初中数学湘教版九年级上册5.1总体平均数与方差的估计 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·重庆月考）在“开学考试”，“第1次月考”，“第2次月考”这三次考试中，小西，小南两名同学的数学平均分都是120分，小西数学成绩的方差是15，小南数学成绩的方差是3，则下列说法正确的是（ ）
A．小西的成绩比小南稳定 B．小南的成绩比小西稳定
C．小西，小南成绩一样稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：因为两人平均分相同，S小西2=15＞S小南2=3，
方差最小的为小南，
所以成绩比较稳定的是小南，
故答案为：B.
【分析】根据方差的意义“方差越大成绩越不稳定”可求解.
2．（2020·平谷模拟）某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位： ）如下图所示：
设两队队员身高的平均数依次为 ，方差依次为 ，下列关系中完全正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】 ，
，
，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】先根据平均数的定义分别计算出甲、乙的平均数，然后根据方差公式计算出甲、乙的方差，即可对各选项进行判断．
3．（2020·海曙模拟）老师要分析小刚的5次数学模拟考试成绩是否稳定，她需要统计小刚这5次成绩的（ ）
A．平均数 B．方差或标准差
C．众数 D．中位数
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：根据方差和标准差的意义可知：
老师要分析小刚的5次数学模拟考试成绩是否稳定，她需要统计小刚这5次成绩的方差和标准差.
故答案为：B.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标.标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息.
4．（2020·上海模拟）为备战奥运会，甲、乙、丙、丁四位优秀短跑选手参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是10.3秒，但他们成绩的方差分别是0.020、0.019、0.021、0.022（单位：秒 ）则这四人中发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵0.019<0.020<0.021<0.022，
∴乙的方差最小，
∴这四人中乙发挥最稳定，
故答案为：B．
【分析】利用方差越小，表明这组数据分布越稳定解答即可．
5．（2019九下·杭州期中）某车间对甲、乙、丙、丁四名生产工人一天生产出的各自20个零件长度进行调查。每位生产工人生产的零件长度的平均值均为10厘米，方差分别为S甲2=0.51，S乙2=1.5，S丙2=0.35，S丁2=0.75．其中生产出的零件长度最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵四人的平均值都为10厘米，
0.35＜0.51＜0.75＜1.5，
∴丙生产出的零件长度最稳定.
故答案为：C.
【分析】方差：是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数，方差是刻画波动大小的一个重要的数字，方差越小则波动越小，稳定性也越好，比较四个人的方差大小，从而可得答案.
6．（2021·西湖模拟）某校七年级学生的平均年龄为13岁，年龄的方差为3，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生，对其年龄的说法正确的是（ ）
A．平均年龄为13岁，方差改变 B．平均年龄为15岁，方差不变
C．平均年龄为15岁，方差改变 D．平均年龄为13岁，方差不变
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变，
所以平均年龄为15岁，方差不变，
故答案为：B.
【分析】所有数据同时增大或减少同样的数值，平均数同时增大或减少同样的数值，方差不变，即可得出结果.
7．（2020·宁波模拟）某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，则与换人前相比，场上队员的身高的（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：原数据的平均数为：；
原数据的方差为：；
新数据的平均数为：
新数据的方差为：；
∴平均数变小，方差变小.
故答案为：A.
【分析】利用平均数公式，分别求出原数据和新数据的平均数，再分别求出原数据和新数据的方差，然后比较大小，可得结论。
8．（2020九上·深圳期末）甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击20次，3人的测试成绩如下表．则甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是（ ）
甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩
环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4 频数 6 4 4 6 频数 5 5 5 5
A．甲 B．乙
C．丙 D．3人成绩稳定情况相同
【答案】A
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】由表格得：
甲的平均数=
甲的方差=
同理可得：乙的平均数为：8.5，乙的方差为：1.45
丙的平均数为：8.5，乙的方差为：1.25
∴甲的方差最小，即甲最稳定
故答案为：A
【分析】先算出甲、乙、丙三人的方差，比较方差得出最稳定的人选．
9．（2019九上·邢台期中）某农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆产量（单位：吨/亩）的数据统计如下： ， ， ， ，则由上述数据推断乙品种大豆产量比较稳定的依据是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：根据平均数和方差的意义，方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 ．
故答案为：B．
【分析】根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定，进行作答即可.
