2021-2022学年北师大版九年级数学上册1.1菱形的性质与判定同步练习（Word版，含答案解析）

1.1菱形的性质与判定
一．选择题
1．若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（　　）
A．3：1
B．4：1
C．5：1
D．6：1
2．菱形ABCD中，∠A：∠B＝1：5，若周长为8，则此菱形的高等于（　　）
A．
B．4
C．1
D．2
3．如图，在菱形ABCD中，AC＝AB，则∠ABC＝（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
4．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是（8，2），D点坐标是（0，2），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．2
B．8
C．8
D．12
5．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E，F分别是AB，AO的中点，若AF＝1，EF＝2，则菱形ABCD的面积等于（　　）
A．8
B．32
C．16
D．4
6．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为（　　）
A．60°
B．90°
C．100°
D．110°
7．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB的度数是（　　）
A．108°
B．72°
C．90°
D．100°
8．如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF．下列条件使四边形BECF为菱形的是（　　）
A．BE⊥CE
B．BF∥CE
C．BE＝CF
D．AB＝AC
9．如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于（　　）
A．3.5
B．4
C．7
D．14
10．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，点E，F分别在AB，AD上，且AE＝AF，过点E作EG∥AD交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（　　）
A．6.5
B．6
C．5.5
D．5
二．填空题
11．菱形的面积是24cm2，一条对角线长是8cm，则另一条对角线长为　
　．
12．如图，菱形ABCD中，∠ACD＝40°，则∠ABC＝　
　°．
13．已知四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝6cm，P为AC上任一点，则PD+PA的最小值是　
　cm．
14．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF分别与AB、DC相交于E、F两点，若AC＝10，BD＝4，则图中阴影部分的面积等于　
　．
15．在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点F为BC中点，过点F作FE⊥BC于点F交BD于点E，连接CE，若∠ECA＝20°，则∠BDC＝　
　°．
三．解答题
16．如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8cm．求：
（1）两条对角线的长度；
（2）菱形的面积．
17．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
18．如图，平行四边形ABCD，F是对角线AC上的一点，过点D作DE∥AC，且DE＝CF，连接AE、DE、EF．
（1）求证：△ADE≌△BCF；
（2）若∠BAF+∠AED＝180°，求证：四边形ABFE为菱形．
参考答案
一．选择题
1．解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB+∠B＝180°，
∵AE＝1，AE⊥BC，
∴AE＝AB，
∴∠B＝30°，
∴∠DAB＝150°，
∴∠DAB：∠B＝5：1；
故选：C．
2．解：∵菱形ABCD的周长为8，
∴AD＝AB＝2，AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A：∠B＝1：5，
∴∠A＝30°．
过点D作DE⊥AB于点E，
∴，
∴此菱形的高等于1．
故选C．
3．解：在菱形ABCD中，AB＝BC，
∵AC＝AB，
∴AB＝BC＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°．
故选：C．
4．解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，
∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），
∴OD＝2，BD＝8，
∴AE＝OD＝2，DE＝4，
∴AD＝＝2，
∴菱形的周长＝4AD＝8；
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F分别是AB，AO的中点，AF＝1，EF＝2，
∴EF是△AOB的中位线，OA＝2AF＝2，
∴OB＝2EF＝4，
∴AC＝2OA＝4，BD＝2OB＝8，
∴S菱形ABCD＝AC?BD＝×4×8＝16．
故选：C．
6．解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE．
∴?AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．
故选：B．
7．解：连接PA，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADP＝∠CDP＝∠ADC＝36°，BD所在直线是菱形的对称轴，
∴PA＝PC，
∵AD的垂直平分线交对角线BD于点P，
∴PA＝PD，
∴PD＝PC，
∴∠PCD＝∠CDP＝36°，
∴∠CPB＝∠PCD+∠CDP＝72°；
故选：B．
8．解：条件是AB＝AC，
理由是：∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴EF⊥BC，BD＝DC，
∵DE＝DF，
∴四边形BECF是平行四边形，
∵EF⊥BC，
∴四边形BECF是菱形，
选项A、B、C的条件都不能推出四边形BECF是菱形，
即只有选项D正确，选项A、B、C都错误；
故选：D．
9．解：∵菱形ABCD的周长为28，
∴AB＝28÷4＝7，OB＝OD，
∵E为AD边中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝AB＝×7＝3.5．
故选：A．
10．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝AB＝CD，AD∥BC，AB∥CD，
∵EG∥AD，FH∥AB，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是平行四边形，
∴AF＝OE，AE＝OF，OH＝GC，CH＝OG，
∵AE＝AF，
∴OE＝OF＝AE＝AF，
∵AE＝AF，
∴BC﹣BH＝CD﹣DG，即OH＝HC＝CG＝OG，
∴四边形AEOF与四边形CGOH是菱形，
∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12，
∴4AE﹣4（8﹣AE）＝12，
解得：AE＝5.5，
故选：C．
二．填空题
11．解：设另一条对角线长为x，
则×8?x＝24，
解得x＝6．
故答案为：6cm．
12．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，∠BCD＝2∠ACD＝80°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣80°＝100°；
故答案为：100．
13．解：过P点作PH⊥AB，
∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴PH＝PA，
又∵菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，连接PB．则PD＝PB，
∴PD+PA＝PD+PH
即当P，D，H三点在同一直线时，PD+PA＝PH取最小值．
∵∠BAD＝60°，AD＝AB＝6，
∴△ABD是等边三角形，
过D点作DH'⊥AB，
∵AH'＝BH'＝3，
在△AD'H中，DH'＝，即
最小值为3．
故答案为：3．
14．解：∵四边形ADCB为菱形，
∴OC＝OA，AB∥CD，∠FCO＝∠OAE，
∵∠FOC＝∠AOE，
△CFO≌△AEO（ASA），
∴S△CFO＝S△AOE，
∴S△CFO+S△EBO＝S△AOB，
∴S△AOB＝SABCD＝×AC?BD＝×10×4＝5，
故答案为：5．
15．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠BDC＝∠DBC．
∵EF垂直平分BC，
∴∠ECF＝∠DBC，
∵∠ECA＝20°，
∴∠BDC＝∠DBC＝＝＝35°，
故答案为35．
三．解答题
16．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，
∴∠ABC＝×180°＝60°，
∴∠ABO＝∠ABC＝30°，
∵菱形ABCD的周长是8cm．
∴AB＝2cm，
∴OA＝AB＝1cm，
∴OB＝＝，
∴AC＝2OA＝2cm，BD＝2OB＝2cm；
（2）S菱形ABCD＝AC?BD＝×2×2＝2（cm2）．
17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，
∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC⊥AB，
∴EF∥AB，
∴∠OEC＝∠B＝30°，
∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，
∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．
18．证明：（1）∵平行四边形ABCD，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCF，
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠EDA，
∴∠FCB＝∠EDA，
在△ADE与△BCF中
，
∴△ADE≌△BCF（SAS）；
（2）∵DE∥AC，且DE＝FC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DC＝EF，且DC∥EF，
又∵AB＝CD，AB∥CD，
∴AB＝EF，AB∥EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵△ADE≌△BCF，
∴∠AED＝∠BFC，
∵∠BAF+∠AED＝180°，
∴∠BAF+∠BFC＝180°，
又∠BFA+∠BFC＝180°，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BA＝BF，
∴四边形ABFE为菱形．