选择性必修一
第一章
空间向量与立体几何
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1、设，向量，，，且，，则的值为(
)
A.-1
B.1
C.2
D.3
2、在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是(
)
①；
②；
③；
④.
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
3、若向量与向量的夹角的余弦值为，则(
)
A.0
B.1
C.-1
D.2
4、已知空间任意一点和不共线的三点.若,
则“”是“四点共面”的(
)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5、在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，
则(
)
A.
B.
C.
D.
6、在长方体中,分别是的中点,则
异面直线与所成角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
7、如图，在正三棱柱中，，，D是的中点，则AD与平
面所成角的正弦值等于(
)
A.
B.
C.
D.
8、已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到的距离为(
)
A.10
B.3
C.
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9、下列命题中是假命题的为(
)
A.若向量,则与共面
B.若与共面,则
C.若,则四点共面
D.若四点共面,则
10、给出下列命题，其中正确的有(
)
A.空间任意三个向量都可以作为一个基底
B.已知向量，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.A，B，M，N是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
11、已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，则下列结论正确的有(
)
A.
B.
C.是平面ABCD的一个法向量
D.
12、将正方形沿对角线折成直二面角,则下列结论中正确的是(
)
A.
B.所成角为
C.为等边三角形
D.与平面所成角为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、若,,则与同方向的单位向量是_____________.
14、如图，在正四棱锥中，，点M为PA的中点，.若，则实数____
15、P是棱长为1的正方体的上底面上一点，则的取值范围是__________
16、给出下列命题：
①直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直；
②直线的方向向量，平面的法向量，则；
③平面的法向量分别为，则；
④平面经过三点，向量是平面的法向量，则.
其中真命题的是______________．（把你认为正确命题的序号都填上）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
（1）试用a，b，c表示向量；
（2）求BM的长.
18、如图，在底面半径为2?高为4的圆柱中，B，A分别是上?下底面的圆心，四边形EFGH是该圆柱的轴截面，已知P是线段AB的中点，M，N是下底面半圆周上的三等分点.
（1）求证：平面PAN；
（2）求平面FPM与平面NPM所成的锐二面角的余弦值.
19、如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，.
（1）若，求证：平面平面PBC；
（2）若PA与平面ABC所成角的大小为60°，求二面角的余弦值.
20、如图，点O为正四棱锥的底面ABCD的中心，四边形POBQ为矩形，且，.
（1）求正四棱锥的体积；
（2）设E为侧棱PA上的点，且,求直线BE与平面PQC所成角的大小.
21、如图所示，在梯形ABCD中，，，四边形ACFE为矩形，且平面ABCD，.
（1）求证：平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB的夹角为，试求的取值范围.
22、如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，点Q为线段
上的一动点.
（1）求证：当点Q为线段的中点时，平面；
（2）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.选择性必修一
第一章
空间向量与立体几何
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
四
总分
得分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设，向量，，，且，，则的值为(
)
A.-1
B.1
C.2
D.3
1.答案：A
解析：，，解得，又，，解得，则，故选A.
2、在正方体中，下列各式的运算结果为向量的是(
)
①；
②；
③；
④.
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
答案：C
解析：，①错；
，②错；
，③对；
，④对.故选C.
3、若向量与向量的夹角的余弦值为，则(
)
A.0
B.1
C.-1
D.2
答案：A
解析：由题意可知,解得，故选A.
4、已知空间任意一点和不共线的三点.若,则“”是“四点共面”的(
)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：当时,,则,即,根据共面向量定理知,四点共面.
反之,当四点共面时,根据共面向量定理,
设,即,即,即,这组数显然不止.
故“”是“四点共面”的充分不必要条件,故选B.
5、在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则(
)
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：，故选D.
6、在长方体中,分别是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
答案：A
解析：分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则点,则,
设异面直线与所成角的大小为,则
故选A.
7、如图，在正三棱柱中，，，D是的中点，则AD与平面所成角的正弦值等于(
)
A.
B.
C.
D.
答案：B
解析：以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
设平面的一个法向量为，则取，得.
设AD与平面所成的角为，则，
所以AD与平面所成角的正弦值为.故选B.
8、已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到的距离为(
)
A.10
B.3
C.
D.
答案：D
解析：由已知得，故点P到平面的距离为.故选D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9、下列命题中是假命题的为(
)
A.若向量,则与共面
B.若与共面,则
C.若,则四点共面
D.若四点共面,则
答案：BD
解析：AC为真命题.B中需满足不共线,D中需满足三点不共线.
10、给出下列命题，其中正确的有(
)
A.空间任意三个向量都可以作为一个基底
B.已知向量，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底
C.A，B，M，N是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
D.已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
答案：BCD
解析：选项A中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，故A错误.选项B中，根据基底的概念，知B正确.选项C中，由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面.又，，均过点B，所以A，B，M，N四点共面，故C正确.
选项D中，已知是空间的一个基底，则基向量a，b可以与向量构成空间的另一个基底，故D正确.故选BCD.
11、已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果，，，则下列结论正确的有(
)
A.
B.
C.是平面ABCD的一个法向量
D.
答案：ABC
解析：，，，A对；
，，，B对；
，，，平面ABCD，
是平面ABCD的一个法向量，C对；
，设，即方程组无解，D错.
故选ABC.
12、将正方形沿对角线折成直二面角,则下列结论中正确的是(
)
A.
