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21.4：二次函数的应用
1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是(
)
A．①④
B．①②
C．②③④
D．②③
2．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加（
）
A．
B．
C．
D．
3．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：
(1)柱子OA的高度为m；
(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；
(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；
(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.
其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（
）
A．
B．
C．
D．
5．如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B）在AB同侧作Rt△PAC，Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，∠APC＝∠BPD＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，设AP＝x，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1
B．2
C．3
D．4
8．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h＝﹣5t2+v0t表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ）
A．5m/s
B．10m/s
C．20m/s
D．40m/s
9．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（ ）
A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
10．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是(
)
A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为
11．如图，四边形是菱形，，点P从点出发，沿运动，过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，设点P运动的路程为x,的面积为，则下列图象能正确反映与x之间的函数关系的是(
)．
A．
B．
C．
D．
12．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点(
)
A．
B．
C．
D．
13．如图，顶点坐标为的抛物线经过点，与轴的交点在，之间（含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为
A．60元
B．70元
C．80元
D．90元
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），某抛物线的顶点坐标为D（－1，1）且经过点B，连接AB，直线AB与此抛物线的另一个交点为C，则S△BCD：S△ABO＝（
）
A．8:1
B．6:1
C．5:1
D．4:1
16．将抛物线y＝﹣x2﹣x+2（x≤0）沿y轴对折，得到如图所示的“双峰”图象．若直线y＝x+b与该“双峰”图象有三个交点时，b的值为（ ）
A．2，
B．2
C．
D．0
17．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是___千米．
18．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为为拱桥底部的两点，且若的长为则点到直线的距离为____
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作PE∥BC交AC于点E，过E点作EF⊥BC于点F，设△ABP的面积为S1，四边形PDFE的面积为S2，则点P在运动过程中，S1+S2的最大值为______．
20．如图（1），菱形ABCD中，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止，若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，且S与t之间的函数关系的图象如图（2）所示，则图象中a的值为_____．
21．丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A、B两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B商品的数量比A商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A商品正打九折销售，而B商品的价格提高了20%，小明决定将A、B产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为_____元．
22．如图，平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段AB（包含A、B两点）有两个不同交点，则a的取值范围是____．
23．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
24．“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
（1）求该型号自行车的进价是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按标价出售，该店平均每月可售出60辆：若每辆自行车每降价50元，每月可多售出10辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
25．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价(元
3.5
5.5
销售量(袋
280
120
（1）请求出与之间的函数关系式；
（2）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
26．某工厂制作两种手工艺品，每天每件获利比多105元，获利30元的与获利240元的数量相等．
（1）制作一件和一件分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作，两种手工艺品，每人每天制作2件或1件．现在在不增加工人的情况下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作，两种手工艺品的数量相等．设每天安排人制作，人制作，写出与之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值．
27．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件．
（1）当销售单价为58元时，每天销售量是
件．
（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
28．某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图中的线段．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）
（1）求出与之间的函数表达式．
（2）该商品每月的总利润（元），求关于的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？
29．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
30．如图，在直角坐标系xOy中有一梯形ABCO，顶点C在x正半轴上，A、B两点在第一象限；且AB∥CO，AO＝BC＝2，AB＝3，OC＝5．点P在x轴上，从点（﹣2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动；同时，过点P作直线l，使直线l和x轴向正方向夹角为30°．设点P运动了t秒，直线l扫过梯形ABCO的面积为S扫．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t＝2秒时，求S扫的值；
（3）求S扫与t的函数关系式，并求出直线l扫过梯形ABCO面积的时点P的坐标．
31．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．
（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；
（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？
32．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为元（销售单价不低于35元）
（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？
（2）求这种儿童玩具每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式；
（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．
34．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ存在时，求运动多少秒时，PBQ的面积最大？最大面积是多少？
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使以P，B，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
35．如图①，直线AB的解析式为y＝﹣x+4，抛物线y＝﹣+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C（6，0），点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在第一象限内时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）如图②，当点P在y轴右侧时，过点A作直线l∥x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，当点H的对应点H′恰好落在直线AB上时，点P的对应点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的横坐标．
36．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，其顶点为，且直线的解析式为．
(1)
求二次函数的解析式．
(2)
求△ABC外接圆的半径及外心的坐标；
(3)
若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值．
37．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
38．已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+1．
（1）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax2+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点；
（i）求此抛物线的解析式；
（ii）若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点，
求证：OP=PQ．
39．某公司计划投资、两种产品，若只投资产品，所获得利润（万元）与投资金额（万元）之间的关系如图所示，若只投资产品，所获得利润（万元）与投资金额（万元）的函数关系式为．
（1）求 与之间的函数关系式；
（2）若投资产品所获得利润的最大值比投资产品所获得利润的最大值少万元，求的值；
（3）该公司筹集万元资金，同时投资、两种产品，设投资产品的资金为万元，所获得的总利润记作万元，若时，随的增大而减少，求的取值范围．
40．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，∠DAB的角平分线交边CD于点E，点P在射线AE上以每秒个单位长度的速度沿射线AE方向从点A开始运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作平行四边形PQMN，点N在射线AE上，且AP＝PN，设P点运动时间为t秒．
（1）PQ＝____________（用含t的代数式表示）；
（2）当点M落在BC上时，求t的值；
（3）设平行四边形PQMN与矩形ABCD重合部分面积为S，当点P在线段AE上运动时，求S与t的函数关系式；
（4）直接写出在点P、Q运动的过程中，整个图形中形成的三角形存在全等三角形时t的值（不添加任何辅助线）．
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21.4：二次函数的应用
1．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(单位：)与小球运动时间(单位：)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度时，．其中正确的是(
)
A．①④
B．①②
C．②③④
D．②③
【答案】D
【解析】根据函数的图象中的信息判断即可．
【解答】①由图象知小球在空中达到的最大高度是；故①错误；
②小球抛出3秒后，速度越来越快；故②正确；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0；故③正确；
④设函数解析式为：，
把代入得，解得，
∴函数解析式为，
把代入解析式得，，
解得：或，
∴小球的高度时，或，故④错误；
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意
2．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度增加（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】如图所示：
建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），
到抛物线解析式得出：a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，
当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=-1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-1与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y=-1代入抛物线解析式得出：
-1=-0.5x2+2，
解得：x=±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2-4．
故选C．
【点评】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
3．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=﹣x2+2x+，则下列结论：
(1)柱子OA的高度为m；
(2)喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；
(3)喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；
(4)水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.
