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13.5.3
角平分线
数学华师版
八年级上
复习导入
1.角平分线的定义是什么？
从一个角的顶点引出一条射线(线在角内),把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线。
新知讲解
回忆
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.
新知讲解
如图13.5.4,
OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点,作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D和点E.将∠AOB沿OC对折，
我们发现PD与PE完全重合.
图
13.5.4
O
P
E
B
C
D
A
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等
新知讲解
新知讲解
已知:如图13.5.4,
OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA,
PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.
求证:
PD
=
PE.
分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO,只要
证明这两个三角形全等,便可证得PD
=
PE.
请写出完整的证明过程.
图13.5.4
新知讲解
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOP
=∠EOP
∵PD⊥OA,
PE⊥OB
∴
∠ODP=∠OEP=90°
在△PDO和△PEO中,
∵∠DOP
=∠EOP，∠ODP=∠OEP，OP=OP
∴△PDO≌△PEO
∴PD
=
PE
图13.5.4
新知讲解
探索
这一定理描述了角平分线的性质,那么反过来会有什么结果呢?
条件
结论
性质定理
逆命题
写出该定理与它的逆命题的条件与结论,想想看，其逆命题是否是一个真命题?
新知讲解
条件
结论
性质定理
逆命题
在角平分线上有一点
该点到角两边的距离相等
有一点到线段的两个端点距离相等
这点在角的角平分线上平分线上
新知讲解
已知:如图13.5.5,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为
垂足,QD
=
QE.
求证:点Q在∠AOB的平分线上，
分析
为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ,然后证明Rt△QDO≌Rt△QEO,从而得到
∠AOQ=∠BOQ.
图13.5.5
新知讲解
证明：过点O、Q作射线OQ.
∵QD⊥OA,QE⊥OB,
∴∠QDO=∠QEO
=
90°.
在Rt△QDO和Rt△QEO中
∵OQ=OQ
,QD=QE,
∴Rt△QDO≌Rt△QEO(
H.L.
)，
∴∠DOQ
=∠EOQ(全等三角形的对应角相等).
∴点Q在∠AOB的平分线上.
图13.5.5
定理:
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
新知讲解
上述两条定理互为逆定理，
根据上述两条定理，我们就能证明:三角形的三条角平分线交于一点.
新知讲解
试一试
从图13.5.6中可以看出，要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了.其思路可表示如下：
图13.5.6
新知讲解
AO是∠BAC的平分线
BO是∠ABC的平分线
OI=OH
OG=OI
OG=OH
点O在∠BCA的平分线上
试试看，现在你会证明了吗？
图13.5.3
方法总结:
(1)有角的平分线(或证明是角的平分线)时，过角平分线上的点向两边作垂线段，再利用角平分线的判定或性质证题则问题往往迅速得解;
(2)有线段的和差关系时，常用截长补短法作辅助线化和差关系为相等关系。
新知讲解
课堂练习
1、
如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果△ADE的周长为6cm，AC=4cm，那么AD等于（ ）
A.
2cm
B.
4cm
C.
3cm
D.
6cm
A
2、
已知：如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．
求证：（1）OC=OD；（2）OE是CD的垂直平分线．
2、证明：（1）∵OE平分∠AOB，
∴∠COE=∠DOE，
∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE=∠ODE=90°，
又∵OE=OE，
∴△OCE≌△ODE（AAS），
∴OC=OD；
（2）∵△OCE≌△ODE，
∴OC=OD，CE=DE，
∴OE是CD的垂直平分线．
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．
（1）求∠B的度数．
（2）若DE=5，求BC的长．
解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，∴∠2=∠B，
∵∠C=90°，∴∠B=∠1=∠2=30°
（2）∵DE⊥AB，∠B=30°，
∴BD=2DE=10，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=5，
∴BC=CD+BD=15．
4、如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AC＝20，BE＝4，求AB的长．
解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°．
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC．
（2）∵Rt△BED≌Rt△CFD，AD平分∠BAC，
∴AE＝AF，CF＝BE＝4．
∵AC＝20，∴AE＝AF＝20-4＝16，
∴AB＝AE-BE＝16-4＝12．
课堂小结：
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.中小学教育资源及组卷应用平台
八年级上13.5.3角平分线导
学案
课题
13.5.3
角平分线
单元
第13章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、掌握角平分线的性质定理和判定定理。
2、角平分线判定定理的灵活应用。
重点
难点
角平分线判定定理的灵活应用。
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
预习课本，完成下列各题：
1、如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，过点P作PC⊥OA于点C，且PC=3，则点P到OB的距离为（ ）
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
2、
如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=__________．
???????
