(共25张PPT)
二次函数y＝ax2的图像和性质(2)
5.2.2
苏科版
九年级
第5章
二次函数
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关于二次函数y＝3x2的图像，下列说法错误的是( )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
D．它与y＝－3x2的图像关于x轴对称
1
C
2
关于二次函数y＝2x2与y＝－2x2，下列叙述正确的有( )
①它们的图像都是抛物线；
②它们的图像的对称轴都是y轴；
③它们的图像都经过点(0，0)；
④二次函数y＝2x2的图像开口向上，二次函数y＝－2x2的图像开口向下；
⑤它们的图像关于x轴对称．
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
A
3
D
【中考·呼和浩特】二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图像可能是( )
如图所示，四个函数的图像中，分别对应的是①y＝ax2
；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.则a、b、c、d的大小关系为( )
A．a＞b＞c＞d
B．a＞c＞d＞b
C．b＞a＞d＞c
D．a＞b＞d＞c
4
A
若函数y＝(1－m)xm2－2＋2是关于x的二次函数，且抛物线的开口向上，则m的值为( )
A．－2
B．1
C．2
D．－1
5
A
已知二次函数y＝(a2＋2a－3)x2的图像开口向下，且经过点(1，3a＋3)，则a的值为( )
A．－3或2
B．3
C．－2
D．－2或3
6
C
7
下列关于函数y＝36x2的叙述中，错误的是( )
A．图像的对称轴是y轴
B．图像的顶点是原点
C．当x＞0时，y随x的增大而增大
D．y有最大值
D
8
【2021·常州】已知二次函数y＝(a－1)x2，当x＞0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是( )
A．a＞0
B．a＞1
C．a≠1
D．a＜1
B
已知原点是抛物线y＝(2m－6)x2的最高点，则m的范围是
(
)
A．m≥3 B．m≤3
C．m＞3
D．m＜3
9
D
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【2021·长春】如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)在抛物线y＝ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形CDFE为正方形时，线段CD的长为________．
在抛物线y＝ax2(a＞0)上有A(2，y1)、B(3，y2)、C(－1，y3)三个点，则y1、y2、y3的大小关系为______________．
11
y2＞y1＞y3
已知二次函数y＝x2，在－1≤x≤4这个范围内，求函数的最值．
12
【点拨】开口向上时，顶点坐标的纵坐标是最小值；开口向下时，顶点坐标的纵坐标是最大值．
解：∵－1≤x≤4包含了x＝0，
∴当－1≤x≤4时，函数y＝x2的最小值为0.
当x＝－1时，y＝1；当x＝4时，y＝16.
∴当－1≤x≤4时，函数y＝x2的最大值为16.
已知函数y＝ax2的图像经过点(5，2)．
(1)求a的值；
13
(2)判断点(－5，2)是否在这个函数的图像上．
根据下列条件分别求a的值或取值范围．
(1)函数y＝(a－2)x2，当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
14
解：由题意得a－2＜0，解得a＜2.
(2)函数y＝(3a－2)x2有最大值．
(4)函数y＝axa2＋a的图像是开口向上的抛物线．
解：由题意得a2＋a＝2，
解得a1＝－2，a2＝1.
又由题意知a＞0，∴a＝1.
抛物线y＝ax2(a≠0)与直线y＝2x－3交于点(1，b)．请你解决下列问题：
(1)求a和b的值；
15
解：将点(1，b)的坐标代入y＝2x－3，解得b＝－1，∴交点坐标是(1，－1)，再将点(1，－1)的坐标代入y＝ax2，解得a＝－1，∴a＝－1，b＝－1.
(2)求抛物线y＝ax2的表达式，并求顶点坐标和对称轴；
解：抛物线的表达式为y＝－x2，顶点坐标为(0，0)，对称轴为直线x＝0(即y轴)．
(3)当x取何值时，二次函数y＝ax2中的
y随x的增大而增大；
解：当
x
＜0时，y随x的增大而增大．
(4)求抛物线与直线y＝－2的两交点及顶点所构成的三角形的面积．(共27张PPT)
利用函数图像求一元二次方程的根或根的近似值
5.4.2
苏科版
九年级
第5章
二次函数
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二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为( )
A．x1＝1，x2＝－3
B．x1＝x2＝－1
C．x1＝x2＝3
D．x1＝－1，x2＝3
1
D
2
二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图像如图所示，且关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解是x1＝3，另一个解x2是( )
A．1
B．－1
C．－2
D．0
B
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴是直线x＝－1.当y＞0时，x的取值范围是( )
A．x＜1
B．x＞－3
C．－3＜x＜1
D．x＜－3或x＞1
3
C
【2020·随州】如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A(－1，0)、B(3，0)两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，则下列结论：①2a＋b＝0；②2c＜3b；③当△ABC是等腰三角形时，a的值有2个；
4
B
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)、B(2，0)．
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的解为______________；
(2)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为____________；
(3)不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为______________．
5
x1＝－1，x2＝2
－1x≤－1或x≥2
【2020·黔东南州】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图像如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则当y＜0时，x的取值范围是__________．
6
－3＜x＜1
7
【中考·济宁】如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)，B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是_____________．
x＜－3或x＞1
8
已知二次函数y＝x2＋2x－10，小明利用计算器列出了下表：
那么方程x2＋2x－10＝0的一个近似根是( )
A．－4.1
B．－4.2
C．－4.3
D．－4.4
C
利用二次函数的图像估计一元二次方程x2－2x－1＝0的根的近似值(精确到0.1)．
9
解：方程x2－2x－1＝0的根是函数
y＝x2－2x－1的图像与x轴交点的横坐标．
作出二次函数y＝x2－2x－1的图像(如图)．由图像可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．先求－1和0之间的根．当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x＝－0.5时，y＝0.25.因此，－0.4是方程的一个近似根．同理可得，2.4是方程的另一个近似根．
10
【中考·云南】已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值；
11
解：∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，
∴k2＋k－6＝0，解得k1＝－3，k2＝2.
