3.2.2
奇偶性(1)
班级：
姓名：
学习目标
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；
2.会用两种方法判断函数的奇偶性.
重点、难点
重点：奇偶性的概念；
难点：奇偶性的判断(特别是定义法判断分段函数的奇偶性).
学科素养
直观想象：1.数形结合理解奇偶性的概念；
2.根据图象判断函数的奇偶性.
数学抽象：1.具体实例抽象出奇偶性的概念；
2.定义法判断分段函数的奇偶性.
逻辑推理：定义法判断奇偶性.
导引，助力达标
一、阅读材料
【材料1】
在平面直角坐标系内：
1.若两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，则这两个点关于
对称；
2.若两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，则这两个点关于
对称.
【材料2】
1.对于函数f
(x)=x2＋1：
(1)
f
(－x)与f
(x)什么关系？
(2)
f
(x)的图像关于
对称.
2.对于函数f
(x)=：
(1)
f
(－x)与f
(x)什么关系？
(2)
f
(x)的图像关于
对称.
二、奇偶性的概念
1.偶函数的定义
一般地，设函数f
(x)
的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f
(－x)=f
(x)，那么函数f
(x)就叫做偶函数(even
function).
定义剖析：1.定义为
量词命题；
2.定义域关于
对称；
3.图像关于
对称.
2.奇函数的定义
一般地，设函数f
(x)
的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f
(－x)=－f
(x)，那么函数f
(x)就叫做奇函数(odd
function).
定义剖析：1.定义为
量词命题；
2.定义域关于
对称；
3.图像关于
对称；
4.若0∈I，则f
(0)
=
.
3.【边学边用】
【例题】判断下列函数的奇偶性：
(1)
f
(x)
=x＋；(2)
f
(x)=x4.
解析：(1)
(2)
自己试一试
判断下列函数的奇偶性：
(1)
f
(x)=2x4+；(2)
f
(x)=x3－.
解析：(1)
(2)
定义法判断奇偶性的步骤：
1.确定定义域I，看是否有“?x∈I，都有
∈I”；
2.判断“f
(－x)=f
(x)”还是“f
(－x)=
”；
3.写出结论.
思考：
1.函数按奇偶性能分几类？你能各举一例吗？
2.初中学过的三类函数具有奇偶性吗？
活学活用，发展思维
分段函数奇偶性的判断
【例题】判断函数f(x)=的奇偶性.
方法1(定义法)：
方法2(图象法)：
自己试一试
判断函数f
(x)=的奇偶性.
方法1(定义法)：
方法2(图像法)：
自我反馈，总结提升
1.定义法判断函数奇偶性的两个关键环节：
（1）判断定义域I是否具有对称性(?x∈I，都有
∈I.)；
（2）判断f
(－x)与f
(x)的关系(相等还是
).
2.奇、偶函数的几何特征：
奇函数图像关于
对称；
偶函数图像关于
对称.
3.定义法判断分段函数的奇偶性，必须确保
上都有f
(－x)=－f
(x)，或f
(－x)=f
(x).
自我评估
选择题：
1.若函数f
(x)(f
(x)≠0)为奇函数，则必有(
)
A.
f
(x)f
(－x)>0
B.
f
(x)f
(－x)<0
C.
f
(x)(－x)
D.
f
(x)
>f
(－x)
2.下列哪个函数是其定义域上的偶函数
(
)
A.y=2x2－，x∈(－1，1]
B.y=x－1
C.y=
D.y=
3.下列四个图像中，可表示函数y=x－的图像的是(
)
填空题：
4.已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b=
.
5.已知函数f
(x)是定义在R上的奇函数，则f
(0)=
.
解答题：
6.判断函数的奇偶性：
人教A版（2019）必修第一册同步学案-3..2.2
奇偶性(1)
学生版
(1)
f
(x)=；
(2)
f
(x)=1
1
13.2.2
奇偶性(1)
班级：
姓名：
学习目标
1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义；
2.会用两种方法判断函数的奇偶性.
重点、难点
重点：奇偶性的概念；
难点：奇偶性的判断(特别是定义法判断分段函数的奇偶性).
学科素养
直观想象：1.数形结合理解奇偶性的概念；
2.根据图象判断函数的奇偶性.
数学抽象：1.具体实例抽象出奇偶性的概念；
2.定义法判断分段函数的奇偶性.