合
作
探
究
探究一：
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.
如图13.
5.4,
OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点,作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D和点E.将∠AOB沿0C对折，
我们发现PD与PE完全重合.
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等
已知:如图13.5.4,
OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥0A,
PE⊥0B，垂足分别为点D和点E.
求证:
PD
=
PE.
分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO,只要
证明这两个三角形全等,便可证得PD
=
PE.
图13.5.4
请写出完正整的证明过程.
探究二：
这一定理描述了角平分线的性质,那么反过来会有什么结果呢?
条件结论性质定理逆命题
写出该定理与它的逆命题的条件和结论,想想看，其逆命题是否是一个真命题?
探究三：
已知:如图13.5.5,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为
垂足,QD
=
QE.
求证:点Q在∠AOB的平分线上，
分析
为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线0Q,然后证明Rt△QDO≌Rt△QEO,从而得到∠AOQ=∠BOQ.
图13.5.5
定理:
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
上述两条定理互为逆定理，
根据上述两条定理，我们就能证明:三角形的三条角平分线交于一点.
从图13.5.6中可以看出，要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了.其思路可表示如下
图13.5.6
方法总结:
(1)有角的平分线(或证明是角的平分线)时，过角平分线上的点向两边作垂线段，在利用角平分线的判定或性质证题则问题往往迅速得解;
(2)有线段的和差关系时，常用截长补短法作辅助线化和差关系为相等关系。
当
堂
检
测
1、
如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果△ADE的周长为6cm，AC=4cm，那么AD等于（ ）
A.
2cm
B.
4cm
C.
3cm
D.
6cm
2、
已知：如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．
求证：（1）OC=OD；（2）OE是CD的垂直平分线．
3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．
（1）求∠B的度数．
（2）若DE=5，求BC的长．
4、如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD＝CD，BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若AC＝20，BE＝4，求AB的长．
课
堂
小
结
角平分线的性质定理和判定定理是什么？
参考答案
自主学习：
1、解：如图，过点P作PD⊥OB于D，
∵点P是∠AOB的角平分线上一点，PC⊥OA，
∴PC=PD=3，
即点P到OB的距离等于3．
故选：A．
2、解∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，
∴OC平分∠AOB，
即
故答案为
合作探究：
探究一：
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠DOP
=∠EOP
∵PD⊥OA,
PE⊥OB
∴
∠ODP=∠OEP=90°
在△PDO和△PEO中,
∵∠DOP
=∠EOP，∠ODP=∠OEP，OP=OP
∴△PDO≌△PEO
∴PD
=
PE
探究二：
条件
结论
性质定理
在角平分线上有一点
该点到角两边的距离相等
逆命题
有一点到线段的两个端点距离相等
这点在角的角平分线上平分线上
探究三：
证明：过点O、Q作射线OQ.
∵QD⊥OA,QE⊥OB,
∴∠QDO=∠QEO
=
90°.
在Rt△QDO和Rt△QEO中
∵OQ=OQ
,QD=QE,
∴Rt△QDO≌Rt△QEO(
H.L.
)，
∴∠DOQ
=∠EOQ(全等三角形的对应角相等).
∴点Q在∠AOB的平分线上.