又∵抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k与x轴有两个交点，
∴0－4×1×3k＝－12k＞0，即k＜0.
∴k＝－3.
(2)若点P在抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k上，且P到y轴的距离是2，求点P的坐标．
解：由(1)得抛物线的表达式为y＝x2－9.
∵点P在抛物线y＝x2－9上，且P到y轴的距离是2，
∴点P的横坐标为2或－2.
当x＝2时，y＝－5；
当x＝－2时，y＝－5，
∴点P的坐标为(2，－5)或(－2，－5)．
【中考·威海】在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像时，甲写错了一次项的系数，列表如下
12
x
…
－1
0
1
2
3
…
y甲
…
6
3
2
3
6
…
乙写错了常数项，列表如下：
x
…
－1
0
1
2
3
…
y乙
…
－2
－1
2
7
14
…
通过上述信息，解决以下问题：
(1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x________时，y的值随x值的增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
≥－1
解：方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，即x2＋2x＋3－k＝0有两个不相等的实数根，∴4－4(3－k)＞0，∴k＞2.
【中考·天门】在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x－1(a≠0)和直线l：y＝kx＋b，点A(－3，－3)、B(1，－1)均在直线l上．
(1)若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；
13
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C的表达式为y＝－x2＋2x－1.
∵a＜0，∴抛物线的开口向下．
易知抛物线的对称轴为直线x＝1.
当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，
解得x＝－1或x＝3.
①在直线x＝1的左侧，y随x的增大而增大，
∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，
则m＝－3；
②在直线x＝1的右侧，y随x的增大而减小，
∴x＝m＝3时，y有最大值－4.
综上所述，m＝－3或m＝3.
(3)若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．
【2020·南京二模】已知二次函数y＝m(x－1)(x－m－3)(m为常数，且m≠0)．
(1)求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；
14
证明：当y＝0时，m(x－1)(x－m－3)＝0，解得x1＝1，x2＝m＋3，当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根，∴不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点．
(2)设该函数的图像与y轴交于点A，若点A在x轴上方，求m的取值范围；
解：当x＝0时，y＝m2＋3m，∴点A的坐标为(0，m2＋3m)．∵该函数的图像与y轴交于点A，点A在x轴上方，∴m2＋3m＞0.设z＝m2＋3m，即z是m的二次函数，当m＝0或－3时，z＝0.∵抛物线开口向上，∴当m＞0或m＜－3时，z＞0.∴m的取值范围是m＞0或m＜－3.
(3)该函数图像所经过的象限随m值的变化而变化，直接写出函数图像所经过的象限及对应的m的取值范围．
解：①当m＞0时，图像经过第一、二、四象限；②当－3≤m＜0(m≠－2)时，图像经过第一、三、四象限；③当m＝－2时，图像经过第三、四象限；④当m＜－3时，图像经过第一、二、三、四象限．(共30张PPT)
二次函数与一元二次方程的关系
5.4.1
苏科版
九年级
第5章
二次函数
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16
观察图像(如图)填空．
(1)二次函数y＝x2＋x－2的图像与x轴有______个交点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式______0；
(2)二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有______个交点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式______0；
(3)二次函数y＝x2－x＋1的图像与x轴
______公共点，则一元二次方程x2－
x＋1＝0的根的判别式______0.
1
两
＞
一
＝
没有
＜
2
【2021·宿迁沭阳县模拟】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：
则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的根是
______________．
x＝－5，x2＝1
【2021·赤峰】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
以下结论正确的是( )
A．抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下
B．当x＜3时，y随x的增大而增大
C．方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2
D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜2
3
C
【2020·娄底】二次函数y＝(x－a)(x－b)－2(a＜b)的图像与x轴的两个交点的横坐标分别为m和n，且m＜n，下列结论正确的是( )
A．m＜a＜n＜b
B．a＜m＜b＜n
C．m＜a＜b＜n
D．a＜m＜n＜b
4
C
【2020·安顺】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像经过(－3，0)与(1，0)两点，关于x的方程ax2＋bx＋c＋m＝0(m＞0)有两个根，其中一个根是3.若关于x的方程ax2＋bx＋c＋n＝0(0＜n＜m)有两个整数根，则这两个整数根是( )
A．－2或0
B．－4或2
C．－5或3
D．－6或4
5
B
【中考·荆门】抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
6
C
7
【中考·杭州】在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝(x＋a)(x＋b)的图像与x轴有M个交点，函数y＝(ax＋1)(bx＋1)的图像与x轴有N个交点，则( )
A．M＝N－1或M＝N＋1
B．M＝N－1或M＝N＋2
C．M＝N或M＝N＋1
D．M＝N或M＝N－1
C
8
【2021·成都】在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝________.
