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22.2：相似三角形的判定
一、单选题
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判断的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据已知得到一组角相等，依据相似三角形的判定定理再添加一组角相等或是已知相等角的两条边对应成比例即可判定三角形相似.
【解答】若，则可得，
、添加，可利用两边及其夹角法判定相似，故本选项错误；
、添加，不能判定两三角形相似，故本选项正确；
、添加，可利用两角法判定两三角形相似，故本选项错误；
、添加，可利用两角法判定两三角形相似，故本选项错误；
故选．
【点评】此题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是熟记判定定理并运用.
2．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（
）
A．∠ABP=∠C
B．∠APB=∠ABC
C．
D．
【答案】D
【解答】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C．当时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选D．
考点：相似三角形的判定．
3．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可．
【解答】解：设单位正方形的边长为1，给出的三角形三边长分别为，，．
A、三角形三边分别是2，，
3，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B、三角形三边2，4，，与给出的三角形的各边成比例，故B选项正确；
C、三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D、三角形三边，，4，与给出的三角形的各边不成正比例，故D选项错误．
故选：B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，注意三边对应成比例的两三角形相似．
4．已知一个三角形的两个内角分别是，，另一个三角形的两个内角分别是，，则这两个三角形（
）
A．一定相似
B．不一定相似
C．一定不相似
D．不能确定
【答案】A
【解析】根据三角形内角和定理求出另一个内角的度数，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可作出判断．
【解答】解：∵
一个三角形的两个内角分别是，，
∴
另一个内角的度数是，
∴一个三角形的三个内角分别是，，
∴
这两个三角形有两角对应相等
∴
这两个三角形一定相似．
故选：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，判定方法有：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
5．如图，，，，，，，，，都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使与相似，则点应是，，，四点中的（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
【答案】C
【解析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据三条边对应成比例，两三角形相似进行解答．
【解答】设小正方形的边长为，则的各边分别为、、，
只能是或时，△DEF各边是6，，．
此时与各边对应成比例，与相似，
故选：C
【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．
6．如图，中，、边上的高、相交于点，图中所有的相似三角形共有（
）
A．对
B．对
C．对
D．对
【答案】C
【解析】根据相似三角形的判定方法进行判定即可
【解答】解：∵、边上的高、相交于点，
∴∠AEC=∠BEC
=∠ADB=∠BDC=
90°，
∵∠A=∠A，∴
∵∠BPE=∠CPD，∴
∵∠ACE=∠PCD，∴，
根据相似的传递性可得：，，，
∴图中有，，，，，，对三角形相似．
故选．
【点评】本题考查相似三角形的判定定理，关键知道两角对应相等的两个三角形互为相似相似三角形，以及相似的传递性．
7．如图，则图中相似三角形的对数为（
）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
【答案】C
【解析】由AB∥CD∥EF，根据平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，可得△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，△ADB∽△FDE．所以图中共有3对相似三角形．
【解答】∵AB∥CD∥EF，
∴△ACD∽△AEF，△ECD∽△EAB，△ADB∽△FDE.
∴图中共有3对相似三角形.
故选C.
【点评】考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.
8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】求出△ABC的三边长，再分别求出选项A、B、C、D中各三角形的三边长，根据三组对应边的比相等判定两个三角形相似，由此得到答案.
【解答】如图，，AC=2，,
A、三边依次为：
，
，1，
∵，∴A选项中的三角形与不相似；
B、三边依次为：、、1，
∵，∴B选项中的三角形与相似；
C、三边依次为：3、、，
∵，∴C选项中的三角形与不相似；
D、三边依次为：
、、2，
∵，∴D选项中的三角形与不相似；
故选：B.
【点评】此题考查网格中三角形相似的判定，勾股定理，需根据勾股定理分别求每个三角形的边长，判断对应边的比是否相等是解题的关键.
9．如图，∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝DE，那么下列结论正确是( )
A．∠1＋∠2＋∠3＝135°
B．△ABD∽△EBA
C．△ACD∽△ECA
D．以上结论都不对
【答案】C
【解析】
∵AB=BC,∠B=90°，∴∠1=45°.
设AB=BC=CD=DE=1,则AC=,CE=2,
∴
,，
∵∠ACD=∠ACE，∴△ACE∽△DCA，
故选C.
