(共26张PPT)
用平行投影解决问题
6.7.1
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
D
B
1
2
3
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5
C
6
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8
B
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案
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B
【2020·山西】如图，泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长、标杆的高度、金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的( )
A．图形的平移
B．图形的旋转
C．图形的轴对称
D．图形的相似
1
D
【中考·长春】《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意思是：如图，有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的标杆，它的影子长五寸(提示：1丈＝10尺，
1尺＝10寸)，则竹竿的长为( )
A．五丈
B．四丈五尺
C．一丈
D．五尺
B
2
【2020秋·扬州期末】如图，小明(用CD表示)站在旗杆(用AB表示)的前方8
m处，某一时刻小明在地面上的影子EC恰好与旗杆在地面上的影子EA重合．若CD＝1.6
m，CE＝2
m，则旗杆AB的高度为( )
A．6.4
m
B．8
m
C．9.6
m
D．10
m
3
B
【2020秋·新沂市期末】《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长15尺．同时立一根1.5尺的小标杆，它的影长是0.5尺．”如图所示，则可求得这根竹竿的长度为( )
A．50尺
B．45尺
C．5尺
D．4.5尺
4
B
【2020秋·扬州宝应期末】在太阳光下某一时刻，一根长为1.5
m的竹竿投影在地面上的影长是1
m，此刻测得旗杆投影在地面上的影长是12
m，则旗杆的高度为________m.
5
18
如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时她测得一根长为1
m的竹竿的影长是0.8
m．但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高
为1.2
m，又测得地面上的影长为2.6
m．
请你帮她算一下，树高是( )
A．3.25
m
B．4.25
m
C．4.45
m
D．4.75
m
6
C
【2020秋·苏州相城区期末】为了测得图①和图②中旗杆的高度，在太阳光下同一时刻小明和小红分别做了如下操作，测得竹竿CD长0.9米，其影长CE为1米．
(1)如图①，若小明测得旗杆影AE长为3米，求旗杆高AB为多少米(CD⊥AE，AB⊥AE，
点B、D、E在一条直线上)；
7
(2)如图②，若小红测得旗杆落在地面上的影长FG为3米，落在墙上的影子GH的高为1.1米，则旗杆高FP为多少米(PF⊥FG，HG⊥FG)．
8
【2020秋·镇江期末】如图，某同学想测量旗杆的高度，在阳光下，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长为1.5米，在同一时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为21米，留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度．
9
解：如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DG⊥BC于点G.
某中学平整的操场上有一根旗杆(如图)，一数学兴趣小组欲测量其高度，现有测量工具(皮尺、标杆)可供选用，请你用所学的知识，帮助他们设计测量方案．要求：
(1)画出你设计的测量平面图；
10
解：如图，沿着旗杆的影子竖立标杆，使标杆影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合．(设计方案不唯一)
(2)简述测量方法，写出测量的数据并计算出旗杆的高度(长度用a，b，c，…表示)．
11
【2020·扬州校级模拟】在一个阳光明媚的上午，某实验中学课外实验小组的同学利用所学知识测量校园内球体景观灯灯罩的半径，小周和他所在的小组计划借助影长进行测量，小周先在地面上立了一根0.4米长的标杆AB，并测得其影长AC为0.3米，同一时刻在阳光照射下，小周再测景观灯(NG)的影长GH为1.8米，然后小组其他成员测得景观灯KG的高度为2.3米(记灯罩顶端为K)．已知此时太阳光所在直线NH与灯罩所在⊙O相切于点M.请根据以上数据，
计算灯罩的半径．(共29张PPT)
用两边对应成比例且夹角相等判定三角形相似
6.4.3
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
1
2
3
4
5
6
7
8
答
案
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1
【中考·潍坊】如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝3AD，AB＝3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：____________________，可以使得△FDB与△ADE相似．(只需写出一个)
DF∥AC(答案不唯一)
2
3
D
4
D
如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且AD：AC＝1：3，AE＝BE，则有( )
A．△AED∽△BED
B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD
D．△BAD∽△BCD
5
B
如图，在直角坐标系中有两点A(4，0)、B(0，2)，如果点C在x轴上(点C与点A不重合)，当点C的坐标为________________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似(不包括全等)．
6
(1，0)或(－1，0)
【2020·昆明】在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有( )
A．4个
B．5个
C．6个
D．7个
C
7
【点拨】如图，
所以使得△ADE∽△ABC的格点三角形一共有6个．
已知有一块等腰三角形纸板，在它的两腰上各有一点E和F，把这两点分别与底边中点连接，并沿着这两条线段剪下两个三角形，所得的这两个三角形相似，剩余部分(四边形)的四条边的长度如图所示，那么原等腰三角形的底边长为( )
8
B
如图②，当∠D为等腰三角形的顶角，点A为底边的中点时，设BA＝AC＝m，BD＝CD＝n，则BE＝n－3，CF＝n－2.