其中正确的有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
【解答】解：当x=0时，y=，故柱子OA的高度为m；(1)正确；
∵y=﹣x2+2x+=﹣（x﹣1）2+2.25，
∴顶点是（1，2.25），
故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是2.25米；故(2)正确，(3)错误；
解方程﹣x2+2x+=0，
得x1=﹣，x2=，
故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确．
故选C．
【点评】考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键．
4．进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价，设平均每次降价的百分率为，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x的函数关系为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
∴第一次降价后的价格是a×(1?x)，
第二次降价为a×(1?x)×(1?x)=a(1?x)2
∴y=a(1?x)2.
故选D.
5．如图，线段AB＝1，点P是线段AB上一个动点（不包括A、B）在AB同侧作Rt△PAC，Rt△PBD，∠A＝∠D＝30°，∠APC＝∠BPD＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，连接MN，设AP＝x，MN2＝y，则y关于x的函数图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】连接PM、PN，则PM、PN分别为Rt△PAC，Rt△PBD的中线，则∠A＝∠D＝30°，则∠MAP＝∠A＝30°，则PM＝＝，PN＝＝1﹣x，即可求解．
【解答】解：连接PM、PN，则PM、PN分别为Rt△PAC，Rt△PBD的中线，
∵∠A＝∠D＝30°，则∠MAP＝∠A＝30°，
则PM＝＝，
同理PN＝＝1﹣x，
y＝MN2＝（PM）2+（PN）2＝x2﹣2x+1，
函数的对称轴x＝﹣=，
故选B．
【点评】本题考查的是动点的函数图象，主要考查的是直角三角形的中线定理、二次函数基本知识等，本题的关键是中线定理的运用．
6．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】可过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．
【解答】过点A向BC作AH⊥BC于点H，
所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x）
所以y=×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选D．
【点评】此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
7．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，动点P从点A开始沿边AB向B以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过（ ）秒，四边形APQC的面积最小．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【解答】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为Scm2，则有：
S=S△ABC-S△PBQ
=
×12×6-
（6-t）×2t
=t2-6t+36
=（t-3）2+27．
∴当t=3s时，S取得最小值．
故选C．
【点评】本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出最值．
8．为了响应“足球进校国”的目标，兴义市某学校开展了多场足球比赛在某场比赛中，一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）可以用公式h＝﹣5t2+v0t表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，v0（m/s）是足球被踢出时的速度，如果要求足球的最大高度达到20m，那么足球被踢出时的速度应该达到（ ）
A．5m/s
B．10m/s
C．20m/s
D．40m/s
【答案】C
【解析】因为-5＜0，抛物线开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式表示函数的最大值，根据题目对最大值的要求，求待定系数v0．
【解答】解：h=-5t2+v0?t，其对称轴为t=，
当t=时，h最大=-5×（）2+v0?=20，
解得：v0=20，v0=-20（不合题意舍去），
故选C．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，关键是利用当对称轴为t=-时h将取到最大值．
9．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（ ）
A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
【答案】C
【解析】直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案．
【解答】A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；
D、当t＝1时，h＝15，
故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；
故选C．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键．
10．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是(
)
A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为
C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为
【答案】C
【解析】直接观察图象可判断A、C，利用待定系数法可判断B、D，由此即可得答案.
【解答】观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误；
设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得
，解得：，
所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确；
由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200，
把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200，
解得：a=-3，
所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确，
故选C.
本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的．
【点评】本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把握相关知识是解题的关键.
11．如图，四边形是菱形，，点P从点出发，沿运动，过点P作直线CD的垂线，垂足为Q，设点P运动的路程为x,的面积为，则下列图象能正确反映与x之间的函数关系的是(
)．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据点P的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出DQ和PQ，即可求出y与x的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象．
【解答】解：∵四边形是菱形，，
∴AD=AB=DC=BC=2，∠D=∠ABC=60°
∴当点P到点A时，x=2；当P到点B时，x=4；当P到点C时，x=6
①当点P在AD上，即0＜x≤2时，如下图所示
此时PD=x
∴PQ=PD·sin∠D=，DQ=
PD·cos∠D=
∴y=DQ·PQ=（0＜x≤2），此时图象为开口上的抛物线的一部分；
②当点P在AB上，即2＜x≤4时，如下图所示，过点A作AE⊥DC于E
此时PA=x－AD=x－2
在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠D=，DE=
AD·cos∠D=1
易证四边形AEQP为矩形
∴AP=EQ=x－2，PQ=AE=
∴DQ=DE＋EQ=1＋
x－2=x－1
∴y=DQ·PQ=×（x－1）=（2＜x≤4），此时图象为逐渐上升的一条线段；
③当点P在BC上，即4＜x≤6时，如下图所示，
此时CP=
AD＋AB＋BC－x=6－x
∵AD∥BC
∴∠BCQ=∠ADC=60°
∴PQ=CP·sin∠BCQ
=，CQ=CP·cos∠BCQ
=
∴DQ=DC＋CQ=2＋
∴y=DQ·PQ=（4＜x≤6），此时图象为开口上的抛物线的一部分；
综上：符合题意的图象为D
故选D．
【点评】此题考查的是函数的图象，掌握锐角三角函数、函数图象的判断和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．
12．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解答】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．
详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．
当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，
∴得到的新抛物线过点（-3，0）．
故选B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．
13．如图，顶点坐标为的抛物线经过点，与轴的交点在，之间（含端点），则下列结论：①；②；③对于任意实数，总成立；④关于的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（
）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【解析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c＝﹣3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
而抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，所以①错误；
∵2≤c≤3，
而c＝﹣3a，
∴2≤﹣3a≤3，
∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x＝1时，二次函数值有最大值n，
∴a+b+c≥am2+bm+c，
即a+b≥am2+bm，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式为y=–4x+440，要获得最大利润，该商品的售价应定为
A．60元
B．70元
C．80元
D．90元
【答案】C
【解析】
设销售该商品每月所获总利润为w，
则w=（x–50）（–4x+440）=–4x2+640x–22000=–4（x–80）2+3600，
∴当x=80时，w取得最大值，最大值为3600，
即售价为80元/件时，销售该商品所获利润最大，故选C．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0），（0，2），某抛物线的顶点坐标为D（－1，1）且经过点B，连接AB，直线AB与此抛物线的另一个交点为C，则S△BCD：S△ABO＝（
）
A．8:1
B．6:1
C．5:1
D．4:1
【答案】B
【解析】设直线AB的解析式为y=kx+b，二次函数的解析式为y=a（x+1）2+1，结合点的坐标利用待定系数法求出一次函数与二次函数的解析式，联立一次函数与二次函数解析式解出交点C的坐标，根据两点间的距离公式求出线段BC、AB的长度，再借用点到直线的距离公式（分子部分）寻找到点D、O到直线AB的距离间的关键，借助各比例关系利用三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b,二次函数的解析式为y=a(x+1)2+1，
将点A(1,0)、B(0,2)代入y=kx+b中得：
,解得：
∴直线AB的解析式为y=?2x+2；
将点B(0,2)代入到y=a(x+1)2+1中得：
2=a+1，解得：a=1，
∴二次函数的解析式为
将y=?2x+2代入y=x2+2x+2中得：
?2x+2=x2+2x+2,整理得：x2+4x=0，
解得：x1=?4,x2=0，
∴点C的坐标为(?4,10).