1
抛物线y＝3x2与直线y＝kx＋2的交点为(2，b)，则k＋b＝________.
9
17
10
已知函数y＝(a－1)x2－2ax＋a－3的图像与两坐标轴共有两个交点，则a的值为____________．
【2020·宿迁模拟】已知二次函数y＝x2＋2x＋n，当自变量x的取值在－2≤x≤1的范围内时，函数的图像与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是________________．
11
n＝1或－3≤n＜0
若函数y＝x2－2x＋b的图像与坐标轴有且只有两个交点，则b的值是________．
12
0或1
【点拨】若图像经过原点，则图像与坐标轴有两个交点，此时b＝0；若图像不经过原点，则图像与x轴有一个交点，所以4－4b＝0，所以b＝1.综上所述，b的值为0或1.此题易忽略抛物线过原点的情况而出错．
【2021·新疆】已知抛物线y＝ax2－2ax＋3(a≠0)．
(1)求抛物线的对称轴；
13
解：由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝1；
(2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位，若抛物线的顶点落在x轴上，求a的值；
(3)设点P(a，y1)、Q(2，y2)在抛物线上，若y1＞y2，求a的取值范围．
解：当x＝2时，y2＝3，若y1＞y2，则a3－2a2＋3＞3，解得a＞2.
【2020·攀枝花】如图，开口向下的抛物线与x轴交于点A(－1，0)、B(2，0)，与y轴交于点C(0，4)，点P是第一象限内抛物线上的一点．
(1)求该抛物线的表达式；
14
解：设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)(x－2)，
将C(0，4)的坐标代入得4＝－2a，解得a＝－2.
∴该抛物线的表达式为y＝－2(x＋1)(x－2)
＝－2x2＋2x＋4.
(2)设四边形CABP的面积为S，求S的最大值．
【2020·徐州模拟】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝－x2＋6x－5的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l.
(1)点P的坐标为________，点C的坐标为________；
15
(3，4)
(0，－5)
(2)在直线l上是否存在点Q，使△PBQ的面积等于△PAC面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．理由：令y＝0，则x2－6x＋5＝0，解得x＝1或5，∴A(1，0)，B(5，0)．
设直线PC的表达式为y＝kx＋b，
16
(2)求抛物线的对称轴；
解：∵点A与点B关于直线x＝1对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1.(共21张PPT)
二次函数y＝ax2的图像和性质(1)
5.2.1
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九年级
第5章
二次函数
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C
【南京市建邺区一模】如图，函数y＝－2x2的图像是( )
A．①
B．②
C．③
D．④
2
(2)比较上述图像，当二次函数的二次项系数大于0时，抛物线的开口大小与二次项系数有何关系？
解：当二次项系数大于0时，二次项系数越大，开口越小．
解：如图．
3
C
【2021·承德一模】如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图像，C2是函数y＝－x2的图像，则阴影部分的面积是( )
A．π
B．2π
C．4π
D．以上都不对
4
B
如图，边长为2的正方形ABCD的中心在直角坐标系的原点O，AD∥x轴，以O为顶点且过A、D两点的抛物线与以O为顶点且过B、C两点的抛物线将正方形分割成几部分．则图中阴影部分的面积是________．
5
2
函数y＝x2的图像与函数y＝－x2的图像关于________成轴对称，函数y＝－x2的图像可以看成是由函数y＝x2的图像绕________旋转________得到的．
6
x轴
原点
180°
7
8
如图，A、B分别为抛物线y＝ax2上的两点，且线段AB⊥y轴于点C，若AB＝6，OC＝9，则a的值为________．
－1
【点拨】由题意知B(3，－9)，将点B的坐标代入表达式，得a＝－1.此题易误认为点B的坐标是(3，9)，从而求出a＝1.
9
解：函数图像如图所示．
共同点：①开口都是向上；②都经过坐标原点；
③对称轴都是y轴；
④顶点都是抛物线的最低点．
不同点：开口的大小不同．
10
解：如图，两个图像关于x轴对称；整个图像是轴对称图形；
二次函数y＝－3x2的图像开口向下，二次函数y＝3x2的图像开口向上，顶点坐标都是(0，0)，对称轴都是y轴．
抛物线y＝ax2与直线y＝kx在第一象限内交于点A(2，4)．
(1)求抛物线对应的函数表达式．
11
解：将A(2，4)的坐标代入y＝ax2得4＝4a，∴a＝1.
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2.
(2)在如图的平面直角坐标系中画出抛物线y＝ax2和直线y＝kx.
解：将A(2，4)的坐标代入y＝kx，得4＝2k，∴k＝2.画出抛物线y＝x2和直线y＝2x如图．
(3)在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(共28张PPT)
利用二次函数解决抛物线形问题
5.5.2
苏科版
九年级
第5章
二次函数
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【2021·襄阳】从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y(单位：m)与它距离喷头的水平距离x(单位：m)之间满足函数关系式y＝－2x2＋4x＋1，则喷出水珠的最大高度是________m.
3
【2021·台州】以初速度v(单位：m/s)从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式是h＝vt－4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1(如图①)；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最
大高度为h2(如图②)．若h1＝2h2，
则t1:t2＝________.
