2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质与判定同步能力达标测评（Word版，含答案解析）

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》
同步能力达标测评（附答案）
一．选择题（共8小题，每小题4分，共计32分）
1．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），DF＝2，则S△AEF＝（　　）
A．6
B．12
C．15
D．30
2．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是2，则BD的长为（　　）
A．
B．2
C．2
D．4
3．如图，在正方形ABCD中，E为AB中点，连结DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连结EF．若AE＝2，则EF的值为（　　）
A．6
B．
C．
D．5
4．如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P．则下列结论成立的是（　　）
A．BE＝AE
B．PC＝PD
C．∠EAF+∠AFD＝90°
D．PE＝EC
5．如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，如果顶点M、N的坐标分别为（﹣14，9）、（﹣5，9），则顶点A的坐标为（　　）
A．（﹣3，2）
B．（﹣2，3）
C．（﹣2，2）
D．（﹣3，3）
6．如图，在正方形ABCD中，BD＝2，∠DCE是正方形ABCD的外角，P是∠DCE的角平分线CF上任意一点，则△PBD的面积等于（　　）
A．1
B．
C．2
D．无法确定
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（　　）
A．4
B．2
C．
D．2
8．如图，已知四边形ABCD是四个角都是直角，四条边都相等的正方形，点E在BC上，且CE＝BC，点F是CD的中点，延长AF与BC的延长线交于点M．以下结论：①AB＝CM；②AE＝AB+CE；③S△AEF＝；④∠AFE＝90°，其中正确的结论的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（共8小题，每小题4分，共计32分）
9．如图，点E在正方形ABCD内，且EC＝BC，则∠BED＝　
　°．
10．如图，将正方形OACD放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点D的坐标为（3，4），则点A的坐标为
　
　．
11．如图正方形ABCD中，AB＝6，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F．△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1＝3S2，则CE的长为
　
　．
12．如图，正方形ABCD的右侧作等边△ABE，连接DE、AC交于点F，连接BF，则∠BFE＝　
　．
13．如图，正方形ABCD的边长为4，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在BC，CD的延长线上，且CE＝2，DF＝1，G为EF的中点，连接OE，交CD于点H，连接GH，则GH的长为
　
　．
14．如图，在正方形ABCD中，点E是AD边的中点，连接CE，点F在CE上，过点F作CE的垂线，分别交AB，CD于点G，H．若BG＝1，CH＝4，则AE的长度为
　
　．
15．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别是边BC、DC上的动点，且EF＝4，Q为EF中点，P是边AD上的一个动点，则PQ+PB的最小值是　
　．
16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为CD中点，F为BC边上一点，且CF＝1，连AF，EG⊥AF交BC于G，则BG＝　
　．
三．解答题（共7小题，每小题8分，共计56分）
17．如图，正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，点P为平面内外一点，且BP⊥CP．过点O作OE⊥OP交PB的延长线于E．
（1）探究BE与PC之间的数量关系，并说明理由．
（2）BP、CP、OP三者之间存在怎样的关系？并说明理由．
18．如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，点H在AB上，且不与A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．
（1）若BP＝CH，求证：BP⊥CH；
（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为12，AP＝5，求线段CE的长．
19．如图，已知正方形ABCD中，点P为对角线AC上的动点（不与A、C重合），PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E、F，连接PD、EF．
（1）求证：EF＝PD；