∵点C(?4,10),点B(0,2),点A(1,0)，
∴
∴BC=4AB.
∵直线AB解析式为y=?2x+2可变形为2x+y?2=0，
∴|?2+1?2|=3，|?2|=2.
∴S△BCD:S△ABO=4×3:2=12:2=6:1.
故选:B.
【点评】考查待定系数法求一次函数，二次函数解析式，两点之间的距离公式等知识点，综合性比较强，对学生综合处理问题的能力要求较高.
16．将抛物线y＝﹣x2﹣x+2（x≤0）沿y轴对折，得到如图所示的“双峰”图象．若直线y＝x+b与该“双峰”图象有三个交点时，b的值为（ ）
A．2，
B．2
C．
D．0
【答案】A
【解析】根据折叠的性质，得到折叠后y轴右侧抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2（x＞0），将二y＝﹣x2+x+2（x＞0）和y＝x+b联立，得到﹣x2+x+2＝x+b，根据新方程的判别式=0时，直线和右侧抛物线有一个交点，和左侧有两个交点即可判断求解．
【解答】将抛物线y＝﹣x2﹣x+2（x≤0）沿y轴对折，得到抛物线为y＝﹣x2+x+2（x＞0），
由抛物线y＝﹣x2﹣x+2（x≤0）可知抛物线与y轴的交点为（0，2），
把点（0，2）代入y＝x+b求得b＝2，
由﹣x2+x+2＝x+b整理得x2+2x+3b﹣6＝0，
当△＝4﹣4（3b﹣6）＝0，即b＝时，直线y＝x+b与该“双峰”图象有三个交点，
由图象可知若直线y＝x+b与该“双峰”图象有三个交点时，b的值是2和，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数和一次函数的综合问题，是中考的常考点，本题找到b＝2这种情况比较容易，但是容易漏掉b＝，将直线上下平移，考虑多种情况是本题的关键．
17．崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是___千米．
【答案】4
【解答】试题分析：∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标．
∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4）．
∴喷水的最大高度为4千米．
18．如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于两点，拱桥最高点到的距离为为拱桥底部的两点，且若的长为则点到直线的距离为____
【答案】
【解析】首先建立平面直角坐标系，轴在直线上，轴经过最高点，设与轴交于，然后设该抛物线的解析式为：，，代入A和C的坐标，得到关于和m的二元一次方程，求解即可．
【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，轴在直线上，轴经过最高点．
设与轴交于点，
，
∴设该抛物线的解析式为：，
，
，
设，则，，
代入可得：，
解得，，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查二次函数综合应用，解答本题的关键是正确地建立平面直角坐标系．
19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作PE∥BC交AC于点E，过E点作EF⊥BC于点F，设△ABP的面积为S1，四边形PDFE的面积为S2，则点P在运动过程中，S1+S2的最大值为______．
【答案】72．
【解析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出S1和S2，然后确定最值即可．
【解答】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，
∴AD=BD=CD=8cm，
又∵AP=t，
则S1=AP?BD=×8×t=8t，PD=8-t，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ADC，
∴，
∴PE=AP=t，
∴S2=PD?PE=（8-t）?t，
∴S1+S2=8t+（8-t）?t=-2（t-6）2+72．
∴S1+S2的最大值为72，
故答案为72．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出S1和S2是关键．
20．如图（1），菱形ABCD中，∠B＝60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止，动点Q以2厘米/秒的速度自B点出发沿折线BCD运动至D点停止，若点P、Q同时出发运动了t秒，记△BPQ的面积为S厘米2，且S与t之间的函数关系的图象如图（2）所示，则图象中a的值为_____．
【答案】
【解析】应根据0≤t＜2和2≤t＜4两种情况进行讨论．把t当作已知数值，就可以求出S，从而得到函数的解析式，进一步即可求解．
【解答】解：当0≤t＜2时，；
当2≤t＜4时，；
当t＝3时，，
故答案为．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，利用图形的关系求函数的解析式，注意数形结合是解决本题的关键．
21．丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A、B两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B商品的数量比A商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A商品正打九折销售，而B商品的价格提高了20%，小明决定将A、B产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为_____元．
【答案】312.
【解析】设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B商品为（a+2）件，根据题中等量关系可列出关于x的方程，用含a的式子表示出x，由“一共不超过25件，且每样不少于3件”“
价格和购买数量均为整数”可知a的值，易求x的值.
【解答】设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B商品为（a+2）件，
根据题意可得：0.9x×（a+2）+1.2×（27﹣x）×a＝xa+（27﹣x）（a+2）+8，
∴x＝，
∵a≥3，a+2≥3，a+a+2≤25，x，a均为整数，
∴a＝10，x＝10
∴小明购买两种商品实际花费＝9×12+1.2×10×17＝312元，
故答案为：312.
【点评】本题考查了方程的应用，正确理解题意，找准题中的等量关系是解题的关键.
