1，当x>1时，y随x值的增大而增大；⑤由图象可知，当y>0时，对应x>3或x<-1；⑥根据对称轴找到ab之间关系，再代入a﹣b+c＝0，问题可解．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴a＞0，﹣
＞0，c＜0，
∴b＜0，
∴ab＜0，说法①正确；
②二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣1，0）（3，0）两点，
∴方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，说法②正确；
③∵当x＝2时，函数y＜0，
∴4a+2b+c＜0，说法③正确；
④∵抛物线与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵图象开口向上，
∴当x＞1时，y随x值的增大而增大，说法④正确；
⑤∵抛物线与x轴交于（﹣1，0）、（3，0）两点，且图象开口向上，
∴当y＜0时，﹣1＜x＜3，说法⑤错误；
⑥∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴a﹣b+c＝0，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1＝﹣，
∴b＝﹣2a，
∴3a+c＝0，
∵c＜0，
∴3a+2c＜0，说法⑥正确．
故答案为⑤．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数图象上点的坐标特征，解答关键是根据二次函数性质结合函数图象解答问题．
24．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，当y＜3时，x的取值范围是____．
【答案】－1＜x＜3
【解析】根据图象，写出函数图象在y=3下方部分的x的取值范围即可．
【解答】解：如图，根据二次函数的对称性可知，－1＜x＜3时，y＜3，
故答案为：－1＜x＜3.
【点评】本题考查了二次函数与不等式和二次函数的对称性，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．
25．已知关于的二次函数和一次函数，若函数的图象始终在函数的图象的一侧，则常数的取值范围是__________．
【答案】或
【解析】若，则，根据根的判别式时，函数与的图象只有一个交点，此时或，对a的值进行分类讨论，结合图形，根据a的值对函数图形的影响，确定a的取值范围即可．
【解答】解：若，则，整理得，
当时，函数与的图象只有一个交点，此时或．
①当时，如图（1）所示．当从逐渐增大时，函数的图象开口向上，并随着的增大，开口越来越小，函数的图象逐渐向下平移，此时函数的图象在函数的图象上方．
②当时，如图（2）所示．当从逐渐减小时，函数的图象开口向下，并随着的减小，开口越来越小，函数的图象逐渐向上平移，此时函数的图象在函数的图象下方．
综上所述，若函数的图象始终在函数的图象的一侧，的取值范围为或．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数中系数对函数图象的影响，解题的关键是确定当函数与的图象只有一个交点时a的值，并根据系数对图象的影响确定a的取值范围．
26．已知3x－y=3a2－6a+9，x+y=a2+6a－9，若，则实数a的值为____．
【答案】
【解析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件求a的值.
【解答】解：依题意得：
,
解得
,
【点评】考查了配方法的应用，非负数的性质以及二次函数与不等式．
27．当时，，则的取值范围是_______．
【答案】m≥1
【解析】设函数，令y=0，求出x，根据函数图像可知：在或时，函数图像在-3≤x≤0的区域内位于x轴下方，再分或两种情况分别求解，最后合并．
【解答】解：设函数，
则该函数的图像为开口向下的抛物线，
令：，得：
==，
==，
可得，
∴函数与x轴的交点为：
（，0），（，0），
由于-3≤x≤0时，
，即函数的图像在-3≤x≤0时位于x轴下方，根据函数图像可知：在或时，函数图像在-3≤x≤0的区域内位于x轴下方，
因此有或两种情况，
当时，函数的对称轴直线x=m大于，即m＞0，
≥0，
，
∵m＞0，
∴，得：m≥1，
当时，函数的对称轴直线x=m小于，即m＜-3，
，
，
∵m＜-3，
∴m+3＜0，
∴-（m+3）≥，
两边平方得：，
∵m＜-3，
∴不成立，
故m的取值范围是m≥1．
故答案为：m≥1．
【点评】本题考查了二次函数的综合问题，解题的关键是将一元二次不等式转化成二次函数问题求解．
28．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是__________．
【答案】＜＜
【解析】先把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0，4）和（4，4），结合二次项系数大小与开口大小及与x轴的交点为定点等即可解答．
【解答】解：抛物线，
∴其对称轴为：，且图象与x轴交于（，0），（3，0）．
∵抛物线顶点为（1，），当顶点在线段AB上时，有，则；
当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得：；
∴，
由对称轴为x=1及图象与x轴交于（，0），（3，0）可知，
当＜＜时，抛物线与线段AB有两个交点；
∴小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是＜＜；
故答案为：＜＜.
