2.3用公式法求解一元二次方程 课后培优 2021-2022学年九年级数学北师大版上册（Word版 含答案）

用公式法求解一元二次方程
一、单选题
1．已知方程有两个实数根，则k的取值范围是（
）
A．
B．
C．且
D．且
2．一元二次方程的根的情况是（
）
A．没有实数根
B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根
D．有两个不相等的实数根
3．解方程时，下面说法正确的是（
）
A．只能用公式法
B．不能用配方法
C．只能用配方法
D．公式法、配方法都能用
4．下列关于的方程中一定没有实数根的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（
）
A．k＞﹣
B．k＞﹣且k≠0
C．﹣且k≠0
D．k且k≠0
6．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且以，，6为三边的三角形恰好是等腰三角形，则的值为（　　）
A．24
B．25
C．24或25
D．无法确定
7．已知a是一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的实数根，那么a的值应在（　　）
A．3和4之间
B．2和3之间
C．1和2之间
D．0和1之间
8．用公式法解方程所得的解正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
9．是下列哪个一元二次方程的根（
）
A．
B．
C．
D．
10．用公式法解方程时，，，的值为（
）
A．
B．
C．
D．
11．用求根公式法解得某方程的两个根互为相反数，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．一元二次方程的解为（
）
A．
B．
C．
D．无实数解
二、填空题
13．一般地，式子叫做一元二次方程的根的_____________，通常用希腊字母“_________”表示它，即．
14．用公式法解一元二次方程，得y＝，请你写出该方程___．
15．一元二次方程的解为________．
16．等腰三角形的一边长为4，另两边的长是关于的方程的两个实数根，则该等腰三角形的周长是______．
17．对于实数m，n，定义运算m?n＝mn2﹣n．若2?a＝1?（﹣2）则a＝___________．
三、解答题
18．用公式法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
19．关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根大于3，求的取值范围．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB与点D，连接CD．
（1）若∠A＝28°，求∠ACD的度数；
（2）若BC＝1，AC＝a．
①直接写出线段AD的长为　　（用含字母a的式子表示）；
②判断线段AD的长是方程x2+2x﹣a2＝0的一个根吗？为什么？
21．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，FH⊥AC于点E，交AD，AB于点F，H．
（1）求证：CF＝CH；
（2）若AH＝CH，AB＝4，求AH的长．
参考答案
1．D
解：∵方程有两个实数根，
∴且，
解得且，
故选D．
2．C
解：∵，
∴一元二次方程有两个相等的实数根．
故选C．
3．D
解：∵有实根，
任何有实根的一元二次方程都可用配方法和公式法求解．
故选：D
4．A
解：A、，无实数根；则A符合题意；
B、，有两个不相等的实数根；则B不符合题意；
C、，有两个不相等的实数根；则C不符合题意；
D、，有两个不相等的实数根；则D不符合题意；
故选：A
5．C
解：由题意知，k2≠0，且△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1≥0．
解得k≥-且k≠0．
故选：C．
6．C
解：①当6为底边时，则，
∴，
∴，
∴方程为，
解得：，
∵，
∴5，5，6能构成等腰三角形；
②当6为腰时，则设，
∴，
∴，
∴方程为，
∴，，
∵，
∴4，6，6能构成等腰三角形；
综上所述：或25．
故选：C．
7．C
解：解方程2x2﹣2x﹣1＝0得
，
∵a是方程2x2﹣2x﹣1＝0较大的根，
∴a＝，
∵1＜＜2，
∴2＜＜3，
即1＜a＜．
故选：C
8．D
解：，
这里a=1，b=-6，c=1，
∵△=36-4=32＞0，
∴x==
，
故选：D．
9．C
解：A、的解为，不符合题意；
B、的解为，不符合题意；
C、的解为，符合题意；
D、的解为，不符合题意；
故选：C．
10．D
解：∵
∴
∴，，．
故选：D
11．A
解：方程有两根，
且．
求根公式得到方程的根为，两根互为相反数，
所以，即，
解得．
故选：A．
12．C
解：把x－2看作一个整体，a=2，b=7，c=6，
则根据一元二次方程的求根公式，得：，
∴或，
解得：，．
故选：C．
13．判别式
解：略
14．
解：设该方程为，
由得：，
则该方程为，
故答案为：．
15．
，
解：∵a=
，b=-1，c=-3，
∴△=b2-4ac=(-1)2-4×
×(-3)=7>0，
∴，
故答案为：，．
16．16
解：分为两种情况：
情况一：当腰为4时，则另一腰4是方程的一个解，
代入4到方程中，求得，
此时方程的两个解为4和8，
对应的三边长为4、4、8，不能构成三角形，故舍去；
情况二：当底边为4时，此时方程有两个相等的实数根，
∴△=12?-4k=0，解得k=36，
此时方程的两个解为6和6，
对应的三边长为6、6、4，能构成三角形，此时三角形周长为16，
故答案为：16．
17．2或．
解：根据定义，2?a＝1?（﹣2）转化为：2a2﹣a=1×（﹣2）2﹣（﹣2）,
解方程得，a1=2，a1=，
故答案为：2或．
18．（1）；（2）（3）；（4）无解
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴原方程的根为：；
（2）原方程化为一般形式为：，
∵，
∴，
∴，
∴原方程的根为：．
（3）原方程化为
，
，
由求根公式得，，
所以原方程的解为
；
（4）
，
原方程无实数根．
19．（1）见解析；（2）m的取值范围是m＞1
解：（1）证明：∵，，，
依题意，得Δ=[-(m+3)]2-4(m+2)=(m+1)2，
∵(m+1)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）由求根公式，得，
∴x1=1，x2=m+2，
∵方程有一个根大于3，
∴m+2＞3．
∴m＞1．
∴m的取值范围是m＞1．
20．（1）∠ACD＝31°；（2）①﹣1；②线段AD的长是方程x2+2x﹣a2＝0的一个根．理由见解析．
解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝62°，
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝59°，
∴∠ACD＝90°﹣∠BCD＝31°；
（2）①﹣1；
理由如下：AB＝＝，BD＝BC，
∴AD＝﹣1，
故答案为：﹣1；
②解方程x2+2x﹣a2＝0得，
x＝＝﹣1，
∴线段AD的长是方程x2+2x﹣a2＝0的一个根．
21．（1）见解析；（2）
解：（1）∵四边形ABCD是正方形
∴∠FAE=∠HAE=45°
∵FH⊥AC
∴∠AEF=∠AEH=90°
在△FEA和△HEA中
∴△FEA≌△HEA(ASA)
∴EF=EH
∴AC垂直平分线段FH
∴CF=CH
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴BC=AB=4，∠B=90°
设AH=x，则BH=AB-AH=4-x
∵AH＝CH
∴CH=3x
在Rt△CBH中，由勾股定理得：
即
化简得：
解得：，（舍去）
∴
即AH的长为