22．如图，平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段AB（包含A、B两点）有两个不同交点，则a的取值范围是____．
【答案】或
【解析】分两种情况：①a<0时，当x=1时，
，②a>0时，x=-3时，
，联立抛物线与直线的解析式得到，求出，即可求出答案.
【解答】①a<0时，当x=1时，
，
即，
∴，
②a>0时，x=-3时，
，
即，
∴，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线AB的解析式为，
抛物线与直线联立得，
∴，
?=，
∴，
∴a的取值范围为或，
故答案为：或.
【点评】此题考查二次函数与直线的交点问题，二次函数的性质，求一次函数的解析式，正确理解题意中的两个交点是解此题的关键.
23．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．
①当点P在直线BC的下方运动时，求的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①；②存在，或．
【解析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）①，即可求解；
②分点P在直线BC下方，则H点在BC的垂直平分线上，求出其垂直平分线及CD的直线方程求出交点H,从而求出BP的方程，并与二次函数联立即可求解.
点P在直线BC上方时，BP与CD平行求出BP的方程，并与二次函数联立即可求解．
【解答】解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：…①，
令，则或，
即点；
（2）①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：…②，
设点，则点，
，
，有最大值，当时，其最大值为；
②设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
，点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：，将点代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：…③，
同理直线CD的表达式为：…④，
联立③④并解得：，即点，
同理可得直线BH的表达式为：…⑤，
联立①⑤并解得：或（舍去），
故点；
当点在直线BC上方时，
，，
则直线BP′的表达式为：，将点B坐标代入上式并解得：，
即直线BP′的表达式为：…⑥，
联立①⑥并解得：或（舍去），
故点；
故点P的坐标为或．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，熟练掌握计算法则是解题关键.
24．“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行，某自行车店在销售某型号自行车时，标价1500元．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．
（1）求该型号自行车的进价是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按标价出售，该店平均每月可售出60辆：若每辆自行车每降价50元，每月可多售出10辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）1000元；（2）降价100元时每月利润最大，最大为32000元
【解析】（1）设出自行车的进价为元，根据按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同列出方程式进行计算即可；
（2）设自行车降价元，获利为元，根据题意列出利润表达式，按照二次函数的性质进行讨论即可．
【解答】解：（1）设进价为元
则：
解得：
∴改型号自行车进价1000元
（2）设自行车降价元，获利为元
则：
∴对称轴：，∵
∴当时，
答：降价100元时每月利润最大，最大为32000元．
【点评】本题考查了一元一次方程及二次函数的实际应用，熟知以上知识是解题的关键．
25．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5．另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价(元
3.5
5.5
销售量(袋
280
120
（1）请求出与之间的函数关系式；
（2）设每天的利润为元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）与之间的函数关系式为；
（2）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【解析】（1）根据每天的销售量（袋与销售单价（元之间满足一次函数关系，可设，再将，；，代入，利用待定系数法即可求解；
（2）根据每天的利润每天每袋的利润销售量每天还需支付的其他费用，列出关于的函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）设．
将，；，代入，
得，解得．
则与之间的函数关系式为．
（2）由题意得：
．
∵3.5≤x≤5.5，
当时，有最大值为240．
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式，根据题意找出等量关系列出关系式是解题的关键．
26．某工厂制作两种手工艺品，每天每件获利比多105元，获利30元的与获利240元的数量相等．
（1）制作一件和一件分别获利多少元？
（2）工厂安排65人制作，两种手工艺品，每人每天制作2件或1件．现在在不增加工人的情况下，增加制作．已知每人每天可制作1件（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作，两种手工艺品的数量相等．设每天安排人制作，人制作，写出与之间的函数关系式．
（3）在（1）（2）的条件下，每天制作不少于5件．当每天制作5件时，每件获利不变．若每增加1件，则当天平均每件获利减少2元．已知每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润（元）的最大值及相应的值．
【答案】（1）制作一件获利15元，制作一件获利120元（2）（3）此时制作产品的13人，产品的26人，产品的26人，获利最大，最大利润为2198元
【解析】（1）设制作一件获利元，则制作一件获利（）元，由题意得：；（2）设每天安排人制作，人制作，则人制作，于是有：；（3）列出二次函数，，再求函数最值即可.
【解答】（1）设制作一件获利元，则制作一件获利（）元，由题意得：
，解得：，
经检验，是原方程的根，
当时，，
答：制作一件获利15元，制作一件获利120元．
（2）设每天安排人制作，人制作，则人制作，于是有：
，
∴
答：与之间的函数关系式为∴．
（3）由题意得：
，
又∵
∴，
∵，对称轴为，而时，的值不是整数，
根据抛物线的对称性可得：
当时，元．
此时制作产品的13人，产品的26人，产品的26人，获利最大，最大利润为2198元．
【点评】考核知识点：分式方程，二次函数应用.根据题意列出方程，把实际问题转化为函数问题是关键.