3
【2020·山西】竖直上抛物体离地面的高度h(m)与运动时间t(s)之间的关系可以近似地用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0(m)是物体抛出时离地面的高度，v0(m/s)是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5
m的高处以20
m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为( )
A．23.5
m
B．22.5
m
C．21.5
m
D．20.5
m
4
C
【2020·无锡模拟】一个滑道由滑坡(AB段)和缓冲带(BC段)组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1(单位：m)和滑行时间t1(单位：s)满足二次函数关系，并测得相关数据：
5
滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2(单位：m)和在缓冲带上滑行时间t2(单位：s)满足y2＝52t2－2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23
s，则滑坡AB的长度为( )
A．270
m
B．280
m
C．375
m
D．450
m
A
【2020·绵阳】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为( )
6
B
7
【中考·襄阳】如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的关系为h＝20t－5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为________s.
4
8
【2021·贵阳】甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8
m，桥拱顶点B到水面的距离是4
m.
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
(2)一只宽为1.2
m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4
m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68
m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平)．
(3)如图③，桥拱所在的函数图像是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图像．将新函数图像向右平移m(m＞0)个单位长度，平移后的函数图像在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图像，求m的取值范围．
∵平移不改变图形的形状和大小，∴平移后函数图像的对称轴是直线x＝4＋m.
∴当m≤x≤4＋m或x≥8＋m时，y的值随x值的增大而减小．
∵当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小．
∴结合函数图像，得m的取值范围是：
【2020·台州】用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图①)．
科学原理：如图②，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H(单位：cm)，如果在离水面竖直距离为h(单位：cm)的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程(水流落地点离小孔的
水平距离)s(单位：cm)与h的关
系式为s2＝4h(H－h)．
9
应用思考：现用高度为20
cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离为h
cm处开一个小孔．
(1)写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
解：∵s2＝4h(H－h)，∴当H＝20时，s2＝4h(20－h)＝－4(h－10)2＋400.
∴当h＝10时，s2有最大值400.
∴当h＝10时，s有最大值20.
∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20
cm.
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a、b，要使两孔射出水的射程相同，求a、b之间的关系式．
解：要使两孔射出水的射程相同，则有4a(20－a)＝4b·(20－b)，∴20a－a2＝20b－b2.∴(a－b)(a＋b－20)＝0.∴a－b＝0，或a＋b－20＝0.∴a＝b或a＋b＝20.
(3)如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16
cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
10
【2020·绍兴】如图①，排球场长为18
m、宽为9
m、网高为2.24
m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9
m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88
m，即BA＝2.88
m，这时水平距离OB＝7
m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，
如图②.
(1)若球向正前方运动(即x轴垂直于底线)，求球运动的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式(不必写出x的取值范围)．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．(共28张PPT)
二次函数y＝a
(x
＋h)2＋k的图像和性质
5.2.4
苏科版
九年级
第5章
二次函数
D
1
2
3
4
5
C
6
7
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(3，2)
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C
C
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【2020·哈尔滨】将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为( )
A．y＝(x＋3)2＋5
B．y＝(x－3)2＋5
C．y＝(x＋5)2＋3
D．y＝(x－5)2＋3
1
D
2
若将二次函数y＝a(x＋h)2＋k的图形，经过平移后可与y＝x2的图像完全重合，则a、h、k的值可能分别为( )
A．－1，0，－2
B．2，6，0
C．－1，－3，0
D．1，－3，－2
D
将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，那么所得新抛物线的顶点的坐标是________．
3
(3，2)
抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口方向、顶点坐标、对称轴分别是( )
A．向下、(1，2)、直线x＝1
B．向上、(－1，2)、直线x＝－1
C．向下、(－1，2)、直线x＝1
D．向上、(1，2)、直线x＝1
4
D
【中考·益阳】若抛物线y＝(x－m)2＋m＋1的顶点在第一象限，则m的取值范围为( )
A．m＞1
B．m＞0
C．m＞－1
D．－1＜m＜0
5
B
下列二次函数中，图像以直线x＝2为对称轴，且经过点(0，1)的是( )
A．y＝(x－2)2＋1
B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x－2)2－3
D．y＝(x＋2)2－3
6
C
7
二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图像如图所示，则一次函数y＝mx＋n的图像经过( )
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限
D．第一、三、四象限
C
8
C
【2021·绍兴】关于二次函数y＝2(x－4)2＋6的最大值或最小值，下列说法正确的是( )
A．有最大值4
B．有最小值4
C．有最大值6
D．有最小值6
9
D
10
【2021·资阳】已知A、B两点的坐标分别为(3，－4)、(0，－2)，线段AB上有一动点M(m，n)，过点M作x轴的平行线交抛物线y＝a(x－1)2＋2于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点．若x1＜m≤x2，则a的取值范围为( )
C
已知二次函数y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，求m＋n的值．
11
解：二次函数y＝－(x－1)2＋5的大致图像如图．
①若m<0∴当x＝m时，y取得最小值，即2m＝－(m－1)2＋5，解得m＝2(不合题意，舍去)或m＝－2.当x＝n时，y取得最大值，即2n＝－(n－1)2＋5，解得n＝2或n＝－2(均不合题意，舍去)；
②若m<0<1≤n，∵m≤x≤n，∴当x＝1时，y取得最大值，即2n＝－(1－1)2＋5，解得n＝2.5.此时，若函数在x＝m时取得最小值，则由①
易错提示：应注意不同情况的分类讨论，否则容易漏解．
【2021·盐城】已知抛物线y＝a(x－1)2＋h经过点(0，－3)和(3，0)．
(1)求a、h的值；
12
(2)将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．
解：新的抛物线对应的函数表达式为y＝(x－2)2－2.
