2.3圆与圆的位置关系教案-2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.3圆与圆的位置关系教案-2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 261.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-17 12:50:04 | ||
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文档简介
课题:§2.3
圆与圆的位置关系
目标要求
1、理解并掌握两圆位置关系的判定．
2、理解并掌握有关相切的问题．
3、理解并掌握两圆相交问题．
4、理解并掌握圆与圆的综合应用问题.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：两圆相交问题；
难点：圆与圆的综合应用问题．
教学过程
基础知识点
1.
若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：
位置关系
公共点个数
圆心距与半径的关系
图示
两圆外离
___
d
_
r1＋r2
两圆内含
d
_
|r1－r2|
两圆相交
__
|r1－r2|
__
d
__
r1＋r2
两圆内切
__
d
__
|r1－r2|
两圆外切
d
__
r1＋r2
2.本质：利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
【课前预习思考】
(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是多少？
(2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是
(
)
.
若两圆有唯一的公共点，则两圆外切．
B.
若两圆没有公切线，则两圆内含．
C.
两圆的位置关系有内含、内切、相交、外切和外离.
D.
若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，当d<|r1－r2|时，两圆相交．
题2.
圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
题3.
若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝( )
A．－24
B．－16
C．24
D．16
类型一 两圆位置关系的判定(数学运算、直观想象)
【典型题组训练】
题4.
圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
题5.
圆A：x2＋y2＝1与圆B：x2－4x＋y2－5＝0的公共点个数为( )
A．0
B．3
C．2
D．1
题6.
圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为( )
A．外切
B．相交
C．内切
D．内含
【解题策略提醒】
几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程．
(2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系．
类型二 有关相切的问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】题7.
若圆C1：＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m等于( )
A．16
B．7
C．－4或16
D．7或16
题8.
已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，求圆O2的方程．
【解题策略提醒】
解决两圆相切问题的两个步骤
(1)定型，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
【课堂跟踪训练】
题9.
求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
【拓展知识延伸】
圆O1(x－a)2＋(y－b)2＝r，圆O2(x－c)2＋(y－d)2＝r.两圆相切时，两圆方程作差得过切点的公切线方程．
【拓展训练提高】
题10.
已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相外切．若圆C2关于直线l：－＝1对称，求由点(a，b)向圆C2所作的切线长的最小值．
类型三 两圆相交问题(数学运算、直观想象)
角度1 与公共弦相关的问题
【典例】题11.
两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0公共弦所在直线的方程是( )
A．x－3y＋1＝0
B．6x＋2y－1＝0
C．6x＋8y－3＝0
D．3x－y＋5＝0
【变式问题探究】
题12.求两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0相交所得公共弦的弦长．
角度2 圆与圆位置关系的应用
【典例】题13.
若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
【解题策略提醒】
公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
【当堂巩固训练】
题14．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．E＝－4，F＝8
B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8
D．E＝4，F＝8
题15．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝( )
A．2
B．1
C．－1
D．－2
【补充训练提高】
题16．若圆＋＝b2＋1始终
平分(x＋1)2＋＝4的周长，则a，b应满足的关系式为( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
【教师备用选择】
圆系方程
题17.
圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0
B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
【解题策略提醒】
求经过两圆交点的圆方程
已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
当λ＝－1时，表示公共弦所在直线方程；
当λ≠－1时，表示过两圆交点的圆．
【课堂跟踪训练】
题18.过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点的圆的方程是________．
【课堂检测达标】
题19.
已知圆M的圆心M(2，0)，圆M与圆O：x2＋y2＝1外切，则圆M的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－2)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
题20.
两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切
B．外离
C．外切
D．相交
题21.
已知直线y＝－x被圆M：x2＋y2＋Ey＝0截得的弦长为2，且圆N的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则圆M与圆N的位置关系为( )
A．相交
B．外切
C．相离
D．内切
题22.
已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.则两圆公共弦所在直线的方程为________．
题23.
已知圆O1：x2＋y2＝1，圆O2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a＝________．
编号：012
课题:§2.3
圆与圆的位置关系
目标要求
1、理解并掌握两圆位置关系的判定．
2、理解并掌握有关相切的问题．
3、理解并掌握两圆相交问题．
4、理解并掌握圆与圆的综合应用问题.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：两圆相交问题；
难点：圆与圆的综合应用问题．
教学过程
基础知识点
1.