27．某商场经营某种品牌童装，进货时的单价是40元，根据市场调查，当销售单价是60元时，每天销售量是200件，销售单价每降低0.5元，就可多售出10件．
（1）当销售单价为58元时，每天销售量是
件．
（2）求销售该品牌童装获得的利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（3）若商场规定该品牌童装的销售单价不低于57元且不高于60元，则销售该品牌童装获得的最大利润是多少？
【答案】（1）240；（2）y＝－20x2＋2200x－56000；（3）4420元
【解析】（1）根据题意求出销售单价降的钱数，再除以0.5，求出有几个0.5就多卖多少个10件，再加上原来的销售数量，即可得到答案；
（2）根据销售利润=一件的利润×销售量，即可列出函数解析式，化成一般形式即可；
（3）把（2）中的解析式化成顶点式，再根据自变量的取值范围确定取值范围内函数的增减性，根据减函数的特点找到x取值范围内的最小值，此时的y值即为函数最大值；
【解答】（1）∵销售单价每降低0.5元，就可多售出10件，
∴每天的销售量为200+10×=240（件）
故答案为：240；
（2）设该品牌童装获得的利润为y（元）
根据题意，
y＝（x-40）（200+)
=（x－40）（－20x＋1400）
＝－20x2＋2200x－56000，
∴销售该品牌童装获得的利润y元与销售单价x元之间的函数关系式为：y＝－20x2＋2200x－56000；
（3）根据题意得57≤x≤60
y＝－20（x－55）2＋4500
∵a＝－20＜0
∴抛物线开口向下，当57≤x≤60时，y随x的增大而减小，
∴当x＝57时，y有最大值为4420元
∴商场销售该品牌童装获得的最大利润是4420元．
【点评】本题考查二次函数应用利润问题，找到自变量的取值范围，在取值范围内找到正确的最大值是正确解题的关键．
28．某商店销售一种商品，每件进价为40元，对销售情况作了调查，结果发现月最大销售是（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图中的线段．（月最大销售量指进货量足够的情况下最多售出件数）
（1）求出与之间的函数表达式．
（2）该商品每月的总利润（元），求关于的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，该月进货数量应定为多少？
（3）若该商店进货350件，如果销售不完，就以亏本36元/件计入总利润，则销售单价定为多少，当月月利润最大？
【答案】（1）；（2）当销售单价为70元时，总利润w最大，进货数量为300件；（3）此时销售单价定为68元时，当月月利润最大．
【解析】（1）利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式；
（2）根据“总利润=单件利润×销售件数”列出函数关系式，配成顶点式，根据二次函数性质即可求解；
（3）设当月月利润为m，根据“总利润=总盈利-总亏损”得到m与x函数关系式，根据二次函数性质即可求解．
【解答】解：（1）设y与x之间函数关系式为，
将点A（50,500），B（90,100）代入函数关系式得，
解得，
∴求出与之间的函数表达式为；
（2）由题意得
，
∴当销售单价为70元时，总利润w最大，此时该月进货数量应为-10×70+1000=300件；
（3）设当月月利润为m，
，
∵-10＜0，
∴当时，m最大，
答：此时销售单价定为68元时，当月月利润最大．
【点评】本题为一次函数、二次函数综合题，综合性较强，熟练掌握待定系数法和求总利润的数量关系，二次函数性质是解题关键．
29．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
【答案】（1）y=
(x－6)2+2.6
（2）球能越过网；球会过界
（3）h≥
【解答】试题分析：（1）利用h=2.6将点（0，2），代入解析式求出即可；
（2）利用当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45，当y=0时，，分别得出即可；
（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．
试题解析：解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣，
故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，
（2）当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，，
解得：x1=6+2＞18，x2=6﹣2（舍去）
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：y=﹣（x﹣6）2+，
此时球若不出边界h≥，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
解得：，
此时球要过网h≥
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．
考点：二次函数的应用
30．如图，在直角坐标系xOy中有一梯形ABCO，顶点C在x正半轴上，A、B两点在第一象限；且AB∥CO，AO＝BC＝2，AB＝3，OC＝5．点P在x轴上，从点（﹣2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动；同时，过点P作直线l，使直线l和x轴向正方向夹角为30°．设点P运动了t秒，直线l扫过梯形ABCO的面积为S扫．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t＝2秒时，求S扫的值；
（3）求S扫与t的函数关系式，并求出直线l扫过梯形ABCO面积的时点P的坐标．
【答案】（1）（1，），（4，）；（2）；（3）；P的坐标为（5﹣2，0）．
【解析】（1）两底的差的一半就是A的横坐标；过A、B作x轴的垂线，在构建的直角三角形中根据OA的长及两底的差便可求出梯形的高即A点的纵坐标．得出A点坐标后向右平移3个单位就是B点的坐标．
（2）当t＝2时，P、O两点重合，如果设直线l与AB的交点为D，那么AD＝2，而AD边上的高就是A点的纵坐标，由此可求出△ADO的面积及直线l扫过的面积．
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①当P在原点左侧，即当0≤t＜2时，重合部分是个三角形，如果设直线l与AO，AB分别交于E，F，可根据△AEF∽△AOD，用相似比求出其面积．即可得出S，t的函数关系式．
②当P在O点右侧（包括和O重合），而F点在B点左侧时，即当2≤t＜3时，扫过部分是个梯形，可根据梯形的面积计算方法即可得出直线l扫过部分的面积．也就能得出S，t的函数关系式．
③当P点在C点左侧（包括和C点重合），F点在B点右侧（包括和B点重合），即当3≤t≤7时，扫过部分是个五边形，可用梯形ABCO的面积减去△MPC的面积来得出S，t的函数关系式．
【解答】（1）过A作AD⊥OC于D，过B作BE⊥OC于E，则ADEB是矩形．
∵ADEB是矩形，∴AD=BE=3．
∵AO=BC，∴△AOD≌△BCE，∴OD=CE=（OC－AB）÷2=1．
∵AO=2，∴AD==，∴A（1，）．
∵OE=OD+DE=1+3=4，BE=AD=，∴B（4，）．
∵BC=2EC，∴∠EBC=30°，∴∠OCB=60°．
（2）当t＝2时，P、O两点重合，如果设直线l与AB的交点为D，那么AD＝2，而AD边上的高就是A点的纵坐标，∴S扫==．
（3）分三种情况讨论：①当0≤t＜2时，如图1，△AEF∽△AOD，，∴S扫t2；
②当2≤t＜3时，如图2，S扫＝S△AOD+S□DOPF（t﹣2），∴S扫；
③当3≤t≤7时，如图3，过B作直线EB∥直线l交OC于E．
∵∠BEC=30°，∠OCB=60°，∴∠CBE=90°，∴EC=2BC=4，∴S△CEB=，CP=7－t．
∵MP∥BE，∴，∴S△CPM＝，∴S扫＝4S△CPM＝4，∴S扫t2
综上所述：
．
∵t2，∴t2﹣14t+41＝0，t1＝7﹣2，t2＝7+27（舍），∴P的坐标为（5﹣2，0）．
【点评】本题考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用等知识点．主要考查了学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．
31．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离路面AA1的距离为8m．
（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式；
（2）一大型货车装载设备后高为7m，宽为4m．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？
【答案】（1）以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
；（2）货运卡车能通过．
【解析】（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的解析式为y＝ax2+8，再把B（﹣8，6）代入，求出a的值即可；
（2）隧道内设双行道后，求出纵坐标与7m作比较即可．
【解答】解：（1）如图，以AA1所在直线为x轴，以线段AA1的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，
根据题意得A（﹣8，0），B（﹣8，6），C（0，8），
设抛物线的解析式为y＝ax2+8，把B（﹣8，6）代入，得：
64a+8＝6，
解得：a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+8．
（2）根据题意，把x＝±4代入解析式y＝﹣x2+8，
得y＝7.5m．
∵7.5m＞7m，
∴货运卡车能通过．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，恰当地建立平面直角坐标系、利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
32．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的50%．在销售过程中发现：当销售单价为35元时，每天可售出350件，若销售单价每提高5元，则每天销售量减少50件．设销售单价为元（销售单价不低于35元）
（1）当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为多少件？
（2）求这种儿童玩具每天获得的利润（元）与销售单价（元）之间的函数表达式；
（3）当销售单价为多少元时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）250件（2）w=（3）当销售单价为45元，最大利润是3750元．
【解析】（1）求出最高价，算出比35元涨了多少元钱，再除以5求出涨了多少个五元，算出少卖的件数，再用350件减去少卖的件数，即可得到结论；