10．以下两个图形必定相似的是（
）
A．有两条边对应成比例的等腰三角形
B．有一角是的等腰三角形
C．有一个角是的等腰三角形
D．有一个角相等，两边成比例的三角形
【答案】C
【解析】应用两三角形相似判定定理，有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似，做题即可．
【解答】解：、这两条边的夹角不一定相等，故错误；
、这个角可能是不对应，若一个是顶角，一个是底角，则两图形不相似；
、符合有两组角对应相等的两个三角形相似的判定；
、这个角可能不是这两条边的夹角，故错误．
故选．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
二、填空题
11．如图，若，则________．
【答案】
【解析】根据∠B=∠DAC，∠C为公共角即可判定△ABC∽△DAC．
【解答】在和中，
∵，
∴．
故答案为：DAC.
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知三角形相似的判定方法.
12．如图，在四边形中，，交于点，点在上，要使，则在不标注其他字母的前提下，需添加的一个条件是________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】在题中，有平行已经可知一组角相等，要想相似，再找一组角相等即可，因此可添加一组平行，找同位角相等即可．
【解答】解：要使要使，已知得到，则再添加得到，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似判定两三角形相似．
故答案为：（答案不唯一）
【点评】本题考查相似三角形的判定，是一道考查相似三角形的判定的开放性的题，答案不唯一．
13．如图：点是的斜边上不与、重合的一定点，过点作直线截，使截得的三角形与原相似，这样的直线共有________条．
【答案】
【解析】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似，根据这个知识点作线即可.
【解答】当过点M的直线平行于AB和AC时，所截的三角形与△ABC相似，当过M的直线垂直于AC时也相似，所以这样的直线共有三条.
【点评】在直角三角形中，只要有一个锐角相等，两个直角三角形就相似.
14．如图，是的边上一点，，，，则图中的一对相似三角形是________．
【答案】
【解析】两个三角形中两组对应角相等的三角形，互为相似三角形，根据这个判定定理可找出相似的三角形．
【解答】解：∵
，，
∴
，
∵
，，
∴
．
故答案为：．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键熟练运用相似三角形的判定方法，本题属于基础题型．
15．如图，、分别是的边、上的点，请你填上一个你认为正确的条件使，________．
【答案】（，答案不唯一）
【解析】两个三角形中有两组对应角相等，那么这两个三角形是相似三角形，或者有两组边对应成比例并且它们的夹角相等，这两个三角形也是相似三角形．
【解答】解：①∵
，，
∴
；
②∵
，，
∴
；
③∵
，,
∴
．
故答案为：（，答案不唯一）．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解题关键是熟悉所有的相似三角形的判定定理．
16．如图所示，、分别是的边、上的点，试添加一个条件：________．使得．
【答案】或或
【解析】由于∠DAE＝∠CAB，则∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△AED；当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似判定△ABC∽△AED．
【解答】由于和有一个公共角，所以利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
∵，
∴
当或或时，．
故答案为：或或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
17．如图，在中，为上一点，则下列四个条件中
（1）；（2）；（3）；（4），
其中能满足和相似的条件有________．
【答案】，
【解析】△APC和△ACB有公共角∠A，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对（1）、（2）进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对（3）、（4）进行判断．
【解答】∵∠PAC＝∠CAB，
∴当∠ACP＝∠B时，△ACP∽△APC，所以（1）正确；
当∠APC＝∠ACB时，△ACP∽△APC，所以（2）正确；
当＝，即AC2＝AP?AB时，△ACP∽△APC，所以（3）正确，（4）错误．
故答案为（1）（2）（3）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用△APC和△ACB的公共角．
18．如图，已知中，为边上一点，为边上一点，＝，＝，＝，当的长度为________时，和相似．
【答案】或
【解析】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可．
【解答】当时，
∴
，
∴
，
解得：＝，
当时，
∴
，
∴
，
解得：＝，
∴
当的长度为或时，和相似．
故答案为：4或9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．
19．在中，点、分别在、边上，连结，要使与相似，应添加的条件是________．（只需写出一个条件即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】由∠A是公共角，根据相似三角形的判定定理求解即可求得答案．
【解答】∵∠A是公共角，
∴当∠ADE=∠B或∠AED=∠B或DE∥BC或AD:AC=AE:AB等时，△ADE与△ABC相似.
