2.5有理数的加法与减法靶向训练2021-2022学年七年级苏科版上册数学（Word版 含答案）

有理数的加法与减法（4）
考点一、有理数加法与减法混合运算
计算：
．
计算：
???????
??
?????????
?????????????
???
用简便方法计算：
．
按运算顺序直接计算：
；
．
计算：
；
；
；
；
．
计算：
考点二、有理数加法与减法混合运算与新定义
观察下列等式：，，，则以上三个等式两边分别相加得：．
观察：______．
应用：求的值．
拓展：求的值．
高斯符号首次出现是在数学家高斯的数学著作算术研究研究中，设表示不超过x的最大整数，例如：，，，
求的值；
设，求．
观察下列各式：
；
；
；
；
请用以上规律计算：
______
；
若，求m的值．
已知x，y为有理数，定义一种新运算：计算：
；???
阅读理解：
阅读：分子是1，分母为等于或大于2的自然数的分数叫做单位分数，记为单位分数又叫分数单位或“单分子分数”很多单位分数可以继续拆成两个单位分数差的形式，例如：．
根据以上材料，把写成两个单位分数差的形式；
计算．
对于一个三位数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于8，那么称这个数n为“快乐数”例如：，，是“快乐数”；，，不是“快乐数”．
判断844，735是否为“快乐数”？并说明理由；
若将一个“快乐数”m的个位数的3倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数例如：若，则，若t也是一个“快乐数”，求满足条件的所有m的值．
考点三、有理数加法与减法混合运算与数轴
探究问题：
【方法感悟】如图1，从数轴上看，若点A，B表示的数分别是1，4，则或；
若点A，B表示的数分别是，4，则或；
若点A，B表示的数分别是，，则或．
【归纳】若点A，B表示的数分别是，，则或；
【知识迁移】如图1，点A，B表示的数分别是，b，且，则_____；
如图2，若点A，B表示的数分别是，，令，若把线段AB向左平移n个单位，则点A与重合；若把线段AB向右平移n个单位，则点B与50重合那么_____，_____；
快过年了，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要45年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星120岁了。”那么，聪明的同学，你能帮小红求出爷爷今年到底几岁吗？
如图，直径为2个单位的圆片上有一点A与数轴上的原点重合，AB是圆片的直径注：结果保留
把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是__________数填“无理”或“有理”，这个数是_________；
把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是________；
圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，，，，．
第_________次滚动后，A点距离原点最近，第________次滚动后，A点距离原点最远．
当圆片结束运动时，A点运动的路程为___________，此时点A所表示的数是________．
一年6月，我们南方地区发生多轮强降雨过程，造成多地发生较重洪涝灾害。国家防总部署强降雨防范，各级水利部门加强了监测预报预警，及时发布洪水预警信息，为调度决策、防范应对和抢险救灾提供了有力支撑。
下表是我国南方某水库一周内的水位单位：米变化情况：
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位记录
注：该水库的警戒水位是米．表格中“”表示比警戒水位高，“”表示比警戒水位低．
该水库本周水位最高的一天是星期______，这一天的实际水位是______米．
若规定水位比前一天上升用“”，比前一天下降用“”，不升不降用“0”，请补全下面的本周水位变化表：单位：米
星期
一
二
三
四
五
六
日
水位变化
与上周末相比，本周末该水库水位是上升了，还是下降了？变化了多少？
我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离．
提出问题：
有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？
探究问题：
探究一：
如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即．
当时，，如图1所示．
当时，，如图2所示．
由此可以推断当时，_______．
探究二：
如果A，B两点都不在原点，即，．
当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示．
当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示．
当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示．
请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离_______．
解决问题：
有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么_______________用含有a，b的式子表示直接应用：
数轴上，表示有理数和的两点之间的距离是________．
数轴上，表示x和3的两点P和Q之间的距离是5，则_________．拓展延伸：
结合数轴回答下列问题：
的最小值是_________；
的最大值是_________．
已知A，B在数轴上分别表示数a，b．
对照数轴填写下表：?
