2.2直线与圆的位置关系教案-2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

课题:§2.2
直线与圆的位置关系
目标要求
1、理解并掌握直线与圆的位置关系的判断．
2、理解并掌握直线与圆相切的问题．
3、理解并掌握直线与圆的相交问题．
4、理解并掌握直线与圆的综合应用问题.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：直线与圆的相交问题；
难点：直线与圆的综合应用问题．
教学过程
基础知识点
1.
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断：
(1)方法：
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
___个
1个
0个
方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
_____
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
________
(2)本质：利用直线与圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系．
【课前预习思考】
利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系，哪种方法简单？
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是
(
)
A.
过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线．
B.
直线与圆的位置关系只有相交和相切.
C.
过圆内一点作一条直线，则该直线一定与圆相交．
D.
如果一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，那么这条直线一定过圆心．
题2.
已知直线l过点P，圆C：x2＋y2－4x＝0，则(　　)
A．l与C相交
B．l与C相切
C．l与C相离
D．l与C的位置关系不确定
题3.
过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)
A．
B．2
C．
D．2
类型一　直线与圆的位置关系的判断(数学运算、直观想象)
【典型题组训练】
题4.
若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1]
B．[－1，3]
C．[－3，1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
题5.
直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
题6.
圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，求k的取值范围．
【经典解题策略提醒】
判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．dr?相离．
(2)代数法：Δ＝b2－4ac
类型二　直线与圆相切的问题(逻辑推理、直观想象)
【典例】题7.
过点P画圆2＋y2＝4的切线，求切线方程．
【解题策略提醒】
求圆的切线方程
设出直线的方程后，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的方程．设方程时要注意考虑斜率存在与否．
【课堂跟踪训练】
题8.
已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．
【拓展知识延伸】
1．过圆上一点的切线方程
(1)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则在点M处的切线方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2.
2．过圆外一点的切线方程
(1)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的方程为x0x＋y0y＝r2.Ｋ
(2)若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外，则过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2.
【拓展训练提高】
题9.
已知点M为圆x2＋y2＝1上一点，求在点M处的切线方程．
类型三　直线与圆的相交问题(数学运算，直观想象)
角度1　求弦长
【典例】题10.
已知圆x2＋y2－6x＝0，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式问题探究】题11.
求已知圆x2＋y2－6x＝0，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最大值．
【解析】当直线过圆心时，弦长最大．所以最大弦长为圆的直径6.
角度2　综合问题
【典例】题12.
已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，若在圆C中存在弦AB，满足AB＝2，且AB的中点M在直线2x＋y＋k＝0上，则实数k的取值范围是(　　)
A．[－2，2]
B．[－5，5]
C．(－，)
D．[－，]
【解题策略提醒】
1．弦长的求法
若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
2．直线与圆的综合问题的求解策略
直线与圆和平面几何、平面向量的联系十分紧密，可充分考虑平面几何、平面向量知识的运用．
【当堂巩固训练】
题13．若直线x－y＝2被圆2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A．0或4
B．0或3
C．－2或6
D．－1或
题14．已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y－4＝0内，过点O(0，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．6
B．8
C．10
D．12
题15．已知直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＋ax＋2y＋1＝0交于A，B两点，直线mx＋y＋2＝0垂直平分弦AB，则m的值为________，弦AB的长为________．
【课堂检测达标】
题16.
已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为(　　)
A．y＝x＋
B．y＝－x＋
C．y＝x＋或y＝－x＋
D．x＝1或y＝x＋
题17.
直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则AB＝________．
题18.
已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．
题19.
已知直线4x－y＝b被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则b的值为________．
题20.
若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点向圆C所作的切线长的最小值为________．
编号：011
课题:§2.2
直线与圆的位置关系
目标要求
1、理解并掌握直线与圆的位置关系的判断．
2、理解并掌握直线与圆相切的问题．
3、理解并掌握直线与圆的相交问题．
4、理解并掌握直线与圆的综合应用问题.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：直线与圆的相交问题；
难点：直线与圆的综合应用问题．
教学过程
基础知识点
1.
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断：
(1)方法：
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
(2)本质：利用直线与圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系．
【课前预习思考】
利用几何法、代数法都可以判断直线与圆的位置关系，哪种方法简单？
提示：一般几何法较为简单．
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是
(
)
A.
过不在圆内的一点一定能作圆的两条切线．
B.