∵BD＝CD，∴∠B＝∠C.
∴点B与点C为对应点．
若点E与点F，点A与点A为对应点，
则△BEA∽△CFA，可得BE：CF＝EA
：
FA＝BA
：
CA，
即(n－3)
：(n－2)＝2
：
4＝m
：
m，无解；
9
【中考·随州】在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝______时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE.求证：△ABC∽△CED.
10
11
(2)求∠ABD的度数．
12
(2)设直线MA与y轴交于点N，则是否存在△OMN与△AOB相似？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
13
如图，在矩形ABCD中，AB＝10
cm，BC＝20
cm，两只小虫P和Q同时分别从A、B出发沿AB、BC向终点B、C方向前进，小虫P的速度是1
cm/s，小虫Q的速度是2
cm/s.
请问：它们同时出发多少秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似？(共27张PPT)
图形的位似
6.6
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
D
C
1
2
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4
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C
B
6
7
8
A
D
A
答
案
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9
D
10
11
12
A
13
14
答
案
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如图所示的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是( )
A．点M
B．点N
C．点O
D．点P
1
D
【2020·无锡市锡山区校级一模】在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
2
【2020·河北】在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是( )
A．四边形NPMQ
B．四边形NPMR
C．四边形NHMQ
D．四边形NHMR
3
A
【2021·重庆】如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是( )
A．1：2
B．1：4
C．1：3
D．1：9
4
A
【2021·重庆】如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0，1)、D(0，3)，则△OAB与△OCD的相似比是( )
A．2：1
B．1：2
C．3：1
D．1：3
5
D
【2021·温州】如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，相似比为2：3，点A、B的对应点分别为点A′、B′.若AB＝6，则A′B′的长为( )
A．8
B．9
C．10
D．15
6
B
【2021·东营】如图，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点B′的横坐标是( )
A．－2a＋3
B．－2a＋1
C．－2a＋2
D．－2a－2
A
7
8
D
如图是与△ABC位似的图形的几种画法，其中正确的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9
如图，已知△ABC，任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，顺次连接，得到△DEF.下列结论：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF的周长比为1：2；④△ABC与△DEF的面积比为4：1.其中正确结论的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
C
【点拨】△ABC与△DEF的周长比为2:1，只有③错误．
如图，正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点D为位似中心将其放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2：1，画出符合条件的所有图形．(不要求写作法)
10
解：如图．
易错总结：此题易忽略其中一种情况，当题中对位似图形的位置没有限制时，一定要考虑全面．
11
如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E、F、G、H分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，那么?ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？为什么？
12
如图，已知△DEO与△ABO是位似图形，△OEF与△OBC是位似图形．
求证：OD·OC＝OF·OA.
13
如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)过点O作OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于点G，则△ABC和△FGC是位似图形吗？若是，请写出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．
(2)连接DG交OC于点H，作HI⊥BC于点I，试确定CI：BC的值(直接写出结果)．
解：CI∶BC＝1∶4.
14
【2021·绥化】如图所示，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，把小正方形的顶点叫做格点，O为平面直角坐标系的原点，矩形OABC的4个顶点均在格点上，连接对角线OB.