若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：
位置关系
公共点个数
圆心距与半径的关系
图示
两圆外离
0
d
＞
r1＋r2
两圆内含
d
＜
|r1－r2|
两圆相交
2
|r1－r2|
＜
d
＜
r1＋r2
两圆内切
1
d
＝
|r1－r2|
两圆外切
d
＝
r1＋r2
2.本质：利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
【课前预习思考】
(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是多少？
提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.
(2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线．
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是
(
)
.
若两圆有唯一的公共点，则两圆外切．
B.
若两圆没有公切线，则两圆内含．
C.
两圆的位置关系有内含、内切、相交、外切和外离.
D.
若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，当d<|r1－r2|时，两圆相交．
【答案】BC
【解析】A×.两圆也可能内切．
B√.只有两圆内含时，两圆才没有公切线．
C√.
两圆的位置关系有内含、内切、相交、外切和外离.
D
×.当d<|r1－r2|时，两圆内含．
故选.
题2.
圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【解析】选B.两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.因为3－2题3.
若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝( )
A．－24
B．－16
C．24
D．16
【解析】选D.C1(0，0)，r1＝2，C2(3，4)，r2＝，
由外切得＝2＋，解得m＝16.
类型一 两圆位置关系的判定(数学运算、直观想象)
【典型题组训练】
题4.
圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
【解析】选B.O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0，故圆心坐标与半径分别为O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，O1O2＝，r2－r1＝1，1<<3，所以两圆相交．
题5.
圆A：x2＋y2＝1与圆B：x2－4x＋y2－5＝0的公共点个数为( )
A．0
B．3
C．2
D．1
【解析】选D.因为圆B：(x－2)2＋y2＝1，其圆心为B(2，0)，半径为1，圆A的圆心为A(0，0)，半径为1，所以圆心距为|AB|＝2，半径之和为1＋1＝2，所以两圆外切，只有一个公共点．
题6.
圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为( )
A．外切
B．相交
C．内切
D．内含
【解析】选C.两圆的标准方程分别为x2＋(y－1)2＝1，(x－)2＋y2＝9.
圆心分别为(0，1)，(，0)，半径分别为1，3.圆心距＝3－1，所以两圆内切．
【解题策略提醒】
几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程．
(2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系．
类型二 有关相切的问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】题7.
若圆C1：＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m等于( )
A．16
B．7
C．－4或16
D．7或16
【解析】选C.圆心分别为(1，0)，(4，－4).半径分别为1，.因为两圆相切，所以当外切时，＝1＋，解得m＝16；
当内切时，＝|1－|，
解得m＝－4.
题8.
已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，求圆O2的方程．
【解析】圆O1的方程变为＋＝16，所以圆心O1(4，4)，因为圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为(a，a)，因为圆O2过点A(0，－4)，所以圆O2与圆O1外切，因为圆O2过B(2，2)，所以a2＋(a＋4)2＝2(a－2)2，所以a＝0，所以圆O2的方程为x2＋y2＝16.
【解题策略提醒】
解决两圆相切问题的两个步骤
(1)定型，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
【课堂跟踪训练】
题9.
求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
【解析】圆C的方程化为标准式(x－1)2＋y2＝1，则圆心C(1，0)，半径为1，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题意可得解得或
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
【拓展知识延伸】
圆O1(x－a)2＋(y－b)2＝r，圆O2(x－c)2＋(y－d)2＝r.两圆相切时，两圆方程作差得过切点的公切线方程．
【拓展训练提高】
题10.
已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相外切．若圆C2关于直线l：－＝1对称，求由点(a，b)向圆C2所作的切线长的最小值．
【解析】圆C1的圆心C1(0，0)，半径为3.圆C2的圆心C2(3，4)，半径r.C1C2＝＝5.
因为两圆相外切，所以C1C2＝3＋r＝5，解得r＝2.
因为圆C2关于直线l：－＝1对称，所以－＝1，化为a＝b＋3.
由点(a，b)向圆C2所作的切线长＝＝，
所以当b＝2时，切线长取得最小值2.
类型三 两圆相交问题(数学运算、直观想象)
角度1 与公共弦相关的问题
【典例】题11.
两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0公共弦所在直线的方程是( )
A．x－3y＋1＝0
B．6x＋2y－1＝0
C．6x＋8y－3＝0
D．3x－y＋5＝0
【思路导引】把两圆方程作差可得公共弦所在直线方程．
【解析】选C.两圆方程x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0相减，可得公共弦所在直线方程为6x＋8y－3＝0.