10．（2018·邵阳）根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图．
根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（ ）
A．李飞或刘亮 B．李飞 C．刘亮 D．无法确定
【答案】C
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】李飞的成绩为5、8、9、7、8、9、10、8、9、7，
则李飞成绩的平均数为 =8，
所以李飞成绩的方差为 ×[（5﹣8）2+2×（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2+（10﹣8）2]=1.8；
刘亮的成绩为7、8、8、9、7、8、8、9、7、9，
则刘亮成绩的平均数为 =8，
∴刘亮成绩的方差为 ×[3×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2]=0.6，
∵0.6＜1.8，
∴应推荐刘亮，
故答案为：C．
【分析】观察折线图中的数据，先分别求出李飞和刘亮成绩的平均数，再利用方差公式分别求出李飞和刘亮成绩的方差，然后比较大小，根据方差越小，成绩越稳定。
二、填空题
11．（2020·铁岭）甲、乙两人参加“环保知识”竞赛，经过6轮比赛，他们的平均成绩都是97分.如果甲、乙两人比赛成绩的方差分别为 ，则这6次比赛成绩比较稳定的是 .（填“甲”或“乙”）
【答案】乙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵甲、乙两人的平均成绩都是97分，s2甲 ，s2乙 ，
∴s2甲＞s2乙，
∴这6次比赛成绩比较稳定的是乙.
故答案为：乙.
【分析】在平均数相同的条件下，方差越小则成绩就越稳定，据此解答即可.
12．（2018·巴中）甲、乙两名运动员进行了5次百米赛跑测试，两人的平均成绩都是13.3秒，而S甲2=3.7，S乙2=6.25，则两人中成绩较稳定的是 ．
【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵S甲2=3.7，S乙2=6.25，
∴S甲2＜S乙2，
∴两人中成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【分析】根据方差的意义，方差越小，成绩越稳定，可求解。
13．（2020·铜仁模拟）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是 ， ， ， ，在本次射击测试中，成绩最稳定的是 .
【答案】丙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是0.90，1.22，0.43，1.68，
∴S2丙∴成绩最稳定的同学是丙.
【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
14．（2020·莫旗模拟）一组数据1，2，3，x，5的平均数是3，则该组数据的方差是 ．
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：平均数是3 （1+2+3+x+5），解得：x=4，
∴方差是S2 [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2] 10=2．
故答案为2．
【分析】先用平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算即可．
15．（2020·邵阳）据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看， 学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：甲的“送教上门”时间的平均数为： ，
乙的“送教上门”时间的平均数为： ，
甲的方差： ，
乙的方差： ，
，
所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定．
故答案为：甲．
【分析】先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定．
16．（2018·青岛）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2 S乙2（填“＞”、“=”、“＜”）
【答案】＞
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即S甲2＞S乙2．
故答案为：＞．
【分析】从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，可得出答案。
三、综合题
17．（2018·柳州模拟）甲、乙两个电子厂在广告中都声称他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是5年.质检部门对这两家销售的产品的使用寿命进行了跟踪调查，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：3，4，5，6，7 乙厂：4，4，5，6，6
（1）分别求出甲、乙两厂的该种电子产品在正常情况下的使用寿命的平均数和方差；
（2）如果你是顾客，你会选购哪家电子厂的产品？说明理由.
【答案】（1）解：x甲= ×（3＋4＋5＋6＋7）=5，
甲= ×[（3－5）2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋（7－5）2]=2，
x乙= ×（4＋4＋5＋6＋6）=5，
乙= ×[（4－5）2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋（6－5）2]=0.8.