13
【2020·南京鼓楼区一模】已知A(1，0)、B(0，－1)、C(－1，2)、D(2，－1)、E(4，2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)经过其中的三个点．
(1)求证：点C、E不能同时在抛物线上；
证明：y＝a(x－1)2＋k的对称轴为直线x＝1，顶点为(1，k)，设点C、E同时在抛物线y＝a(x－1)2＋k上，∴当x＝－1时，y＝a(－1－1)2＋k＝4a＋k＝2.当x＝4时，y＝a(4－1)2＋k＝9a＋k＝2，∴a＝0.这与a＞0矛盾，∴假设不成立，∴C、E不能同时在抛物线上．
(2)点A在抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？
解：不在．理由：若点A(1，0)在抛物线上，由(1)得，抛物线的顶点坐标为(1，k)，∴A为顶点．∵a>0，∴A为最低点．
又∵抛物线过A、B、C、D、E中的三点，∴只能过A、C、E三点，这与(1)中的结论矛盾．∴假设不成立．∴点A不在抛物线上．
如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出，把球看成点，其运行的高度y(米)与运行的水平距离x(米)满足关系式y＝a(x－6)2＋h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．
14
(1)当h＝2.6时，求y与x的函数关系式．
(2)当h＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由．
(3)若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？
如图，已知抛物线y＝a(x－h)2＋k与x轴的一个交点为A(3，0)，与y轴的交点为B(0，3)，对称轴为直线x＝1.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
15
(2)已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标．(共31张PPT)
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
5.2.5
苏科版
九年级
第5章
二次函数
B
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D
A
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【中考·山西】用配方法将二次函数y＝x2－8x－9化为y＝a(x－h)2＋k的形式为( )
A．y＝(x－4)2＋7
B．y＝(x－4)2－25
C．y＝(x＋4)2＋7
D．y＝(x＋4)2－25
1
B
2
【2021·泰安】将抛物线y＝－x2－2x＋3先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过( )
A．(－2，2)
B．(－1，1)
C．(0，6)
D．(1，－3)
B
【2021·苏州】已知抛物线y＝x2＋kx－k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则k的值是( )
A．－5或2
B．－5
C．2
D．－2
3
B
【2021·包头】已知二次函数y＝ax2－bx＋c(a≠0)的图像经过第一象限的点(1，－b)，则一次函数y＝bx－ac的图像不经过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4
C
【2021·福建】二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图像过A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)，D(4，y4)四个点，下列说法一定正确的是( )
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0
B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0
D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
5
C
【2020·淮安】二次函数y＝－x2－2x＋3的图像的顶点坐标为________．
6
(－1，4)
7
【中考·镇江】已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1(a≠0)过点A(m，3)、B(n，3)两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是________．
8
A
【2021·襄阳】一次函数y＝ax＋b的图像如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx的图像可能是( )
9
D
10
A
【2021·北京】在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)和点(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)上．
(1)若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
11
解：易得该抛物线的开口向上且经过原点．
当b＝0时，该抛物线的顶点为原点，x＞0时，y随x的增大而增大，∴n＞m＞0，不满足题意．
当b＞0时，该抛物线的对称轴在y轴的左侧，同理，n＞m＞0，不满足题意．
当b＜0时，该抛物线的对称轴在y轴的右侧．
(2)已知点(－1，y1)，(2，y2)，(4，y3)在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
如图，已知抛物线y＝x2－2x－1与y轴相交于点A，其对称轴与抛物线相交于点B，与x轴相交于点C.
(1)求AB的长；
12
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为P.若新抛物线经过原点O，且∠POA＝∠ABC，求新抛物线对应的函数表达式．
?
解：∵A(0，－1)，∴抛物线向上平移1个单位长度经过原点，此时四边形ABPO是平行四边形．∴∠POA＝∠ABC，此时新抛物线对应的函数表达式为y＝x2－2x.抛物线y＝x2－2x关于y轴对称的抛物线为y＝x2＋2x，该抛物线经过原点，且∠POA＝∠ABC.∴新抛物线对应的函数表达式为y＝x2－2x或y＝x2＋2x.
13
【中考·黄冈】已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.
(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点．
(2)设直线l与该抛物线的两个交点为A、B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．
【中考·台州】已知函数y＝x2＋bx＋c(b、c为常数)的图像经过点(－2，4)．
(1)求b、c满足的关系式；
14
解：将点(－2，4)的坐标代入y＝x2＋bx＋c，得4－2b＋c＝4，∴c＝2b.
(2)设该函数图像的顶点坐标是(m，n)，当b的值变化时，求n关于m的函数表达式；
(3)若该函数的图像不经过第三象限，当－5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【点拨】将b的值分成几段进行分段讨论．(共32张PPT)
用待定系数法确定二次函数表达式
5.3
苏科版
九年级
第5章
二次函数
1
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5
6
7
8
A
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A
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【苏州工业园区一模】若二次函数y＝ax2＋bx－3的图像经过点(－1，0)，(3，0)，则其表达式为y＝____________.