解：如图，△OA′B′或△OA″B″即为所求．
(2)将△OAB以O为旋转中心，逆时针旋转90°，得到△OA1B1，作出△OA1B1，并求出线段OB旋转过程中所形成扇形的周长．
10(共27张PPT)
相似图形
6.3
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
C
D
1
2
3
4
5
C
B
6
7
8
C
B
D
答
案
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9
D
10
11
12
A
D
13
14
答
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【盐城射阳县期末】观察下列每组图形，相似图形是( )
1
C
【2020·高邮市二模】下列各组图形一定相似的是( )
A．两个菱形
B．两个矩形
C．两个直角梯形
D．两个正五边形
D
2
将图形甲按一定的比例放大得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，没有被放大的是( )
A．边的长度
B．图形的周长
C．图形的面积
D．角的度数
3
D
【中考·重庆】要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5
cm、6
cm和9
cm，另一个三角形的最短边长为2.5
cm，则它的最长边长为( )
A．3
cm
B．4
cm
C．4.5
cm
D．5
cm
4
C
【2021秋·安庆市望江县期末】如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC＋∠ACB的度数为( )
A．135°
B．90°
C．60°
D．45°
5
D
6
B
C
7
8
B
四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2:3，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5:4，则四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似且相似比为( )
A．5:6
B．6:5
C．5:6或6?5
D．8:15
9
A
【点拨】∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为2:3，即10:15，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为5:4，即15:12，∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似，相似比为10:12，即5:6.故选A.
10
D
【点拨】把一个图形按一定的比例扩大或缩小，各边都相应扩大或缩小，各角不变．
如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，其中A、B、C、D的对应点分别为E、F、G、H，∠A＝62°，∠B＝70°，∠H＝140°，AD＝18，EF＝15，EH＝12，求∠G的度数及AB的长．
11
12
如图，多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A、B、C、D、E、F的对应点分别为A1、B1、C1、D1、E1、F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°，∠C1＝95°.
(1)求∠F的度数；
解：∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1相似，且∠C和∠C1，∠D和∠D1，∠E和∠E1是对应角，
∴∠C＝∠C1＝95°，∠D＝∠D1＝135°，∠E＝∠E1＝120°.
由多边形内角和定理，知∠F＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°.
(2)如果多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1:1.5，且CD＝15
cm，求C1D1的长度．
解：∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1∶1.5，且CD＝15
cm，∴C1D1＝15×1.5＝22.5(cm)．
13
【2020春·苏州校级期末】阅读下面的短文，并解答下列问题．
我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一
定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．
如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比a:b，设S甲、S乙分别表示这
两个正方体的表面积，
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是________．
A．两个球体
B．两个圆锥体
C．两个圆柱体
D．两个长方体
(2)请归纳出相似体的3条主要性质：
①相似体的一切对应线段(或弧)长的比等于________；
②相似体表面积的比等于_____________；
③相似体体积的比等于______________．
A
相似比
相似比的平方
相似比的立方
14
在AB＝20
m，AD＝30
m的矩形花坛四周修筑小路．
(1)如果四周的小路的宽均相等，都是x
m，如图①，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．
10
(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x
m、y
m，如图②，试问x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形
A′B′C′D′和矩形ABCD相似？
【点拨】本题把实际问题抽象到相似多边形中，利用相似多边形的对应边的比相等，列出方程，即可求得x?y的比值．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
(1)如果四周的小路的宽均相等，都是x
m，如图①，那么小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似吗？请说明理由．
10
(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x
m、y
m，如图②，试问x与y的比值为多少时，能使小路四周所围成的矩形
A′B′C′D′和矩形ABCD相似？(共31张PPT)
相似三角形的周长、面积的性质
6.5.1
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
A
C
1
2
3
4
5
1:3
B
6
7
8
C
C
B
答
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9
B
10
11
12
2:3
75
D
13
14
答
案
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15
16
【2020·铜仁】已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为( )
A．3
B．2
C．4
D．5
1
A
已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是( )
A．3?5
B．9?25
C．5?3
D．25?9
C
2
如图，在?ABCD中，AE?EC＝1?2，△AEF的周长为6
cm，则△CDE的周长为( )
A．6
cm
B．12
cm
C．18
cm
D．24
cm
3
B
【2020·徐州铜山县校级期末】三个相似多边形周长的和是234
cm，它们对应边的比为2：3：4，则这三个多边形的周长分别是________________________．
4
52
cm，78
cm，104
cm
【2021·遂宁】如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3
cm2，则四边形BDEC的面积为( )
A．12
cm2
B．9
cm2
C．6
cm2
D．3
cm2
5
B
6
B
C
7
8
C
9
【2021·菏泽】如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝5，BC＝10，四边形EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点E、F、G、N、M都在△ABC的边上，那么△AEM与四边形BCME的面积比为________．
1:3
【2021·常州】如果两个相似多边形面积的比为4：9，那么这两个相似多边形周长的比是________．
10
2:3
11
75
12
【中考·常德】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积为( )
A．20
B．22
C．24
D．26
D
13
【2021·玉林】如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB.