（2）若PD＝13，PF＝5，求对角线AC的长．
20．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段DG与BE、AE分别相交于点H、K．
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）判断BE与DG的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝6，AG＝6，求DK的长．
21．如图，在正方形ABCD中，E为AB边上一点（不与点A，B重合），CF⊥DE于点G，交AD于点F，连接BG．
（1）求证：AE＝DF；
（2）是否存在点E的位置，使得△BCG为等腰三角形？若存在，写出一个满足条件的点E的位置并证明；若不存在，说明理由．
22．如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且AF＝AD，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．
（1）求证：AE＝GE；
（2）求证：CG＝DE．
23．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外做正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．
（1）求证：BH⊥DE；
（2）若正方形ABCD的边长为1，当点H为DE中点时，求CG的长．
参考答案
一．选择题（共8小题，每小题4分，共计32分）
1．解：如图，过点A作AH⊥AE，交CD的延长线于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD＝BC＝6，∠BAD＝∠ADC＝90°，
∵AH⊥AE，
∴∠HAE＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝∠BAE，
在△ADH和△ABE中，
，
∴△ADH≌△ABE（ASA），
∴BE＝HD，AH＝AE，
∵∠EAF＝45°，
∴∠HAF＝∠EAF＝45°，
在△AFH和△AFE中，
，
∴△AFH≌△AFE（SAS），
∴EF＝HF，
∵DF＝2，
∴CF＝4，
∵EF2＝CE2+CF2，
∴（2+BE）2＝16+（6﹣BE）2，
∴BE＝3，
∴HF＝HD+DF＝5，
∵△AFH≌△AFE，
∴S△AEF＝S△AFH＝×HF×AD＝×5×6＝15，
故选：C．
2．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴OD＝OB＝OC，∠COD＝90°，∠OCD＝∠ODA＝45°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON＝90°，
∵∠CON+∠DON＝90°，∠DOM+∠DON＝90°，
∴∠CON＝∠DOM，
在△OCN和△ODM中，
，
∴△OCN≌△ODM（ASA），
∴S△OCN＝S△ODM，
∴S△OCN+S△DON+S△ODM+S△DON，
即S△ODC＝S四边形MOND＝2，
∵OD?OC＝2，
而OD＝OC，
∴OD＝2，
∴BD＝2OD＝4．
故选：D．
3．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠DCB＝∠B＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC，
即∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE＝DF，
∵E为AB的中点，AE＝2，
∴AD＝AB＝4，
在Rt△ADE中，DE＝，
在Rt△DEF中，EF＝．
故选：B．
4．解：∵F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，
∴AF＝BE，
在△AFD和△BEA中，
，
∴△AFD≌△BEA（SAS），
∴∠FDA＝∠EAB，
又∵∠FDA+∠AFD＝90°，
∴∠EAB+∠AFD＝90°，
即∠EAF+∠AFD＝90°，
故C正确，A、B、D无法证明其成立，
故选：C．
5．解：如图，
∵顶点M、N的坐标分别为（﹣14，9）、（﹣5，9），
∴MN∥x轴，MN＝9，BN∥y轴，
∴正方形的边长为3，
∴BN＝6，
∴点B（﹣5，3），
∵AB∥MN，
∴AB∥x轴，
∴点A（﹣2，3），
故选：B．
6．解：过C点作CG⊥BD于G．
∵CF是∠DCE的平分线．
∴∠FCE＝45°．
∵∠DBC＝45°．
∴CF∥BD．
∴CG等于△PBD的高．
∵BD＝2．
∴CG＝1．
∴△PBD的面积等于．
故选：A．
7．解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
8．解：由题意知，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，
又∵∠D＝∠FCM，∠DFA＝∠CFM，
∴△ADF≌△MCF，
∴CM＝AD＝AB，
①正确；
设正方形ABCD边长为4，
∵CE＝BC＝1，
∴BE＝3，
∴AE＝5，
∴AE＝AB+CE，
②正确；
EM＝CM+CE＝5＝AE，
又∵F为AM的中点，
∴EF⊥AM，
④正确，
由CF＝2，CE＝1得EF＝，