故答案为∠ADE=∠B(答案不唯一).
【点评】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定.
20．如图，锐角三角形的边和上的高线和相交于点．请写出图中的一对相似三角形，如________．
【答案】或或
【解析】本题主要应用两三角形相似的判定定理，答案不唯一．
【解答】解：∵锐角三角形的边和上的高线和相交于点
∴＝＝＝＝
∵＝，＝
∴，
∵＝
∴
∴
答案不唯一，如或或等．
【点评】本题考查相似三角形的判定定理，通过角的相等判定三角形相似，属于一般题型．
三、解答题
21．判断下列两组三角形是否相似，并说明理由．
（1）和都是等边三角形；
（2）中，，；中，，．
【答案】（1）相似，理由详见解析；（2）相似，理由详见解析．
【解析】（1）根据等边三角形各角相等，各边成比例，故这两个三角形相似；
（2）易知两三角形均为等腰直角三角形，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定．
【解答】（1）相似，等边三角形各角相等，各边成比例，故两这个三角形相似得到．
（2）相似，由在中，，；中，，，易知两三角形均为等腰直角三角形，符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定方法是解题关键．
22．如图，在中，，于．
（1）写出图中的两对相似三角形；
（2）选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．
【答案】（1），；（2）详见解析
【解析】（1）根据相似三角形的判定定理，结合图形可得出，，；
（2）根据题意可选择证明，利用等角代换得出，从而利用两角法判断．
【解答】解：根据相似三角形的判定定理可知：
图中的两对相似三角形为：和；
（2）∵，，
∴，
又∵，
∴．
【点评】本题考查有两组对应角相等的两三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
23．如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．
（1）题中已具备哪一个条件？
（2）在不添加任何辅助线的情况下，还需要哪一个条件？写出这个条件（要求：写出不同的四个条件，勿须证明）．
【答案】（1）?或；（2）?或?或?或?或?．
【解析】（1）根据题意由题中已具备的条件出了已知还有可证明的出的；
（2）由题意直接根据相似三角形的判定方法添加条件即可．
【解答】解：（1）∵
，
∴
，
∴
，
∴
题中已具备的条件有：?或；
（2）?或?或?或
?或?．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握，属于基础性题目．
24．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．
【答案】见解析
【解析】根据两角对应相等，两三角形相似的判定定理得解．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，∠DPA＝∠CPB，∴△ADP∽△BCP．
【点评】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的各种判定方法是解题关键．
25．如图，在平行四边形ABCD中，AC=AB．求证：∠ABD=∠DAC．
【答案】见解析．
【解析】根据AC＝AB证明，从而可证得△AOB∽△ABC，得对应角相等，同时再利用平行线所截的内错角相等得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO，AD∥BC，
∵AC＝AB，
∴AO＝AB，
∴，
∵，
∴，
∵∠CAB＝∠CAB，
∴△AOB∽△ABC，
∴∠ABD＝∠ACB，
∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴∠ABD＝∠DAC．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形边、角、对角线的关系；在证明两角相等时，除了运用平行线、全等三角形外，还可以证明两三角形相似，得对应角相等．
26．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）先根据矩形的性质可得，再根据翻折的性质可得，然后根据角的和差、直角三角形的性质可得，最后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）设，先根据翻折的性质可得，再根据勾股定理可得，从而可得，然后根据相似三角形的性质即可得．
【解答】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴，
由翻折的性质得：，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
（2）设，
由翻折的性质得：，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
，
∴，
由（1）可知，，
∴，即，
解得，
即．
【点评】本题考查了矩形的翻折问题、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
27．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对．
【答案】△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，证明见解析
【解析】根据已知条件，∠DME=∠A=∠B=α，结合图形上的公共角，即可推出△DMG∽△DBM，△EMF∽△EAM，△AMF∽△BGM．
【解答】解：△AME∽△MFE，△BMD∽△MGD，△AMF∽△BGM，
①∵∠AMD=∠B+∠D，∠BGM=∠DMG+∠D
又∠B=∠A=∠DME=α
∴∠AMF=∠BGM，
∴△AMF∽△BGM；
②∵∠EAM=∠EMF、∠AEM=∠MEF，
∴△EMF∽△EAM；
③∵∠DBM=∠DMG，∠BDM=∠MDG，
∴△DMG∽△DBM．
【点评】
本题考查了相似三角形的判定，找出对应角相等来证明三角形相似是解答此题的关键．
28．将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得，即如图①，我们将这种变换记为．
如图①，对作变换得，则________；直线与直线所夹的锐角为________度；
如图②，中，，，对?作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，求和的值；
如图③，中，，，，对作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和的值．
【答案】(1)
3:1，60;
(2)
n
=2,
θ=60°；(3)
θ=72°,n=．
【解析】
【解析】（1）由旋转与相似的性质，即可得，然后由与中，，，可得，即可求得直线与直线所夹的锐角的度数；
（2）由四边形是矩形，可得，然后由，即可求得的度数，又由含角的直角三角形的性质，即可求得的值；
（3）由四边形是平行四边形，易求得，又由，根据相似三角形的对应成比例，易得，继而求得答案.