(1)求证：△DFC∽△AED；
证明：∵DF∥AB，DE∥BC，
∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF.
∴∠DFC＝∠AED.
又∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠ADE.
∴△DFC∽△AED.
14
某社区拟筹资金2
000元，计划在一块上、下底分别是10
m，20
m的梯形空地上种植花木(如图)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为10元/m2的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．
10
15
(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．
10
16
如图，有一批呈直角三角形、大小相同的不锈钢片，已知∠C＝90°，AC＝12
cm，BC＝5
cm，要用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，请设计一种方案，并求出这种方案下正方形不锈钢片的边长．
【点拨】要求面积最大的正方形，则正方形的顶点应落在△ABC的边上，而顶点落
在边上时有如图①和图②两种情况，应分类讨论求解．
解：如图①，设正方形EFGH的边长为x
cm，过点C作CD⊥AB于点D，交EH于点M.易知CM⊥EH.
10(共15张PPT)
相似三角形的高、中线、角平分线的性质
6.5.2
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
1
2
3
4
5
6
7
8
答
案
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1
A
已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC:A′C′＝2:3，若BD＝4
cm，则B′D′的长是( )
A．3
cm
B．4
cm
C．6
cm
D．8
cm
C
2
【中考·重庆A卷】若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )
A．3∶2
B．3∶5
C．9∶4
D．4∶9
3
A
4
C
【点拨】∵两个相似三角形对应边上的高之比为3:1，∴两个相似三角形的相似比为3:1，
∴它们对应角平分线之比为3:1，故选C.
【2020·广西】如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH的一边在BC上，点E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点N，则AN的长为( )
A．15
B．20
C．25
D．30
5
B
【2020·淄博】如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，且AD⊥BE，垂足为点F，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，则下列关系式中成立的是( )
A．a2＋b2＝5c2
B．a2＋b2＝4c2
C．a2＋b2＝3c2
D．a2＋b2＝2c2
6
A
C
7
8
【2020秋·淮安区期末】如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．
(1)求正方形DEFG的边长；
(2)如图②，在BC边上放两个小正方形DEFG、GFMN，则DE＝________．(共26张PPT)
图上距离与实际距离
6.1
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
B
C
1
2
3
4
5
C
D
6
7
8
C
B
25
答
案
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9
D
10
11
12
A
13
14
15
答
案
呈
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16
17
【2021秋·上海浦东新区期末】A、B两地的实际距离AB＝250米．如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地图上的距离与实际距离的比为( )
A．1：500
B．1：5
000
C．500：1
D．5
000：1
1
B
【2021秋·大庆市期末】在比例尺是1：30
000
000的地图上，量得甲地到乙地的距离是5.6厘米，一辆汽车按3：2的比例分两天行完全程，两天行的路程差是( )千米．
A．672
B．1
008
C．336
D．1
680
C
2
【宜兴市期中】在1：500
000的无锡市地图上，新建的地铁线估计长5厘米，那么等地铁建好后实际长约为________千米．
3
25
下列四组线段中，是成比例线段的是( )
A．3
cm，4
cm，5
cm，6
cm
B．4
cm，8
cm，3
cm，5
cm
C．5
cm，15
cm，2
cm，6
cm
D．8
cm，4
cm，1
cm，3
cm
4
C
5
D
【2021秋·百色市期中】如果线段a＝2
cm，b＝18
cm，那么a和b的比例中项是( )
A．3
cm
B．4
cm
C．±6
cm
D．6
cm
6
D
(1)已知a＝4，c＝9，若b是a、c的比例中项，则b＝________；
(2)已知线段MN是AB、CD的比例中项，AB＝4
cm，CD＝5
cm，则MN＝________cm.
