(共18张PPT)
二次函数与一元
二次方程的关系
30.5
冀教版
九年级
第三十章
二次函数
目标二 利用二次函数的图像解一元二次方程
C
1
2
3
4
5
答
案
呈
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D
6
7
D
C
根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解的范围是( )
A．3＜x＜3.23
B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25
D．3.25＜x＜3.26
1
C
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y＝ax2＋bx＋c
－0.06
－0.02
0.03
0.09
【2021·天津】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)经过点(－1，－1)，(0，1)，当x＝－2时，与其对应的函数值y>1.有下列结论：
①abc>0；
②关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根；
③a＋b＋c>7.
其中，正确结论的个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
D
2
【点拨】
①∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)经过点(－1，－1)，(0，1)，
∴c＝1，a－b＋c＝－1.∴a＝b－2.
∵当x＝－2时，与其对应的函数值y>1，
∴4a－2b＋1>1.
∴4(b－2)－2b＋1>1，解得b>4.∴a＝b－2>0.
∴abc>0，故①正确．
②可以画出函数y＝ax2＋bx＋c的大致图像(如图)．
由图像得出函数y＝ax2＋bx＋c的图像与直线y＝3有两个交点，
∴关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0有两个不相等的实数根，故②正确．
③∵a＝b－2，c＝1，
∴a＋b＋c＝b－2＋b＋1＝2b－1.
∵b>4，∴2b－1>7.∴a＋b＋c>7，故③正确．
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(2，0).
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为
______________；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为____________；
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为______________.
x1＝－1，x2＝2
3
－1＜x＜2
x≤－1或x≥2
【2021·贺州】如图，已知抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋m交于A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋c≥－kx＋m的解集是( )
A．x≤－3或x≥1
B．x≤－1或x≥3
C．－3≤x≤1
D．－1≤x≤3
D
4
【点拨】
∵函数y＝kx＋m与y＝－kx＋m的图像关于y轴对称，
∴直线y＝－kx＋m与抛物线y＝ax2＋c的交点A′，B′与点A，B也关于y轴对称．
如图所示．
∵A(－3，y1)，B(1，y2)，
∴A′(3，y1)，B′(－1，y2)．
根据函数图像得，不等式ax2＋c≥－kx＋m的解集是－1≤x≤3.
【2021·宿迁】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，有下列结论：
①a＞0；②b2－4ac＞0；③4a＋b＝1；
④不等式ax2＋(b－1)x＋c＜0的解集为1＜x＜3.
正确的结论个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
5
【点拨】
①抛物线开口向上，则a＞0，故①正确．
②由图像可知抛物线与x轴无交点，
∴Δ＝b2－4ac＜0，故②错误．
③由图像可知抛物线过点(1，1)，(3，3)，
∴当x＝1时，a＋b＋c＝1；
当x＝3时，9a＋3b＋c＝3.
∴8a＋2b＝2，即4a＋b＝1，故③正确．
④∵点(1，1)，(3，3)在直线y＝x上，且由图像可知，当1＜x＜3时，抛物线在直线y＝x的下方，
∴ax2＋(b－1)x＋c＜0的解集为1＜x＜3，故④正确．
可以用如下方法求方程x2－2x－2＝0的实数根的范围：利用函数y＝x2－2x－2的图像可知，当x＝0时，y<0，当x＝－1时，y>0，所以方程有一个根在－1和0之间.
6
(1)参考上面的方法，求方程x2－2x－2＝0的另一个根在哪两个连续整数之间；
解：利用函数y＝x2－2x－2的图像可知，
当x＝2时，y<0，当x＝3时，y>0，
所以方程的另一个根在2和3之间．
(2)若方程x2－2x＋c＝0有一个根在0和1之间，求c的取值范围.
7
【教材P53习题A组T2改编】【2021·乐山】已知关于x的一元二次方程x2＋x－m＝0.
(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)二次函数y＝x2＋x－m的部分图像如图所示，求一元二次方程x2＋x－m＝0的解.(共19张PPT)
二次函数y＝a(x－h)2
的图像和性质
30.2.3
冀教版
九年级
第三十章
二次函数
目标一 二次函数y＝a(x－h)2的图像和性质
B
1
2
3
4
5
答
案
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A
6
7
8
9
C
B
D
10
D
增大
抛物线y＝－5(x－2)2的顶点坐标是( )
A．(－2，0)
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
1
B
【中考·兰州】在下列二次函数中，其图像的对称轴为直线x＝－2的是( )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
A
2
【教材P35习题A组T2变式】对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( )
①开口向上；②顶点坐标为(0，－1)；
③对称轴为直线x＝1；④与x轴的交点坐标为(1，0)．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
3
在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图像可能是( )
B
4
关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的是( )
A．其图像的开口向上
B．其图像的对称轴是直线x＝3
C．其图像的顶点坐标是(0，3)
D．当x＞－3时，y随x的增大而减小
D
5
已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y随x的增大而增大；当x＞－3时，y随x的增大而减小，则当x＝1时，y的值为( )
A．－12
B．12
C．32
D．－32
D
6
【点拨】
根据题意，可知－m＝－3.所以m＝3.所以二次函数的表达式为y＝－2(x＋3)2，所以当x＝1时，y＝－32.故选D.
【2021·泰州】在函数y＝(x－1)2中，当x>1时，y随x的增大而________(填“增大”或“减小”)．
7
增大
已知A(－1，y1)，B(－2，y2)，C(3，y3)三点都在二次函数y＝a(x＋1)2(a＜0)的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是____________．
8
y3＜y2＜y1
【点拨】
利用二次函数图像的对称性，将已知点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性比较大小．
如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于点B，且OB＝OA.
9
(1)求抛物线的表达式；
解：由题意知，顶点A的坐标是(－1，0)，
∴OA＝1.
∵OA＝OB，∴OB＝1，即B(0，－1)，
把点B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2中，
解得a＝－1，∴y＝－(x＋1)2.
(2)若点C(－3，b)在该抛物线上，求b的值；
解：把点C(－3，b)的坐标代入
y＝－(x＋1)2中，得b＝－4，
∴b的值是－4.
(3)若点D(2，y1)，E(3，y2)在此抛物线上，比较y1与y2的大小．
解：∵对称轴是直线x＝－1，－1＜2＜3，
∴y1＞y2.
如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
10
(1)求a的值．
解：依题意将抛物线y＝x2平移后为抛物线y＝(x－a)2，即y＝x2－2ax＋a2.
∵OA＝OB，点A的坐标为(a，0)，
点B的坐标为(0，a2)，∴a2＝a.
∵a≠0，∴a＝1.
(2)图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．(共24张PPT)
二次函数与一元二次方程的关系
30.5
冀教版
九年级
第三十章
二次函数
目标一 二次函数与一元二次方程的关系
C
1
2
3
4
5
答
案
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A
6
7
C
D
A
【2021·毕节】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，与x轴的一个交点为(－1，0)，对称轴为直线x＝1.下列结论错误的是( )
A．abc>0
B．b2>4ac
C．4a＋2b＋c>0
D．2a＋b＝0
1
C
【2021·仙桃】若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴的两个交点间的距离为4，对称轴为直线x＝2，P为这条抛物线的顶点，则点P关于x轴的对称点的坐标是( )
A.(2，4) B．(－2，4) C．(－2，－4) D．(2，－4)
A
2
∴(－b)2－4×c＝16，b＝－4，
解得c＝0.
∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＝(x－2)2－4.
∴顶点P的坐标为(2，－4)．
∴点P关于x轴的对称点的坐标是(2，4)．
【2021·铜仁】已知直线y＝kx＋2过第一、二、三象限，则直线y＝kx＋2与抛物线y＝x2－2x＋3的交点个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
C
3
D
4
【中考·徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图像与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )
A．b＜1且b≠0
B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
A
5
【点拨】
根据函数的图像与坐标轴有三个交点，可得(－2)2－4b＞0，解得b＜1.但本题易忽略与x轴的交点不能在原点上，即b≠0，否则图像与坐标轴只有两个交点，故选A.
【2021·泰州】二次函数y＝－x2＋(a－1)x＋a(a为常数)图象的顶点在y轴右侧.
(1)写出该二次函数图像的顶点横坐标(用含a的代数式表示)；
6
(2)该二次函数表达式可变形为y＝－(x－p)(x－a)的形式，求p的值；
解：∵y＝－x2＋(a－1)x＋a＝
－[x2－(a－1)x－a]＝－(x＋1)(x－a)，
∴p＝－1.
(3)若点A(m，n)在该二次函数图像上，且n>0，过点(m＋3，0)作y轴的平行线，与二次函数图像的交点在x轴下方，求a的取值范围.
令y＝0，则－(x＋1)(x－a)＝0，
∴x＝－1或x＝a.∴C(－1，0)，D(a，0)．
∴CD＝a＋1.
∵点A(m，n)在该二次函数图像上，且n>0，
∴点A在CD上方．
∵过点(m＋3，0)作y轴的平行线，与二次函数图像的交点在x轴下方，
∴CD≤3.∴a＋1≤3，即a≤2.∴1
7
【2021·安徽】已知抛物线y＝ax2－2x＋1(a≠0)的对称轴为直线x＝1.
(1)求a的值；
(2)若点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在此抛物线上，且－1解：由(1)可知，抛物线的表达式为y＝x2－2x＋1＝(x－1)2.∵a＝1>0，∴当x>1时，y随x的增大而增大；当x<1时，y随x的增大而减小．
∵－1结合函数图像可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，y值越大．∴y1>y2.
(3)设直线y＝m(m>0)与抛物线y＝ax2－2x＋1交于点A，B，与抛物线y＝3(x－1)2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比.(共30张PPT)
由不共线三点的坐标
确定二次函数
30.3
冀教版
九年级
第三十章
二次函数
目标二 求二次函数表达式的方法
C
1
2
3
4
5
答
案
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C
6
7
B
B
D
C
C
【2021·赤峰】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
1
x
…
－1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
－1
m
3
…
以下结论正确的是( )
A．抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下
B．当x＜3时，y随x的增大而增大
C．方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
C
A．∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
故A错误，不符合题意．
B．∵图象的对称轴为直线x＝1，且开口向上，
∴当x>1时，y随x的增大而增大，
故B错误，不符合题意．
C．∵y＝x2－2x＝x(x－2)，
∴当x＝0或x＝2时，y＝0，
故C正确，符合题意．
D．∵抛物线开口向上，
与x轴的交点坐标为(0，0)，(2，0)，
∴x＜0或x＞2时，y＞0，
故D错误，不符合题意．
【2020·江西】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
2
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
m
0
－3
n
－3
…
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为________；
上
直线x＝1
(2)求抛物线的表达式及m，n的值；
(3)请在图中画出所求的抛物线．设点P为抛物线上的动点，OP的中点为P′，描出相应的点P′，再把相应的点P′用平滑的曲线连接起来，
猜想该曲线是哪种曲线？
解：画出抛物线，描出P′的轨迹，是一条抛物线，如图所示．
(4)设直线y＝m(m>－2)与抛物线及(3)中的点P′所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为A1，A2，A3，A4，请根据图像直接写出线段A1A2，A3A4之间的数量关系：______________．
A3A4－A1A2＝1
【2020·临沂】已知抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2(a≠0)．
(1)求这条抛物线的对称轴；
解：∵抛物线y＝ax2－2ax－3＋2a2＝
a(x－1)2＋2a2－a－3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.
3
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求其表达式；
(3)设点P(m，y1)，Q(3，y2)在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴Q(3，y2)关于直线x＝1的对称点的坐标为(－1，y2)，
∴当a＞0，－1＜m＜3时，y1＜y2；
当a＜0，m＜－1或m＞3时，y1＜y2.
【2021·黑龙江龙东地区】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D.
4
(1)求抛物线的表达式；
(2)求△BOC的面积．
【2020·衡阳】如图，在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2＋px＋q的图像过点(－1，0)，(2，0)．
5
(1)求这个二次函数的表达式；
解：设这个二次函数的表达式为y＝a′(x＋1)(x－2)，即y＝a′x2－a′x－2a′.
∵y＝a′x2－a′x－2a′与y＝x2＋px＋q对应系数相等，
∴a′＝1.
∴此二次函数的表达式为y＝x2－x－2.
(2)求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
(3)一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图像与二次函数y＝x2＋px＋q的图像交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．
解：∵一次函数y＝(2－m)x＋2－m的图像与二次函数y＝x2－x－2的图像交点的横坐标分别为a和b，
∴x2－x－2＝(2－m)x＋2－m，
整理得x2＋(m－3)x＋m－4＝0.
解得x1＝－1，x2＝4－m.
∵a<33.解得m<1.
∴m的取值范围为m＜1.
【2021·盐城】已知抛物线y＝a(x－1)2＋h经过点(0，－3)和(3，0)．
(1)求a，h的值；
6
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
解：新的抛物线相应的函数表达式为y＝(x－2)2－2.
【2020·宁波】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图像的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)．
7
(1)求A，C两点的坐标，并根据图像直接写出当y＞0时x的取值范围．
解：把B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，
得0＝a＋4－3，解得a＝－1，
∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴A(2，1)，
∵对称轴为直线x＝2，点B，C关于直线x＝2对称，
∴C(3，0)，∴当y＞0时，1＜x＜3.
(2)平移该二次函数的图像，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图像所对应的二次函数的表达式．
解：易知D(0，－3)，
∴点D平移到A，抛物线向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，可得抛物线的表达式为y＝－(x－4)2＋5.(共46张PPT)
利用二次函数解实际应用问题
30.4.2
冀教版
九年级
第三十章
二次函数
C
1
2
3
4
5
答
案
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6
7
8
9
10
【2020·长沙】“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”p与加工煎炸时间t(单位：min)近似满足的函数关系为：p＝at2＋bt＋c(a≠0，a，b，c是常数)，
1
如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为( )
A.3.50min
B.4.05min
C.3.75min
D.4.25min
C
【点拨】
将图像中的三个点的坐标(3，0.8)，(4，0.9)，(5，0.6)代入p＝at2＋bt＋c中，可得函数关系式为p＝－0.2t2＋1.5t－1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为函数图像顶点的横坐标即可求出结论．
【2020·武汉】某公司分别在A，B两城生产同一种产品，共100件．A城生产产品的总成本y(万元)与产品数量x(件)之间具有函数关系y＝ax2＋bx.当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1
000.B城生产该产品的每件成本为70万元.