【变式问题探究】
题12.求两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0相交所得公共弦的弦长．
【解析】x2＋y2＋4x－6y＋12＝0化成标准方程得，(x＋2)2＋(y－3)2＝1，所以弦长为2＝2＝.
角度2 圆与圆位置关系的应用
【典例】题13.
若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
【思路导引】切线垂直转化为过切点的两个半径垂直．
【解析】如图所示，在Rt△OO1A中，OA＝，O1A＝2，
所以OO1＝5，所以AC＝＝2，所以AB＝4.
答案：4
【解题策略提醒】
公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
【当堂巩固训练】
题14．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．E＝－4，F＝8
B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8
D．E＝4，F＝8
【解析】选C.由圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0作差，得－4x－Ey＋F＋4＝0.所以E＝－4，F＝－8.
题15．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝( )
A．2
B．1
C．－1
D．－2
【解析】选B.由圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)，可得公共弦的方程为y＝，又x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径为r＝2，由圆的弦长公式可得l＝2＝
2＝2，解得a＝1.
【补充训练提高】
题16．若圆＋＝b2＋1始终
平分(x＋1)2＋＝4的周长，则a，b应满足的关系式为( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
【解析】选B.因为圆2＋2＝b2＋1始终平分2＋2＝4的周长．
所以两圆交点的直线过2＋2＝4的圆心，两圆方程相减可得x＋y－a2－1＝0，将代入可得－2－2a－2－2b－a2－1＝0，即5＋2a＋2b＋a2＝0，所以B选项是正确的．
【教师备用选择】
圆系方程
题17.
圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0
B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
【思路导引】方法一，联立两圆方程，求出交点坐标，再求圆的方程；方法二，利用圆系方程求解．
【解析】选A.
方法一：(几何法)
由得A(－1，3)，B(－6，－2)，线段AB的垂直平分线方程为x＋y＋3＝0.
由得圆心坐标为.半径＝.
所求圆的方程为2＋2＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二：(圆系方程)
根据题意，要求圆经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，
设其方程为＋λ＝0，变形可得x2＋y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0,
其圆心为，
又由圆心在直线x－y－4＝0上，
则有－－4＝0，解得λ＝－7;
则圆的方程为x2＋y2＋6x－42y＋192＝0,
即x2＋y2－x＋7y－32＝0，所以A选项是正确的．
【解题策略提醒】
求经过两圆交点的圆方程
已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
当λ＝－1时，表示公共弦所在直线方程；
当λ≠－1时，表示过两圆交点的圆．
【课堂跟踪训练】
题18.过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点的圆的方程是________．
【解析】根据题意，设所求圆的方程为＋λ＝0，要求圆经过点，则有4＋10λ＝0，
解可得λ＝－，则要求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
答案：x2＋y2－x＋y＋2＝0
【课堂检测达标】
题19.
已知圆M的圆心M(2，0)，圆M与圆O：x2＋y2＝1外切，则圆M的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－2)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
【解析】选B.两圆圆心距2，圆M的半径为2－1＝1，所以圆M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
题20.
两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切
B．外离
C．外切
D．相交
【解析】选D.由题意可得两圆方程为x2＋y2＝1和2＋2＝9.则两圆圆心分别为和；半径分别为r1＝1和r2＝3，则圆心距：d＝＝，
则<<，所以两圆相交．
题21.
已知直线y＝－x被圆M：x2＋y2＋Ey＝0截得的弦长为2，且圆N的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则圆M与圆N的位置关系为( )
A．相交
B．外切
C．相离
D．内切
【解析】选A.圆M：x2＋y2＋Ey＝0的圆心为，半径为－.
所以＝2＋()2，解得E＝－4.所以圆M的圆心为(0，2)，半径为2.
圆N的圆心为(1，1)，半径为1.
因为MN＝＝，且2－1题22.
已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.则两圆公共弦所在直线的方程为________．
【解析】两圆方程作差得两圆公共弦所在直线方程x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
题23.
已知圆O1：x2＋y2＝1，圆O2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a＝________．
【解析】因为两个圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，
内切时，＝4，外切时＝6，所以a＝±2或0.
答案：±2或0
圆与圆的位置关系
目标要求
1、理解并掌握两圆位置关系的判定．
2、理解并掌握有关相切的问题．
3、理解并掌握两圆相交问题．
4、理解并掌握圆与圆的综合应用问题.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：两圆相交问题；
难点：圆与圆的综合应用问题．
教学过程
基础知识点
1.
