圆与方程复习课教案-2021-2022学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

课题:§2
圆与方程复习课
目标要求
1、理解并掌握圆的方程的求法．
2、理解并掌握直线与圆的位置关系．
3、理解并掌握圆与圆的位置关系．
4、理解并掌握与圆有关的最值问题.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：两圆相交问题；
难点：圆与圆的综合应用问题．
教学过程
思维结构简图
基础知识点
1.
圆的标准方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作
__
，定点称为圆的
___
，定长称为圆的
_______
．
(2)标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为
___________________
.
(3)确定圆的标准方程的几何要素：________________．
2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系
(1)在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2
_
r2或d
_
r；
(2)在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2
_
r2或d
_
r；
(3)在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2
r2或d
r.
3.
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
将方程左边配方，并将常数项移到右边得＋＝
______
.
(1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为
_________
，半径为
________
的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点
___________
；
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
4．圆的一般方程
(1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的
_____
方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
5.
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断：
(1)方法：
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
___个
1个
0个
方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
_____
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
________
(2)本质：利用直线与圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系．
6.
（1）若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：
位置关系
公共点个数
圆心距与半径的关系
图示
两圆外离
___
d
_
r1＋r2
两圆内含
d
_
|r1－r2|
两圆相交
__
|r1－r2|
__
d
__
r1＋r2
两圆内切
__
d
__
|r1－r2|
两圆外切
d
__
r1＋r2
（2）本质：利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
【课堂题组训练】
题组训练一　求圆的方程
题1．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋y2＝9
B．(x－2)2＋y2＝9
C．(x＋2)2＋y2＝8
D．(x－2)2＋y2＝8
题2．圆在x，y轴上分别截得的弦长为14和4，且圆心在直线2x＋3y＝0上，则此圆的方程是________．
【解题策略提醒】
求圆的方程的方法
求圆的方程主要应用待定系数法：
(1)设出圆的一般方程或标准方程，利用条件构造方程组，通过解方程组求系数．
(2)利用圆的几何性质，如弦的垂直平分线过圆心等，构造条件求系数．
题组训练二　直线与圆的位置关系
题3．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A．
B．1
C．
D．
题4．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1
B．2
C．
D．3
题5．已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
【解题策略提醒】
　直线与圆的位置关系
(1)位置关系的判断：一般利用几何法判断，即判断圆心到直线的距离与半径的关系．
(2)弦长公式：直线与圆相交时，圆的弦长l，半径r，弦心距d之间满足r2＝d2＋.
题组训练三　圆与圆的位置关系
题6．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是________．
题7．要在一个矩形纸片上画出半径分别是4
cm和1
cm的两个外切圆，该矩形面积的最小值是(　　)
A．36
cm2
B．72
cm2
C.
80
cm2
D．100
cm2
题8．已知两个圆C1，C2与两坐标轴都相切，且都过点(1，－2)，则C1C2＝________．
【解题策略提醒】
1．关于两圆的位置关系
一般利用代数法判断两圆的位置关系，即判断圆心距与两圆半径的和差的关系，另外注意圆的位置关系与其公切线的条数是对应的，可以利用位置关系判断公切线的条数，反之亦然．
2．两圆的公共弦长
将两圆的方程作差，即可得到公共弦的方程，再利用其中一个圆，构造弦长、半径、圆心距的关系求弦长．
题组训练四　与圆有关的最值问题
题9.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).
(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率．
(2)求MQ的最大值和最小值．
(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
编号：013
课题:§2
圆与方程复习课
目标要求
1、理解并掌握圆的方程的求法．
2、理解并掌握直线与圆的位置关系．
3、理解并掌握圆与圆的位置关系．
4、理解并掌握与圆有关的最值问题.
学科素养目标
本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力．
重点难点
重点：两圆相交问题；
难点：圆与圆的综合应用问题．
教学过程
思维结构简图
基础知识点
1.
圆的标准方程
(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫作
圆
，定点称为圆的
圆心
，定长称为圆的
半径
．
(2)标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
.
(3)确定圆的标准方程的几何要素：圆心、半径．
2．点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系
(1)在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2
<
r2或d
<
r；
(2)在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2
＝
r2或d
＝
r；
(3)在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2
>
r2或d
>
r.
3.
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
将方程左边配方，并将常数项移到右边得＋＝
.
(1)当D2＋E2－4F>0时，表示圆心为
，半径为
的圆；
(2)当D2＋E2－4F＝0时，表示点
；
(3)当D2＋E2－4F<0时，不表示任何图形．
【思考】
4．圆的一般方程
(1)一般方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的
一般
方程．
(2)本质：圆的方程的另一种表示形式，更具有方程特征．
5.