（2）用含x的式子表示出每件儿童玩具的获利和每天的销售量，每天获得的利润等于每件玩具的获利乘以每天的销售量，即可得到解析式；
（3）把w关于x的函数解析式化成顶点式，再根据函数的增减性，判定出最大值即可得到结论．
【解答】解：（1）每件的最高价为30×（1+50％）=45（元），
=250（件），
∴当这种儿童玩具以每件最高价出售时，每天的销售量为250件；
（2）w=（x-30）（350-50·）=，
∴w与x的函数关系式w=；
（3）w=；
=；
∵销售单价不低于35元且销售利润不高于进价的50％，
∴35≤x≤45，
∵a=-10<0，
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线的对称轴是x=50，
∴当35≤x≤45时，w随x的增大而增大，
∴当x=45时，w有最大值，w的最大值为3750，
∴当销售单价为45元，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是3750元．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，明确题意找到函数关系式是解题的关键．
33．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K点坐标．
【答案】（1）y=x2﹣x﹣3
（2）运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是
（3）K1（1，﹣），K2（3，﹣）
【解答】试题分析：（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线BC的解析式为y=x﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征可设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．结合已知条件和（2）中的结果求得S△CBK=．则根据图形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m），把相关线段的长度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．
解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得
，
解得，
所以该抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣3；
（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t．
∴PB=6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．
在Rt△BOC中，BC==5．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．
∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴，即，
∴HQ=t．
∴S△PBQ=PB?HQ=（6﹣3t）?t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．
当△PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t=1时，
S△PBQ最大=．
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；
（3）设直线BC的解析式为y=kx+c（k≠0）．
把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得
，
解得，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3．
∵点K在抛物线上．
∴设点K的坐标为（m，m2﹣m﹣3）．
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E．则点E的坐标为（m，m﹣3）．
∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．
∴S△CBK=．
S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK?m+?EK?（4﹣m）
=×4?EK
=2（﹣m2+m）
=﹣m2+3m．
即：﹣m2+3m=．
解得
m1=1，m2=3．
∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
34．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当PBQ存在时，求运动多少秒时，PBQ的面积最大？最大面积是多少？
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使以P，B，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；（3）存在，或
【解析】（1）把点A、B的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a、b的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t秒．利用三角形的面积公式列出S△PBQ与t的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）根据余弦函数，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，0）、B（4，0）分别代入y＝ax2+bx﹣3（a≠0），得
，
解得，
所以该抛物线的解析式为：；
（2）设运动时间为t秒，则AP＝3t，BQ＝t．
∴PB＝6﹣3t．
由题意得，点C的坐标为（0，﹣3）．
在RtBOC中，．
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．
∴QH∥CO，
∴BHQ∽BOC，
∴，即，
∴．
∴．
当PBQ存在时，0＜t＜2
∴当t＝1时，．
答：运动1秒使PBQ的面积最大，最大面积是；
（3）如图2，
在RtOBC中，．
设运动时间为t秒，则AP＝3t，BQ＝t．
∴PB＝6﹣3t．
当∠PQB＝90°时，，
即，
化简，得17t＝24，
解得，
当∠BPQ＝90°时，
，
化简，得19t＝30，
解得，
综上所述：或时，以P，B，Q为顶点的三角形为直角三角形．
【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
35．如图①，直线AB的解析式为y＝﹣x+4，抛物线y＝﹣+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C（6，0），点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在第一象限内时，求△ABP面积的最大值，并求此时点P的坐标；
（3）如图②，当点P在y轴右侧时，过点A作直线l∥x轴，过点P作PH⊥l于点H，将△APH绕点A顺时针旋转，当点H的对应点H′恰好落在直线AB上时，点P的对应点P′恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的横坐标．
【答案】（1）；（2）面积最大值为8，；（3）或
【解析】（1）先利用直线进行确定则A（0，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）连接OP，设P（m，﹣m2+m+4），解方程﹣x+4＝0得B（3，0），根据三角形面积公式，利用面积的和差得到S△ABP＝S△AOP+S△POB﹣S△AOB＝×4?m+×3?（﹣m2+m+4）﹣×3×4，然后根据二次函数的性质解决问题；
（3）先利用勾股定理计算出AB＝5，讨论：当点P′落在x轴上，如图2，根据旋转的性质得＝4﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣m，AH′＝AH＝m，∠P′H′A＝∠PHA＝90°，再证明△BP′H′∽△BAO，利用相似得到BH′＝m2﹣m，然后利用AH′+BH′＝AB得到m+m2﹣m＝5，解方程求出m即可得到P点横坐标；当点P′落在y轴上，如图3，同理可得P′H′＝PH＝m2﹣m，AH′＝AH＝m，∠P′H′A＝∠PHA＝90°，通过证明△AH′P′′∽△AOB，然后利用相似比得到（m2﹣m）：3＝m：4，然后解关于m的方程即可得到对应P点横坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，则A（0，4），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点A，与x轴交于点C（6，0），
∴，解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）连接OP，
设P（m，﹣m2+m+4），
当y＝0时，﹣x+4＝0，解得x＝3，
则B（3，0），
∵S△ABP＝S△AOP+S△POB﹣S△AOB＝×4?m+×3?（﹣m2+m+4）﹣×3×4
＝﹣m2+4m，
＝﹣（m﹣4）2+8，
当m＝4时，△ABP面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为（4，4）；
（3）在Rt△OAB中，AB＝＝＝5，
当点落在x轴上，如图2，
∵△APH绕点A顺时针旋转，使点H的对应点恰好落在直线AB上，同时恰好落在x轴上
∴＝PH＝4﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣m，＝AH＝m，＝∠PHA＝90°，
∵＝∠ABO，
∴∽△BAO，
∴：OA＝：OB，即（m2﹣m）：4＝：3，
∴＝m2﹣m，
∵，
∴m+m2﹣m＝5，
解得m1＝2，m2＝﹣2（舍去），
此时P点横坐标为2；
当点P′落在y轴上，如图3，
同理可得＝PH＝m2﹣m，＝AH＝m，＝∠PHA＝90°，
∵＝∠BAO，
∴∽△AOB，
∴：OB＝AH′：AO，即（m2﹣m）：3＝m：4，
整理得4m2﹣25m＝0，
解得m1＝，m2＝0（舍去），
此时P点横坐标为；
综上所述，P点横坐标为2或．
【点评】本题主要考查二次函数与几何综合，掌握待定系数法，二次函数的性质，相似三角形的判定及性质并分情况讨论是解题的关键．
36．如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，其顶点为，且直线的解析式为．
(1)
求二次函数的解析式．
(2)
求△ABC外接圆的半径及外心的坐标；
(3)
若点P是第一象限内抛物线上一动点，求四边形ACPB的面积最大值．
【答案】（1）；（2）半径=；外心坐标（1，1）；（3）.