2
(1)求a，b的值；
(2)当A，B两城生产一批这种产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件；
解：由(1)得：y＝x2＋30x.
设A，B两城生产一批这种产品的总成本的和为w万元，
则w＝x2＋30x＋70(100－x)＝x2－40x＋7
000，
＝(x－20)2＋6
600，
由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，
此时100－x＝100－20＝80.
∴A城生产20件，B城生产80件．
(3)从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在(2)的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值．(用含有m的式子表示)
解：当0＜m≤2时，A，B两城总运费的和的最小值为(20m＋90)万元；
当m＞2时，A，B两城总运费的和的最小值为(10m＋110)万元．
【教材P40做一做改编】【2020·贵阳】2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y(人)与时间x(min)的变化情况，数据如下表：(表中“9～15”表示9＜x≤15)
3
时间x/min
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
9～15
人数y/人
0
170
320
450
560
650
720
770
800
810
810
(1)根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数表达式；
解：由表格中数据的变化趋势可知，
①当0≤x≤9时，y是x的二次函数，
∵当x＝0时，y＝0，
∴二次函数表达式可设为y＝ax2＋bx.
(2)如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？
①当0≤x≤9时，w＝－10x2＋140x＝－10(x－7)2＋490，
∴当x＝7时，w取最大值为490，
②当9＜x≤15时，w＝810－40x，w随x的增大而减小，
∴210≤w＜450，∴排队人数最多时有490人．
要全部考生都完成体温检测，则810－40x＝0，
解得x＝20.25，
∴排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟．
(3)在(2)的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【教材P45习题A组T2改编】【2021?达州】渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克．为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克.
4
(1)写出工厂每天的利润W元与每千克降价x元之间的函数关系式．当每千克降价2元时，工厂每天的利润为多少元？
解：由题意得W＝(48－30－x)(500＋50x)＝
－50x2＋400x＋9
000.
当x＝2时，W＝(48－30－2)(500＋50×2)＝9
600.
(2)当每千克降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？
解：由(1)得W＝－50x2＋400x＋9
000＝
－50(x－4)2＋9
800，
∵－50＜0，
∴当x＝4时，W的值最大，最大值为9
800.
即当每千克降价4元时，工厂每天的利润最大，
最大为9
800元．
(3)若工厂每天的利润要达到9
750元，并让利于民，则定价应为多少？
解：令－50x2＋400x＋9
000＝9
750，
解得x＝3或x＝5.
∵要让利于民，
∴x＝3不合题意，应舍去．
∴定价应为48－5＝43(元/千克)．
【2021·广东】端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8
000元购进的猪肉粽和用6
000元购进的豆沙粽盒数相同，在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价为50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.
5
(1)求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
(2)设猪肉粽每盒售价为x元(50≤x≤65)，y(单位：元)表示该商家每天销售猪肉粽的利润，求y关于x的函数表达式并求最大利润.
解：由题意得，当x＝50时，每天可售出100盒．
当猪肉粽每盒售价为x元(50≤x≤65)时，每天可售出[100－2(x－50)]盒，
∴y＝(x－40)[100－2(x－50)]＝－2x2＋280x－
8
000＝－2(x－70)2＋1
800.
∵－2＜0，∴当x＜70时，y随x的增大而增大．
∴当x＝65时，y取最大值，
最大值为－2(65－70)2＋1
800＝1
750.
综上，y关于x的函数表达式为y＝－2x2＋280x－
8
000(50≤x≤65)，且最大利润为1
750元．
【2020·黄冈】网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2
000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/千克，每日销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足关系式：y＝－100x＋5
000.经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/千克．当每日销售量不低于4
000千克时，每千克成本价格将降低
1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为W(元).
6
(1)请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；
(2)当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
当10＜x≤30时，W＝－100x2＋5
600x－32
000＝－100(x－28)2＋46
400，
∴当x＝28时，W有最大值为46
400.
∵46
400＞18
000，
∴当销售单价定为28元/千克时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46
400元．
(3)当W≥40
000时，网络平台将向板栗公司收取a元/千克(a＜4)的相关费用，若此时日获利的最大值为42
100元，求a的值.
解：∵40
000＞18
000，∴10＜x≤30，
∴W＝－100x2＋5
600x－32
000，
当W＝40
000时，40
000＝－100x2＋5
600x－32
000，
解得x1＝20，x2＝36.∴当20≤x≤36时，W≥40
000.
7
【教材P45习题A组T2变式】【2021·铜仁】某品牌汽车销售店销售某种品牌的汽车，每辆汽车的进价为16万元．当每辆售价为22万元时，每月可销售4辆汽车．根据市场行情，现在决定进行降价销售．通过市场调查得到了每辆降价的费用y1(万元)与月销售量x(辆)(x≥4)满足某种函数关系的五组对应数据如下表：
x
4
5
6
7
8
y1
0
0.5
1
1.5
2
(1)请你根据所给材料和初中所学的函数知识写出y1与x的关系式y1＝____________.
(2)每辆原售价为22万元，不考虑其他成本，降价后每月销售利润y＝(每辆原售价－y1－进价)·x，请你根据上述条件，求出月销售量x(x≥4)为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？
【2021·仙桃】去年“抗疫”期间，某生产消毒液厂家响应政府号召，将成本价为6元/件的简装消毒液低价销售，为此当地政府决定给予其销售的这种消毒液按a元/件进行补贴，设某月销售价为x元/件，a与x之间满足关系式：a＝20%(10－x)，下表是某4个月的销售记录，每月销售量y(万件)与该月销售价x(元/件)之间成一次函数关系(6≤x＜9).
8
月份
…
二月
三月
四月
五月
…
销售价x(元/件)
…
6
7
7.6
8.5
…
该月销售量y(万件)
…
30
20
14
5
…
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴多少万元？
解：当x＝8时，y＝－10×8＋90＝10.
∵a与x之间满足关系式a＝20%(10－x)，
∴当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴为10×20%(10－8)＝4(万元)．
答：当销售价为8元/件时，政府该月应付给厂家补贴4万元．
(3)当销售价定为多少时，该月纯收入最大？
(纯收入＝销售总金额－成本＋政府当月补贴)
解：设该月的纯收入为w万元，
则w＝y[(x－6)＋0.2(10－x)]＝(－10x＋90)(0.8x－4)＝－8x2＋112x－360＝－8(x－7)2＋32.
∵－8＜0，6≤x＜9，∴当x＝7时，w最大．
∴当销售价定为7元/件时，该月纯收入最大．
【教材P48习题A组T2变式】【2021?丹东】某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本.