由DF＝2，AD＝4得AF＝2，
∴S△AEF＝5，
又S△ADF＝4，
∴S四边形ABCF＝S?ABCD﹣S△ADF＝12，
③不正确，
故选：C．
二．填空题（共8小题，每小题4分，共计32分）
9．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵CE＝CB，
∴CD＝CE，
∴∠CBE＝∠CEB，∠CED＝∠CDE，
∴∠CEB＝（180°﹣∠BCE），∠CED＝（180°﹣∠DCE），
∴∠CEB+∠CED＝180°﹣（∠BCE+∠ECE），
即∠BED＝180°﹣∠BCD，
∴∠BED＝180°﹣×90°＝135°．
故答案为135°．
10．解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点D作DE⊥x轴于E，
∵四边形OACD是正方形，
∴OA＝OD，∠AOD＝90°，
∴∠DOE+∠AOB＝90°，
又∵∠OAB+∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠DOE，
在△AOD和△OCE中，
，
∴△AOB≌△ODE（AAS），
∴AB＝OE，OB＝DE，
∵点D的坐标为（3，4），点C在第二象限，
∴点C的坐标为（﹣4，3）．
故答案为：（﹣4，3）．
11．解：如图，作GH过点E，且GH∥AB，
∵∠HBE+∠HEB＝90°，∠HEB+∠GEF＝90°，
∴∠HBE＝∠GEF，
∵AC为正方形的对角线，
∴CH＝EH，
∴HB＝GE，
在△HBE和△GEF中，
，
∴△HBE≌△GEF（ASA），
∴GF＝EH，
设EH＝a，AF＝6﹣2a，
，，
∵2S1＝3S2，
∴6a＝3（a2﹣9a+18），
解得a＝2，
∴CE＝＝2，
故答案为2．
12．解：∵四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，
∴AD＝AB，AB＝AE，∠DAB＝90°，∠BAE＝60°，∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AD＝AE，∠DAE＝150°，
∴∠ADE＝∠AED＝15°，
∴∠AFE＝∠DAC+∠FDA＝60°，
在△DAF和△BAF中，
，
∴△DAF≌△BAF（SAS），
∴∠ADF＝∠ABF＝15°，
∴∠AFB＝180°﹣∠BAF﹣∠ABF＝120°，
∴∠BFE＝∠AFB﹣∠AFE＝60°，
故答案为：60°．
13．解：以O为原点，垂直AB的直线为x轴，建立直角坐标系，如图：
∵正方形ABCD的边长为4，CE＝2，DF＝1，
∴E（4，﹣2），F（2，3），
∵G为EF的中点，
∴G（3，），
设直线OE解析式为y＝kx，将E（4，﹣2）代入得：
﹣2＝4k，解得k＝﹣，
∴直线OE解析式为y＝﹣x，
令x＝2得y＝﹣1，
∴H（2，﹣1），
∴GH＝＝，
方法二：如下图，连接OF，过点O作OM⊥CD交CD于M，
∵O为正方形对角线AC和BD的交点，
∴OM＝CM＝DM＝CE＝2，易证△OHM≌△EHC，
∴点H、点G分别为OE、FE的中点，
∴GH为△OEF的中位线，
∴GH＝OF，
在Rt△OMF中，由勾股定理可得OF＝＝＝，
∴GH＝OF＝，
故答案为：．
14．解：过G作GM⊥CD于M，如图：
∵正方形ABCD，
∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，BC＝CD＝AD,
∵GM⊥CD,
∴四边形GBCM是矩形，
∴GM＝BC＝CD,CM＝BG＝1,∠GMH＝90°＝∠D,
∵GH⊥CF,
∴∠DCE＝90°﹣∠FHM＝∠MGH,
在△GMH和△CDE中，
,
∴△GMH≌△CDE(ASA),
∴HM＝DE,
∵CH＝4，
∴HM＝CH﹣CM＝3＝DE,
∵E是AD边的中点，
∴AE＝DE＝3，
故答案为：3．
15．解：如图所示：
延长BA到B′，使B′A＝AB，
PB+PQ＝PB′+PQ，
当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，
根据题意，圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝CB′﹣2，
∵BC＝AB＝4，
∴BB′＝8，
∴B′C＝＝＝4，
B′Q＝B′C﹣2＝4﹣2，
∴PB′+PQ的值最小是4﹣2，
即PQ+PB的最小值是4﹣2，
故答案为：4﹣2．
16．解：如图，延长AE，BC交于点H，连接AG，设EG与AF交于点N，
∵E为CD中点，
∴DE＝CE＝2，
在△ADE和△HCE中，
，
∴△ADE≌△HCE（ASA），
∴AE＝EH，AD＝CH＝4，
∵CF＝1，
∴FH＝FC+CH＝5，BF＝3，
∵AF＝＝＝5，
∴AF＝FH，
又∵AE＝EH，
∴EF⊥AH，∠AFE＝∠HFE，
又∵EG⊥AF，∠DCB＝90°，
∴EC＝EN＝2＝DE，
在Rt△ADE和Rt△ANE中，
∴Rt△ADE≌Rt△ANE（HL），
∴AD＝AN＝4＝AB，
在Rt△AGN和Rt△AGB中，
，
∴Rt△AGN≌Rt△AGB（HL），
∴BG＝GN，
∵EG2＝EC2+CG2，
∴（2+BG）2＝4+（4﹣BG）2，
∴BG＝，
故答案为：．
三．解答题（共7小题，每小题8分，共计56分）
17．解：（1）BE＝PC，理由如下：