逻辑推理：定义法判断奇偶性.
导引，助力达标
一、阅读材料
【材料1】
在平面直角坐标系内：
1.若两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，则这两个点关于y轴对称；
2.若两个点的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，则这两个点关于原点对称.
【材料2】
1.对于函数f
(x)=x2＋1：
(1)
f
(－x)与f
(x)什么关系？（相等）
(2)
f
(x)的图像关于y轴对称.
2.对于函数f
(x)=：
(1)
f
(－x)与f
(x)什么关系？（互为相反数）
(2)
f
(x)的图像关于原点对称.
二、奇偶性的概念
1.偶函数的定义
一般地，设函数f
(x)
的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f
(－x)=f
(x)，那么函数f
(x)就叫做偶函数(even
function).
定义剖析：1.定义为全称量词命题；
2.定义域关于
0
对称；
3.图像关于y轴对称.
2.奇函数的定义
一般地，设函数f
(x)
的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f
(－x)=－f
(x)，那么函数f
(x)就叫做奇函数(odd
function).
定义剖析：1.定义为全称量词命题；
2.定义域关于
0
对称；
3.图像关于原点对称；
4.若0∈I，则f
(0)
=
0
.
3.【边学边用】
【例题】判断下列函数的奇偶性：
(1)
f
(x)
=x＋；(2)
f
(x)=x4.
解析：(1)函数的定义域为I=(－∞，0)∪(0，＋∞)，?x∈I，都有－x∈I.
f
(－x)=－x＋=－(x＋)=－f
(x)，∴
f
(x)
=
x＋为奇函数.
(2)
函数的定义域为R，?x∈R，都有－x∈R.
f
(－x)=(－x)4=x4=f
(x)，∴
f
(x)=x4为偶函数.
自己试一试
判断下列函数的奇偶性：
(1)
f
(x)=2x4+；(2)
f
(x)=x3－.
解析：(1)函数的定义域为I=(－∞，0)∪(0，＋∞)，?x∈I，都有－x∈I.
f
(－x)=2(－x)4＋=2x4+=
f
(x)，∴
f
(x)=2x4+为偶函数.
(2)
函数的定义域为R，?x∈R，都有－x∈R.
f
(－x)=(－x)3－=－x3＋=－(x3－)=－f
(x)，∴
f
(x)=x3－为奇函数.
定义法判断奇偶性的步骤：
1.确定定义域I，看是否有“?x∈I，都有－x∈I”；
2.判断“f
(－x)=f
(x)”还是“f
(－x)=－f
(x)”；
3.写出结论.
思考：
1.函数按奇偶性能分几类？你能各举一例吗？
答：四类.
是偶非奇，例如f
(x)=x2；
是奇非偶，例如f
(x)=x；
非奇非偶，例如f
(x)=x＋1；
既奇又偶，f
(x)=0；
2.初中学过的三类函数具有奇偶性吗？
一次函数f
(x)=kx＋b(k≠0)一定不能是偶函数，若是奇函数，必有b=0；
反比例函数y=(k≠0)是奇函数；
二次函数f
(x)=ax2+bx+c(a≠0)一定不能是奇函数，若是偶函数，必有b=0.
活学活用，发展思维
分段函数奇偶性的判断
【例题】判断函数f(x)=的奇偶性.
方法1(定义法)：
函数的定义域为I=(－∞，0)∪(0，＋∞)，?x∈I，都有－x∈I.
①当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞).
f
(x)=－－1，f
(－x)=(－x)2＋1=.
∴
f
(－x)=－f
(x).
②当x(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0).
f
(x)=x2＋1，f
(－x)=－(－x)2－1=－x2－1.
∴
f
(－x)=－f
(x).
综合①②得，?x∈I，都有f
(－x)=－f
(x)，f(x)=是奇函数.
方法2(图象法)：
画出函数f(x)=的图像(如图).
图像关于原点对称，所以函数为奇函数.
自己试一试
判断函数f
(x)=的奇偶性.
方法1(定义法)：
函数的定义域为I=(－∞，0)∪(0，＋∞)，?x∈I，都有－x∈I.
