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21.6：综合实践获取最大利润
1．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元
B．160元
C．170元
D．180元
2．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（
）
A．20
B．1508
C．1550
D．1558
3．函数，的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（ ）
A．22元
B．24元
C．26元
D．28元
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列判断错误的是
(
)
A．a＞0
B．c＜0
C．函数有最小值
D．y随x的增大而减小
6．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（
）
A．30万元
B．40万元
C．45万元
D．46万元
7．抛物线，当时，的取值范围是__________．
8．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x=________元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
9．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝_____．
10．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为_____．
11．已知函数y＝﹣xm﹣1+bx﹣3（m，b为常数）是二次函数，其图象的对称轴为直线x＝1
（I）求该二次函数的解析式；
（Ⅱ）当﹣2≤x≤0时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
12．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
13．某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于元，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件．
若每件衬衫降价元，则每天可盈利多少元？
若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？
降价多少元时，平均每天盈利最大？
14．一种火爆的网红电子产品，每件产品成本元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元）与一次性批发量（件）（为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
若一次性批发量不超过件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
15．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
﹣x2+bx+c
…
5
n
c
2
﹣3
﹣10
…
（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；
（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值.
16．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
17．已知二次函数?(为常数)．
判断该二次函数的图象与轴交点的个数，并说明理由；
当自变量的值满足?时，与其对应的函数值的最大值为-5，求m的值．
18．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=
，y与t的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与t的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）
19．某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润,
商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件;
若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x(
元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的函数关系式;
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).
20．超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
21．2015年9月19日第九届合肥文博会开幕．开幕前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量（y件）
…
500
400
300
200
100
…
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）开幕后，合肥市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过38元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x（x﹣b）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．
（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；
（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；
（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．
23．阅读材料：如图的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧的两条平行线之间的距离叫做的“水平宽”，中间的这条直线在内部的线段的长度叫做的“铅垂高”，我们可以得到一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高的乘积的一半．
解决下面的问题：
如图（2）已知抛物线过点三点，
（1）求抛物线的解析式．
（2）若为第三象限抛物线上的动点，其横坐标为，的面积为，求关于的解析式，并求的最大值．
24．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线最高点D到墙面OB的水平距离为6m时，隧道最高点D距离地面10m．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后宽为4m，高为6m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
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21.6：综合实践获取最大利润
1．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（ ）
A．150元
B．160元
C．170元
D．180元
【答案】A
【解析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
【解答】解：设获得的利润为y元，由题意得：
∵a＝﹣1＜0
∴当x＝150时，y取得最大值2500元．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．
2．便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（
）
A．20
B．1508
C．1550
D．1558
【答案】D
【解答】∵一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，且15≤x≤22，
∴当x=20时，y最大值=1558．
故选D．
3．函数，的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先配方，再根据非负数的性质，结合的取值范围求解．
【解答】解：∵，，
∴当时，函数，的最小值为．
故选．
【点评】本题考查了四次函数研究最值问题，注意题目中的范围的限制．
4．某超市将进货单价为l8元的商品按每件20元销售时，每日可销售100件，如果每件提价1元，日销售就要减少10件，那么把商品的售出价定为多少元时，才能使每天获得的利润最大？（ ）
A．22元
B．24元
C．26元
D．28元
【答案】B
【解析】设利润为y，售价定为每件x元，根据：利润=每件利润×销售量，列方程求解，然后利用配方法求二次函数取最大值时x的值即可．
【解答】设利润为y，售价定为每件x元，
由题意得，y=（x-18）×[100-10（x-20）]，
整理得：y=-10x2+480x-5400=-10（x-24）2+360，
∵-10＜0，
∴开口向下，
故当x=24时，y有最大值．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数的应用，难度适中，解答本题的关键是根据题意列出二次函数，要求同学们掌握求二次函数最大值的方法．
5．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列判断错误的是
(
)
A．a＞0
B．c＜0
C．函数有最小值
D．y随x的增大而减小
【答案】D
【解析】直接根据二次函数的性质对各选项进行逐一分析即可
【解答】解：图象开口向上，所以a＞0.故A正确；
抛物线与y轴交于负半轴，所以c＜0，故B正确；
抛物线有最低点，即函数有最小值，故C正确；
在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，故D错误.