1
x2－2x－3
2
如图是一条抛物线，则其表达式为( )
A．y＝x2－4x＋12
B．y＝x2－4x－12
C．y＝x2＋4x＋12
D．y＝x2＋4x－12
B
【2021·杭州】在“探索函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3)，如图．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数的图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为( )
3
A
【无锡滨湖区模拟】将两个全等的矩形AOCD和矩形ABEF放置在如图所示的平面直角坐标系中，已知A(0，5)，边BE交边CD于点M，且ME＝2，CM＝4.
(1)求AD的长；
4
解：如图，连接AM，设OC＝AD＝m，根据已知条件可知，AB＝CD＝OA＝5，BE＝OC＝m，
∵ME＝2，CM＝4，
∴BM＝m－2，DM＝1.
∵AB2＋BM2＝AD2＋DM2＝AM2，
∴52＋(m－2)2＝m2＋12，
解得m＝7，即AD＝7.
(2)求经过A、B、D三点的抛物线的表达式．
解：如图，过点B作x轴的平行线GH，分别交OA、CD于点G、H，
由(1)可知AB＝BM＝5，设G(0，n)，则HC＝OG＝n，易证△ABG≌△BMH，
∴GB＝MH＝4－n，BH＝AG＝5－n.
∵GH＝GB＋BH＝9－2n，GH＝OC＝7，
∴n＝1，∴B(3，1)．
若二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则此函数的表达式为______________．
5
y＝－x2＋4x－3
【2020·安徽一模】设抛物线l：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为D，与y轴的交点是C，我们称以C为顶点，且过点D的抛物线为抛物线l的“伴随抛物线”，请写出抛物线y＝x2－4x＋1的伴随抛物线的表达式：____________．
6
y＝－x2＋1
7
已知抛物线的顶点坐标是(－2，1)且过点(1，－2)，求抛物线的表达式．
二次函数的图像如图所示，则其表达式是( )
A．y＝－x2＋2x＋3
B．y＝x2－2x－3
C．y＝－x2－2x＋3
D．y＝－x2－2x－3
8
A
如果抛物线经过点A(2，0)和B(－1，0)，且与y轴交于点C，若OC＝2.则这条抛物线的表达式是( )
A．y＝x2－x－2
B．y＝－x2－x－2或y＝x2＋x＋2
C．y＝－x2＋x＋2
D．y＝x2－x－2或y＝－x2＋x＋2
9
D
10
【2020·界首市一模】写出经过点(0，0)、(－2，0)的一个二次函数的表达式：_________________(写一个即可)
y＝x2＋2x
(答案不唯一)
【2021·东台市模拟】抛物线经过坐标系中(－1，0)和(0，3)两点，对称轴为直线x＝1，如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是______________．
11
x＜－1或x＞3
【2020·江西】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
12
x
…
－2
－1
0
1
2
…
y
…
M
0
－3
n
－3
…
(1)根据以上信息，可知抛物线开口向________，对称轴为________；
上
直线x＝1
(2)求抛物线的表达式及m、n的值．
13
已知二次函数y＝ax2＋bx＋4(a＞0)的图像经过点A(1，2)．
(1)若点B(3，10)在该二次函数的图像上，求该二次函数的表达式；
(2)已知点M(3－t，5)、N(t＋3，5)在该二次函数的图像上，求该函数图像的顶点坐标．
解：把A(1，2)的坐标代入y＝ax2＋bx＋4，得a＋b＋4＝2.
∵点M(3－t，5)、N(t＋3，5)在该二次函数的图像上，
∴点M和点N为抛物线上的对称点．
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
【中考·苏州】如图，已知抛物线y＝x2－4与x轴交于点A、B(点A位于点B的左侧)，C为顶点，直线y＝x＋m经过点A，与y轴交于点D.
(1)求线段AD的长；
14
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为C′，若新抛物线经过点D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC′平行于直线AD，求新抛物线对应的函数表达式．
【中考·菏泽】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)、C(2，2)两点．
(1)试求抛物线的函数表达式；
15
(2)记抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；(共28张PPT)
利用二次函数解决实际问题中的最值问题
5.5.1
苏科版
九年级
第5章
二次函数
1
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5
C
6
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B
答
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9
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11
C
B
D
1264
某工厂2019年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x(x＞0)，设2021年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数表达式为( )
1
B
2
心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13
min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提出概念30
min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y与x满足的二次函数关系式为( )
A．y＝－(x－13)2＋59.9
B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31
C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8
D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
D
某种商品的价格为5元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y(单位：元)随每次降价的百分率x的变化而变化，则y与x之间的关系式为______________．
3
y＝5(1－x)2
【2021·建湖县一模】使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(单位：m3)与旋钮的旋转角度x(单位：度)(0°＜x≤90°)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮旋转的角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮旋转的角度约为( )
A．18°
B．36°
C．41°
D．58°
4
C
某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为( )
A．35元
B．36元
C．37元
D．36元或37元
5
B
6
C
【点拨】设每件小商品销售单价上涨x元，月销售利润为y元，则y＝(30－20＋x)(240－10x)＝(10＋x)(240－10x)＝－10x2＋140x＋2
400＝－10(x－7)2＋2
890，∴当x＝7时，30＋7＝37<40，y最大＝
2
890.∴每件小商品售价为30＋7＝37(元)，故选C.