9
(1)求该商场每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式(不需要求自变量的取值范围)；
(2)若使该商品每月的销售利润为4
000元，并使顾客获得更多的优惠，销售单价应定为多少元？
解：依题意，得y(x－50)＝
4
000，
即(－5x＋550)(x－50)＝4
000，
解得x1＝70，x2＝90.
∵70<90，
∴使该商品每月的销售利润为4
000元，并使顾客获得更多的优惠，销售单价应定为70元．
(3)超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？
解：设每月总利润为w元．
依题意，得w＝y(x－50)＝(－5x＋550)(x－50)＝
－5x2＋800x－27
500＝－5(x－80)2＋4
500.
∵－5<0，∴当x＝80时，w有最大值．
∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．
【教材P45习题A组T2变式】【2021·大连】某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y(单位：千克)和每千克的售价x(单位：元)满足一次函数关系(如图所示)，
其中50≤x≤80.
10
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？
解：设电商每天获得的利润为w元，
则w＝(x－40)(－2x＋200)＝－2x2＋280x－8
000＝
－2(x－70)2＋1
800.
∵－2<0，且对称轴是直线x＝70，50≤x≤80，
∴当x＝70时，w取得最大值，最大值为1
800.
答：该电商将售价定为每千克70元才能使每天获得的利润最大，最大利润是1
800元．(共17张PPT)
二次函数
y＝ax2＋c的图像和性质
30.2.2
冀教版
九年级
第三十章
二次函数
目标二 二次函数y＝ax2＋c与y＝ax2间的关系
1
2
3
4
5
答
案
呈
现
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D
6
7
8
A
D
A
【2020·上海】如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，那么所得新抛物线的表达式是_______________．
1
y＝x2＋3
二次函数y＝－3x2＋1的图像是将( )
A．抛物线y＝3x2向左平移1个单位长度得到的
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位长度得到的
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位长度得到的
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位长度得到的
D
2
【教材P35习题A组T1改编】将抛物线y＝2x2＋3平移后得到抛物线y＝2x2，平移的方法可以是( )
A．向下平移3个单位长度
B．向上平移3个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
A
3
D
4
A
5
【点拨】
把阴影部分分割拼凑成矩形，利用矩形的面积公式即可求得答案．
6
【点拨】
二次函数图像平移的规律是上加下减，左加右减．本题易因对平移变化规律理解不透彻而致错．
7
(1)确定a，c的值；
略．
(2)在如图所示的坐标系中画出抛物线y＝ax2＋c.
【中考·安徽】一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图像的一个交点坐标为(1，2)，另一个交点是该二次函数图像的顶点．
8
(1)求k，a，c的值；
解：由题意得k＋4＝2，解得k＝－2.
∴一次函数的表达式为y＝－2x＋4.
又∵二次函数图像的顶点为(0，c)，且该顶点是另一个交点，∴将其坐标代入y＝－2x＋4，得c＝4.
把点(1，2)的坐标代入y＝ax2＋4，得a＋4＝2，解得a＝－2.
(2)过点A(0，m)(0＜m＜4)且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2，求W关于m的函数表达式，并求W的最小值．(共18张PPT)
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像和性质
30.2.4
冀教版
九年级
第三十章
二次函数
目标一 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像和性质
D
1
2
3
4
5
答
案
呈
现
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C
6
7
8
B
C
C
D
D
【2021·绍兴】关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是( )
A．有最大值4
B．有最小值4
C．有最大值6
D．有最小值6
1
D
二次函数y＝(x＋1)2－1的大致图像是( )
C
2
设二次函数y＝(x－3)2－4图像的对称轴为直线l.若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )
A．(1，0)
B．(3，0)
C．(－3，0)
D．(0，－4)
B
3
C
4
【2020·杭州】设函数y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是实数，a≠0)，当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8.( )
A．若h＝4，则a＜0
B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0
D．若h＝7，则a＞0
C
5
【点拨】
当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数表达式整理得a(9－2h)＝1，将h的值分别代入即可得出结果．
【2020·甘孜州】如图，二次函数y＝a(x＋1)2＋k的图像与x轴交于A(－3，0)，B两点，下列说法错误的是( )
A．a＜0
B．图像的对称轴为直线x＝－1
C．点B的坐标为(1，0)
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
D
6
7
D
【点拨】
根据m≤x≤n，且mn＜0，得出m＜0＜n，进而根据图像分成m≤x≤n＜1和m≤x≤n且n≥1两种情况讨论．
8
(1)当m＝5时，求n的值；
(2)当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图像，求当y≥2时，自变量x的取值范围；
(3)作直线AC与y轴相交于点D，当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
解：∵点A与点C不重合，
∴m≠1.
∵抛物线的顶点A的坐标是(m，4)，
∴抛物线的顶点在直线y＝4上，(共42张PPT)
建立坐标系解抛物线形问题
30.4.1
冀教版
九年级
第三十章
二次函数
1
2
3
4
5
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6
【2021·衢州】如图①是一座抛物线形拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24
m，在距离D点6
m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5
m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立
平面直角坐标系．
1
(1)求桥拱顶部O离水面的距离．
(2)如图②，桥面上方有3根高度均为4
m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1
m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．
【2021·贵阳】甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8
m，桥拱顶点B到水面的距离是4
m.
2
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式．
(2)一只宽为1.2
m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4
m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68
m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)．
(3)如图③，桥拱所在的函数图像是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图像．将新函数图像向右平移m(m＞0)个单位长度，平移后
的函数图像在8≤x≤9时，y的值随
x值的增大而减小，结合函数图
像，求m的取值范围．
∵平移不改变图形的形状和大小，
∴平移后函数图像的对称轴是直线x＝4＋m.
∴当m≤x≤4＋m或x≥8＋m时，y的值随x值的增大而减小．
∵当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，
∴结合函数图像，得m的取值范围是：
【教材P41例1变式】【2021·随州】如今我国的大棚种植技术已十分成熟．小明家的菜地上有一个长为16米的蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线形，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面
建立如图所示的平面直角坐标系．
3
(1)直接写出b，c的值；
(2)求大棚的最高处到地面的距离；
【2021·金华】某游乐场的圆形喷水池中心O处有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．
4
(1)求雕塑高OA.
(2)求落水点C，D之间的距离．
(3)若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，OE＝10
m，EF＝1.8
m，EF⊥OD.问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明．
【2021·广西北部湾经济区】2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，
5
(1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数表达式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？
(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．
【2020·绍兴】如图①，排球场长为18
m，宽为9
m，网高为2.24
m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方
1.9
m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88
m，即BA＝2.88
m，这时水平距离OB＝7
m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，
如图②.
6
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
解：如图，过点P作底线的平行线PQ，过点O作边线的平行线OQ，两线交于点Q，连接PO.(共26张PPT)
利用二次函数求几何面积的最值问题
30.4.3
冀教版
九年级
第三十章
二次函数
C
1
2
3
4
5
答
案
呈
现
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6
7
【2020·山西】竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5
m的高处以20
m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )
A．23.5
m
B．22.5
m
C．21.5
m
D．20.5
m
1
C
【教材P48例4变式】【2020·南京】小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第x
min时，小丽、小明离B地的距离分别为y1
m，y2
m．y1与x之间的函数表达式是y1＝－180x＋2
250，y2与x之间的函数表达式是y2＝－10x2－100x＋2
000.