若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：
位置关系
公共点个数
圆心距与半径的关系
图示
两圆外离
___
d
_
r1＋r2
两圆内含
d
_
|r1－r2|
两圆相交
__
|r1－r2|
__
d
__
r1＋r2
两圆内切
__
d
__
|r1－r2|
两圆外切
d
__
r1＋r2
2.本质：利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
【课前预习思考】
(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是多少？
(2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是
(
)
.
若两圆有唯一的公共点，则两圆外切．
B.
若两圆没有公切线，则两圆内含．
C.
两圆的位置关系有内含、内切、相交、外切和外离.
D.
若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，当d<|r1－r2|时，两圆相交．
题2.
圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
题3.
若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝( )
A．－24
B．－16
C．24
D．16
类型一 两圆位置关系的判定(数学运算、直观想象)
【典型题组训练】
题4.
圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
题5.
圆A：x2＋y2＝1与圆B：x2－4x＋y2－5＝0的公共点个数为( )
A．0
B．3
C．2
D．1
题6.
圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为( )
A．外切
B．相交
C．内切
D．内含
【解题策略提醒】
几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程．
(2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系．
类型二 有关相切的问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】题7.
若圆C1：＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m等于( )
A．16
B．7
C．－4或16
D．7或16
题8.
已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，求圆O2的方程．
【解题策略提醒】
解决两圆相切问题的两个步骤
(1)定型，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
【课堂跟踪训练】
题9.
求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
【拓展知识延伸】
圆O1(x－a)2＋(y－b)2＝r，圆O2(x－c)2＋(y－d)2＝r.两圆相切时，两圆方程作差得过切点的公切线方程．
【拓展训练提高】
题10.
已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相外切．若圆C2关于直线l：－＝1对称，求由点(a，b)向圆C2所作的切线长的最小值．
类型三 两圆相交问题(数学运算、直观想象)
角度1 与公共弦相关的问题
【典例】题11.
两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0公共弦所在直线的方程是( )
A．x－3y＋1＝0
B．6x＋2y－1＝0
C．6x＋8y－3＝0
D．3x－y＋5＝0
【变式问题探究】
题12.求两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0相交所得公共弦的弦长．
角度2 圆与圆位置关系的应用
【典例】题13.
若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
【解题策略提醒】
公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
【当堂巩固训练】
题14．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．E＝－4，F＝8
B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8
D．E＝4，F＝8
题15．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝( )
A．2
B．1
C．－1
D．－2
【补充训练提高】
题16．若圆＋＝b2＋1始终
平分(x＋1)2＋＝4的周长，则a，b应满足的关系式为( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
【教师备用选择】
圆系方程
题17.
圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0
B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
【解题策略提醒】
求经过两圆交点的圆方程
已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
当λ＝－1时，表示公共弦所在直线方程；
当λ≠－1时，表示过两圆交点的圆．
【课堂跟踪训练】
题18.过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点的圆的方程是________．
【课堂检测达标】
题19.
已知圆M的圆心M(2，0)，圆M与圆O：x2＋y2＝1外切，则圆M的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－2)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
题20.
两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切
B．外离
C．外切
D．相交
题21.
已知直线y＝－x被圆M：x2＋y2＋Ey＝0截得的弦长为2，且圆N的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则圆M与圆N的位置关系为( )
A．相交
B．外切
C．相离
D．内切
题22.
已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.则两圆公共弦所在直线的方程为________．
题23.
已知圆O1：x2＋y2＝1，圆O2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a＝________．
编号：012
课题:§2.3
圆与圆的位置关系
目标要求
1、理解并掌握两圆位置关系的判定．
2、理解并掌握有关相切的问题．
3、理解并掌握两圆相交问题．
4、理解并掌握圆与圆的综合应用问题.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：两圆相交问题；
难点：圆与圆的综合应用问题．
教学过程
基础知识点
1.
若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：
位置关系
公共点个数
圆心距与半径的关系
图示
两圆外离
0
d
＞
r1＋r2
两圆内含
d
＜
|r1－r2|
两圆相交
2
|r1－r2|
＜
d
＜
r1＋r2
两圆内切
1
d
＝
|r1－r2|
两圆外切
d
＝
r1＋r2
2.本质：利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
【课前预习思考】
(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是多少？
提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.
(2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？
提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线．
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是
(
)
.
若两圆有唯一的公共点，则两圆外切．
B.
若两圆没有公切线，则两圆内含．
C.
两圆的位置关系有内含、内切、相交、外切和外离.