【解析】（1）抛物线与直线CD的函数图象交于y轴上的点C，那么这两个函数的解析式中的常数项相同，即c=3，因此只需求出b的值即可；首先用b表示出抛物线的顶点坐标，而这个顶点恰好在直线CD上，因此代入直线CD的解析式中即可得到待定系数b的值，由此得解．
（2）△ABC的外心到三角形三个顶点的距离都相同，即为△ABC的外接圆半径；因此先设出该外心的坐标，然后表示出三个半径长，令它们相等即可，可据此思路解题．
（3）四边形ACPB中，△ABC的面积是个定值，因此△CPB的面积最大时，四边形的面积最大；可以过点P作y轴的平行线，交直线BC于点E，首先要求出线段PE的长度表达式，以PE为底、OB为高，即可得到△CPB的面积表达式，由此可得到关于四边形ACPB面积的函数表达式，再根据函数的性质解题即可．
【解答】解：（1）∵二次函数：y=-x2+bx+c的图象与直线DC：y=x+3交于点C，
∴c=3，即C（0，3）；
二次函数
y=-x2+bx+3中，顶点D
（，），代入直线DC
：y=x+3中，得：
+3=，
解得
b1=0（舍）、b2=2；
故二次函数的解析式：y=-x2+2x+3．
（2）由（1）的抛物线解析式知：A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）；
设△ABC的外心M（x，y），则：
AM2=（x+1）2+y2、BM2=（x-3）2+y2、CM2=x2+（y-3）2；
由于AM=BM=CM，所以有：，
解得?，
此时
AM=BM=CM=；
∴△ABC的外接圆半径为，外心的坐标（1，1）．
（3）如右图，
过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E；
由B（3，0）、C（0，3）知，直线BC：y=-x+3；
设点P（x，-x2+2x+3），则E（x，-x+3），
PE=-x2+2x+3-（-x+3）=-x2+3x；
则S四边形ACPB=S△ACB+S△CPB=AB?OC+PE?OB
S四边形ACPB=×4×3+×（-x2+3x）×3=-（x-）2+；
综上，四边形ACPB的最大面积最大值为．
【点评】此题主要考查的是：函数解析式的确定、三角形的外接圆以及图形面积的求法等知识；（3）题的解法较多，还可以过点P作x轴的垂线，将四边形的面积分割成两个小直角三角形以及一个直角梯形三部分，解此类题目要注意结合图形，找出相关图形间的面积和差关系，根据已知条件选择简便的解题方法．
37．网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元，每日销售量与销售单价x（元）满足关系式：．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元．当每日销售量不低于时，每千克成本将降低1元设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．
（1）请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当元时，网络平台将向板栗公可收取a元的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
【答案】（1）；（2）当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元；（3）
【解析】（1）首先根据题意求出自变量x的取值范围，然后再分别列出函数关系式即可；
（2）对于（1）得到的两个函数关系式在其自变量取值范围内求出最大值，然后进行比较，即可得到结果；
（3）先求出当，即时的销售单价，得当，从而，得，可知，当时，元，从而有，解方程即可得到a的值．
【解答】解：（1）当，即，
．
∴当时，
当时，
．
（2）当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
当时，．
∵对称轴为，
∴当时，元．
∴综合得，当销售单价定为28元时，日获利最大，且最大为46400元．
（3），
，则．
令，则．
解得：．
在平面直角坐标系中画出w与x的数示意图．
观察示意图可知：
．
又，
．
．
对称轴为
，
对称轴．
∴当时，元．
，
．
又，
．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系及二次函数的性质是解题的关键．
38．已知直线l：y=kx和抛物线C：y=ax2+bx+1．
（1）当k=1，b=1时，抛物线C：y=ax2+bx+1的顶点在直线l：y=kx上，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线C都只有一个交点；
（i）求此抛物线的解析式；
（ii）若P是此抛物线上任一点，过点P作PQ∥y轴且与直线y=2交于点Q，O为原点，
求证：OP=PQ．
【答案】（Ⅰ）a=﹣；（Ⅱ）（i）y=﹣
x2+1；（ii）证明见解析.
