4.5.1方程的根与函数的零点课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共20张PPT)

(共20张PPT)
ax2+bx+c=0
(a≠0)
y=
ax2+bx+c
(a≠0)
这叫方程，是一元二次方程
这叫函数，是二次函数
一元二次方程
的根与二次函数
的图像有什么关系？
思考：
请大家来看看下面几个例子
函数的图象
与x轴交点
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y=
x2－2x－3
y=
x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
.
.
.
.
.
y
x
0
－1
2
1
1
2
y=
x2－2x+3
观察：函数图象与x轴的交点和相应方程的根有什么关系？
判别式?
?>0
??0
?<0
y=ax2+bx+c
的图象
ax2+bx+c=0
的根
归纳二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数
y=
ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系：
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
函数的图象与
x
轴的交点
(x1,0)
,
(x2,0)
没有交点
有两个相等的实数根x1
=
x2
没有实数根
两个不相等的实数根x1
、x2
(x1,0)即
在这里，方程的实数根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标,也是相应函数的零点，
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
函数零点的定义：
注意：零点指的是一个实数
零点是一个点吗?
对零点的理解：
"数"的角度：
"形"的角度：
即是使f(x)=0的实数x的值
即是函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标
求函数零点的方法：
(1)
解方程法：
(2)
图象法：
解方程f(x)=0,
得到y=f(x)的零点
画出函数y=f(x)的图象,
其图象与x轴交点的横坐标是函数y=
f(x)的零点
求下列函数的零点:
求函数y=f(x)的零点实际上也是求方程f(x)=0的根。
有很多方程用我们常规的公式法是很难求根的，但用函数零点的几何意义，来探讨方程的根是否一种有效的方法呢？首先，我们来观察一个例子
1.
f(-2)=
，f(1)
=
f(-2)
f(1)
0
(填“>”或“<”)
发现在区间(-2，1)上有零点
2.
f(2)=
，f(4)
=
f(2)
f(4)
0
(填“>”或“<”)
发现在区间(2，4)上有零点
观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象
<
5
-4
-1
<
3
-3
5
－2
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
4
以上大家有什么发现呢？
1.在(a,b)上连续不断，
且
f(a)·f(b)
____
0（填＜或＞）．
在区间(a,b)上____(有/无)零点；
2.在(b,c)
上连续不断，
且f(b)·
f(c)____
0（填＜或＞）．
在区间(b,c)上____(有/无)零点；
思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与
函数零点是否存在某种关系？
猜想：
若函数在区间[a,b]上图象是连续的，如果有
成立，
那么函数在区间(a,b)上有零点。
观察函数f(x)的图像
0
y
x
有
<
有
<
f(a)·f(b)<
0
二、函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)
内有零点。
即存在
c∈(a,b)
，使得
f(c)
=0，
这个c也就是方程
f(x)=0
的根。
（1）
f(a)·f(b)<0则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点。
（2）
函数y=f(x)在区间(a,b)内零点，则f(a)·f(b)<0。
函数零点存在定理的三个注意点：
1
函数曲线是连续的。
2
定理不可逆。
3
至少存在一个零点。
定理理解：判断正误
a
b
0
0
0
y
x
x
y
y
x
错
错
错
（3）
f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一个零点
如果“曲线是不连续的”，定理成立吗？
如f(x)=
图象如下：
-1
1
有f(-1)xf(1)<0
但没有零点，为什么？
答：因为在（-1，1）上，曲线是不连续的，所以不要“连续不断”这个条件，定理是不成立的
例1：求函数
的零点个数？
由表格可知f(2)<0,f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内有零点．
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是
增函数，所以它仅有一个零点．
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
例1:求函数
的零点个数.
解法2：
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
归纳：求函数零点或零点个数的方法
(1)定义法：解方程
f(x)=0，
得出函数的零点。
(2)图象法：画出y=
f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标。
(3)定理法：函数零点存在性定理。
课堂练习:f(x)=x3+x-1在下列哪个区间上有零点(
)
A.(-2,-1)
B.(0,1)
C.(1,2)
D.(2,3)
B
课堂练习：
1.知识方面：
零点的概念，零点与方程的根、函数图像与x轴的交点关系，零点存在性定理；
2.数学思想方面：
函数与方程的相互转化，即转化思想
借助图象探寻规律，即数形结合思想
课堂小结：
请预习下节课内容。
作业：
P88练习：1题
P92习题3.1A组：2题
课后作业：p92
2