?????
a
6
?
2
?????
b
4
??
0
?
4
A、B两点的距离
若A，B两点间的距离记为?d，试问d与a，b有何数量关系？
在数轴上找到所有符合条件的整数点P，使它到5和的距离之和为10，并求出所有这些
整数的和．
若数轴上点C表示的数为x，
当点C在什么位置时，的值最小？最小值是多少？
的值最小？最小值是多少？
比较下列各式的大小：
??????????
??????????
??????????
通过以上的特殊例子，请你分析、补充、归纳，当a、b为有理数时，试比较
和的大小
当时，求x的取值范围．
结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
数轴上表示5和1的两点之间的距离是____；表示和2的两点之间的距离是____；数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于。如果表示数a和的两点之间的距离是5，那么_____．
若数轴上表示数a的点位于与2之间，求的值．
当a取何值时，的值最小？最小值是多少？
答案和解析
1.【答案】解：原式．
原式．
原式．
原式．
【解析】见答案
2.【答案】解：原式；
原式
；
原式
；
原式
【解析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练计算是关键．
把符号相同的结合，再计算可得；
把分数化成小数，再变形为后计算；
把分母相同的结合计算可得；
把分母相同的结合计算可得．
3.【答案】解：原式．
原式．
【解析】略
4.【答案】解：?
【解析】略
5.【答案】解：?
?
?
?
【解析】略
6.【答案】解：?
．
原式
．
【解析】见答案
7.【答案】解：；
；
【解析】
【分析】
本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，求出所求式子的值．
根据题目中的等式，通过裂项求和法可以求得所求式子的值
先乘法分配律变形，再根据题目中的式子，通过裂项求和法可以求得所求式子的值
先乘法分配律变形，再根据题目中式子的特点，通过裂项求和法可以求得所求式子的值．
【解答】
解：观察发现：
，
故答案为：；
见答案．
见答案．??
8.【答案】解：
；
因为，
所以，
而，，
所以．
【解析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意化简是解题的关键．
根据表示不超过x的最大整数进行化简，然后合并即可
根据，表示不超过x的最大整数进行化简，然后合并即可．
9.【答案】
【解析】解：由规律可得，
，
故答案为：；
由规律可得，
，
即
，
解得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解，
的值为2019．
利用规律裂项相消计算出结果即可；
利用规律求出m值并检验m的值即可．
本题主要考查数字的变化规律，总结归纳裂项相消的规律是解题的关键．
10.【答案】解：，
；
．
【解析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
根据题目中的新运算，可以求得所求式子的值；
根据题意和题目中的新运算，首先计算出的结果，然后再与组成新的运算，最后根据新算计算即可．
11.【答案】解：
，
，
，
．
【解析】根据已知实例，写出即可；
将分一个分数写成两个分数相减的形式，然后在相加即可．
本题考查了数学新定义题型，读懂题意是解答此题的关键．
12.【答案】解：是“快乐数”，
理由：，
是“快乐数”；
735不是“快乐数”，
理由：，
不是“快乐数”；
设“快乐数”m的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，依题意可得：
，
，
也是一个“快乐数”，
，
，整理得：，
把代入，得：，整理得：，
，，，a，b，c都为整数，
，得：，
当时，，，则；
当时，，，则；
当时，，，则；
综上所述，满足条件的所有m的值为：721，642，563．
【解析】根据例子进行解答即可；
设“快乐数”m的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，得：，再由t也是“快乐数”得，从而得到，，结合，，，a，b，c都为整数，可得到，再进行分析即可．
本题主要考查有理数的加减混合运算，解答的关键是根据题意找出相应的等量关系．
13.【答案】解：或
；
如图：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
由题意得
??????
年??????
爷爷的年龄：岁
【解析】
【分析】
本题考查了正数和负数，数轴，绝对值，有理数的混合运算和根据新定义解决问题．
由点A，B表示的数分别是，b，且的意义为点B到点A的距离等于3即可解答；
关键是由题意得：即可解答；
关键是根据题意画出数轴，由题意得：即可解答；
【解答】
解：点A，B表示的数分别是，b，且，
或．
故答案为或；
，
，
，，
故答案为．
见答案．??