±6
7
8
B
9
C
【中考·雅安】若a：b＝3：4，且a＋b＝14，则2a－b的值是( )
A．4
B．2
C．20
D．14
10
A
若2x＝3y，则x：y＝________.
11
12
13
D
【点拨】本题易忽视线段成比例的顺序性而漏解．
14
10
15
(2)若线段x与线段a，b存在x2＝ab的大小关系，求x.
16
(2)若△ABC的周长为90，求各边的长．
(2)若△ABC的周长为90，求各边的长．
解：∵△ABC的周长为90，
∴a＋b＋c＝90，即5k＋4k＋6k＝90.
解得k＝6.
∴a＝30，b＝24，c＝36.
17
如图，在?ABCD中，DE⊥AB于点E，
BF⊥AD，交AD的延长线于点F.
(1)AB、BC、BF、DE这四条线段是否成比例？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式．
(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．
【点拨】在平行四边形中，根据面积为定值，用不同的边为底边和对应的高表示面积，可以得到不同的底和高之间数量的相等关系，从而解决问题．
(1)AB、BC、BF、DE这四条线段是否成比例？如果不是，请说明理由；如果是，请写出比例式．
(2)若AB＝10，DE＝2.5，BF＝5，求BC的长．
解：∵AB·DE＝BC·BF，
∴10×2.5＝5BC，解得BC＝5.(共24张PPT)
用中心投影解决问题
6.7.2
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
B
C
1
2
3
4
5
280
6
7
8
答
案
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9
10
11
A
【2020秋·常州金坛区期末】如图，路灯距离地面7.5米，若身高1.5米的小明在距离路灯的底部(点O)8米的A处，则小明的影子AM的长为( )
A．1.25米
B．2米
C．4米
D．6米
1
B
【2020秋·滨海校级月考】如图，有一路灯杆AB(底部B不能直接到达)，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF＝3
m，沿BD方向到达点F处再测得自己的影长FG＝4
m．如果小明的身高为1.6
m，则路灯杆AB的高度为( )
A．5.4米
B．6米
C．6.4米
D．6.8米
C
2
【2020秋·泰州市泰兴期末】《九章算术》是我国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷九“勾股”，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系，其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”请你计算：走出南门多少步恰好能望见这棵树(注：1里＝300步)?
3
【2020秋·无锡市梁溪区期中】如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为30
cm，光源到屏幕的距离为90
cm，且幻灯片中的图形的高度为7
cm，则屏幕上图形的高度为( )
A．21
cm
B．14
cm
C．6
cm
D．24
cm
4
A
【2021秋·成都期末】如图所示是圆桌正上方的灯泡(看成一个点)发出的光线照射到桌面后，在地面上形成阴影(圆形)的示意图．已知桌面的半径为0.8
m，桌面距离地面1
m，若灯泡距离地面3
m，则地面上阴影部分的面积为________m2(结果保留π)．
5
1.44π
【2020秋·常熟期中】我军边防部队沿加勒万河谷巡逻时发现，对岸我方领土上有某国军队在活动．为了估算其与我军距离，侦察员手臂向前伸，将食指竖直，通过前后移动，使食指恰好将对岸我方树立的旗杆遮住，如图所示．若此时眼睛到食指距离l约为70
cm，食指AB长约为7
cm，旗杆CD高度h为28
m，则对方与我军距离d约为________m.
