2020-2021学年湖南省常德市汉寿县八年级（上）期中数学试卷（Word版 含解析）

2020-2021学年湖南省常德市汉寿县八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算：﹣30＝（　　）
A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
2．用科学记数法表示0.0000000314为（　　）
A．0.314×10﹣9
B．3.14×10﹣9
C．3.14×10﹣8
D．3.14×10﹣7
3．若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．±3
B．﹣3
C．3
D．﹣2
4．下列运算正确的是（　　）
A．8a5b﹣3a5b＝5
B．t12÷t6＝t2
C．（a+b）2＝a2+b2
D．（﹣2t2）4＝16t8
5．已知命题“能被2整除的数是偶数”，则其逆命题为（　　）
A．能被2整除的数不是偶数
B．不能被2整除的数是偶数
C．偶数是能被2整除的数
D．偶数不是能被2整除的数
6．化简的结果是（　　）
A．
B．a
C．
D．
7．甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，AE、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝28°，∠C＝72°，则∠DAE的度数为（　　）
A．18°
B．22°
C．30°
D．38°
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
9．（2x﹣1）（﹣1﹣2x）＝　
　．
10．如图，在长方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝2，OA＝OB，则CO的长为
　
　．
11．如图：AB＝CD，AC，BD相交于点O，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件，这个条件可以是
　
　．
12．计算a﹣2b2?（a2b﹣2）﹣3÷（a﹣4）2＝　
　．
13．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝　
　度．
14．已知2x＝3，2y＝5，则22x﹣y﹣1的值是　
　．
15．如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为
　
　．
16．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A＝θ．则：
（1）∠A1＝　
　；
（2）∠An＝　
　．
三、（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
17．解方程+＝1
18．计算：+．
四、（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证：∠C＝∠A．
20．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）
五、（本题共2个小题，每小题7分，共14分）
21．先化简，再求值：÷，其中x＝2．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
六、（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
23．进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话：
通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．
24．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算：﹣30＝（　　）
A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
【分析】先计算30，再求它的相反数即可．
解：原式＝﹣1，
故选：B．
2．用科学记数法表示0.0000000314为（　　）
A．0.314×10﹣9
B．3.14×10﹣9
C．3.14×10﹣8
D．3.14×10﹣7
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000
000
0314＝3.14×10﹣8，
故选：C．
3．若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．±3
B．﹣3
C．3
D．﹣2
【分析】根据分子为零同时根据分母不为零即可求出x的值．
解：由题意可知：，
解得：x＝﹣3，
故选：B．
4．下列运算正确的是（　　）
A．8a5b﹣3a5b＝5
B．t12÷t6＝t2
C．（a+b）2＝a2+b2
D．（﹣2t2）4＝16t8
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式以及幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
解：A．8a5b﹣3a5b＝5a5b，故此选项不符合题意；
B．t12÷t6＝t6，故此选项不合题意；
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项不合题意；
D．（﹣2t2）4＝16t8，故此选项符合题意；
故选：D．
5．已知命题“能被2整除的数是偶数”，则其逆命题为（　　）
A．能被2整除的数不是偶数
B．不能被2整除的数是偶数
C．偶数是能被2整除的数
D．偶数不是能被2整除的数
【分析】交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题．
解：命题“能被2整除的数是偶数”逆命题为“偶数是能被2整除的数”，
故选：C．
6．化简的结果是（　　）
A．
B．a
C．
D．
【分析】将原式变形后，约分即可得到结果．
解：原式＝＝a．
故选：B．
7．甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】题中等量关系：甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，据此列出关系式．
解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x+15）千米/时，
根据题意，得
＝．
故选：C．
8．如图，AE、AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝28°，∠C＝72°，则∠DAE的度数为（　　）
A．18°
B．22°
C．30°
D．38°
【分析】根据三角形的内角和可求解∠BAC的度数，结合角平分线的定义可求解∠BAD的度数，由三角形高线可求解∠BAE的度数，进而可求解．
解：∵∠BAC+∠C+∠B＝180°，∠B＝28°，∠C＝72°，
∴∠BAC＝180°﹣28°﹣72°＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝40°，
∵AE是△ABC的高线，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣28°＝62°，
∴∠DAE＝62°﹣40°＝22°．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）
9．（2x﹣1）（﹣1﹣2x）＝　1﹣4x2　．