14.【答案】无理；；
或；
，3；，．
【解析】
【分析】
此题主要考查了轨迹、正数与负数，数轴的应用以及绝对值的性质和圆的周长公式等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，属于中考常考题型．
利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出A点移动距离变化；
利用绝对值的性质以及有理数的加减运算得出移动距离和A表示的数即可．
【解答】
解：把圆片沿数轴向右滚动半周，点B到达数轴上点C的位置，点C表示的数是无理数，这个数是；
故答案为无理，；
把圆片沿数轴滚动2周，点A到达数轴上点D的位置，点D表示的数是或；
故答案为或；
圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：，，，，，
第4次滚动后，A点距离原点为0，是最近，第3次滚动后，A点距离原点距离为4周，是最远，
故答案为4，3；
，
，
点运动的路程共有；
，
，
此时点A所表示的数是：，
故答案为，．??
15.【答案】解：一星期五，．
，，，．
米
答：本周末该水库水位下降了，下降了米。
二探究1：
探究2：
?
?
?
?
?
?
?
【问题解决】
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
【实际应用】
；?
?
?
?
?
或?
?
??
【拓展延伸】
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
【解析】
一【分析】
本题考查正数和负数，有理数的加减混合运算；
题中，正数值最大的一天是水位线最高的一天，即星期五最大，实际水位米；
题中，水位变化的数值后一天的水位前一天的水位，周二，周三，周四，周五上周末的水库水位，本周末水库水位，米，即下降了米．
二【分析】
本题考查绝对值，有理数的加减混合运算；
探究一中，如果有一点在原点，A，B之间的距离即探究二中，A，B在原点左侧时，，A，B两点在原点两侧时，
解决问题中，，
实际应用中，和之间的距离，x和3的距离等于即解得或
拓展延伸中，的最小值，表示x点到表示的点和到表示2的点的距离和，故，的最大值，表示x点到表示的点和到表示1的点的距离差，最大值．??
16.【答案】解：，6，10，2，12，0；
和a、b之间的数量关系：；
，
点P为、、、、、0、1、2、3、4、5，
在数轴上标示如下：
；
时，最小值为0；
到2的距离是，
点C在到2之间时，取得的值最小，最小值是3．
【解析】
【分析】
本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．
根据各数据分别计算即可得解；
根据计算结果列出算式即可；
求出到5的距离正好等于10可知到5之间的所有整数点都可以，然后求解即可；
根据数轴，时，最小值为0；求出到2的距离即为所取得的最小值．
【解答】
解：
填表如下：
a
6
2
b
4
0
4
A、B两点的距离
2
6
10
2
12
0
故答案为2，6，10，2，12，0；
见答案．??
17.【答案】解：；；；
当a，b异号时，，
当a，b同号时包括零，，
；
，
．
由可知：x与同号，
．
【解析】
【分析】
本题主要考查的是绝对值的性质，有理数的加减运算以及数字规律问题，找出其中的规律是解题的关键．
依据绝对值的性质计算即可；
通过计算找出其中的规律即可得出答案；
依据的结论求解即可．
【解答】
解：，，故；
，，故；
，，故．
故答案为：；；；
见答案；
见答案．??
18.【答案】解：，5，或3；
表示数a的点位于与2之间，
，，
；
有最小值，最小值．
【解析】
【分析】
本题考查了绝对值，数轴有关知识，解题的关键是绝对值的定义，就是表示两点之间的距离．
根据数轴，求出两个数的差的绝对值即可；
先去掉绝对值号，然后进行计算即可得解；
根据两点间的距离的表示列式计算即可得解；
判断出时，三个绝对值的和最小，然后进行计算即可得解．
【解答】
解：，
，
，
所以，或，
解得或．
故答案为4；5；3或；
见答案；
见答案．??
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