【点评】本题实质是二次函数图象与线段交点个数的问题，需要综合分析二次函数开口方向，对称轴，与x轴交点情况等，难度较大．
29．如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是_____．
【答案】或．
【解析】由可变形为，即比较抛物线与直线之间关系，而直线PQ：与直线AB：关于与y轴对称，由此可知抛物线与直线交于，两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴，，
∴抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，
∴不等式的解集为或．
故答案为或．
【点评】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
30．抛物线y＝(a2+1)x2+bx+c经过点A（﹣3，t）、B（4，t）两点，则不等式(a2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t的解集是_____________________．
【答案】-1＜x＜6
【解析】现将(a2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t变形(a2+1)（x-2)2+（x-2）b+c【解答】解:∵(a2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t
∴(a2+1)（x-2)2+（x-2）b+c∵y=(a2+1)（x-2)2+（x-2）b+c的图像可由y＝(a2+1)x2+bx+c的图像向右平移2个单位得到
∴y=(a2+1)（x-2)2+（x-2）b+c一定过（﹣1，t）、B（6，t），
又∵a2+1＞0，
∴y=(a2+1)（x-2)2+（x-2）b+c的草图如下：
∴(a2+1)（x-2)2+bx<2b-c+t的解集为-1＜x＜6
故答案为-1＜x＜6
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系以及函数图像的平移，对解析式的灵活变形和画出函数图像草图是解答本题的关键．
31．画出二次函数y＝x2－2x的图象，利用图象回答：
(1)方程x2－2x＝0的解是什么？
(2)x取什么值时，函数值大于0?
(3)x取什么值时，函数值小于0?
【答案】(1)x1＝0，x2＝2
(2)x<0或x>2
(3)0【解答】试题分析：画出抛物线y＝x2－2x的图象的草图，根据图象即可解决问题（1）（2）（3）.
试题解析：
二次函数y＝x2－2x的图象如下图所示：
（1）观察图象可得方程x2－2x＝0的解是x1＝0，x2＝2；
（2）观察图象可得，当x取x<0或x>2时，函数值大于0；
（3）观察图象可得，当x取0【点评】本题主要考查了二次函数与不等式的关系以及与坐标轴的交点求法，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出自变量x的范围，运用了数形结合的思想方法．
32．已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点.
(1)求k的值：
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标.
【答案】(1)k=-3；(2)点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
【解析】(1)根据抛物线的对称轴是y轴以及对称轴公式可得关于k的方程，解方程后再根据抛物线与x轴的交点个数即可确定答案；
(2)由点P到y轴的距离即可确定出点P的横坐标，再根据抛物线的解析式即可求得点P的纵坐标即可得答案.
【解答】(1)∵抛物线y=x2+(k2+k－6)x+3k的对称轴是y轴，
∴，
即k2+k－6=0，
解得k=－3或k=2，
当k=2时，二次函数解析式为y=x2+6，它的图象与x轴无交点，不满足题意，舍去，
当k=－3时，二次函数解析式为y=x2－9，它的图象与x轴有两个交点，满足题意，
∴k=－3；
(2)∵P到y轴的距离为2，
∴点P的横坐标为－2或2，
当x=2时，y=－5；
当x=－2时，y=－5，
∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5).
【点评】本题考查了抛物线的对称轴，抛物线与x轴的交点等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键.