①当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞).
f
(x)=－x2－x－1，f
(－x)=(－x)2－(－x)＋1=x2＋x＋1，∴
f
(－x)＋f
(x)=0，即
f
(－x)=－f
(x)；
②当x=0时，－x=0.
f
(x)=f
(0)=0，f
(－x)=f
(0)=0，f
(－x)=－f
(x)；
③当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0).
f
(x)=x2－x＋1，f
(－x)=－(－x)2－(－x)－1=－x2＋x－1，∴
f
(－x)＋f
(x)=0，即
f
(－x)=－f
(x)；
综合①②③得，f
(x)=为奇函数.
方法2(图像法)：
画出函数，f
(x)=的图像(如图).
图像关于原点对称，所以函数为奇函数.
自我反馈，总结提升
1.定义法判断函数奇偶性的两个关键环节：
（1）判断定义域I是否具有对称性(?x∈I，都有－x∈I.)；
（2）判断f
(－x)与f
(x)的关系(相等还是相反数).
2.奇、偶函数的几何特征：
奇函数图像关于原点对称；
偶函数图像关于y轴对称.
3.定义法判断分段函数的奇偶性，必须确保每一段上都有f
(－x)=－f
(x)，或f
(－x)=f
(x).
自我评估
选择题：
1.若函数f
(x)(f
(x)≠0)为奇函数，则必有(
)
A.
f
(x)f
(－x)>0
B.
f
(x)f
(－x)<0
C.
f
(x)(－x)
D.
f
(x)
>f
(－x)
【答案】B
解析：函数为奇函数，且函数值皆不为0，所以f
(x)与f
(－x)互为相反数(一正一负).
综上，选项为B.
2.下列哪个函数是其定义域上的偶函数
(
)
A.y=2x2－，x∈(－1，1]
B.y=x－1
C.y=
D.y=
【答案】C
解析：对于A选项，定义域I=(－1，1].
1∈I，－1?I.
不符合?x∈I，都有－x∈I
.所以此函数既不是奇函数，也不是偶函数；
对于B选项，f
(x)=x－1，f
(－x)=－x－1.
f
(－x)≠f
(x)，且
f
(－x)≠－f
(x).
所以此函数既不是奇函数，也不是偶函数；
对于C选项，定义域I=[－2，2]，?x∈I，都有－x∈I
.
f
(x)=，f
(－x)===f
(x).
f
(x)为偶函数.
对于D选项，，定义域I=[0，＋∞)，1∈I，－1?I.
不符合?x∈I，都有－x∈I
.所以此函数既不是奇函数，也不是偶函数.
综上，选项为C.
3.下列四个图像中，可表示函数y=x－的图像的是(
)
【答案】D
解析：x=1时，y=0，淘汰A；
函数f
(x)=x－为奇函数，淘汰B；
函数f
(x)=x－在(0，＋∞)单调递增，淘汰C.
综上，选项为D.
填空题：
4.已知一个奇函数的定义域为{－1，2，a，b}，则a＋b=
.
【答案】－1
解析：按照奇偶性定义，若函数定义域为I，则必有“?x∈I，都有－x∈I”，所以a、b这两个元素其中一个是1，另一个是－2，a＋b=－1.
5.已知函数f
(x)是定义在R上的奇函数，则f
(0)=
.
【答案】0
解析：f
(－0)=－f
(0)?f
(0)=－f
(0)?2f
(0)=0?f
(0)=0.
解答题：
6.判断函数的奇偶性：
(1)
f
(x)=；
(2)
f
(x)=
解析：(1)由得函数定义域I=[－1，0)∪(0，1].
f
(x)===(根据定义域，x＋2>0).
?x∈I，都有－x∈I.
f
(－x)==－=－f
(x)，函数f
(x)为奇函数.
(2)方法一：
函数的定义域为R，?x∈R，都有－x∈R.
①当x>0时，－x<0.
f
(x)=x2，f
(－x)=－(－x)2=－x2，f
(－x)=－f
(x)；
②当x=0时，f
(－0)=
f
(0)=－02=0，f
(－x)=－f
(x)；
③当x<0时，－x>0.
f
(x)=－x2，f
(－x)=(－x)2=x2，f
(－x)=－f
(x).
综上，函数
f
(x)=为奇函数.
方法二：画出函数
f
(x)=的图像(如图)：
人教A版（2019）必修第一册同步学案-3..2.2
奇偶性(1)
教师版
图像关于原点对称，所以函数为奇函数.1
1
1