直线与圆的位置关系只有相交和相切.
C.
过圆内一点作一条直线，则该直线一定与圆相交．
D.
如果一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，那么这条直线一定过圆心．
【答案】CD
【解析】A×.当点在圆上时，只能作圆的一条切线．
B×.直线与圆的位置关系有相交、相切和相离.
C√.过圆内的一点作直线，一定与圆有两个交点，因此一定相交．
D√.直径是圆的最长弦，因此直线一定过圆心．
故选CD.
题2.
已知直线l过点P，圆C：x2＋y2－4x＝0，则(　　)
A．l与C相交
B．l与C相切
C．l与C相离
D．l与C的位置关系不确定
【解析】选A.将圆的方程化为标准方程得：2＋y2＝4，
所以圆心C，半径r＝2，又P与圆心的距离d＝＝1<2＝r，
所以点P在圆C内，又直线l过P点，则直线l与圆C相交．
题3.
过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为(　　)
A．
B．2
C．
D．2
【解析】选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程x－y＝0，圆x2＋y2－4y＝0化为标准方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为，半径r＝2，
圆心到直线的距离d＝＝1，因此弦长为2＝2＝2.
类型一　直线与圆的位置关系的判断(数学运算、直观想象)
【典型题组训练】
题4.
若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1]
B．[－1，3]
C．[－3，1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
【解析】选C.方法一：(几何法)由题意可得，圆的圆心坐标为(a，0)，半径为，
所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
方法二：(代数法)由消y得，2x2＋2(1－a)x＋a2－1＝0，
由Δ＝4(1－a)2－8(a2－1)＝－4a2－8a＋12≥0，即a2＋2a－3≤0，解得－3≤a≤1.
题5.
直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交
B．相切
C．相离
D．不确定
【解析】选A.方法一：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1，1)，
因为点(1，1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆相交．
方法二：(几何法).由题意知，圆心(0，1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
方法三：(代数法)由消去y，整理得：(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
Δ＝(－2m2)2－4(1＋m2)(m2－5)＝4(4m2＋5)>0，故直线l与圆相交．
题6.
圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，求k的取值范围．
【解析】方法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得－＜k＜.
方法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝，直线与圆没有公共点的充要条件是d＞1.即＞1，解得－＜k＜.
【经典解题策略提醒】
判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．dr?相离．
(2)代数法：Δ＝b2－4ac
类型二　直线与圆相切的问题(逻辑推理、直观想象)
【典例】题7.
过点P画圆2＋y2＝4的切线，求切线方程．
四步
内容
理解题意
条件：①点P(4，5)，②圆2＋y2＝4结论：切线方程
思路探求
讨论切线的斜率是否存在，利用圆心到直线的距离等于半径，解出切线方程．
书写表达
①当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y－5＝k，即kx－y＋5－4k＝0，由＝2得k＝，所以切线方程l：21x－20y＋16＝0.②当切线斜率不存在时，切线l的方程为x＝4.综上切线方程为21x－20y＋16＝0和x＝4.注意书写的规范性：①设直线方程；②根据圆心到直线的距离等于半径列方程；③下结论．
题后反思
设直线方程的点斜式方程时要考虑斜率存在与否．解答题分类讨论，最后要下结论．
【解题策略提醒】
求圆的切线方程
设出直线的方程后，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的方程．设方程时要注意考虑斜率存在与否．
【课堂跟踪训练】
题8.
已知点M(3，1)，直线ax－y＋4＝0及圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过M点的圆的切线方程；
(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值．
【解析】(1)当斜率不存在时，x＝3与圆相切；
当斜率存在时，设切线y－1＝k(x－3)，即kx－y－3k＋1＝0，
圆心到直线的距离＝2，解得k＝，切线方程为y＝x－.
综上，切线方程为y＝x－和x＝3.
(2)圆心到直线的距离为＝2，解得a＝0，a＝.
【拓展知识延伸】
1．过圆上一点的切线方程
(1)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则在点M处的切线方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2.
2．过圆外一点的切线方程
(1)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外，则过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的方程为x0x＋y0y＝r2.Ｋ
(2)若点M(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外，则过M作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的方程为(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2.
【拓展训练提高】
题9.
已知点M为圆x2＋y2＝1上一点，求在点M处的切线方程．
【证明】方法一：直接应用结论
所求切线方程为x＋y＝1，即x＋y－2＝0.