B.所成角为
C.为等边三角形
D.与平面所成角为
答案：ABC
解析：如图,A.取中点为,连接,易知平面,故.
B.以为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,设正方形边长为,则,故.由两向量夹角公式得,故异面直线所成的角为.
C.在直角三角形中,由,得,故为等边三角形.
D.易知即为直线与平面所成的角,易得,故D错误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13、若,,则与同方向的单位向量是_____________.
答案：
解析：与同方向的单位向量是.
14、如图，在正四棱锥中，，点M为PA的中点，.若，则实数_____
答案：4
解析：连接AC，交BD于点O，连接OP，以O为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
设，则.
，，，，
，
，，解得.
15、P是棱长为1的正方体的上底面上一点，则的取值范围是__________
答案：
解析：以D为原点，以DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系，如图所示，则，.
设点P的坐标为，由题意可得,，，，，
，当时，取得最小值，最小值为；当或1，且或1时，取得最大值，最大值为0.
故的取值范围是.
16、给出下列命题：
①直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直；
②直线的方向向量，平面的法向量，则；
③平面的法向量分别为，则；
④平面经过三点，向量是平面的法向量，则.
其中真命题的是______．（把你认为正确命题的序号都填上）
答案：①④
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.
（1）试用a，b，c表示向量；
（2）求BM的长.
解析：（1）是PC的中点，
.
，，
，
结合，，，得.
（2）
，，
，.
，，
，.
由（1）知，
，
，即BM的长等于.
18、如图，在底面半径为2?高为4的圆柱中，B，A分别是上?下底面的圆心，四边形EFGH是该圆柱的轴截面，已知P是线段AB的中点，M，N是下底面半圆周上的三等分点.
（1）求证：平面PAN；
（2）求平面FPM与平面NPM所成的锐二面角的余弦值.
解析：（1）因为分别是上?下底面的圆心，四边形EFGH是圆柱的轴截面
所以且，
如图，连接BN，因为M，N是下底面半圆周上的三等分点，
所以且，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面PAN，平面PAN，所以平面PAN.
（2）如图，以A为坐标原点，下底面内AH的垂线为x轴，AH所在的直线为y轴，AB所在的直线为
z轴，建立空间直角坐标系
圆柱的底面半径为2，高为4，所以，，，，
所以，
，
.
设平面FPM的法向量为，平面NPM的法向量为，
所以，
，
令时，则，，所以.
同理，，
，
令时，则，，所以.
设平面FPM与平面NPM所成的锐二面角为，
所以，
即平面FPM与平面NPM所成的锐二面角的余弦值为.
19、如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，.
（1）若，求证：平面平面PBC；
（2）若PA与平面ABC所成角的大小为60°，求二面角的余弦值.
解析：（1）证明：
因为平面平面ABC，
平面平面,平面ABC,
，
所以平面PAC.
因为平面PAC，所以.
又,，
所以平面PBC.
因为平面PAB,
所以平面平面PBC.
（2）如图，过点P作于点H,
因为平面平面ABC，所以平面ABC，所以，
不妨设，则，
以C为原点，CA,CB所在直线分别为x轴，y轴，以过C点且平行于PH的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则，，，，
因此，，，.
设为平面PAB的一个法向量,则即
令，可得，
设为平面PBC的一个法向量，则即
令，可得，
所以，
易知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
20、如图，点O为正四棱锥的底面ABCD的中心，四边形POBQ为矩形，且，.
（1）求正四棱锥的体积；
（2）设E为侧棱PA上的点，且,求直线BE与平面PQC所成角的正弦值
解析：（1）由已知可得，
因为，所以，
所以正四棱锥的体积.
（2）以O为原点，OC,OD,OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，易得，，，，，所以，，.
设平面PQC的一个法向量为，则即
令，得.
依题意可得，
设，则，所以，解得
故，
所以.
设直线BE与平面PQC所成的角为，
则.
故直线BE与平面PQC所成角的正弦值为
21、如图所示，在梯形ABCD中，，，四边形ACFE为矩形，且平面ABCD，.
（1）求证：平面BCF；
（2）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB的夹角为，试求的取值范围.
解析：（1）证明：
连接AC，设，
，，，，
，
，.
四边形ACFE为矩形，.
，平面BCF，且，
平面BCF.
，
平面BCF.
（2）以C为坐标原点，直线CA，CB，CF分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，所以，，
设为平面MAB的法向量，
由得
取，所以.
因为是平面FCB的一个法向量，所以.
因为，所以当时，有最小值；当时，有最大值，
所以.
22、如图，在直三棱柱中，，，点P为棱的中点，点Q为线段上的一动点.
（1）求证：当点Q为线段的中点时，平面；
（2）设，试问：是否存在实数，使得平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由.
解析：（1）证明：
连接，.
点Q为线段的中点，四边形为矩形，
，Q，三点共线，且点Q为的中点.
点P，Q分别为和的中点，
.
在直三棱柱中，，
平面，
又平面，.
又，四边形为正方形，
z
.
，平面.
∵
平面.
y
x
（2）以C为原点，分别以CA，CB，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，连接，，BP，则，.设.
，.
.
点Q在线段上运动，
平面的法向量即为平面的法向量.
设平面的法向量为，
，，
，.
由得
令，得.
设平面的法向量为，
，，.
由得
令，得.
由题意得，
，解得或.
当或时，平面与平面所成夹角的余弦值为.
：