【解析】（1）可用a表示出抛物线的顶点坐标,再代入直线方程可求得a的值,
（2）（i）由于k为任意非零实数,可取k=1和k=2,再联立两解析式消去y,得到的一元二次方程有两个相等的实数根可得到两个关于a、b的方程,可求得a、b的值,即可求得拋物线解析式;
（ii）设出P点坐标,连接OP,过P作PQ⊥直线y=2,作PD⊥x轴于点D,可分别表示出OP和PQ,可证明其相等
【解答】解：（1）将k=1，b=1代入得：抛物线的解析式为y=ax2+x+1，直线的解析式为y=x．
∵y=ax2+x+1=a（x+
）2+1﹣
，
∴抛物线的顶点为（﹣
，1﹣
）．
∵抛物线的顶点在直线y=x上，
∴﹣
=1﹣
，
解得：a=﹣
．
（2）（i）将直线y=kx向上平移k2+1个单位，所得直线的解析式为y=kx+k2+1．
∵无论非零实数k取何值，直线与抛物线都只有一个交点，
∴方程kx+k2+1=ax2+bx+1有两个相等的实数根，即ax2+（b﹣k）x﹣k2=0有两个相等的实数根，
∴△=（b﹣k）2+4ak2=（4a+1）k2﹣2bk+b2=0．
∵无论非零实数k取何值时，（4a+1）k2﹣2bk+b2=0恒成立，
∴4a+1=0且b=0，
∴a=﹣
，b=0．
∴抛物线的解析式为y=﹣
x2+1．
（ii）证明：根据题意，画出图象如图所示：
设点P的坐标为（x，﹣
x2+1）则点Q的坐标为（x，2），D（x，0）．
∴PD=|﹣
x2+1|，OD=|x|，QP=2﹣（﹣
x2+1）=
x2+1．
在Rt△OPD中，依据勾股定理得：OP=
=
=
x2+1．
∴OP=PQ
【点评】本题主要考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法、二次函数的性质、一元二次方程根的判别式、勾股定理等知识点.在(1)中求得二次函数的顶点坐标是解题的关键,在(Ⅱ)①中取k的特殊值得到关于a、b的二元一次方程组,求得a、b的值是解题的关键,在②中用P点的坐标分别表示出PD、OP的长是解题的关键.
39．某公司计划投资、两种产品，若只投资产品，所获得利润（万元）与投资金额（万元）之间的关系如图所示，若只投资产品，所获得利润（万元）与投资金额（万元）的函数关系式为．
（1）求 与之间的函数关系式；
（2）若投资产品所获得利润的最大值比投资产品所获得利润的最大值少万元，求的值；
（3）该公司筹集万元资金，同时投资、两种产品，设投资产品的资金为万元，所获得的总利润记作万元，若时，随的增大而减少，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由图象可得函数抛物线的顶点坐标及经过的点，由待定系数法即可求解；
（2）由（1）可得的最大值，由的函数解析式求出产品所获得利润的最大值，再依据题意列方程求解即可；
（3）由得，依据题意由二次函数性质可得抛物线对称轴在30的左边，由此得关于n的不等式求解即可．
【解答】解：（1）由图象可知点是抛物线的顶点坐标，
设与之间的函数关系式为，
又点在抛物线上，
，
解得．
与之间的函数关系式为；
（2）由（1）得，投资产品所获得利润的最大值为，
，
投资产品所获得利润的最大值为．
由题意可得，，解得．
当时不符合题意，
；
（3）由题意可得，．
当时，随的增大而减小，
解得．
的取值范围为．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质及应用，根据已知得出W与x的关系式，进而求出最值，注意按题意分析得出正确关系式是解题关键．
40．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，∠DAB的角平分线交边CD于点E，点P在射线AE上以每秒个单位长度的速度沿射线AE方向从点A开始运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，以PQ为边向右作平行四边形PQMN，点N在射线AE上，且AP＝PN，设P点运动时间为t秒．
（1）PQ＝____________（用含t的代数式表示）；
（2）当点M落在BC上时，求t的值；
（3）设平行四边形PQMN与矩形ABCD重合部分面积为S，当点P在线段AE上运动时，求S与t的函数关系式；
（4）直接写出在点P、Q运动的过程中，整个图形中形成的三角形存在全等三角形时t的值（不添加任何辅助线）．
【答案】（1）t；（2）4；（3）；（4）t＝4s或6s或7s
【解析】（1）判断出△APQ是等腰直角三角形即可得出结论；
（2）先判断出点Q是AB中点，进而求出AQ＝4，即可得出结论；
（3）分三种情形讨论：当0＜t≤3时，重叠部分是平行四边形PQMN；当3＜t≤4时，重叠部分是五边形PQMGE；当4＜t≤6时，重叠部分是五边形PQGCE，延长QP交CD于K；分别求解即可．
（4）分三种情形讨论：①如图7中，当点Q是AB中点时，△APQ≌△QMB．②如图8中，当点P与点E重合时，△APQ≌△AED．③如图9中，当△PEK≌△QGB时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴
∠BAD＝90°，
∵AE是的角平分线，
∴
∠BAE＝∠BAD＝45°，
∵
PQ⊥AB，，
∴
∠APQ＝45°＝∠BAE，∠AQP＝90°，
即△APQ是等腰直角三角形，
由运动知，AP＝t，
∴
PQ＝t，
故答案为：t；
（2）如图，
∵四边形PQMN是平行四边形，
∴
PQ∥MN，
∵点M在BC上，
∴
PQ∥BN，
∵AP＝PN，
∴
AQ＝BQ＝AB＝4，
在Rt△APQ中，∠PAQ＝45°，
∴
AP＝AQ＝4，
由运动知，AP＝t，
∴t＝4，
∴
t＝4．
（3）①如图4所示，当0＜t≤3时，重叠部分是平行四边形PQMN，，
②如图5所示，
当3＜t≤4，重叠部分是五边形PQMGE，
∴
S平行四边形PQMN－S△NGE＝＝；
③如图6，
当4＜t≤6，重叠部分是五边形PQGCE，延长QP交CD于K，
∴S矩形QBCK－S△KPE－S△QBG＝；
综上所述：．
（4）①如图7中，
当点Q是AB中点时，△APQ≌△QMB，此时t＝4．
②如图8中，
当点P与点E重合时，△APQ≌△AED，此时t＝6．
③如图9，
当△PEK≌△QGB时，由EK＝BQ得到，，解得t＝7．
综上所述，t＝4s或6s或7s时，整个图形中形成的三角形存在全等三角形．
【点评】
本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、平移变换、全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形，学会利用分割法求面积，属于中考压轴题．
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精品试卷·第
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