故选D
【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的系数和图象的关系及增减性是解答此题的关键．
6．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：y1＝－x2+10x，y2＝2x，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润是（
）
A．30万元
B．40万元
C．45万元
D．46万元
【答案】D
【解析】首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．
【解答】解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售（15﹣x）辆，根据题意得出：
W＝y1+y2＝﹣x2+10x+2(15﹣x)＝﹣x2+8x+30，
∴最大利润为：＝＝46（万元），
故选D．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键．
7．抛物线，当时，的取值范围是__________．
【答案】
【解析】首先根据二次函数的的二次项系数大于零，可得抛物线开口向上，再计算抛物线的对称轴
，判断范围内函数的增减性，进而计算y的范围.
【解答】解：根据二次函数的解析式可得
由a=2>0，可得抛物线的开口向上
对称轴为：
所以可得在范围内，二次函数在
，y随x的增大而减小，在
上y随x的增大而增大.
所以当
取得最小值，最小值为：
当取得最大值，最大值为：
所以
故答案为
【点评】本题主要考查抛物线的性质，关键在于确定抛物线的开口方向，对称轴的位置，进而计算y的范围.
8．出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出（6-x）个，则当x=________元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
【答案】3.
【解析】
试题解析：由题意可得函数式y=（6-x）x，
即y=-x2+6x，
当x=-=3时，y有最大值，
即当x=3元时，一天出售该种文具盒的总利润y最大．
考点：二次函数的应用．
9．二次函数y＝x2﹣4x+a在﹣2≤x≤3的范围内有最小值﹣3，则a＝_____．
【答案】1
【解析】先根据二次项系数判断出开口方向，再利用对称轴公式求出对称轴，根据二次函数的性质及题中所给出的自变量的范围可知最小值为抛物线顶点坐标的纵坐标，利用二次函数顶点坐标公式建立方程，解之即可得出答案.
【解答】解：∵1>0，
∴二次函数图象开口向上，
即抛物线有最低点，
∵对称轴为，
∴在的范围内最小值为顶点的纵坐标，
即，
解得a=1.
故答案为1.
【点评】本题考查了二次函数的性质.熟练掌握二次函数的增减性及顶点坐标公式是解题的关键.
10．当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为_____．
【答案】0或3
【解析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值，结合当a-1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】当y=1时，有x2-2x+1=1，
解得：x1=0，x2=2．
∵当a-1≤x≤a时，函数有最小值1，
∴a-1=2或a=0，
∴a=3或a=0，
故答案为0或3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y=1时x的值是解题的关键．
11．已知函数y＝﹣xm﹣1+bx﹣3（m，b为常数）是二次函数，其图象的对称轴为直线x＝1
（I）求该二次函数的解析式；
（Ⅱ）当﹣2≤x≤0时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
【答案】（Ⅰ）该二次函教的解析式为y＝﹣x2+2x﹣3；（Ⅱ）﹣11≤y≤﹣3．
【解析】（Ⅰ）根据对称轴方程，列式求出b的值，从而求得二次函数的解析式；
（Ⅱ）先由y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2知函数有最大值﹣2，然后求出x＝﹣2和x＝0时y的值即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数y＝﹣xm﹣1+bx﹣3（m，b为常数）是二次函数其图象的对称轴为直线x＝1，
∴m﹣1＝2，，
∴m＝3，b＝2．
∴该二次函教的解析式为y＝﹣x2+2x﹣3．
（Ⅱ）∵y＝﹣x2+2x﹣3图象的对称轴为直线x＝1，并且开口向下，
∴当﹣2≤x≤0时,y值在对称轴的左边，并且单调递增，
当x＝﹣2时，y＝﹣11；
当x＝0时，y＝﹣3；
∴当﹣2≤x≤0时，求该二次函数的函数值y的取值范围为﹣11≤y≤﹣3．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟悉对称轴公式是解题的关键．
12．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系：y=ax2+bx﹣75．其图象如图．
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
【答案】（1）销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（2）销售单价不少于7元且不超过13元时．
【解析】（1）由已知，应用待定系数法，可得二次函数解析式，根据二次函数顶点坐标的性质，可得答案；
（2）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．
【解答】解：（1）y=ax2+bx﹣75图象过点（5，0）、（7，16），
∴，解得
∴y与x之间的函数关系为
∵
∴当x=10时，y最大=25，
答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元．
（2）∵函数图象的对称轴为直线x=10，