(1)小丽出发时，小明离A地的距离为________m.
2
250
(2)小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？
解：设小丽出发第x
min时，两人相距s
m，
则s＝(－180x＋2
250)－(－10x2－100x＋2
000)＝10x2－80x＋250＝10(x－4)2＋90，
∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90.
答：小丽出发第4
min时，两人相距最近，最近距离是90
m.
【教材P47例4改编】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12
mm，BC＝24
mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2
mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4
mm/s
的速度移动．已知P，Q分别从A，B同时出发，求△PBQ的面积S(mm2)关于出发时间t(s)的函数表达式，并求出t为何值时，
△PBQ的面积最大？最大值
是多少？
3
【2020·宁夏】如图①放置两个全等的含有30°角的直角三角尺ABC与DEF(∠B＝∠E＝30°)，若将三角尺ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止)，移动过程中始
终保持点B，F，C，E在同一条
直线上，
4
(1)在移动过程中，试用含x的代数式表示△AMQ的面积；
解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°.
∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°.
∴△AMQ为等边三角形．
如图，过点M作MN⊥AQ，垂足为N.
(2)计算x等于多少时，两个三角尺重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？
【教材P45习题A组T1改编】【2020?日照】如图，某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100
m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计)．
5
(1)若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE.
∵四块矩形花圃的面积相等，
∴S矩形AMND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME.∴AE＝3BE.
(2)在(1)的条件下，设BC的长度为x
m，矩形区域ABCD的面积为y
m2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【2020·河北】用承重指数W衡量水平放置的长方体木板的最大承重量．实验室有一些同材质同长同宽而厚度不一的木板，实验发现：木板承重指数W与木板厚度x(厘米)的平方成正比，当x＝3时，W＝3.
6
(1)求W与x之间的函数关系式；
(2)如图，选一块厚度为6厘米的木板，把它分割成与原来同长同宽但薄厚不同的两块板(不计分割损耗)．设薄板的厚度为x厘米，Q＝W厚－W薄．
①求Q与x之间的函数关系式；
②当x为何值时，Q是W薄的3倍？
[注：(1)及(2)中的①不必写x的取值范围]
7
【教材P49习题B组改编】【2020·无锡】有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分
别为20元/平方米、60元/平方米、
40元/平方米，设三种花卉的种植总成本为y元．
(1)当x＝5时，求种植总成本；
(2)求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120
平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
又∵y＝－400x＋24
000，－400＜0，
∴y随x的增大而减小，故当x＝6时，y取最小值为21
600，
即三种花卉的最低种植总成本为21
600元．(共20张PPT)
二次函数y＝ax2
的图像和性质
30.2.1
冀教版
九年级
第三十章
二次函数
A
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B
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C
D
B
10
C
C
二次函数y＝2x2的图像大致是( )
1
A
二次函数y＝－3x2的图像一定经过( )
A．第一、二象限
B．第三、四象限
C．第一、三象限
D．第二、四象限
B
2
【教材P31习题A组T2变式】关于二次函数y＝3x2的图像，下列说法错误的是( )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它与y＝－3x2的图像关于x轴对称
C
3
【中考·呼和浩特】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图像可能是( )
D
4
【教材P31习题A组T2改编】【2021·常州】已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是( )
A．a＞0
B．a＞1
C．a≠1
D．a＜1
B
5
【2021·吉林大学附属中学模拟】已知抛物线y＝ax2(a＞0)经过A(－2，y1)，B(1，y2)两点，则下列关系式一定正确的是( )
A．y1＞0＞y2
B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0
D．y2＞y1＞0
C
6
【2021·长春】如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点．当
四边形CDFE为正方形时，线段
CD的长为____________．
7
已知抛物线y＝ax2与y＝4x2的形状相同，则a的值是( )
A．4
B．－4
C．±4
D．1
8
C
【点拨】
对于抛物线y＝ax2，|a|的大小决定抛物线的开口大小，|a|相等说明抛物线的开口大小相同，即抛物线的形状相同，本题易忽略a＝－4而致错．
已知函数y＝(m＋3)xm2＋3m－2是关于x的二次函数．
(1)求m的值．
9
(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？
解：∵函数图像的开口向下，
∴m＋3＜0.
∴m＜－3.∴m＝－4.
∴当m＝－4时，该函数图像的开口向下．
(3)当m为何值时，该函数有最小值？
解：∵函数有最小值，∴m＋3＞0.
∴m＞－3.
∴m＝1.
∴当m＝1时，该函数有最小值．
10
(1)求直线AB的函数表达式；
(2)求△AOB的面积；
4
【点拨】
如图，过OC的中点，作AB的平行线交抛物线于点P1，P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半；作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线于点P3，P4，此时△P3AB
的面积和△P4AB的面积等于
△AOB的面积的一半，∴这
样的点P共有4个．(共19张PPT)
二次函数y＝a(x－h)2
的图像和性质
30.2.3
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九年级
第三十章
二次函数
目标二 二次函数y＝a(x－h)2与y＝ax2间的关系
A
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A
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A
B
【中考·海南】把抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是( )
A．向左平移2个单位长度
B．向右平移2个单位长度
C．向上平移2个单位长度
D．向下平移2个单位长度
1
A
A
2
抛物线y＝－3x2向左平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( )
A．y＝－3(x＋2)2
B．y＝－3(x－2)2
C．y＝－3x2＋2
D．y＝－3x2－2
对于任何实数h，抛物线y＝－x2与抛物线y＝－(x－h)2的相同点是( )
A．形状与开口方向相同
B．对称轴相同
C．顶点相同
D．都有最低点
A
3
对于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2，以下说法：
①它们的图像都是开口向上；
②它们图像的对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0，0)；
③当x>0时，y都随着x的增大而增大；
④它们图像的开口的大小是一样的．
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
B
4
【点拨】
二次函数y＝3x2＋1的图像开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是(0，1)，当x>0时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2的图像开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)，当x>1时，y随x的增大而增大；二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2的图像的开口大小一样．因此正确的说法有2个：①④.故选B.
已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y＝3x2都相同，顶点与抛物线y＝(x＋2)2相同．
(1)求这条抛物线的表达式；
解：由题意知，这条抛物线的表达式为y＝3(x＋2)2.
5
(2)求出将上面的抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的表达式．
解：将抛物线向右平移4个单位长度得到的抛物线的表达式为y＝3(x－2)2.