6
280
【盐城大丰区期末】如图，小颖周末晚上陪父母在斜江绿道上散步，她由路灯下A处前进3米到达B处时，测得影子BC长1米．已知小颖的身高为1.5米，她若继续往前走3米到达D处，求此时影子ED的长．
7
8
【2020秋·苏州吴江区校级期中】如图，墙壁D处有一盏灯，一篮球运动员小明站在A处测得他的影子AE长与身高AF相等都为2
m，小明向墙壁走1
m到B处发现影子刚好落在A点，求灯泡与地面的距离CD的长．
9
【2020秋·盐城市期中】如图，大街上有两盏路灯AB、CD，CD比AB高1米，晚上小张走到两盏路灯之间，且B、F、D成一直线时，他右边的影子FG为3米，左边的影子FH长2米，又知自己身高1.6米，两盏路灯之间的距离为15米，求路灯AB的高．
【2020秋·南京期末】贝贝利用所学知识测量路灯的高度．如图，贝贝和爸爸站在路灯下，爸爸的身高EF＝1.75
m，贝贝的身高MN＝1.55
m，他们的影子恰巧等于自己的身高，即BF＝1.75
m，CN＝1.55
m，两人相距FN＝5.7
m，求路灯AD的高度．
10
11
【2020秋·南通市如东期末】如图，小明同学为了测量教学楼的高度OE，先在操场上点A处放一面镜子，从点A处后退1
m到点B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E点；再将镜子向后移动4
m放在C处，从点C处向后退1.5
m到点D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点，测得小明的眼睛距地面的高度FB，GD为1.5
m，点O、A、
B、C、D在同一水平线上，镜子可看成
一个点．求教学楼的高度OE.(共33张PPT)
与判定三角形相似有关的应用及三角形的重心
6.4.5
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
10
C
1
2
3
4
5
C
C
6
7
8
D
B
A
答
案
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9
A
10
11
12
B
13
14
答
案
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15
如图，点G为△ABC的重心，连接AG、BG并延长，分别交BC、AC于点D、E，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么AF：AG＝________.
1
3：4
如图，点G是△ABC的重心，GH⊥BC，垂足为点H，若GH＝2.5，则点A到BC的距离为________．
7.5
2
【2020秋·苏州市月考】已知，在△ABC中，G是三角形的重心，AG＝5，GC＝12，AC＝13，则BG＝________.
3
13
4
C
如图，在△ABC中，∠A＝65°，AB＝6，AC＝3，将△ABC沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是( )
5
C
6
B
如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(2，0)，点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似(不包括全等)，则点C的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
D
7
【点拨】如图①，∠OAB＝∠BAC1，∠AOB＝∠ABC1＝90°时，△AOB∽△ABC1.如图②，AO∥BC2，BA⊥AC2，则∠ABC2＝∠OAB，∠AOB＝∠BAC2＝90°，故△AOB∽△BAC2；
如图③，AC3∥OB，∠ABC3＝90°，
则∠ABO＝∠C3AB，∠ABC3＝∠AOB
＝90°，故△AOB∽△C3BA；
如图④，∠AOB＝∠BAC4
＝90°，∠ABO＝∠ABC4，
则△AOB∽△C4AB.故选D.
如图，四边形ABCD，CDEF，GFGH都是正方形，则△ACF∽________，∠1＋∠2＝________°.
8
△GCA
45
9
如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当DP＝__________时，△ADP与△BCP相似．
1或4或2.5
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD10
【2020·上海】已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H.
(1)求证：△BEC∽△BCH；
11
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB.
又∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)．
∴∠DCF＝∠BCE.
∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF.∴∠BCE＝∠H.
又∵∠B＝∠B，
∴△BEC∽△BCH.
(2)如果BE2＝AB·AE，求证：AG＝DF.
12
如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2＝PE·PO.
(1)求证：PC是⊙O的切线．
(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O的半径．
13
如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，△ACB和△DCE的顶点都在格点上，ED的延长线交AB于点F.求证：
(1)△ACB∽△DCE；
(2)EF⊥AB.
解：∵△ACB∽△DCE，
∴∠ABC＝∠DEC.
又∵∠ABC＋∠BAC＝90°，
∴∠DEC＋∠BAC＝90°.
∴∠EFA＝90°.∴EF⊥AB.
14
如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB＝6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C.
(1)求证：AD平分∠BAC；
证明：如图，连接OD.
∵BD是⊙O的切线，∴OD⊥BD.
∵AC⊥BD，∴OD∥AC.
∴∠DAC＝∠ADO.
∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO.
∴∠DAO＝∠DAC，即AD平分∠BAC.