∴点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16）
又∵函数y=﹣x2+20x﹣75图象开口向下，
∴当7≤x≤13时，y≥16．
答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．
【点评】本题考查二次函数的应用，待定系数法的应用；二次函数的性质；数形结合思想的应用．
13．某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出件，每件盈利元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于元，经调查发现．若每件衬衫每降价元，则商场每天可多销售件．
若每件衬衫降价元，则每天可盈利多少元？
若商场平均每天盈利元．则每件衬衫应降价多少元？
降价多少元时，平均每天盈利最大？
【答案】（1）商场每天销售这种衬衫可以盈利元；（2）每件衬衫降价元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利元；（3）每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多．
【解析】（1）可直接根据每件的利润销售量总利润，求出结果；
（2）此题首先根据盈利元，列出一元二次方程：，然后解出．要注意应舍去，要考虑符合实际的要求．
【解答】解：（1）由已知
元．
答：商场每天销售这种衬衫可以盈利元．
（2）设每件衬衫降价元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利元，
根据题意得：，
整理得：，
，
解得：，，
为了扩大销售量，商场决定采取降价措施，所以舍去．
答：每件衬衫降价元时，商场每天销售这种衬衫可以盈利元．
（3）设商场平均每天赢利元，
则?，
，
．
∴
当时，取最大值．
答：每件衬衫降价元时，商场平均每天赢利最多．
【点评】此题综合考查了一元二次方程应用和二次函数的应用，解答关键是利用好基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润．
14．一种火爆的网红电子产品，每件产品成本元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价（元）与一次性批发量（件）（为正整数）之间满足如图所示的函数关系．
直接写出与之间所满足的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
若一次性批发量不超过件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）当且为整数时，
当且为整数时，
;当且为整数时，；（2）一次批发件时所获利润最大，最大利润是元．
【解析】（1）根据函数图像，求出各个部分的解析式即可；
（2）设所获利润（元），分段求出各个不发的利润，再比较最大利润即可求解.
【解答】解：当且为整数时，
当且为整数时，
;
当且为整数时，；
设所获利润（元），
当且为整数时，
元，
当且为整数时，w=480
,
∴当且为整数时，
当时，最大，最大值为元．
答：一次批发件时所获利润最大，最大利润是元．
【点评】本题考查的是函数的实际应用，熟练掌握分段函数是解题的关键.
15．下表给出了代数式﹣x2+bx+c与x的一些对应值：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
﹣x2+bx+c
…
5
n
c
2
﹣3
﹣10
…
（1）根据表格中的数据，确定b，c，n的值；
（2）设y=﹣x2+bx+c，直接写出0≤x≤2时y的最大值.
【答案】（1）b=-2，c=5，n=6；（2）y的最大值是5．
【解析】（1）把（﹣2，0）、（1，2）分别代入﹣x2+bx+c中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可得到b、c的值；然后计算x=﹣1时的代数式的值即可得到n的值；
（2）利用表中数据即可求解．
【解答】（1）根据表格数据可得
，解得，
∴﹣x2+bx+c=﹣x2﹣2x+5，
当x=﹣1时，﹣x2﹣2x+5=6，即n=6；
（2）根据表中数据得当0≤x≤2时，y的最大值是5．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与不等式等知识，解题的关键是表格中对应数据代入，得到方程组．
16．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
【答案】（1）y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数；（2）每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元.
【解析】（1）先求出每件商品的售价上涨x元后的月销量，再根据“月利润=每件利润月销量”列出等式即可；根据x为正整数，和每件售价不能高于65元写成x的取值范围；
（2）根据题（1）的结论，利用二次函数图象的性质求解即可.
【解答】（1）设每件商品的售价上涨x元，则商品的售价为元，月销量为件
由题意得：
整理得：
由每件售价不能高于65元得：，即
又因x为正整数
则x的取值范围为：，且x为正整数
综上，y与x的函数关系式为；x的取值范围为，且x为正整数；
（2）的对称轴为：
则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
因x为正整数，则当时，，y取得最大值；当时，，y取得最大值，比较这两个最大值即可得出最大利润
将代入得：，此时售价为
将代入得：，此时售价为
答：每件商品的售价定为55元或56元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2400元.
【点评】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意建立等式是解题关键.需要注意的是，在根据函数的增减性求最大利润时，要考虑对称轴的两侧，避免漏解.