【解答】（1）根据题意得：,
，，
，
.
故答案为：，.
∵四边形?是矩形，
∴．
∴．
在?中，，，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴．
∴，而，
∴，
∴，
∴，
而?，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、旋转的性质、矩形的性质以及平行四边形的性质.此题综合性较强，难度不大，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法.
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22.2：相似三角形的判定
一、单选题
1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判断的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（
）
A．∠ABP=∠C
B．∠APB=∠ABC
C．
D．
3．下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（
）．
A．
B．
C．
D．
4．已知一个三角形的两个内角分别是，，另一个三角形的两个内角分别是，，则这两个三角形（
）
A．一定相似
B．不一定相似
C．一定不相似
D．不能确定
5．如图，，，，，，，，，都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使与相似，则点应是，，，四点中的（
）
A．或
B．或
C．或
D．或
6．如图，中，、边上的高、相交于点，图中所有的相似三角形共有（
）
A．对
B．对
C．对
D．对
7．如图，则图中相似三角形的对数为（
）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
8．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．如图，∠B＝90°，AB＝BC＝CD＝DE，那么下列结论正确是( )
A．∠1＋∠2＋∠3＝135°
B．△ABD∽△EBA
C．△ACD∽△ECA
D．以上结论都不对
10．以下两个图形必定相似的是（
）
A．有两条边对应成比例的等腰三角形
B．有一角是的等腰三角形
C．有一个角是的等腰三角形
D．有一个角相等，两边成比例的三角形
二、填空题
11．如图，若，则________．
12．如图，在四边形中，，交于点，点在上，要使，则在不标注其他字母的前提下，需添加的一个条件是________．
13．如图：点是的斜边上不与、重合的一定点，过点作直线截，使截得的三角形与原相似，这样的直线共有________条．
14．如图，是的边上一点，，，，则图中的一对相似三角形是________．
15．如图，、分别是的边、上的点，请你填上一个你认为正确的条件使，________．
16．如图所示，、分别是的边、上的点，试添加一个条件：________．使得．
17．如图，在中，为上一点，则下列四个条件中
（1）；（2）；（3）；（4），
其中能满足和相似的条件有________．
18．如图，已知中，为边上一点，为边上一点，＝，＝，＝，当的长度为________时，和相似．
19．在中，点、分别在、边上，连结，要使与相似，应添加的条件是________．（只需写出一个条件即可）
20．如图，锐角三角形的边和上的高线和相交于点．请写出图中的一对相似三角形，如________．
三、解答题
21．判断下列两组三角形是否相似，并说明理由．
（1）和都是等边三角形；
（2）中，，；中，，．
22．如图，在中，，于．
（1）写出图中的两对相似三角形；
（2）选择其中的一对相似三角形说明它们相似的理由．
23．如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．
（1）题中已具备哪一个条件？
（2）在不添加任何辅助线的情况下，还需要哪一个条件？写出这个条件（要求：写出不同的四个条件，勿须证明）．
24．如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．
25．如图，在平行四边形ABCD中，AC=AB．求证：∠ABD=∠DAC．
26．在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．
（1）求证：；
（2）若AB＝2，AD＝4，求EC的长．
27．如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G．写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对．
28．将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得，即如图①，我们将这种变换记为．
如图①，对作变换得，则________；直线与直线所夹的锐角为________度；
如图②，中，，，对?作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为矩形，求和的值；
如图③，中，，，，对作变换得，使点、、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和的值．
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