第1章勾股定理 单元课后自主训练 2021-2022学年北师大版八年级数学上册（Word版 含答案）

2021-2022学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元课后自主训练（附答案）
选择题
1．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以边AB，CA，BC向外作正方形，正方形ABIH的面积为25，正方形ACFG的面积为144，则正方形BDEC的面积是（　　）
A．130
B．119
C．169
D．120
2．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
3．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝13，AD⊥BC，垂足为D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（　　）
A．23
B．46
C．65
D．69
4．如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则（a+b）2可以表示为（　　）
A．S1﹣S2
B．S1+S2
C．2S1﹣S2
D．S1+2S2
5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，CD⊥AB于D，则CD长为（　　）
A．4
B．
C．
D．
6．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
B．∠C＝∠A﹣∠B
C．a2+b2＝c2
D．a：b：c＝6：8：10
7．下列各组数中，不是勾股数的一组是（　　）
A．3，4，5
B．4，5，6
C．6，8，10
D．5，12，13
8．△ABC的三边为a，b，c且（a+b）（a﹣b）＝c2，则该三角形是（　　）
A．锐角三角形
B．以c为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形
D．以a为斜边的直角三角形
9．如图，一根长25m的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯子的底端将向右滑动（　　）
A．15m
B．9m
C．7m
D．8m
10．两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（　　）
A．100cm
B．50cm
C．140cm
D．80cm
11．如图，长方体的高为9cm，底边是边长为6cm的正方形，一只美丽的蝴蝶从顶点A开始，爬向顶点B，那么它爬行的最短路程为（　　）
A．10cm
B．12cm
C．15cm
D．20cm
填空题
12．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾AE＝6，弦AD＝10，则小正方形EFGH的面积是　
　．
13．如图是“赵爽弦图”，△ABH、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AH＝6，EF＝2，那么AB等于　
　．
14．直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为　
　．
15．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠AOB+∠COD＝　
　°．
16．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝　
　．
17．一组勾股数，若其中两个为15，8，则第三个数为
　
　．
18．如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，则原旗杆的高度为　
　米．
19．一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点A处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点B处，若A、B两点相距100海里，则渔船在港口南偏西
　
　°的方向．
解答题
20．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，AB＝8，求BC长的平方．
21．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC＝12，AE＝5，BE＝13，证明：△ABC是直角三角形．
22．如图所示，小明制作一个模具，AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，AB＝13cm，BC＝12cm，求这个模具的面积．
参考答案
1．解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
由勾股定理得：AB2+AC2＝BC2，
∵正方形ABIH的面积为25，正方形ACFG的面积为144，
∴AB2＝25，AC2＝144，
∴BC2＝AB2+AC2＝25+144＝169，
∴正方形BDEC的面积为BC2＝169．
故选：C．
2．解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，
即a2+b2＝9，a﹣b＝1，
所以ab＝[（a2+b2）﹣（a﹣b）2]＝（9﹣1）＝4，即ab＝4．
解法2，4个三角形的面积和为9﹣1＝8；
每个三角形的面积为2；
则ab＝2；
所以ab＝4
故选：A．
3．解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，
BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，
在Rt△BDM和Rt△CDM中，
BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，
∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）＝AC2﹣AB2＝132﹣102＝69．