【教材P35习题B组T2变式】已知抛物线y＝－3x2，若抛物线不动，把y轴向左平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的表达式为__________________．
y＝－3(x－2)2
6
【点拨】
由题意，可把抛物线不动，y轴向左平移2个单位长度看成坐标轴不动，抛物线向右平移2个单位长度，然后利用平移规律求解即可．
如图，正方形ABCD的顶点A在抛物线y＝x2上，顶点B，C在x轴的正半轴上，且点B的坐标为(1，0)．
7
(1)求点D的坐标；
解：∵B(1，0)，
点A在抛物线y＝x2上，
∴A(1，1)．
∴AD＝AB＝1，
∴D(2，1)．
(2)将抛物线y＝x2沿x轴适当平移，使得平移后的抛物线经过点B，求平移后抛物线的表达式，并说明你是如何平移的．此时点D在新抛物线上吗？
解：∵原抛物线y＝x2经过点O(0，0)，
∴原抛物线向右平移1个单位长度得到的抛物线y＝(x－1)2经过点B(1，0)．
在y＝(x－1)2中，令x＝2，则y＝(2－1)2＝1，故点D在新抛物线上．
【2021·南昌28中模拟】如图，已知二次函数y＝(x＋2)2的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B.
8
(1)写出点A，点B的坐标．
解：在y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；
令x＝0，得y＝4.
∴点A，点B的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．
(2)求S△AOB.
(3)求出抛物线的对称轴．
解：抛物线的对称轴为直线x＝－2.
(4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．①以OA和OB为邻边可作平行四边形PAOB，易求得P(－2，4)；
②以AB和OB为邻边可作平行四边形PABO，易求得P(－2，－4)．∴点P的坐标为(－2，4)或(－2，－4)．(共15张PPT)
二次函数
30.1
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第三十章
二次函数
目标二 建立二次函数的模型
C
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D
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A
B
A
据省统计局公布的数据，安徽省某年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是( )
A．y＝7.9(1＋2x)
B．y＝7.9(1－x)2
C．y＝7.9(1＋x)2
D．y＝7.9＋7.9(1＋x)＋7.9(1＋x)2
1
C
【教材P28习题A组T3变式】把160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数关系式为( )
A．y＝320(x－1)
B．y＝320(1－x)
C．y＝160(1－x2)
D．y＝160(1－x)2
D
2
【教材P27练习T2变式】长方形的长为10
cm、宽为6
cm，它的各边都减少x
cm，得到的新长方形的周长为y
cm，则y与x之间的关系式是( )
A．y＝32－4x(0B．y＝32－4x(0≤x≤6)
C．y＝(10－x)(6－x)(0D．y＝(10－x)(6－x)(0≤x≤6)
A
3
B
4
【2021·北京】如图，用绳子围成周长为10
m的矩形，记矩形的一边长为x
m，它的邻边长为y
m，矩形的面积为S
m2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是( )
A．一次函数关系、二次函数关系
B．反比例函数关系、二次函数关系
C．一次函数关系、反比例函数关系
D．反比例函数关系、一次函数关系
A
5
【点拨】
由题意得2(x＋y)＝10，
∴x＋y＝5.
∴y＝5－x，即y与x满足一次函数关系．
∵S＝xy＝x(5－x)＝－x2＋5x，
∴S与x满足二次函数关系．
如图，用长为45
m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度是20
m)，围成中间有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长AB是x(单位：m)，面积是S(单位：m2)．
6
(1)求S与x的函数关系式及x的取值范围；
(2)如果要围成面积为162
m2的花圃，AB的长为多少米？
某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162－3x.
7
(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式．
解：由题意得，每件商品的销售利润为(x－30)元，那么m件的销售利润为y＝m(x－30)．
又∵m＝162－3x，∴y＝(x－30)(162－3x)，
即y＝－3x2＋252x－4
860.∵x－30≥0，∴x≥30.
又∵m≥0，∴162－3x≥0，即x≤54.
∴30≤x≤54.∴所求关系式为
y＝－3x2＋252x－4
860(30≤x≤54)．
(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价；如果不能，说明理由．
解：不能．理由：
由(1)得y＝－3x2＋252x－4
860＝－3(x－42)2＋432，
∴当销售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500>432，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．(共19张PPT)
二次函数
30.1
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第三十章
二次函数
目标一 认识二次函数
C
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C
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B
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C
C
11
C
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C
C
2
若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( )
A．m≠－2
B．m≠2
C．m≠3
D．m≠－3
B
3
【2021·沈阳实验中学月考】若y＝(m－1)xm2＋1是二次函数，则m的值是( )
A．1
B．－1
C．1或－1
D．2
B
4
【教材P27练习T1改编】把二次函数y＝－(x＋3)(x＋4)＋11变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为( )
A．－1，－1
B．－1，1
C．－1，7
D．－1，－7
D
5
C
6
关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )
A．y是x的二次函数
B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20
000
7
C
【点拨】
本题易忽略二次根式有意义的条件，误认为x等于1或2或3，而错选D.
【2021?铜仁】如图是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是________．
8
11
【点拨】
第一次输入x的值为1，计算出y＝6，选择“否”的程序；第二次输入x的值为2，计算出y＝11，选择“是”的程序，输出即可．
如果函数y＝(m－2)xm2－2＋2x－7是二次函数，则m的取值范围是( )
A．m＝±2
B．m＝2
C．m＝－2
D．m为全体实数
9
C
【点拨】
求二次函数中字母系数的值时，要根据二次函数的定义，在保证函数中含自变量的式子是整式的前提下，还必须满足自变量的最高次数是2和二次项系数不为0.在解题过程中，往往容易忽略二次项系数不为0这个条件，只是从自变量的最高次数是2入手列方程求解，从而得出错解．
已知函数y＝(a＋3)xa2＋a－4＋(a＋2)x＋3.
(1)当a为何值时，y为x的二次函数？
10
解：根据题意得a＋3≠0且a2＋a－4＝2，
解得a＝2，即当a为2时，y是x的二次函数．
(2)当a为何值时，y为x的一次函数？
已知二次函数y＝3(x－1)2＋2.
(1)将二次函数化为一般形式，并指出相应的a，b，c的值；
(2)当x＝6时，求y的值；
11
解：y＝3(x－1)2＋2＝3x2－6x＋5.
其中a＝3，b＝－6，c＝5.
当x＝6时，y＝3×(6－1)2＋2＝77.
(3)当y＝77时，求x的值．
解：当y＝77时，
3(x－1)2＋2＝77，
解得x＝6或x＝－4.(共18张PPT)
由不共线三点的坐标
确定二次函数
30.3
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九年级
第三十章
二次函数
目标一 确定含有两个待定字母的二次函数表达式
A
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A
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D
A
C
A
B
【教材P40习题A组T1变式】抛物线y＝2x2＋bx＋c与x轴交于(－1，0)，(－3，0)，则b与c的值是( )
A．b＝8，c＝6
B．b＝－8，c＝6
C．b＝－8，c＝－6
D．b＝8，c＝－6
1
A
已知二次函数y＝ax2＋bx－6的图像经过点A(1，－3)，B(－1，－3)，则二次函数的表达式为( )
A．y＝3x2－6
B．y＝x2＋2x－6
C．y＝9x2＋6x－6
D．y＝9x2－6x－6
A
2
如果抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0，－2)，B(－1，1)两点，那么此抛物线经过( )
A．第一、二、三、四象限
B．第一、二、三象限
C．第一、二、四象限
D．第二、三、四象限
D
3
抛物线y＝2x2＋c的顶点坐标为(0，1)，则抛物线的表达式为( )
A．y＝2x2＋1
B．y＝2x2－1
C．y＝2x2＋2
D．y＝2x2－2
A
4
已知某二次函数，当x＞1时，y随x的增大而增大；当x＜1时，y随x的增大而减小，则该二次函数的表达式可以是( )
A．y＝2(x＋1)2
B．y＝－2(x＋1)2
C．y＝2(x－1)2
D．y＝－2(x－1)2
C
5
【点拨】
∵当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1.∴抛物线y＝2(x－1)2满足条件．
A
6
7
B
【2021·黑龙江龙东地区】已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
8
(1)求抛物线的表达式，并写出顶点坐标；
(2)如图，连接PB，PO，PC，BC，OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，求出点D的坐标．
解：如图，过点D作DM⊥y轴于点M.