当堂检测：
1、解：在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，
∴CE=DE，
∵△ADE的周长为6cm，
∴AE+DE+AD=6cm，即AC+AD=6cm，
∵AC=4cm，
∴AD=6cm-4cm=2cm，
故选：A．
2、证明：（1）∵OE平分∠AOB，
∴∠COE=∠DOE，
∵EC⊥OA，ED⊥OB，
∴∠OCE=∠ODE=90°，
又∵OE=OE，
∴△OCE≌△ODE（AAS），
∴OC=OD；
（2）∵△OCE≌△ODE，
∴OC=OD，CE=DE，
∴OE是CD的垂直平分线．
3、解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠2=∠B，
∵∠C=90°，
∴∠B=∠1=∠2=30°
（2）∵DE⊥AB，∠B=30°，
∴BD=2DE=10，
∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE=5，
∴BC=CD+BD=15．
4、解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E＝∠DFC＝90°．
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，
∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC．
（2）∵Rt△BED≌Rt△CFD，AD平分∠BAC，
∴AE＝AF，CF＝BE＝4．
∵AC＝20，
∴AE＝AF＝20-4＝16，
∴AB＝AE-BE＝16-4＝12．
课堂小结：
角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
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精品试卷·第
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13.5.3
角平分线
课题
13.5.3
角平分线
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1、掌握角平分线的性质定理和判定定理。2、角平分线判定定理的灵活应用。
重点难点
角平分线判定定理的灵活应用。
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
1.角平分线的定义是什么？从一个角的顶点引出一条射线(线在角内),把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线。角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.如图13.5.4,
OC是∠AOB的平分线，P是OC上任一点,作PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D和点E.将∠AOB沿OC对折，我们发现PD与PE完全重合.角平分线的性质定理角平分线上的点到角两边的距离相等已知:如图13.5.4,
OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA,
PE⊥OB，垂足分别为点D和点E.求证:
PD
=
PE.分析：图中有两个直角三角形PDO和PEO,只要证明这两个三角形全等,便可证得PD
=
PE.图13.5.4证明：∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOP
=∠EOP∵PD⊥OA,
PE⊥OB∴
∠ODP=∠OEP=90°在△PDO和△PEO中,∵∠DOP
=∠EOP，∠ODP=∠OEP，OP=OP∴△PDO≌△PEO∴PD
=
PE这一定理描述了角平分线的性质,那么反过来会有什么结果呢?已知:如图13.5.5,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为垂足,QD
=
QE.求证:点Q在∠AOB的平分线上，分析为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以作射线OQ,然后证明Rt△QDO≌Rt△QEO,从而得到∠AOQ=∠BOQ.图13.5.5证明：过点O、Q作射线OQ.∵QD⊥OA,QE⊥OB,∴∠QDO=∠QEO
=
90°.在Rt△QDO和Rt△QEO中∵OQ=OQ
,QD=QE,∴Rt△QDO≌Rt△QEO(
H.L.
)，∴∠DOQ
=∠EOQ(全等三角形的对应角相等).∴点Q在∠AOB的平分线上.定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.上述两条定理互为逆定理，
根据上述两条定理，我们就能证明:三角形的三条角平分线交于一点.从图13.5.6中可以看出，要证明三角形的三条角平分线交于一点，只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了.其思路可表示如下：图13.5.6试试看，现在你会证明了吗？方法总结:(1)有角的平分线(或证明是角的平分线)时，过角平分线上的点向两边作垂线段，再利用角平分线的判定或性质证题则问题往往迅速得解;(2)有线段的和差关系时，常用截长补短法作辅助线化和差关系为相等关系。课堂练习：1、
如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果△ADE的周长为6cm，AC=4cm，那么AD等于（ ）A.
2cm
B.
4cm
C.
3cm
D.
6cm2、
已知：如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．求证：（1）OC=OD；（2）OE是CD的垂直平分线．3、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且E为AB的中点．（1）求∠B的度数．（2）若DE=5，求BC的长．
4、如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD＝CD，BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若AC＝20，BE＝4，求AB的长．1、解：在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，∴CE=DE，∵△ADE的周长为6cm，∴AE+DE+AD=6cm，即AC+AD=6cm，∵AC=4cm，∴AD=6cm-4cm=2cm，故选：A．2、证明：（1）∵OE平分∠AOB，∴∠COE=∠DOE，∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠OCE=∠ODE=90°，又∵OE=OE，∴△OCE≌△ODE（AAS），∴OC=OD；（2）∵△OCE≌△ODE，∴OC=OD，CE=DE，∴OE是CD的垂直平分线．3、解：（1）∵DE⊥AB于点E，E为AB的中点，∴DE是线段AB的垂直平分线，∴DA=DB，∴∠2=∠B，∵∠C=90°，∴∠B=∠1=∠2=30°（2）∵DE⊥AB，∠B=30°，∴BD=2DE=10，∵AD平分∠CAB，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE=5，∴BC=CD+BD=15．4、解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°．在Rt△BED和Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)，∴DE＝DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC．（2）∵Rt△BED≌Rt△CFD，AD平分∠BAC，∴AE＝AF，CF＝BE＝4．∵AC＝20，∴AE＝AF＝20-4＝16，∴AB＝AE-BE＝16-4＝12．
课堂小结
课堂小结：角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
请写出完整的证明过程.
写出该定理与它的逆命题的条件与结论,想想看，其逆命题是否是一个真命题?
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