33．已知二次函数的图象与x轴交于两点，且，求a的值．
【答案】.
【解析】由韦达定理得，将式子化简代入即可；
【解答】解：的图象与x轴交于两点，
∴
即
(舍)或；
【点评】考查二次函数的性质；灵活运用完全平方公式，掌握根与系数的关系是解题的关键．
34．给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3（k≠0），
（1）当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；
（2）当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；
（3）由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：
①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；
请判断以上结论是否正确，并说明理由．
【答案】（1）（2）1（3）①②③
【解析】
【解析】（1）由抛物线与x轴只有一个交点，可知△=0；
（2）由抛物线与x轴有两个交点且AB=2，可知A、B坐标，代入解析式，可得k值；
（3）通过解析式求出对称轴，与y轴交点，并根据系数的关系得出判断．
【解答】（1）∵二次函数y＝kx2﹣4kx+3与x轴只有一个公共点，
∴关于x的方程kx2﹣4kx+3＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣4k）2﹣4×3k＝16k2﹣12k＝0，
解得：k1＝0，k2＝，
k≠0，
∴k＝；
（2）∵AB＝2，抛物线对称轴为x＝2，
∴A、B点坐标为（1，0），（3，0），
将（1，0）代入解析式，可得k＝1，
（3）①∵当x＝0时，y＝3，
∴二次函数图象与y轴的交点为（0，3），①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝2，
∴抛物线的对称轴不变，②正确；
③二次函数y＝kx2﹣4kx+3＝k（x2﹣4x）+3，将其看成y关于k的一次函数，
令k的系数为0，即x2﹣4x＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
∴抛物线一定经过两个定点（0，3）和（4，3），③正确．
综上可知：正确的结论有①②③．
【点评】本题考查了二次函数的性质，与x、y轴的交点问题，对称轴问题，以及系数与图象的关系问题，是一道很好的综合问题．
35．已知：二次函数，当时，函数有最大值.
(1)求此二次函数图象与坐标轴的交点；
(2)将函数图象轴下方部分沿轴向上翻折，得到的新图象，若点是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于的一元二次方程恒有实数根时，求实数的最大值.
【答案】(1)抛物线与轴交于(0，-3)，与轴交于(-1，0)，(3，0)；(2)实数的最大值为3
【解析】(1)求出对称轴，结合，可知当时，随增大而增大，所以时，，把，代入解析式求出的值，然后解方程即可；
(2)折叠部分对应的解析式：，根据求出的取值范围，即，再结合，即可求得实数的最大值.
【解答】(1)抛物线的对称轴为：.
∴，抛物线开口向上，大致图象如图所示.
当时，随增大而增大；
∵当时，函数有最大值，
∴当时，，
∴，
解得：.
∴
当，，
，x2-2x-3=0，
解得：或，
∴抛物线与轴交于，抛物线与轴交于，.
(2)∵关于的一元二次方程恒有实数根，
∴，即恒成立，
∴恒成立.
∵（1）中的抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∴函数的最小值为=-4，
∵点是(1)中抛物线沿x轴翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，
∴，
∴（k取值的下限），
∴实数的最大值为3.