【2021·温州】已知抛物线y＝ax2－2ax－8(a≠0)经过点(－2，0)．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
9
解：把点(－2，0)的坐标代入y＝ax2－2ax－8，
得0＝4a＋4a－8，解得a＝1.
∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－8.
∵y＝x2－2x－8＝(x－1)2－9，
∴抛物线的顶点坐标为(1，－9)．
(2)直线l交抛物线于点A(－4，m)，B(n，7)，n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方(不与点A，B重合)，分别求出点P的横坐标与纵坐标的取值范围．
解：把x＝－4代入y＝x2－2x－8，
得y＝(－4)2－2×(－4)－8＝16，∴m＝16.
把y＝7代入y＝x2－2x－8，得7＝x2－2x－8，
解得x＝5或x＝－3.
∵n为正数，∴n＝5.
∴点A的坐标为(－4，16)，点B的坐标为(5，7)．
∵抛物线开口向上，顶点坐标为(1，－9)，
∴抛物线顶点在AB下方．
∴－4＜xp＜5，－9≤yp＜16.(共21张PPT)
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图像和性质
30.2.4
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第三十章
二次函数
目标二 二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2间的关系
C
1
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B
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C
①②④
C
【2020·广东】把函数y＝(x－1)2＋2的图像向右平移1个单位长度，平移后图像的函数表达式为( )
A．y＝x2＋2
B．y＝(x－1)2＋1
C．y＝(x－2)2＋2
D．y＝(x－1)2－3
1
C
【2021·徐州】在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为( )
A．y＝(x－2)2＋1
B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x＋2)2－1
D．y＝(x－2)2－1
B
2
【2021·山西】抛物线的函数表达式为y＝3(x－2)2＋1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )
A．y＝3(x＋1)2＋3
B．y＝3(x－5)2＋3
C．y＝3(x－5)2－1
D．y＝3(x＋1)2－1
C
3
【点拨】
此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”后所得抛物线的函数表达式，即y＝3(x－2－3)2＋1－2＝3(x－5)2－1.
【2020·南京】下列关于二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)的结论：
①该函数的图像与函数y＝－x2的图像形状相同；②该函数的图像一定经过点(0，1)；
③当x＞0时，y随x的增大而减小；
④该函数的图像的顶点在函数y＝x2＋1的图像上．其中所有正确结论的序号是________．
①②④
4
【点拨】
①∵二次函数y＝－(x－m)2＋m2＋1(m为常数)与函数y＝－x2的二次项系数相同，
∴该函数的图像与函数y＝－x2的图像形状相同，故结论①正确；
②∵在函数y＝－(x－m)2＋m2＋1中，令x＝0，则y＝－m2＋m2＋1＝1，
∴该函数的图像一定经过点(0，1)，故结论②正确；
③∵y＝－(x－m)2＋m2＋1，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；
④易知二次函数图像的顶点坐标为(m，m2＋1)．
∴该函数的图像的顶点在函数y＝x2＋1的图像上，故结论④正确．
【2021·铜仁】已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴有两个交点A(－1，0)，B(3，0)，抛物线y＝a(x－h－m)2＋k与x轴的一个交点是(4，0)，则m的值是( )
A．5
B．－1
C．5或1
D．－5或－1
C
5
【点拨】
∵抛物线y＝a(x－h)2＋k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a(x－h－m)2＋k的对称轴为直线x＝h＋m，
∴当点A(－1，0)平移后的对应点为(4，0)，则m＝4－(－1)＝5；
当点B(3，0)平移后的对应点为(4，0)，则m＝4－3＝1,
即m的值为5或1.
【2021·郑州第一中学模拟】如图，在?ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线y＝a(x－h)2＋k经过x轴上的点A，B.
6
(1)求点A，B，C的坐标；
解：在?ABCD中，CD∥AB，且CD＝AB＝4，∴点C的坐标为(4，8)．设抛物线的对称轴与x轴相交于点H，则AH＝BH＝2，
∴点A，B的坐标为A(2，0)，B(6，0)．
(2)若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式．
解：抛物线的表达式为y＝a(x－4)2＋8，把A(2，0)的坐标代入表达式中，解得a＝－2，设平移后抛物线的表达式为y＝－2(x－4)2＋8＋m，把点(0，8)的坐标代入平移后的表达式，得m＝32.
∴平移后抛物线的表达式为y＝－2(x－4)2＋40.
7
(1)求k的值．(共23张PPT)
二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图像和性质
30.2.5
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第三十章
二次函数
目标一 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像
B
1
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B
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9
C
A
C
【中考·山西】用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x－4)2＋7
B．y＝(x－4)2－25
C．y＝(x＋4)2＋7
D．y＝(x＋4)2－25
1
B
【2021·泰安】将函数y＝－x2－2x＋3的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的抛物线必定经过( )
A．(－2，2)
B．(－1，1)
C．(0，6)
D．(1，－3)
B
2
【点拨】
y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.
将函数y＝－x2－2x＋3的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，
得到的抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2，
当x＝－2时，y＝－(－2)2＋2＝－4＋2＝－2，故(－2，2)不在此抛物线上，A选项不合题意；
当x＝－1时，y＝－(－1)2＋2＝－1＋2＝1，故(－1，1)在此抛物线上，B选项符合题意；
当x＝0时，y＝－02＋2＝0＋2＝2，故(0，6)不在此抛物线上，C选项不合题意；
当x＝1时，y＝－12＋2＝－1＋2＝1，故(1，－3)不在此抛物线上，D选项不合题意．
【2021·牡丹江】将抛物线y＝x2－2x＋3向左平移2个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为____________．
y＝(x＋1)2＋2
3
C
4
【点拨】
∵二次函数y＝2x2－8x＋6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足S△ABP1＝S△ABP2＝S△ABP3＝m，
∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2－8x＋6的图象的顶点上．
∵y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2，
∴二次函数y＝2x2－8x＋6的图象的顶点坐标为(2，－2)．
【2021·广州】抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，(3，0)，且与y轴交于点(0，－5)，则当x＝2时，y的值为( )
A．－5
B．－3
C．－1
D．5
A
5
【2021·东营】一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
C
6
【点拨】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的关系即可得出a，b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【教材P38习题A组T3改编】将二次函数y＝－2x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式是_________________．
7
y＝－2(x＋1)2＋7
【点拨】
将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k时，易在配方时忽略二次项系数而致错．
【2021·新疆】已知抛物线y＝ax2－2ax＋3(a≠0)．
(1)求抛物线的对称轴；
8
(2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位长度，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；
(3)设点P(a，y1)，Q(2，y2)在抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．
解：当x＝2时，y2＝3.