7
【2021·连云港】某快餐店销售A、B两种快餐，每份的利润分别为12元、8元，每天卖出的份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是________元．
1264
8
【中考·宿迁】超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元)，每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
(1)请写出y与x之间的函数表达式；
(2)当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2
250元？
(3)设超市每天销售这种玩具可获利润w元，当x为多少时w最大，最大利润是多少？
【2021·本溪】某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个．如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
(1)请直接写出y(个)与x(元)之间的函数表达式；
9
解：由题意，得y＝100－2(x－60)＝－2x＋220.
(2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2
400元？
解：设每星期的销售利润为w元，
则w＝(x－40)(－2x＋220)＝－2x2＋300x－8
800，
令w＝2
400，则－2x2＋300x－8
800＝2
400，
解得x＝70或x＝80.
答：当销售单价为70元或80元时，该网店每星期的销售利润是2
400元．
(3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：w＝－2x2＋300x－8
800＝－2(x－75)2＋2
450，
∵－2＜0，
∴当x＝75时，w有最大值，最大值为2
450.
答：当销售单价是75元时，该网店每星期的销售利润最大，最大利润是2
450元．
10
【2021·扬州】甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：
甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3
000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元．
乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3
500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1
850元．
说明：①汽车数量为整数；②月利润＝月租车费－月维护费；③两公司月利润差＝月利润较高公司的利润－月利润较低公司的利润．
在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：
(1)当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是________元；当每个公司租出的汽车为________辆时，两公司的月利润相等；
(2)求两公司月利润差的最大值；
48
000
37
解：设两公司租出的汽车均为x辆，两公司的月利润分别为y甲，y乙，月利润差为y，
则y甲＝[(50－x)×50＋3
000]x－200x，y乙＝3
500x－1
850.
当甲公司的月利润大于乙公司时，0≤x＜37，
y＝y甲－y乙＝[(50－x)×50＋3
000]x－200x－(3
500x－1
850)＝－50x2＋1
800x＋1
850.
(3)甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a元(a＞0)给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司的月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司的月利润之差最大，求a的取值范围．
【2021·营口】某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整数)．
(1)写出y与x的函数表达式；
11
(2)当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？
解：设获得的利润为w元，
①当40≤x≤60时，w＝(x－30)(－10x＋700)＝－10(x－50)2＋4
000.
∵－10＜0，∴当x＝50时，w有最大值，最大值为4
000；
②当60＜x≤70时，w＝(x－30)(5x－200)－150(x－60)＝5(x－50)2＋2
500.
∵5＞0，抛物线的对称轴为直线x＝50，
∴当60＜x≤70时，w随x的增大而增大．
∴当x＝70时，w有最大值，最大值为5×(70－50)2＋2
500＝4
500.
综上，当售价为70元/件时，商家所获利润最大，最大利润是4
500元．(共29张PPT)
二次函数y＝ax2＋k与y＝a
(x＋h)2的图像和性质
5.2.3
苏科版
九年级
第5章
二次函数
D
1
2
3
4
5
C
6
7
8
D
答
案
呈
现
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9
B
10
11
12
x>0
B
A
D
B
13
14
15
答
案
呈
现
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【2020秋·北流市期中】抛物线y＝3x2－2的顶点坐标是( )
A．(0，0)
B．(－2，0)
C．(2，0)
D．(0，－2)
1
D
2
【2021秋·南昌期中】对于二次函数y＝－x2＋3，下列说法中不正确的是( )
A．抛物线的开口向下
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．图像是轴对称图形
D．当x＝0时，y有最大值3
B
【2020·西宁】函数y＝ax2＋1和y＝ax＋a(a为常数，且a≠0)，在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是( )
3
D
【2021秋·广州越秀区校级期中】若点(x1，y1)、(x2，y2)在二次函数y＝－x2＋5的图像上，且0＜x1＜x2，则( )
A．5＜y1＜y2
B．5＜y2＜y1
C．y2＜y1＜5
D．y1＜y2＜5
4
C
已知二次函数y＝2x2－1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是________．
5
x>0
抛物线y＝2(x－3)2的开口方向、顶点坐标、对称轴分别是(
)
A．向下、(0，－3)、y轴
B．向上、(0，－3)、直线x＝3
C．向下、(3，0)、y轴
D．向上、(3，0)、直线x＝3
6
D
7
将抛物线y＝－x2向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式是( )
A．y＝－(x＋2)2
B．y＝－x2＋2
C．y＝－(x－2)2
D．y＝－x2－2
A
8
如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与直线y＝2交于B、C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为(－3，0)，则此抛物线与y轴的交点坐标为( )
B
【中考·徐州】已知二次函数的图像经过点P(2，2)，顶点为O(0，0)，将该图像向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为________________．
9
10
已知某二次函数，当x＜1时，y随x的增大而减小；当x＞1时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数表达式：_______________________．
y＝(x－1)2(答案不唯一)
对于二次函数y＝3x2＋1和y＝3(x－1)2，以下说法：
①它们的图像都是开口向上；
②它们图像的对称轴都是y轴，顶点坐标都是(0，0)；
③当x>0时，y都随着x的增大而增大；
④它们图像的开口的大小是一样的．
其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
11
B
【点拨】两个函数的二次项系数相同，所以开口方向和大小均相同；但是对称轴和顶点坐标不一样，增减性也不一样．要注意加以区别．
如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得到△AA1B1.