故选：D．
4．解：如图所示：设直角三角形的斜边为c，
则S1＝c2＝a2+b2
S2＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，
∴2ab＝S1﹣S2，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝S1+S1﹣S2＝2S1﹣S2，
故选：C．
5．解：由勾股定理得：AB＝13，
∵由三角形的面积公式得：S△ACB＝＝，
即AC×BC＝AB×CD，
∴5×12＝13×CD，
解得：CD＝，
故选：B．
6．解：当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，则∠C＝180°×＝75°，同理可得∠A＝45°，∠B＝60°，故选项A符合题意；
当∠C＝∠A﹣∠B时，可得∠C+∠B＝∠A，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故选项B不符合题意；
当a2+b2＝c2时，则△ABC时直角三角形，故选项C不符合题意；
当a：b：c＝6：8：10时，a2+b2＝c2，则△ABC时直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：A．
7．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项错误；
B、42+52≠62，不是勾股数，此选项正确；
C、62+82＝102，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项错误；
D、52+122＝132，是正整数，故是勾股数，此选项错误．
故选：B．
8．解：由题意，a2﹣b2＝c2，
∴b2+c2＝a2，
此三角形三边关系符合勾股定理的逆定理，
所以此三角形是以a为斜边的直角三角形．
故选：D．
9．解；梯子顶端距离墙角地距离为＝24（m），
顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为＝15（m），
15﹣7＝8（m）．
故选：D．
10．解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，
∵正北方向和正东方向构成直角，
∴由勾股定理得＝100，
∴其距离为100cm．
故选：A．
11．解：如图，蚂蚁爬行的最短路程为15cm．
故选：C．
12．解：如图，∵勾AE＝6，弦AD＝弦AB＝10，
∴股BE＝8，
∴小正方形的边长＝8﹣6＝2，
∴小正方形的面积＝22＝4．
故答案是：4．
13．解：∵AH＝6，EF＝2，
∴BG＝AH＝6，HG＝EF＝2，
∴BH＝8，
∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝10．
故答案是：10．
14．解：设斜边长为c，高为h．
由勾股定理可得：c2＝32+42，
则c＝5，
直角三角形面积S＝×3×4＝×c×h
可得h＝，
故答案为：．
15．解：连接BC，
由勾股定理得：OC2＝12+22＝5，OB2＝12+32＝10，BC2＝12+22，
∴OC＝BC，OC2+BC2＝OB2，
∴∠OCB＝90°，
即△COB是等腰直角三角形，
∴∠COB＝45°，
∵∠DOA＝90°，
∴∠AOB+∠COD＝∠DOA﹣∠COB＝45°，
故答案为：45．
16．解：如图1所示，当点D在线段BC上时，
∵AD＝12，BD＝9，AB＝15，
∴AD2+BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC＝16，
∴BC＝BD+CD＝9+16＝25；
如图2所示，当点D在CB的延长线上时，
同理可得，DC＝16，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣9＝7；
由于AC＞AB，所以点D不在BC的延长线上．
综上所述，BC的长度为25或7．
故答案为：25或7．
17．解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+82＝152，
求得x（不合题意，舍去），
②152+82＝x2，
解得：x＝17，
故答案为17．
18．解：依题意得BC＝6，AD＝1，CE＝6﹣2＝4，AB＝DE+1
设原标杆的高为x米，
∵∠ACB＝90°，
∴由题中条件可得BC2+AC2＝AB2，即AC2+62＝（x﹣AC）2，
整理，得x2﹣2ACx＝36①，
同理，得（AC+1）2+42＝（x﹣AC﹣1）2，
整理，得x2﹣2ACx﹣2x＝16②，
由①②解得x＝10，
∴原来标杆的高度为10米，
故答案为：10．
19．解：∵OA＝60海里，OB＝80海里，AB＝100海里，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°
∵∠NOA＝20°，
∴∠BOS＝180°﹣20°﹣90°＝70°，
故渔船在港口南偏西70°的方向，
故答案为：70．
20．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝8，
∴BC2＝28．
21．证明：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE＝13，
∵AC＝12，AE＝5，
∴CE2＝AC2+AE2，
∴△AEC是直角三角形，
∴△ABC是直角三角形．
22．解：连接AC，
在△ADC中，∵AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴AC＝5cm，
∴S△ACD＝，
在△ABC中，∵AC＝5cm，BC＝12cm，AB＝13cm，52+122＝132，
即：AC2+BC2＝AB2，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴S△ABC＝，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝30﹣6＝24（cm2），
答：这个模具的面积是24cm2．