（2）解：由（1）知，甲厂、乙厂的该种电子产品在正常情况下的使用寿命平均数都是5年，
则甲厂方差>乙厂方差，选方差小的厂家的产品，
因此应选乙厂的产品
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）平均数=，方差，代入公式即可求解；
（2）由（1）知，两家的平均数相同，根据方差越小越稳定可知，应选乙厂的产品。
18．（2019九下·桐乡月考）甲、乙两人加工同一种直径为100mm的零件，现从他们加工好的零件中随机各抽取6个，量得零件的直径如下(单位：mm)：
甲：98，102，100，100，101，99：
乙：100，103，101，97，100，99．
（1）根据上述两组数据，完成下面的表格：
平均数 中位数 众数 方差
甲 100
乙 100 100
（2）请你结合(1)中的统计数据，评价一下甲、乙两人的加工质量．
【答案】（1）100；100；100；
（2）解： 甲乙的平均数都等于标准值，但甲的方差比乙的方差小，因此甲的质量好。
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：（1）
甲组数据中，出现次数最多的数是100，因此众数为100；
乙组数据排序为：97,99,100,100,101,103，最中间的两个数为100
∴这组数据的中位数为：（100+100）÷2=100；
S乙2=；
故答案为：100；100；100；
【分析】（1）分别求出甲的平均数和众数，再将乙组数据排序，就可求出中位数，然后利用方差公式求出乙的方差。
（2）根据甲乙的平均数相等，且都等于标准值，再比较甲乙的方差大小，就可判断出谁的质量好。
19．（2018·溧水模拟）某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：
命中环数 6 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 0 1 3 1 0
乙命中相应环数的次数 2 0 0 2 1
（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是 环，乙命中环数的众数是 环；
（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会 ．（填 “变大”、“变小” 或 “不变”）
【答案】（1）8；6、9
（2）解： ， ，
=0.4，
=2.8，
，说明甲的成绩比乙稳定
（3）变小
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：（1）观察表格可知甲共射击5次，其中1次7环，3次8环，1次9环，所以中位数为8；
乙共射中6环有2次，9环有2次，10环1次，所以中位数为6、9，
故答案为：8； 6、9；
（3）根据题意， ， = <2.8，故答案为：变小.
【分析】（1）根据求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据。就可得出答案。
（2）先求出甲乙两组数据的平均数，再根据方差公式分别求出甲乙的方差，然后比较大小，根据方程越大数据的波动越大，就可得出结果。
（3）分别计算甲乙的方差，比较大小就可解答。
20．（2020九上·赣榆期末）甲、乙两台机床同时加工直径为 的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取 件进行检测，结果如下（单位： ）：
甲
乙
（1）分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；
（2）根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些，说明理由.
【答案】（1）解：∵甲机床所加工零件直径的平均数是： ，
乙机床所加工零件直径的平均数是： ，
∴甲机床所加工零件直径的方差 ，
乙机床所加工零件直径的方差
（2）解：∵ ，
∴乙机床生产零件的稳定性更好一些
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）根据所给的两组数据，分布求出两组数据的平均数，再利用方差公式求两组数据的方差即可；（2）根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些.
21．（2021·南京一模）某商场统计了A、B两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下：
一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月
A品牌 16 31 29 24 24 24 20
B品牌 16 20 24 25 26 27 30
（1）分别求这7个月A、B两种品牌洗衣机销量的方差；
（2）由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购A、B两种品牌洗衣机以满足市场需求.请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明理由.
【答案】（1）解： = (16+31+29+24+24+24+20)=24，
= (16+20+24+25+26+27+30)=24；
[(16-24)2+(31-24)2+(29-24)2+(24-24)2+(24-24)2+(24-24)2＋(20-24)2]=22，
[(16-24)2+(20-24)2+(24-24)2+(25-24)2+(26-24)2+(27-24)2+(30-24)2]=
（2）解：由 ，可知A、B两种品牌平均销量相当，由 ＜ ，可知B品牌销量的离散程度较小，
由表格可知，B品牌一月到七月的销量呈上升趋势，
故建议商场采购B品牌冰箱
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）由方差的计算公式可得结果；
（2）根据平均数相同，比较方差，方差越小，波动越小可得结果.
