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22.1：比例线段
一、单选题
1．下列命题中，正确的是（
）
A．任意两个等腰三角形相似
B．任意两个菱形相似
C．任意两个矩形相似
D．任意两个等边三角形相似
【答案】D
【解析】利用相似图形的定义及性质逐一判断后即可得到答案．
【解答】解：、任意两个等腰三角形不一定相似，故选项错误；
、任意两个菱形不一定相似，故选项错误；
、任意两个矩形不一定相似，故选项错误；
、任意两个等边三角形满足相似图形的定义，故选项正确．
故选．
【点评】本题考查了相似图形的定义，对应角相等、对应边成比例的图形相似．
2．已知点是线段的黄金分割点，且，，则为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】直接根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，
∴
而AB=2，
∴
故选A.
【点评】考查黄金分割，熟记黄金分割值是解题的关键.
3．在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵，∴，本选项不符合题意；
B、∵，∴，本选项不符合题意；
C、∵，∴，本选项不符合题意；
D、若，不能判定，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
4．已知，且，则下列结论中：①；②；③，正确的有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
【答案】C
【解析】根据合分比定理：，可得，再根据合分比定理：．
【解答】由合分比定理，得，故①错误，故②正确；
由，合分比定理，得，故③正确；
故选；．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了合分比定理，要熟练掌握．
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】C
【解答】∵DE∥BC，
∴，
∵AD=4，AE=3，CE=6，
∴，
∴BD=8，
故选C．
6．已知线段，满足：，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据比例的基本性质可得(x+y)=3(x-y)
，再去括号，合并同类项，进行变形即可求解．
【解答】∵
：，
∴
，
，
．
故选：．
【点评】此题考查了比例的基本性质，解题的关键是根据基本性质灵活进行变形，从而求解．
7．已知线段MN=6cm，P是线段MN的一个黄金分割点，则其中较长线段MP的长是（
）
A．(9-3)cm
B．(3-3)cm
C．(3-1)cm
D．(3-)cm
【答案】B
【解析】直接利用黄金比值是计算即可．
【解答】解：MP=×6=(3-3)cm．
故答案为B．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较长线段之比为．
8．已知，则的值为（?
?
?
?
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据，就可以设．则可以得到：，，．代入所求式子即可求得．
【解答】解：设．则可以得到：，，．
则2
故选．
【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是熟练掌握性质．
9．根据，共可写出以为第四比例项的比例式的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】按照题目要求，将等积式转换成比例式即可．
【解答】解：以为第四比例项的比例式有：，共两个．
故选．
【点评】本题主要考查了比例的变形，变形的依据是比例的基本性质．
10．已知点是线段的黄金分割点，且，则下列各式的值不等于的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据黄金分割点定义：线段上一点把线段分成两段,其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项,比值=即可解题.
【解答】解：由题可知AP较长,BP较短,根据黄金分割点的定义可知,
==,
设AB=2,则AP=,
BP=3-,
∴=,
故选C.
【点评】本题主要考查了黄金分割点的定义,中等难度,熟悉黄金分割点的定义是解题关键.
二、填空题
11．请指出图中从图到图的变换是________变换．
【答案】相似
【解析】由图可以看出，图1和图2形状相同，只是大小不同，根据相似图形的定义，即可得出结果．
【解答】解：∵
从图到图，图形形状没变，只是大小发生改变，
∴
从图到图的变换是相似变换．
故答案为：相似．
【点评】本题考查了相似的定义，理解好相似的定义是解题关键．
12．如果图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，那么图形甲与图形丙________．
【答案】相似
【解答】∵图形甲与图形乙相似,图形乙与图形丙相似,
∴图形甲与图形丙相似.故答案为:相似.
13．若，则________．
【答案】
【解析】由，根据比例的性质，即可得，然后整理即可求得，继而求得的值．
【解答】解：∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用内项积=外项积得出x与y的关系是解题的关键
14．已知，那么________．
【答案】
【解析】先根据已知条件可求出，然后再把的值代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵
，
∴
，
∴
．
故答案是：．
【点评】本题考查了比例的性质，得出是解题的关键
15．如图，梯形中，，，，则________．
【答案】4
【解析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再根据比例的基本性质进行计算．
【解答】解：∵
，，，
∴
，
∴
．
故答案为：4．
【点评】此题考查的是平行线分线段成比例定理，掌握利用平行线分线段成比例定理列出比例式求值是解决此题的关键．
16．所有的黄金矩形都是________．
【答案】相似形
【解析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．
【解答】解：根据相似形的定义得到所有的黄金矩形都是相似形．
故本题答案为：相似形．
【点评】本题考查了相似形的定义，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
17．一个三角形的各边长扩大为原来的倍，这个三角形的面积也扩大为原来的倍．________（判断对错）
【答案】错.