17．已知二次函数?(为常数)．
判断该二次函数的图象与轴交点的个数，并说明理由；
当自变量的值满足?时，与其对应的函数值的最大值为-5，求m的值．
【答案】（1）二次函数的图象与轴没有交点，理由见解析；（2）的值为或．
【解析】（1）根据判别式的值得到＜0，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用配方法得到，则抛物线的对称轴为直线x=m，讨论当m＜-3、-3≤m≤-1、m＞-1三种情况时，利用二次函数的性质得到并解关于m的方程即可得到满足条件的m的值．
【解答】（1）??，
令，则，
，
∴
一元二次方程没有实数根，即该二次函数的图象与轴没有交点；
（2）?
，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，随的增大而减小，
则时，，
所以，
解得(舍去)；
当时，
时，取得最大值，的最大值为，不合题意；
当时，，随的增大而增大，
则时，，
所以，
解得(舍去)，
综上所述，的值为或．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．
18．随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=
，y与t的函数关系如图所示．
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；
（2）求y与t的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）
【答案】（1）m=600，n=160000；（2）；（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是108500元.
【解答】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；
（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；
（3）根据W=ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．
【详解】（1）依题意得
，
解得：；
（2）当0≤t≤20时，设y=k1t+b1，
由图象得：，
解得：
∴y=t+16；
当20＜t≤50时，设y=k2t+b2，
由图象得：，
解得：，
∴y=﹣t+32，
综上，；
（3）W=ya﹣mt﹣n，
当0≤t≤20时，W=10000（t+16）﹣600t﹣160000=5400t，
∵5400＞0，
∴当t=20时，W最大=5400×20=108000，
当20＜t≤50时，W=（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）2+108500，
∵﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当t=25，W最大=108500，
∵108500＞108000，
∴当t=25时，W取得最大值，该最大值为108500元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，具体考查了待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
19．某商店购进一批单价为16元的日用品,销售一段时间后,为了获取更多利润,
商店决定提高销售价格,经试验发现,若按每件20元的价格销售时,每月能卖360件;
若按每件25元的价格销售时,每月能卖210件.假定每月销售件数y(件)是价格x(
元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的函数关系式;
(2)在商品不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格为多少时,才能使每月获得最大利润?每月的最大利润是多少?(总利润=总收入-总成本).
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先利用待定系数法确定每月销售量y与x的函数关系式y=-30x+960；
（2）根据每月获得的利润等于销售量乘以每件的利润得到w=（-30x+960）（x-16），接着展开后进行配方得到顶点式P=-30（x-24）2+1920，然后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】(1)设y=kx+b，
∵当x=20时，y=360；x=25时，y=210
∴，解得
∴y=-30x+960(16≤x≤32)；
(2)设每月所得总利润为w元,
则
w=(x-16)y=(x-16)(-30x+960)=-30(x-24)2+
1920.
∵-30<0
∴当x=24时，w有最大值.
即销售价格定为24元/件时,才能使每月所获利润最大,
每月的最大利润为1920元.
20．超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件．
（1）请写出与之间的函数表达式；
（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？
【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元
【解析】（1）根据题意列函数关系式即可；
（2）根据题意列方程即可得到结论；
（3）根据题意得到，根据二次函数的性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论．
【解答】（1）根据题意得，；
（2）根据题意得，，
解得：，，
∵每件利润不能超过60元，
∴，
答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，，
答：当为20时最大，最大值是2400元．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．
21．2015年9月19日第九届合肥文博会开幕．开幕前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：
销售单价x（元/件）
…
20
30
40
50
60
…
每天销售量（y件）
…
500
400
300
200
100
…
（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）开幕后，合肥市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过38元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）一次函数，y=-10x+700；(2)
销售单价定为40元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是9000元；(3)
销售单价定为38元∕件时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是8960元．
【解析】（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再根据点的分布得出y与x的函数关系式，求出即可；
（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W=（x-10）（-10x+700），进而利用二次函数最值求法得出即可；
（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案．
【解答】（1）画图：
由图可知，这几个点在一条直线上，所以猜想y与x是一次函数关系．
设这个一次函数为y=kx+b（k≠0），
∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）这两点，
∴，解得：，
∴此函数关系式是y=-10x+700．
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：
W=（x-10）(-10x+700）=-10x2+800x-7000
=-10（x-40）2+9000，
∴当x=40时，W有最大值9000．
答：销售单价定为40元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是9000元．
（3）对于函数W=-10（x-40）2+9000，
当x≤38时，W的值随着x值的增大而增大，
∴当x=38时，最大=-10×（38-40）2+9000=8960，
答：销售单价定为38元∕件时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大．最大利润是8960元．
22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x（x﹣b）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．
（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；
（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；
（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．
【答案】（1）2（2）（3）h存在最小值，最小值为1
【解析】（1）由点B与点C关于直线x＝1对称，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，再利用二次函数的性质可求出b值；
（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，结合OA＝OB可得出点B的坐标，由点B的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，利用配方法可求出点P的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△BCP的面积；
（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四种情况考虑，利用二次函数图象上点的坐标特征结合二次函数的图象找出h关于b的关系式，再找出h的最值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点B与点C关于直线x＝1对称，y＝x（x﹣b）﹣＝x2﹣bx﹣，
∴﹣＝1，
解得：b＝2．
（2）当x＝0时，y＝x2﹣bx﹣＝﹣，
∴点A的坐标为（0，﹣）．
又∵OB＝OA，
∴点B的坐标为（﹣，0）．
将B（﹣，0）代入y＝x2﹣bx﹣，得：0＝+b﹣，
解得：b＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣．
∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，
∴点P的坐标为（，﹣）．
当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，
解得：x1＝﹣，x2＝1，
∴点C的坐标为（1，0）．
∴S△BCP＝×[1﹣（﹣）]×|﹣|＝．
（3）y＝x2﹣bx﹣＝（x﹣）2﹣﹣．
当≥1，即b≥2时，如图1所示，
y最大＝b+，y最小＝﹣b+，
∴h＝2b；
当0≤＜1，即0≤b＜2时，如图2所示，
y最大＝b+，y最小＝﹣﹣，
∴h＝1+b+＝（1+）2；
当﹣1＜＜0，﹣2＜b＜0时，如图3所示
y最大＝﹣b，y最小＝﹣﹣，
∴h＝1﹣b+＝（1﹣）2；
当≤﹣1，即b≤﹣2时，如图4所示，
y最大＝﹣b+，y最小＝b+，
h＝﹣2b．
综上所述：h＝，h存在最小值，最小值为1．
【点评】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、二次函数图象以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，求出b的值；（2）利用二次函数图象上的坐标特征及配方法，求出点B，C，P的坐标；（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四种情况，找出h关于b的关系式．
23．阅读材料：如图的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧的两条平行线之间的距离叫做的“水平宽”，中间的这条直线在内部的线段的长度叫做的“铅垂高”，我们可以得到一种计算三角形面积的新方法：，即三角形的面积等于水平宽与铅垂高的乘积的一半．
解决下面的问题：
如图（2）已知抛物线过点三点，
（1）求抛物线的解析式．
（2）若为第三象限抛物线上的动点，其横坐标为，的面积为，求关于的解析式，并求的最大值．
【答案】（1）；（2），4
【解析】（1）根据题意，可设出抛物线解析式，代入A、B、C点的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）根据待定系数法得出直线AB的解析式为，由题意可得即可求解．
【解答】解：由题可设抛物线解析式为，
且已知抛物线过点，
将其带入可得
解得
则抛物线解析式为．
由点可得直线的解析式为，
由题意可得
．
则可得当时，
有最大值为．
【点评】此题主要考查二次函数在给定区间上的最值、二次函数综合题、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
24．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线最高点D到墙面OB的水平距离为6m时，隧道最高点D距离地面10m．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后宽为4m，高为6m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【答案】（1）y＝﹣（x﹣6）2+10；（2）这辆货车能安全通过；（3）4m．
【解析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；
（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断；
（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．
【解答】解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），C（0，4），
设抛物线解析式为：y＝a（x﹣6）2+10，
将点C（0，4）代入，得：36a+10＝4，
解得：a＝﹣，
故该抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣6）2+10；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），
当x＝2或x＝10时，y＝＞6，
所以这辆货车能安全通过；
（3）令y＝8，则﹣（x﹣6）2+10＝8，解得x1＝6+2，x2＝6﹣2，
则x1﹣x2＝4
，
所以两排灯的水平距离最小是4m．
【点评】本题考查二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
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精品试卷·第
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