(1)求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的表达式；
12
解：由题易得A(1，0)，B1(2，1)．
∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2.
∵抛物线经过点B1(2，1)，
∴1＝
a(2－1)2，解得a＝1.
∴抛物线的表达式为y＝(x－1)2.
(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．
13
(2)写出抛物线y＝a(x－h)2的对称轴及顶点坐标．
如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度后，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值．
14
解：依题意将抛物线y＝x2平移后为抛物线y＝(x－a)2，
∴点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，a2)．
∴OA＝a，OB＝a2.∵OA＝OB，∴a2＝a.
又∵a≠0，∴a＝1.
(2)在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．
【2021·荆州】小爱同学学习了二次函数后，对函数y＝－(|x|－1)2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图像．请根据函数图像，回答下列问题：
(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：
____________________；
15
函数图像关于y轴对称
(答案不唯一)
②方程－(|x|－1)2＝－1的解为：____________________；
③若方程－(|x|－1)2＝a有四个实数根，则a的取值范围是____________________．
x＝－2或x＝0或x＝2
－1＜a＜0
(2)延伸思考：
将函数y＝－(|x|－1)2的图像经过怎样的平移可得到函数y1＝－(|x－2|－1)2＋3的图像？写出平移过程，并直接写出当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围．
解：将函数y＝－(|x|－1)2的图像向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1＝－(|x－2|－1)2＋3的图像．
当2＜y1≤3时，自变量x的取值范围是0＜x＜4，且x≠2.(共24张PPT)
二次函数
5.1
苏科版
九年级
第5章
二次函数
B
B
1
2
3
4
5
2
C
6
7
8
C
D
A
答
案
呈
现
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9
D
10
11
12
C
13
14
15
答
案
呈
现
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16
1
B
B
2
若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数，则( )
A．m≠2
B．m≠－2
C．m≠3
D．m≠－3
3
A
关于x的函数y＝(m2＋m)xm2－2m＋2是二次函数，则m＝________.
4
2
已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别是( )
A．a＝1，b＝－3，c＝5
B．a＝1，b＝3，c＝5
C．a＝5，b＝3，c＝1
D．a＝5，b＝－3，c＝1
5
D
关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正确的是( )
A．y是x的二次函数
B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20
000
6
C
将二次函数y＝(x－2)(x＋5)－3x化为一般形式，并指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
解：y＝(x－2)(x＋5)－3x＝x2－10，所以二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是－10.
7
8
【南京鼓楼区校级模拟】下列函数关系中，是二次函数的是( )
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系
B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．半圆形的面积S与半径R之
间的关系
D
9
【2020·淮北一模】据省统计局公布的数据，安徽省2019年第二季度GDP总值约为7.9千亿元人民币，若我省第四季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是( )
A．y＝7.9(1＋2x)
B．y＝7.9(1－x)2
C．y＝7.9(1＋x)2
D．y＝7.9＋7.9(1＋x)＋7.9(1＋x)2
C
【安徽淮北市期中】用一根长60
cm的铁丝围成一个矩形，那么矩形的面积y(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式为( )
A．y＝x2－30x(0＜x＜30)
B．y＝－x2＋30x(0≤x＜30)
C．y＝－x2＋30x(0＜x＜30)
D．y＝－x2＋30x(0＜x≤30)
10
C
【长沙雨花区校级期中】某学校去年对实验器材的投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y万元，年平均增长率为x.则y与x的函数表达式为_______________．
11
y＝2x2＋6x＋4
当a＝________时，函数y＝(a－2)x|a|＋ax－5
是y关于x的二次函数．
12
－2
【江苏淮安区模拟】如图，将50
m长的护栏全部用于建造一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积y(m2)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数表达式．
13
10
14
如图，在矩形ABCD中，AB＝6
cm，BC＝12
cm，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1
cm/s的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1
cm/s的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，求出△BPQ的面积S(cm2)与出发时间t(s)的
函数表达式，并写出t的取值范围．
10
某广告公司设计一块周长为12
m的矩形广告牌，设计费为每平方米1
000元，设矩形一边的长为x
m，面积为S
m2.
(1)求S与x之间的函数表达式，并确定自变量x的取值范围；
15
(2)若要求设计的广告牌的各边长均为整数，请你填写下表，并探究当x取何值时，广告牌的设计费最多．
解：填表如下：
由表格可得，当x＝3时，广告牌的设计费最多．
如图，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形ABCD的边上．设AE＝x，正方形EFGH的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式；
16
解：由题易知△AEH≌△BFE，
∴AH＝BE＝AB－AE＝2－x.
∵∠A＝90°，
∴EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(2－x)2＝2x2－4x＋4，
即y＝2x2－4x＋4.
(2)若正方形EFGH的面积为2，求AE的长．
解：令y＝2，则2x2－4x＋4＝2，整理得x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1，即AE的长为1.