10
(2)求AC的长．
15
【2020·镇江模拟】如图，半径为2的⊙O分别与x轴、y轴交于A、D两点，⊙O上两个动点B、C，使∠BAC＝60°恒成立，设△ABC的重心为G，求DG的最小值．
10(共13张PPT)
黄金分割
6.2
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
C
C
1
2
3
4
5
10
6
C
答
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A
已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式成立的是( )
A．AB2＝AC·CB
B．CB2＝AC·AB
C．AC2＝BC·AB
D．AC2＝2BC·AB
1
C
已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，下列说法错误的是( )
C
2
3
C
4
10
5
A
【中考·烟台】如图，在矩形ABCD中，CD＝2，AD＝4，点P在BC上，将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在对角线AC上的E点，O为AC上一点，⊙O经过点A、P.
6
(1)求证：BC是⊙O的切线．
解：如图，连接OP，∵OA＝OP，
∴∠PAO＝∠APO，
而△AEP是由△ABP沿AP折叠而得，
故AE＝AB＝2，∠OAP＝∠PAB.
∴∠BAP＝∠OPA.
∴AB∥OP.∴∠OPC＝∠B＝90°.
∴OP⊥BC.∴BC是⊙O的切线．
(2)在边CB上截取CF＝CE，点F是线段BC的黄金分割点吗？请说明理由．
返回
D
O
f
B
P
F
D
E
B
P
F(共30张PPT)
平行线分线段成比例及平行线截三角形相似
6.4.1
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
10
C
1
2
3
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5
C
C
6
7
8
D
B
A
答
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9
A
10
11
12
B
13
14
答
案
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1
10
C
2
3
A
4
C
如图，在菱形ABCD中，点E在BC上，点F在CD上，点G、点H在AD上，且AE∥HC∥GF.若AH＝8，HG＝5，GD＝4，则下列选项中的线段，何者长度最长？( )
A．CF
B．FD
C．BE
D．EC
5
A
6
C
如图，AB∥CD∥EF，则图中相似三角形有( )
A．0对
B．1对
C．2对
D．3对
D
7
【中考·安徽】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G.若EF＝EG，则CD的长为( )
A．3.6
B．4
C．4.8
D．5
8
B
9
【中考·恩施州】如图，在?ABCD中，EF∥AB交BD于F，交AD于E.DE：EA＝3：4，EF＝3，则CD的长是( )
A．4
B．7
C．3
D．12
10
B
【中考·张家界】如图，在?ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使BE＝AB，连接DE，分别交BC、AC于点F、G.
(1)求证：BF＝CF；
11
(2)若DG＝4，求FG的长．
12
如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF.求证：
(1)四边形ABCD是平行四边形；
证明：∵EC∥AB，∴∠EDA＝∠DAB.
∵∠EDA＝∠ABF，
∴∠DAB＝∠ABF.∴AD∥BC.
又∵DC∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
(2)OA2＝OE·OF.
13
【2020·天门】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D的直线EF交AC于点F，交AB的延长线于点E，且∠BAC＝2∠BDE.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
证明：如图，连接OD、AD.
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.
∵AB＝AC，∴∠BAC＝2∠BAD.
又∵∠BAC＝2∠BDE，∴∠BDE＝∠BAD.
∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ADO.
∵∠ADO＋∠ODB＝90°，∴∠BDE＋∠ODB＝90°.
∴∠ODE＝90°，即DF⊥OD.
又∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线．
(2)当CF＝2，BE＝3时，求AF的长．
14
【中考·黄冈】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE.求证：
(1)△DBE是等腰三角形；
证明：连接OD，如图所示．
∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°.
∴∠ADO＋∠BDE＝90°.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.
∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO.
∴∠BDE＝∠B.∴EB＝ED.
∴△DBE是等腰三角形．
10
(2)△COE∽△CAB.
解：∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，
∴CB是⊙O的切线．
∵DE是⊙O的切线，∴ED＝EC.
∵EB＝ED，∴EC＝EB.
又∵OA＝OC，∴OE∥AB.