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断：
(1)方法：
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
方法
几何法：设圆心到直线的距离d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
(2)本质：利用直线与圆的方程，通过定量计算研究直线与圆的位置关系．
6.（1）若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：
位置关系
公共点个数
圆心距与半径的关系
图示
两圆外离
0
d
＞
r1＋r2
两圆内含
d
＜
|r1－r2|
两圆相交
2
|r1－r2|
＜
d
＜
r1＋r2
两圆内切
1
d
＝
|r1－r2|
两圆外切
d
＝
r1＋r2
（2）本质：利用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．
【课堂题组训练】
题组训练一　求圆的方程
题1．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为(　　)
A．(x＋2)2＋y2＝9
B．(x－2)2＋y2＝9
C．(x＋2)2＋y2＝8
D．(x－2)2＋y2＝8
【解析】选B.设圆C：(x－a)2＋y2＝r2，a>0.把点M(0，)代入得，a2＋5＝r2.
圆心到直线2x－y＝0的距离为＝，解得a＝2，r＝3.
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
题2．圆在x，y轴上分别截得的弦长为14和4，且圆心在直线2x＋3y＝0上，则此圆的方程是________．
【解析】设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则解得或
圆的方程为2＋2＝85或2＋2＝85.
答案：＋2＝85或2＋2＝85
【解题策略提醒】
求圆的方程的方法
求圆的方程主要应用待定系数法：
(1)设出圆的一般方程或标准方程，利用条件构造方程组，通过解方程组求系数．
(2)利用圆的几何性质，如弦的垂直平分线过圆心等，构造条件求系数．
题组训练二　直线与圆的位置关系
题3．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为(　　)
A．
B．1
C．
D．
【解析】选D.因为圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于＝，所以弦长为.
题4．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　　)
A．1
B．2
C．
D．3
【解析】选C.切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3，0)到直线的距离为d＝＝2，圆的半径为1，故切线长的最小值为＝＝.
题5．已知P为直线x＋y－2＝0上的点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的切线，切点为M，N，若∠MPN＝90°，则这样的点P有(　　)
A．0个
B．1个
C．2个
D．无数个
【解析】选B.连接OM，ON，(图略)则OM＝ON，∠MPN＝∠ONP＝∠OMP＝90°，
所以四边形OMPN为正方形，因为圆O的半径为1，所以OP＝，
因为原点(圆心)O到直线x＋y－2＝0的距离为，所以符合条件的点P只有一个．
【解题策略提醒】
　直线与圆的位置关系
(1)位置关系的判断：一般利用几何法判断，即判断圆心到直线的距离与半径的关系．
(2)弦长公式：直线与圆相交时，圆的弦长l，半径r，弦心距d之间满足r2＝d2＋.
题组训练三　圆与圆的位置关系
题6．如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是________．
【解析】圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0＜＜4，所以0＜|a|＜2.所以a∈(－2，0)∪(0，2).
答案：(－2，0)∪(0，2)
题7．要在一个矩形纸片上画出半径分别是4
cm和1
cm的两个外切圆，该矩形面积的最小值是(　　)
A．36
cm2
B．72
cm2
C.
80
cm2
D．100
cm2
【解析】选B.如图，作WG⊥SC，则四边形WDCG是矩形，
因为两圆相切，所以WS＝SC＋WD＝1＋4＝5，
因为SG＝SC－GC＝4－1＝3，所以WG＝4，所以矩形QHBA的长AB＝AD＋CD＋CB＝1＋4＋4＝9，
宽BH＝4＋4＝8，所以矩形纸片面积的最小值＝8×9＝72
cm2.
题8．已知两个圆C1，C2与两坐标轴都相切，且都过点(1，－2)，则C1C2＝________．
【解析】由题意，得圆C1，C2的圆心在射线y＝－x，x>0上．
设圆的方程为(x－a)2＋(y＋a)2＝a2，a>0，
因为圆过点(1，－2)，所以(1－a)2＋(－2＋a)2＝a2，
解得a＝1或a＝5，即C1(1，－1)，C2(5，－5)，则C1C2＝4.
答案：4
【解题策略提醒】
1．关于两圆的位置关系
一般利用代数法判断两圆的位置关系，即判断圆心距与两圆半径的和差的关系，另外注意圆的位置关系与其公切线的条数是对应的，可以利用位置关系判断公切线的条数，反之亦然．
2．两圆的公共弦长
将两圆的方程作差，即可得到公共弦的方程，再利用其中一个圆，构造弦长、半径、圆心距的关系求弦长．
题组训练四　与圆有关的最值问题
题9.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).
(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率．
(2)求MQ的最大值和最小值．
(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．
【解析】(1)由点P(a，a＋1)在圆C上，可得a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，解得a＝4，所以P(4，5).
所以PQ＝＝2，kPQ＝＝.
(2)圆的方程变为(x－2)2＋(y－7)2＝8.所以圆心C坐标为(2，7)，半径r＝2.可得QC＝＝4，因此MQmax＝4＋2＝6，MQmin＝4－2＝2.
(3)可知表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为：
y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则＝k，由直线MQ与圆C相切时，＝2，可得k＝2＋或k＝2－，所以2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，最小值为2－.
【解题策略提醒】
与圆有关的最值问题常见的类型
(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大、最小距离：
dmax＝OP＋r，dmin＝OP－r.
(2)求圆上的点到与圆相离的某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝m－r.
(3)已知某点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求，，x2＋y2等式子的最值，一般运用几何法求解．