【解析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵相似三角形的边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积扩大为原来的81倍，故原说法错误．
故答案为：错．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
18．若，则________．
【答案】
【解析】根据等式的性质，可用表示，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由，得
．
，
故答案为：．
【点评】本题考查了比例的性质，利用a表示b，得出关于a代数式，利用分式的性质得出答案．
19．若，则________．
【答案】
【解析】根据题意，设，，，代入计算即可．
【解答】解：由题意，设，，，
∴
原式．
故答案为：．
【点评】此题考查的是根据已知条件，求比，掌握设参法是解决此题的关键．
20．如图，，点在上，与交于点，，，则的长为______．
【答案】1.2
【解析】由平行线分线段成比例定理，由AB∥GH，得出，由GH∥CD，得出，将两个式子相加，即可求出GH的长．
【解答】∵AB∥GH，
∴，即①，
∵GH∥CD，
∴，即②，
①+②，得，
∴，
解得．
故答案是：1.2.
【点评】考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．
三、解答题
21．已知线段，，满足，且．
求，，的值；
若线段是线段，的比例中项，求．
【答案】（1），，；（2）
【解析】设比值为，然后用表示出，，，再代入等式求解得到，然后求解即可；
根据比例中项的定义列式求解即可．
【解答】解：设，
则，，，
所以，
解得，
所以，
，
．
∵
线段是线段，的比例中项，
∴
，
∴
线段．
【点评】此题考查的是比例的性质和比例中项，掌握比例的性质和比例中项的定义是解决此题的关键．
22．（1）已知，求的值；
（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB的长．
【答案】（1）；（2）PA=，PB=．
【解析】(1)设a=3k，则b=5k，代入，计算即可求解；
(2)根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则PA=AB，PB=AB，代入数据即可得出PA、PB的长．
【解答】解：(1)∵=，
∴可设a=3k，则b=5k，
∴==；
(2)∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，
∴PA=AB=?1，PB=AB=3?.
故答案为（1）；（2）PA=，PB=．
【点评】本题考查了黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．同时考查了比例的性质．
23．如图，在中，，．求证：．
【答案】见解析
【解析】根据平行线分线段成比例定理，得出AD：AB=AE：AC以及AF：AD=AE：AC，即可得出结论正确．
【解答】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练的掌握平行线分线段成比例.
24．如图，已知：梯形中，，、交于点，是延长线上一点，点在上，且．求证：．
【答案】详见解析
【解析】根据平行线分线段成比例定理得出，推出，得出，根据，推出，得出，根据平行线的判定推出即可．
【解答】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的判定，平行线分线段成比例定理的应用，关键是得出△DOF∽△DBE．
25．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，点F在BC上，DE交AF于点G，AD=2BD，AE=5，求：（1）；（2）AC的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）由于DE∥BC，AD=2BD，根据平行线分线段成比例定理可得；
（2）同（1），易求，而AE=5，从而可求AC．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，且AD=2BD
∴
（2）∵DE∥BC，且AD=2BD
∴
∵AE=5
∴AC=
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．
26．如图，Rt△ABC中，AB=12cm，BC=10cm，点D从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动，到达点B处停止运动，在移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
【答案】3+秒或3﹣秒
【解析】根据四边形DFCE的面积=△ABC的面积﹣△ADE的面积﹣△DBF的面积=20cm2，列方程求解即可；
【解答】解：设运动时间为ts，则AD=2tcm，DB=（12﹣2t）cm．
∵DF∥AC，
∴，
∴，
∴BF=（12﹣2t），
∵DE∥BC，
∴，
∴，
∴DE=t，
根据题意得：×12×10﹣×2t×t﹣×（12﹣2t）×（12﹣2t）=20．
整理得t2﹣6t+6=0，
解得：t1=3+，t2=3﹣．
∴D出发3+或3﹣秒后四边形DFCE的面积为20cm2．
【点评】本题主要考查的是一元二次方程的应用，根据四边形DFCE的面积=△ABC的面积﹣△ADE的面积﹣△DBF的面积=20cm2列关于t的方程是解题的关键．
27．如图，已知，它们依次交直线，，，于点A、B、C和点D、E、F，，.
(1)求AB、BC的长；
(2)当，时，求BE的长.
【答案】(1)
；BC=6；(2)BE=9.
【解析】（1）由于平行线分线段成比例定理和比例的性质得出，即可求出AB的长，进而求出BC的长；
（2）过点A作交BE于点H，交CF于点C,得出，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH,即可得出结果．
【解答】【解】(1)
∵，，
.
∵，
∴，
∴.
(2)如图所示，过点A作交BE于点H，交CF于点C.
又∵，，∴.
∵∴.
∵，，，
∴.