方法二：当斜率不存在时x＝，不与圆相切，舍去；当斜率存在时，设y－＝k，
即2kx－2y－k＋＝0，圆心到直线的距离＝1，
解得k＝－，切线方程为x＋y－2＝0.综上，切线方程为x＋y－2＝0.
类型三　直线与圆的相交问题(数学运算，直观想象)
角度1　求弦长
【典例】题10.
已知圆x2＋y2－6x＝0，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【思路导引】首先判断点在圆内，然后利用最短弦与点和圆心连线垂直，构造直角三角形求解．
【解析】选B.将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，
设圆心为C，则C点坐标为(3，0)，半径r＝3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，
因为(1－3)2＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，
则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，D.
易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，
设此时圆心C到直线l的距离为d，则d＝AC＝＝2，
所以BDmin＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值为2.
【变式问题探究】题11.
求已知圆x2＋y2－6x＝0，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最大值．
【解析】当直线过圆心时，弦长最大．所以最大弦长为圆的直径6.
角度2　综合问题
【典例】题12.
已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，若在圆C中存在弦AB，满足AB＝2，且AB的中点M在直线2x＋y＋k＝0上，则实数k的取值范围是(　　)
A．[－2，2]
B．[－5，5]
C．(－，)
D．[－，]
【思路导引】把弦长转化为圆心到直线的距离．
【解析】选D.圆C的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
因此其圆心为C，半径r＝2，
由于AB＝2，且AB的中点为M，则CM＝＝1，
因此点M在以C(－1，2)为圆心，1为半径的圆上，又点M在直线2x＋y＋k＝0上，
所以直线2x＋y＋k＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝1有公共点，则≤1，
解得－≤k≤，故实数k的取值范围是[－，].
【解题策略提醒】
1．弦长的求法
若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
2．直线与圆的综合问题的求解策略
直线与圆和平面几何、平面向量的联系十分紧密，可充分考虑平面几何、平面向量知识的运用．
【当堂巩固训练】
题13．若直线x－y＝2被圆2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A．0或4
B．0或3
C．－2或6
D．－1或
【解析】选A.由圆的方程，可知圆心坐标为，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.
又d＝，所以＝2，解得a＝4或a＝0.
题14．已知在圆M：x2＋y2－4x＋2y－4＝0内，过点O(0，0)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．6
B．8
C．10
D．12
【解析】选D.＋＝9，由题意可得：最长弦为直径6，最短的弦是4，则四边形ABCD的面积为12.
题15．已知直线y＝2x＋1与圆x2＋y2＋ax＋2y＋1＝0交于A，B两点，直线mx＋y＋2＝0垂直平分弦AB，则m的值为________，弦AB的长为________．
【解析】设直线CD：mx＋y＋2＝0可化为y＝－mx－2，由垂直得2×(－m)＝－1，m＝.
直线CD的表达式为y＝－x－2.
圆的标准方程为2＋(y＋1)2＝，圆心C，半径.
代入直线CD的表达式得－1＝－×－2，解得a＝4.
所以圆心C(－2，－1)，半径为2.弦AB的长为2＝.
答案：　
【课堂检测达标】
题16.
已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为(　　)
A．y＝x＋
B．y＝－x＋
C．y＝x＋或y＝－x＋
D．x＝1或y＝x＋
【解析】选C.在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋，则＝1，所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋或y＝－x＋.
题17.
直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则AB＝________．
【解析】由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
所以该圆的圆心坐标为(1，2)，半径r＝，又圆心(1，2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，由＝r2－d2，得AB2＝4＝10，即AB＝.
答案：
题18.
已知直线l：y＝k(x＋)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝________．
【解析】因为直线l与圆C相切，所以圆心C到直线l的距离d＝＝1，
解得k＝0或k＝.
答案：0或
题19.
已知直线4x－y＝b被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为2，则b的值为________．
【解析】该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，故该圆的圆心(1，1)，半径为1，又直线被圆截得的弦长为2，所以直线必过圆心．所以4－1＝b，b＝3.
答案：3
题20.
若圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点向圆C所作的切线长的最小值为________．
【解析】将圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0整理可得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，由已知圆心在直线2ax＋by＋6＝0上，得b＝a－3.由点向圆所作的切线长
d2＝2－2，又b＝a－3，则d2＝2a2－8a＋24＝2(a－2)2＋16，
故当a＝2时，切线长d有最小值为4.
答案：4