【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．
解：原式＝（﹣1+2x）（﹣1﹣2x）
＝1﹣4x2．
故答案为：1﹣4x2．
10．如图，在长方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，AB＝2，OA＝OB，则CO的长为
　2　．
【分析】依据矩形的性质可知△AOB是等边三角形，所以AO＝AB＝2，则OC＝AO＝2．
解：在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝BO＝CO＝DO．
∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°．
∴△AOB是等边三角形．
∴AO＝AB＝2，
∴CO＝2，
故答案为：2．
11．如图：AB＝CD，AC，BD相交于点O，要使△ABC≌△DCB，只需添加一个条件，这个条件可以是
　∠ABC＝∠DCB或AC＝DB或△AOB≌△DOC　．
【分析】本题已知条件是一条公共边BC＝BC和AB＝CD，所填条件必须和已知条件构成或经推理可以得出SSS、SAS，所以添加的条件可以是一条边对应相等或一个夹角对应相等．
解：当添加∠ABC＝∠DCB时，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）；
当添加AC＝DB时，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）；
当添加△AOB≌△DOC时，
∵△AOB≌△DOC，
∴AO＝DO，BO＝CO，
∴AO+CO＝DO+BO，
即AC＝BD，
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
故填：∠ABC＝∠DCB或AC＝DB或△AOB≌△DOC．
12．计算a﹣2b2?（a2b﹣2）﹣3÷（a﹣4）2＝　b8　．
【分析】先算乘方，再算乘除即可．
解：原式＝a﹣2b2?a﹣6b6÷a﹣8
＝b8，
故答案为：b8．
13．如图，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝　95　度．
【分析】运用全等求出∠D＝∠C，再用三角形内角和即可求．
解：∵△OAD≌△OBC，
∴∠OAD＝∠OBC；
在△OBC中，∠O＝65°，∠C＝20°，
∴∠OBC＝180°﹣（65°+20°）＝180°﹣85°＝95°；
∴∠OAD＝∠OBC＝95°．
故答案为：95．
14．已知2x＝3，2y＝5，则22x﹣y﹣1的值是　　．
【分析】根据同底数幂的除法底数不变指数相减，幂的乘方，可得答案．
解：22x﹣y﹣1＝22x÷2y÷2
＝（2x）2÷2y÷2
＝9÷5÷2
＝，
故答案为：．
15．如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为
　45°　．
【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出∠ABC的度数．
解：如图，连接AC．
根据勾股定理可以得到：AC＝BC＝，AB＝，
∵（）2+（）2＝（）2，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC＝45°．
故答案为：45°．
16．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，…，∠An﹣1BC的平分线与∠An﹣1CD的平分线交于点An．设∠A＝θ．则：
（1）∠A1＝　　；
（2）∠An＝　　．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，整理即可得解；
（2）与（1）同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解．
解：（1）∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1，
∴（∠A+∠ABC）＝∠ABC+∠A1，
∴∠A1＝∠A，
∵∠A＝θ，
∴∠A1＝；
（2）同理可得∠A2＝∠A1＝?θ＝，
所以∠An＝．
故答案为：（1），（2）．
三、（本题共2个小题，每小题5分，共10分）
17．解方程+＝1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解：去分母得：3+x2+3x＝x2﹣9，
解得：x＝﹣4，
经检验x＝﹣4是分式方程的解．
18．计算：+．
【分析】将原式中能因式分解的分母进行因式分解，然后进行分式的约分，最后再计算．
解：原式＝
＝
＝
＝
＝﹣1．
四、（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求证：∠C＝∠A．
【分析】由SSS证得△ABD≌△CBD，再根据全等三角形的性质得出结论．
【解答】证明：连接BD，
∵在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠C＝∠A．
20．如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠1＝∠2；④BD＝CE．请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（要求写出已知，求证及证明过程）
【分析】根据三角形全等的判定方法进行组合、证明，答案不唯一．
解：答案不唯一．如：
已知：在△ABD和△ACE中，AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2．
求证：BD＝CE．
证明：∵∠1＝∠2，
∴∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE（全等三角形对应边相等）．
五、（本题共2个小题，每小题7分，共14分）
21．先化简，再求值：÷，其中x＝2．
【分析】根据分式的除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：原式＝?
＝，
当x＝2时，原式＝＝．
22．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
又∵BE⊥AF，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∵AD＝CF（已证），
∴AB＝BC+AD（等量代换）．
六、（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
23．进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话：
通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．
【分析】这是工程问题．
工作效率：设原来每天加固x米，则提高效率后每天加固2x米；
工作量：分别是600米，（4800﹣600）米；
工作时间表示为：，共用9天完成．即：加固600米用的时间+加固（4800﹣600）米用的时间＝9，建立方程．
解：设原来每天加固x米．
根据题意得：．
去分母得：1200+4200＝18x．（或18x＝5400）
解得：x＝300．
检验：当x＝300时，2x≠0（或分母不等于0）．
∴x＝300是原方程的解．
答：该地驻军原来每天加固300米．
24．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．