【点评】本题考查知识点是平行线分线段成比例定理，添加辅助线构成成比例线段是关键．
28．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．
请你直接写出结论：_____（填“>”，“<”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：如图2，题目中，与的大小关系是：____（填“>”“<”或“=”）．
理由如下：（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）．
【答案】（1）=；（2）=；（3）3或1
【解析】（1）根据等边三角形性质和等腰三角形的性质求出∠D=∠ECB=30°，求出∠DEB=30°，求出BD=BE即可；
（2）过E作EF∥BC交AC于F，求出等边三角形AEF，证△DEB和△ECF全等，求出BD=EF即可；
（3）当D在CB的延长线上，E在AB的延长线式时，由（2）求出CD=3，当E在BA的延长线上，D在BC的延长线上时，求出CD=1．
【解答】解：（1）如图
1
，过点作，交于点，
为等边三角形，
，∠A=60°，
∴为等边三角形，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（2）如图1，过E作EF∥BC交AC于F，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF=AF，
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，
∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°，
∵DE=EC，
∴∠D=∠ECD，
∴∠BED=∠ECF，
在△DEB和△ECF中，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD=EF=AE，
即AE=BD，
故答案为：=．
（3）CD=1或3，
理由是：分为两种情况：①如图2
过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=BC=，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AB=1，AE=2，
∴AB=BE=1，
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴∠AMB=∠ENB=90°，
在△ABM和△EBN中，
∴△AMB≌△ENB（AAS），
∴BN=BM=，
∴CN=1+=，
CD=2CN=3；
②如图3，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=1，
∵AM⊥BC，
∴BM=CM=BC=，
∵DE=CE，EN⊥BC，
∴CD=2CN，
∵AM∥EN，
∴，
∴，
∴MN=1，
∴CN=1-=，
∴CD=2CN=1，
即CD=3或1．
【点评】本题综合考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点的应用，解（2）小题的关键是构造全等的三角形后求出BD=EF，解（3）小题的关键是确定出有几种情况，求出每种情况的CD值，注意，不要漏解啊．
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22.1：比例线段
一、单选题
1．下列命题中，正确的是（
）
A．任意两个等腰三角形相似
B．任意两个菱形相似
C．任意两个矩形相似
D．任意两个等边三角形相似
2．已知点是线段的黄金分割点，且，，则为（
）
A．
B．
C．
D．
3．在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判定的是（
）
A．
B．
C．
D．
4．已知，且，则下列结论中：①；②；③，正确的有（
）
A．个
B．个
C．个
D．个
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=4，AE=3，CE=6，那么BD的值是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
6．已知线段，满足：，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知线段MN=6cm，P是线段MN的一个黄金分割点，则其中较长线段MP的长是（
）
A．(9-3)cm
B．(3-3)cm
C．(3-1)cm
D．(3-)cm
8．已知，则的值为（?
?
?
?
）
A．
B．
C．
D．
9．根据，共可写出以为第四比例项的比例式的个数是（
）
A．
B．
C．
D．
10．已知点是线段的黄金分割点，且，则下列各式的值不等于的是（
）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
11．请指出图中从图到图的变换是________变换．
12．如果图形甲与图形乙相似，图形乙与图形丙相似，那么图形甲与图形丙________．
13．若，则________．
14．已知，那么________．
15．如图，梯形中，，，，则________．
16．所有的黄金矩形都是________．
17．一个三角形的各边长扩大为原来的倍，这个三角形的面积也扩大为原来的倍．________（判断对错）
18．若，则________．
19．若，则________．
20．如图，，点在上，与交于点，，，则的长为______．
三、解答题
21．已知线段，，满足，且．
求，，的值；
若线段是线段，的比例中项，求．
22．（1）已知，求的值；
（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB=2，求PA、PB的长．
23．如图，在中，，．求证：．
24．如图，已知：梯形中，，、交于点，是延长线上一点，点在上，且．求证：．
25．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E，点F在BC上，DE交AF于点G，AD=2BD，AE=5，求：（1）；（2）AC的长．
26．如图，Rt△ABC中，AB=12cm，BC=10cm，点D从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B移动，到达点B处停止运动，在移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC（点E、F分别在AC、BC上）．点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？
27．如图，已知，它们依次交直线，，，于点A、B、C和点D、E、F，，.
(1)求AB、BC的长；
(2)当，时，求BE的长.
28．数学课上，李老师出示了如下框中的题目．
在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且，如图，试确定线段与的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为的中点时，如图1，确定线段与的大小关系．
请你直接写出结论：_____（填“>”，“<”或“=”）．
（2）特例启发，解答题目
解：如图2，题目中，与的大小关系是：____（填“>”“<”或“=”）．
理由如下：（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，求的长（请你直接写出结果）．
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