如图，连接OB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，OB⊥OC，
∵OE⊥OP，
∴∠EOP＝∠BOC＝90°，
∴∠EOB+∠BOP＝∠POC+∠BOP，即∠EOB＝∠POC，
∵OE⊥OP，BP⊥CP，
∴∠E+∠OPE＝∠OPC+∠OPE＝90°，
∴∠E＝∠OPC，
在△BOE与△COP中，
，
∴△BOE≌△COP（AAS），
∴BE＝PC；
（2）BP+CP＝OP，理由如下：
由（1）知，△BOE≌△COP，
∴BE＝CP，OE＝OP，
∴Rt△EOP是等腰直角三角形，
∴EP＝＝OP，
∵EP＝BP+BE＝BP+CP，
∴BP+CP＝OP．
18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AC＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
在Rt△PAB和Rt△HBC中，
，
∴Rt△PAB≌Rt△HBC（HL），
∴∠APB＝∠BHC，
∵∠APB+∠PBA＝90°，
∴∠CHB+∠PBA＝90°＝∠CEB，
∴BP⊥CH；
（2）解：由（1）Rt△PAB≌Rt△HBC得BH＝AP＝5，
在Rt△HBC中，由勾股定理得：CH＝＝13，
由△HBC的面积有：CH?BE＝HB?BC，解得：BE＝，
在Rt△EBC中，由勾股定理得CE＝＝．
19．（1）证明：连接PB，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∴PB＝PD，
∵PE⊥AB，PF⊥BC，
∴∠PEB＝∠PFB＝∠ABC＝90°，
∴四边形BEPF是矩形，
∴PB＝EF，
∴EF＝PD；
（2）解：由（1）知：EF＝PD＝13，
在Rt△PEF中，PE＝，
∴PE＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴△AEP是等腰直角三角形，
∴AE＝PE＝12，
∴AB＝AE+BE＝PE+PF＝17＝BC，
∴AC＝＝．
20．（1）证明：∵四边形ABCD、四边形AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠DAB+∠DAE＝∠EAG+∠DAE，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AB＝AD，AE＝AG，
∴△EAB≌△GAD（SAS）．
（2）解：BE⊥DG，理由如下：
∵△EAB≌△GAD，
∴∠AGD＝∠AEB，
∵∠AKG＝∠HKE，
在Rt△AGK中，∠AGK+∠AKG＝90°
∴∠KEH+∠HKE＝90°，
∴∠EHK＝180°﹣90°＝90°，
∴BE⊥DG．
（3）解：连接DE，如图，
，
在Rt△ABC中，
∵AB＝BC＝6，
∴AC＝＝12，
∴AO＝DO＝AC＝6，
∵AG＝AE＝AO＝DO＝6．AO⊥DO，
∴四边形AEDO是正方形，
∵∠DEK＝∠GAK＝90°，
∵DE＝AG＝6，∠DKE＝∠AKG，
∴△DKE≌△GAK（AAS），
∴EK＝AK＝3，
在Rt△DKE中，
DK＝＝＝3．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE+∠AED＝90°，
∵CF⊥DE于点G，
∴∠ADE+∠DFC＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS），
∴AE＝DF；
（2）解：存在，当点E为AB的中点时，△BCG为等腰三角形，
理由：如图，延长CB交DE的延长线于点P，
∵E为AB的中点，
∴AE＝BE，
在△AED和△BEP中，
，
∴△AED≌△BEP（ASA），
∴AD＝BP＝BC，
∵∠PGC＝90°，
∴BG＝CP＝BC，
即△BCG为等腰三角形．
22．证明：（1）∵AF＝AD，AE⊥DF，
∴∠DAE＝∠EAF＝∠DAF，
∵AF平分∠EAF，
∴∠BAG＝∠FAG＝∠BAF，
∵∠GAE＝∠EAF﹣∠FAG＝（∠DAF﹣∠BAF），
∴∠GAE＝45°，
∴∠GAE＝∠AGE＝45°，
∴AE＝GE；
（2）如图，过点C作CH⊥DF于H，
∴∠AED＝∠CHD＝90°，
∴∠ADE+∠EAD＝90°＝∠ADE+∠CDH，
∴∠EAD＝∠CDH，
在△ADE和△DCH中，
，
∴△ADE≌△DCH（AAS），
∴CH＝DE，DH＝AE＝GE，
∴DE＝GH＝CH，
∴GC＝CH＝DE．
23．（1）证明：
∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
同理：CG＝CE，
∠GCE＝90°，
∴∠BCD＝∠GCE＝90°，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠GBC＝∠CDE，
在Rt△DCE中∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠GBC+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°，
∴BH⊥DE；
（2）连接BD，
∵点H为DE中点，BH⊥DE，
∴BH为DE的垂直平分线，
∴BE＝BD，
∵BC＝CD＝1，
∴BD＝＝，
∴BE＝BD＝，
∵CE＝BE﹣BC＝﹣1，
∴CG＝CE＝﹣1．