D.
若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，当d<|r1－r2|时，两圆相交．
【答案】BC
【解析】A×.两圆也可能内切．
B√.只有两圆内含时，两圆才没有公切线．
C√.
两圆的位置关系有内含、内切、相交、外切和外离.
D
×.当d<|r1－r2|时，两圆内含．
故选.
题2.
圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
【解析】选B.两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.因为3－2
若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝( )
A．－24
B．－16
C．24
D．16
【解析】选D.C1(0，0)，r1＝2，C2(3，4)，r2＝，
由外切得＝2＋，解得m＝16.
类型一 两圆位置关系的判定(数学运算、直观想象)
【典型题组训练】
题4.
圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
A．外离
B．相交
C．外切
D．内切
【解析】选B.O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0，故圆心坐标与半径分别为O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，O1O2＝，r2－r1＝1，1<<3，所以两圆相交．
题5.
圆A：x2＋y2＝1与圆B：x2－4x＋y2－5＝0的公共点个数为( )
A．0
B．3
C．2
D．1
【解析】选D.因为圆B：(x－2)2＋y2＝1，其圆心为B(2，0)，半径为1，圆A的圆心为A(0，0)，半径为1，所以圆心距为|AB|＝2，半径之和为1＋1＝2，所以两圆外切，只有一个公共点．
题6.
圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2x－6＝0的位置关系为( )
A．外切
B．相交
C．内切
D．内含
【解析】选C.两圆的标准方程分别为x2＋(y－1)2＝1，(x－)2＋y2＝9.
圆心分别为(0，1)，(，0)，半径分别为1，3.圆心距＝3－1，所以两圆内切．
【解题策略提醒】
几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
(1)将两圆的方程化为标准方程．
(2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2.
(3)求两圆的圆心距d.
(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而判断两圆的位置关系．
类型二 有关相切的问题(数学运算、逻辑推理)
【典例】题7.
若圆C1：＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m等于( )
A．16
B．7
C．－4或16
D．7或16
【解析】选C.圆心分别为(1，0)，(4，－4).半径分别为1，.因为两圆相切，所以当外切时，＝1＋，解得m＝16；
当内切时，＝|1－|，
解得m＝－4.
题8.
已知圆O1：x2＋y2－8x－8y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，求圆O2的方程．
【解析】圆O1的方程变为＋＝16，所以圆心O1(4，4)，因为圆O2与圆O1相切于点B(2，2)，所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为(a，a)，因为圆O2过点A(0，－4)，所以圆O2与圆O1外切，因为圆O2过B(2，2)，所以a2＋(a＋4)2＝2(a－2)2，所以a＝0，所以圆O2的方程为x2＋y2＝16.
【解题策略提醒】
解决两圆相切问题的两个步骤
(1)定型，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论．
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时).
【课堂跟踪训练】
题9.
求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
【解析】圆C的方程化为标准式(x－1)2＋y2＝1，则圆心C(1，0)，半径为1，
设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题意可得解得或
所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
【拓展知识延伸】
圆O1(x－a)2＋(y－b)2＝r，圆O2(x－c)2＋(y－d)2＝r.两圆相切时，两圆方程作差得过切点的公切线方程．
【拓展训练提高】
题10.
已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相外切．若圆C2关于直线l：－＝1对称，求由点(a，b)向圆C2所作的切线长的最小值．
【解析】圆C1的圆心C1(0，0)，半径为3.圆C2的圆心C2(3，4)，半径r.C1C2＝＝5.
因为两圆相外切，所以C1C2＝3＋r＝5，解得r＝2.
因为圆C2关于直线l：－＝1对称，所以－＝1，化为a＝b＋3.
由点(a，b)向圆C2所作的切线长＝＝，
所以当b＝2时，切线长取得最小值2.
类型三 两圆相交问题(数学运算、直观想象)
角度1 与公共弦相关的问题
【典例】题11.
两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0公共弦所在直线的方程是( )
A．x－3y＋1＝0
B．6x＋2y－1＝0
C．6x＋8y－3＝0
D．3x－y＋5＝0
【思路导引】把两圆方程作差可得公共弦所在直线方程．
【解析】选C.两圆方程x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0相减，可得公共弦所在直线方程为6x＋8y－3＝0.
【变式问题探究】
题12.求两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0相交所得公共弦的弦长．
【解析】x2＋y2＋4x－6y＋12＝0化成标准方程得，(x＋2)2＋(y－3)2＝1，所以弦长为2＝2＝.