若y1＞y2，则a3－2a2＋3＞3，解得a＞2.
【2021·北京】在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)上．
9
(1)若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴．
(2)已知点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
解：∵y＝ax2＋bx(a＞0)，
∴抛物线开口向上且经过原点．
当b＝0时，抛物线的顶点为原点，x＞0，y随x的增大而增大，∴n＞m＞0，不满足题意．
当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴左侧，同理，n＞m＞0，不满足题意．(共17张PPT)
二次函数
y＝ax2＋c的图像和性质
30.2.2
冀教版
九年级
第三十章
二次函数
目标一 二次函数y＝ax2＋c的图像和性质
－2
1
2
3
4
5
答
案
呈
现
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C
6
7
8
9
C
D
C
10
B
A
C
【2021·哈尔滨】二次函数y＝－3x2－2的最大值为________．
1
－2
C
2
函数y＝－x2＋3与y＝－x2－2的图像的不同之处是( )
A．对称轴
B．开口方向
C．顶点
D．形状
C
3
【中考·泰安】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝－mx＋n2与二次函数y＝x2＋m的图像可能是( )
D
4
对于二次函数y＝3x2＋2，下列说法错误的是( )
A．最小值为2
B．图像与x轴没有公共点
C．当x<0时，y随x的增大而增大
D．图像的对称轴是y轴
C
5
二次函数y＝ax2＋k的图像上有两点A(－3，y1)，B(1，y2)，且y2＞y1，则a的取值范围是( )
A．a＞0
B．a＜0
C．a≥0
D．a≤0
B
6
7
A
【2021·泉州第五中学模拟】点A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3，y3)都在二次函数y＝(a2＋1)x2＋2的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3
B．y1＞y2＞y3
C．y2＞y1＞y3
D．y2＜y1＜y3
对于二次函数y＝2x2－3，当－1≤x≤2时，y的取值范围是( )
A．－1≤y≤5
B．－5≤y≤5
C．－3≤y≤5
D．－2≤y≤5
8
C
【点拨】
求二次函数的最值时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大(小)值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数增减性确定最值．
求符合下列条件的抛物线对应的函数表达式：
(1)抛物线y＝ax2－1过点(1，2)；
9
解：将点(1，2)的坐标代入
y＝ax2－1，得2＝a－1，
解得a＝3.
∴y＝3x2－1.
(2)抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，且顶点为(0，1)．
解：∵抛物线y＝ax2＋c与y＝x2＋3的开口大小相同，开口方向相反，∴a＝－1.
将点(0，1)的坐标代入y＝－x2＋c，得c＝1.
∴y＝－x2＋1.
如图，已知正比例函数y＝2x的图像与抛物线y＝ax2＋3相交于点A(1，b)．
(1)求a与b的值；
10
解：把点A(1，b)的坐标代入y＝2x中，得b＝2，∴A(1，2)．
把点A(1，2)的坐标代入y＝ax2＋3中，得a＝－1.
(2)若点B(m，4)在函数y＝2x的图像上，抛物线y＝ax2＋3的顶点是C，求△ABC的面积；
(3)若点P是x轴上一个动点，求当PA＋PC的值最小时点P的坐标．
解：设点C关于x轴的对称点为C′，则C′的坐标为(0，－3)，连接AC′交x轴于点P，此时PA＋PC的值最小．
设直线AC′的表达式是y＝kx＋n，把C′(0，－3)，A(1，2)的坐标代入，(共26张PPT)
二次函数y＝ax2＋bx＋c
的图像和性质
30.2.5
冀教版
九年级
第三十章
二次函数
目标二 二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
D
1
2
3
4
5
答
案
呈
现
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C
6
7
8
9
C
B
6
C
A
【2021·上海】将函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象向下平移两个单位长度，以下错误的是( )
A．开口方向不变
B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变
D．与y轴的交点不变
1
D
C
2
【2021·福建】二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图象过A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)，D(4，y4)四个点，下列说法一定正确的是( )
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0
B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0
D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
C
3
若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意；
若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意；
若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意；
若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意．
【2021·苏州】已知抛物线y＝x2＋kx－k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是( )
A．－5或2
B．－5
C．2
D．－2
B
4
【2021·益阳】已知y是x的二次函数，下表给出了y与x的几对对应值：
由此判断，表中a＝________.
6
5
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
11
a
3
2
3
6
11
…
【2021·包头】已知二次函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图象经过第一象限的点(1，－b)，则一次函数y＝bx－ac的图象不经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
C
6
【点拨】
∵点(1，－b)在第一象限，
∴－b>0.∴b<0.
∵二次函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的
图象经过第一象限的点(1，－b)，
∴－b＝a－b＋c.∴a＋c＝0.
∵a≠0，∴ac<0.
∴一次函数y＝bx－ac的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
【2021·眉山】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－4x＋5与y轴交于点C，则该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的表达式为( )
A．y＝－x2－4x＋5
B．y＝x2＋4x＋5
C．y＝－x2＋4x－5
D．y＝－x2－4x－5
7
A
【点拨】
由抛物线y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1知，抛物线的顶点坐标是(2，1)，C(0，5)．
∴该抛物线关于点C成中心对称的抛物线的顶点坐标是(－2，9)，表达式为y＝－(x＋2)2＋9＝－x2－4x＋5.
【2021·宁波】如图，二次函数y＝(x－1)(x－a)(a为常数)的图象的对称轴为直线x＝2.
8
(1)求a的值．
(2)向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
解：由(1)知a＝3，则该抛物线的表达式是
y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.
∴抛物线向下平移3个单位长度后经过原点．
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式是
y＝x2－4x.
【2021·嘉兴】已知二次函数y＝－x2＋6x－5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标；
9
解：∵y＝－x2＋6x－5＝－(x－3)2＋4，
∴顶点坐标为(3，4)．
(2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
解：∵a＝－1＜0，∴抛物线开口向下．
∵顶点坐标为(3，4)，∴当x＝3时，y取最大值4.
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y取最小值0.
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y取最小值3.
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0.
(3)当t≤x≤t＋3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m－n＝3，求t的值．
解：当t≤x≤t＋3时，对t进行分类讨论．
①当t＋3＜3，即t＜0时，y随着x的增大而增大．
当x＝t＋3时，m＝－(t＋3)2＋6(t＋3)－5＝－t2＋4；
当x＝t时，n＝－t2＋6t－5，
∴m－n＝－t2＋4－(－t2＋6t－5)＝－6t＋9.
∴－6t＋9＝3，解得t＝1(不合题意，舍去)．