∴△COE∽△CAB.(共29张PPT)
用两角对应相等判定三角形相似
6.4.2
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
A
C
1
2
3
4
5
D
B
6
7
8
A
答
案
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9
C
10
11
如图，下列条件中，能判定△ACD∽△ABC的是( )
A．∠ADC＝∠ACB
B．∠B＝∠A
C．∠ACD＝∠BCD
D．∠B＝∠BCD
1
A
如图，在△ABC中，∠A＝78°，∠C＝35°.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
C
2
如图，已知三个三角形，相似的是( )
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
3
A
4
D
如图，作点D关于AB的对称点D′，作D′F∥PQ，使得D′F＝PQ，连接CF交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′＝PQ，连接Q′D，Q′D′，此时四边形P′CDQ′
的周长最小．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，若得到CD2＝BD·AD这个结论可证明( )
A．△ADC∽△ACB
B．△BDC∽△BCA
C．△ADC∽△CDB
D．无法判断
5
C
【2020·牡丹江】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝10，点E在BC边上，DF⊥AE，垂足为F.若DF＝6，则线段EF的长为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
6
B
【中考·岳阳】如图，AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的一点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE的垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．
①②④
7
【2020·苏州】如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F.
(1)求证：△ABE∽△DFA；
8
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°.
∴∠AEB＝∠DAF.
∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°＝∠B.
∴△ABE∽△DFA.
(2)若AB＝6，BC＝4，求DF的长．
9
【2020·济宁】如图，在△ABC中，AB＝AC，点P在BC上．
(1)求作：△PCD，使点D在AC上，且△PCD∽△ABP(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；
解：如图，作出∠APD＝∠ABP，即可得到△PCD∽△ABP.
(2)在(1)的条件下，若∠APC＝2∠ABC，求证：PD∥AB.
证明：∵∠APC＝2∠ABC，∠APD＝∠ABC，
∴∠APC＝2∠APD.
∴∠APD＝∠DPC.
∴∠DPC＝∠ABC.
∴PD∥AB.
10
解：令y＝ax－3a(a≠0)中y＝0，
即ax－3a＝0，解得x＝3.
∴点A的坐标为(3，0)．
(2)当S△AOC＝3时，求a和k的值．
【2021·无锡】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B.
(1)求证：∠PBA＝∠OBC；
11
证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBO＝90°.
∴∠OBC＋∠ABO＝∠PBA＋∠ABO＝90°.
∴∠PBA＝∠OBC.
(2)若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE.(共25张PPT)
用三边对应成比例判定三角形相似
6.4.4
苏科版
九年级
第6章
图形的相似
1
2
3
4
5
6
7
8
答
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9
10
11
12
1
已知△ABC的三边长分别为2，5，6.若要使△DEF∽△ABC，则△DEF的三边长可以是( )
A．3，6，7
B．6，15，18
C．3，8，9
D．8，10，12
B
已知△ABC的三边长分别为6
cm，7.5
cm，9
cm，△DEF的一边长为4
cm，当△DEF的另两边长是下列( )组时，这两个三角形相似．
A．2
cm，3
cm
B．4
cm，5
cm
C．5
cm，6
cm
D．6
cm，7
cm
C
2
3
D
【点拨】紧扣相似三角形对应点的不确定性，应分情况讨论，分别求出另外两边的长．
4
B
【2020秋·苏州新区期末】如图，四个三角形的顶点都在方格纸的格点上，下列两个三角形中相似的是( )
A．①④
B．①③
C．②③
D．②④
5
B
【2020秋·无锡期末】如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
6
A
在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”应落在哪个位置处，能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )
A．①处
B．②处
C．③处
D．④处
B
7
【中考·东营】如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4及x，那么x的值( )
A．只有1个
B．可以有2个
C．可以有3个
D．有无数个
8
B
9
如图，O为△ABC内一点，点D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.
(1)根据下面条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由．
AB＝4
cm，BC＝6
cm，AC＝8
cm.
A′B′＝12
cm，B′C′＝18
cm，A′C′＝21
cm.
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(2)若(1)中两三角形不相似，那么要使它们相似，不改变AC的长，A′C′的长应改为多少？
解：当A′C′＝24
cm时，两三角形相似．
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【2020秋·南京期中】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的格点上．
(1)填空：∠ABC＝________°，BC＝________；
(2)判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，请说明理由．
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【中考·菏泽】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：
(1)试证明△ABC为直角三角形；
(2)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(3)画1个三角形，使它的3个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的3个格点并且与△ABC相似，并予以证明．
解：如图，连接P2P5，P2P4，P4P5，则△P4P5P2符合要求．