角度2 圆与圆位置关系的应用
【典例】题13.
若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为________．
【思路导引】切线垂直转化为过切点的两个半径垂直．
【解析】如图所示，在Rt△OO1A中，OA＝，O1A＝2，
所以OO1＝5，所以AC＝＝2，所以AB＝4.
答案：4
【解题策略提醒】
公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．
【当堂巩固训练】
题14．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则( )
A．E＝－4，F＝8
B．E＝4，F＝－8
C．E＝－4，F＝－8
D．E＝4，F＝8
【解析】选C.由圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0作差，得－4x－Ey＋F＋4＝0.所以E＝－4，F＝－8.
题15．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2，则a＝( )
A．2
B．1
C．－1
D．－2
【解析】选B.由圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)，可得公共弦的方程为y＝，又x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径为r＝2，由圆的弦长公式可得l＝2＝
2＝2，解得a＝1.
【补充训练提高】
题16．若圆＋＝b2＋1始终
平分(x＋1)2＋＝4的周长，则a，b应满足的关系式为( )
A．a2－2a－2b－3＝0
B．a2＋2a＋2b＋5＝0
C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0
【解析】选B.因为圆2＋2＝b2＋1始终平分2＋2＝4的周长．
所以两圆交点的直线过2＋2＝4的圆心，两圆方程相减可得x＋y－a2－1＝0，将代入可得－2－2a－2－2b－a2－1＝0，即5＋2a＋2b＋a2＝0，所以B选项是正确的．
【教师备用选择】
圆系方程
题17.
圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为( )
A．x2＋y2－x＋7y－32＝0
B．x2＋y2－x＋7y－16＝0
C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0
D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0
【思路导引】方法一，联立两圆方程，求出交点坐标，再求圆的方程；方法二，利用圆系方程求解．
【解析】选A.
方法一：(几何法)
由得A(－1，3)，B(－6，－2)，线段AB的垂直平分线方程为x＋y＋3＝0.
由得圆心坐标为.半径＝.
所求圆的方程为2＋2＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
方法二：(圆系方程)
根据题意，要求圆经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，
设其方程为＋λ＝0，变形可得x2＋y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0,
其圆心为，
又由圆心在直线x－y－4＝0上，
则有－－4＝0，解得λ＝－7;
则圆的方程为x2＋y2＋6x－42y＋192＝0,
即x2＋y2－x＋7y－32＝0，所以A选项是正确的．
【解题策略提醒】
求经过两圆交点的圆方程
已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.
当λ＝－1时，表示公共弦所在直线方程；
当λ≠－1时，表示过两圆交点的圆．
【课堂跟踪训练】
题18.过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点的圆的方程是________．
【解析】根据题意，设所求圆的方程为＋λ＝0，要求圆经过点，则有4＋10λ＝0，
解可得λ＝－，则要求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0.
答案：x2＋y2－x＋y＋2＝0
【课堂检测达标】
题19.
已知圆M的圆心M(2，0)，圆M与圆O：x2＋y2＝1外切，则圆M的方程为( )
A．(x－1)2＋y2＝1
B．(x－2)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y－2)2＝1
【解析】选B.两圆圆心距2，圆M的半径为2－1＝1，所以圆M的方程为(x－2)2＋y2＝1.
题20.
两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是( )
A．内切
B．外离
C．外切
D．相交
【解析】选D.由题意可得两圆方程为x2＋y2＝1和2＋2＝9.则两圆圆心分别为和；半径分别为r1＝1和r2＝3，则圆心距：d＝＝，
则<<，所以两圆相交．
题21.
已知直线y＝－x被圆M：x2＋y2＋Ey＝0截得的弦长为2，且圆N的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，则圆M与圆N的位置关系为( )
A．相交
B．外切
C．相离
D．内切
【解析】选A.圆M：x2＋y2＋Ey＝0的圆心为，半径为－.
所以＝2＋()2，解得E＝－4.所以圆M的圆心为(0，2)，半径为2.
圆N的圆心为(1，1)，半径为1.
因为MN＝＝，且2－1
已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0.则两圆公共弦所在直线的方程为________．
【解析】两圆方程作差得两圆公共弦所在直线方程x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
题23.
已知圆O1：x2＋y2＝1，圆O2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25，如果这两个圆有且只有一个公共点，则常数a＝________．
【解析】因为两个圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切，
内切时，＝4，外切时＝6，所以a＝±2或0.
答案：±2或0