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，以及数形结合法；二次函数中当b2-4ac＞0时，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点．熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
36．阅读材料：一元二次方程ax2+bx+C＝0（a≠0），当△≥0时，设两根为x1，x2，则两根与系数的关系为：x1+x2＝；x1?x2＝．
应用：（1）方程x2﹣2x+1＝0的两实数根分别为x1，x2，则x1+x2＝
，x1?x2＝
．
（2）若关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0的有两个实数根x1，x2，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若满足|x1|＝x2，求实数m的值．
【答案】（1）2，1；（2）m≥﹣；（3）m的值为﹣
【解析】（1）根据韦达定理求解；
（2）根据求解；
（3）x1＝x2或x1＝﹣x2．
【解答】（1）x1+x2＝2，x1?x2＝1；
故答案为2，1；
（2）∵关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0有两个实数根x1、x2，
∴△＝4（m+1）2﹣4m2≥0，
解得m≥﹣；
（3）∵|x1|＝x2，
∴x1＝x2或x1＝﹣x2，
当x1＝x2，则△＝0，所以m＝﹣，
当x1＝﹣x2，即x1+x2＝2（m+1）＝0，
解得m＝﹣1，
而m≥﹣，∴m＝﹣1舍去．
∴m的值为﹣．
37．已知：二次函数y=（n﹣1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上．
（1）请写出m与n的关系式，并判断已知中函数图象的开口方向；
（2）是否存在整数m，n的值，使函数图象的对称轴与x轴的交点横坐标为整数？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由；
（3）若y关于x的函数关系式为y=nx2﹣m2x﹣2n﹣2
①当n≠0时，求该函数必过的定点坐标；
②探索这个函数图象与坐标轴有两个交点时n的值．
【答案】（1）n=m2+1，图象开口向上；（2）存在m=±1，n=2，符合要求，理由见解析；（3）①必过的定点为（2，0），（﹣1，﹣3），过程见解析；②当n=0或﹣1或时，函数图象与坐标轴有两个交点．
【解析】
【解析】（1）根据二次函数的顶点在x轴上，可知b2-4ac=0,代入求值即可,（2）求出对称轴为x，根据分式性质,求整数即可,（3）①因式分解原式得n（x2﹣x﹣2）+x﹣2，当函数过定点时,即n不在影响函数,令x2﹣x﹣2=0,求解即可,
②分类讨论即可见详解.
【解答】解：（1）∵二次函数y=（n﹣1）x2+2mx+1图象的顶点在x轴上，
∴4m2﹣4（n﹣1）=0，
∴n﹣1=m2
，
∴n=m2+1，
∵n﹣1≠0，且m2≥0
∴n﹣1＞0，
∴图象开口向上；
（2）∵y=（n﹣1）x2+2mx+1，
∴对称轴x=，
要使为整数，
∵m，n为整数，
∴只要m=±1，此时n=2，
∴存在m=±1，n=2，符合要求；
（3）①y=nx2﹣（n﹣1）x﹣2n﹣2=n（x2﹣x﹣2）+x﹣2，
令x2﹣x﹣2=0，得x=﹣1或2，所以必过的定点为（2，0），（﹣1，﹣3），
②若n=0，则y=x﹣2，直线与坐标轴有两个交点，
若n≠0：b2﹣4ac=（n﹣1）2+4n（2n+2）=（3n+1）2≥0，
当抛物线过原点时，n=﹣1，此时图象与坐标轴有两个交点，
当抛物线不过原点时，n=时，b2﹣4ac=0，图象与x轴，y轴各有1个交点，
综上，当n=0或﹣1或时，函数图象与坐标轴有两个交点．
【点评】本题考查了二次函数与二次方程之间的关系,中等难度,熟悉二次函数的图像和性质是解题关键.
38．
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16
cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以
cm/s的速度向点D运动，过P点作矩形PDFE(E点在AC上)，设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒(0＜t＜8)．
(1)经过几秒钟后，S1＝S2?
(2)经过几秒钟后，S1＋S2最大？并求出这个最大值．
【答案】(1)
t＝4
(2)
t＝6
【解析】分别根据运动方式列出面积S1,S2关于t的函数关系，第一问令面积相等，第二问配方求最值.
【解答】解：S1＝×8×t＝8t，S2＝t(8－t)＝－2t2＋16t，(1)由8t＝－2t2＋16t，解得t1＝4，t2＝0(舍去)，∴当t＝4秒时，S1＝S2
(2)∵S1＋S2＝8t＋(－2t2＋16t)＝－2(t－6)2＋72，∴当t＝6时，S1＋S2最大，最大为72
【点评】关于x的两次三项式，可以配方化为只含一个变量的式子，再利用平方的非负性求最值,必要是需要引入二次函数的内容求最值.
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精品试卷·第
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