1 / 1初中数学湘教版九年级上册5.1总体平均数与方差的估计 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·重庆月考）在“开学考试”，“第1次月考”，“第2次月考”这三次考试中，小西，小南两名同学的数学平均分都是120分，小西数学成绩的方差是15，小南数学成绩的方差是3，则下列说法正确的是（ ）
A．小西的成绩比小南稳定 B．小南的成绩比小西稳定
C．小西，小南成绩一样稳定 D．无法确定谁的成绩更稳定
2．（2020·平谷模拟）某校开设了冰球选修课，12名同学被分成甲、乙两组进行训练，他们的身高（单位： ）如下图所示：
设两队队员身高的平均数依次为 ，方差依次为 ，下列关系中完全正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·海曙模拟）老师要分析小刚的5次数学模拟考试成绩是否稳定，她需要统计小刚这5次成绩的（ ）
A．平均数 B．方差或标准差
C．众数 D．中位数
4．（2020·上海模拟）为备战奥运会，甲、乙、丙、丁四位优秀短跑选手参加训练，近期的10次百米测试平均成绩都是10.3秒，但他们成绩的方差分别是0.020、0.019、0.021、0.022（单位：秒 ）则这四人中发挥最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2019九下·杭州期中）某车间对甲、乙、丙、丁四名生产工人一天生产出的各自20个零件长度进行调查。每位生产工人生产的零件长度的平均值均为10厘米，方差分别为S甲2=0.51，S乙2=1.5，S丙2=0.35，S丁2=0.75．其中生产出的零件长度最稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2021·西湖模拟）某校七年级学生的平均年龄为13岁，年龄的方差为3，若学生人数没有变动，则两年后的同一批学生，对其年龄的说法正确的是（ ）
A．平均年龄为13岁，方差改变 B．平均年龄为15岁，方差不变
C．平均年龄为15岁，方差改变 D．平均年龄为13岁，方差不变
7．（2020·宁波模拟）某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是：180，184，188，190，192，194．现用一名身高为186cm的队员换下场上身高为192cm的队员，则与换人前相比，场上队员的身高的（ ）
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大
8．（2020九上·深圳期末）甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击20次，3人的测试成绩如下表．则甲、乙、丙3名运动员测试成绩最稳定的是（ ）
甲的成绩 乙的成绩 丙的成绩
环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10
频数 4 6 6 4 频数 6 4 4 6 频数 5 5 5 5
A．甲 B．乙
C．丙 D．3人成绩稳定情况相同
9．（2019九上·邢台期中）某农场各用10块面积相同的试验田种植甲、乙两种大豆，收成后对两种大豆产量（单位：吨/亩）的数据统计如下： ， ， ， ，则由上述数据推断乙品种大豆产量比较稳定的依据是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2018·邵阳）根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图．
根据图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐（ ）
A．李飞或刘亮 B．李飞 C．刘亮 D．无法确定
二、填空题
11．（2020·铁岭）甲、乙两人参加“环保知识”竞赛，经过6轮比赛，他们的平均成绩都是97分.如果甲、乙两人比赛成绩的方差分别为 ，则这6次比赛成绩比较稳定的是 .（填“甲”或“乙”）
12．（2018·巴中）甲、乙两名运动员进行了5次百米赛跑测试，两人的平均成绩都是13.3秒，而S甲2=3.7，S乙2=6.25，则两人中成绩较稳定的是 ．
13．（2020·铜仁模拟）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好是9.4环，方差分别是 ， ， ， ，在本次射击测试中，成绩最稳定的是 .
14．（2020·莫旗模拟）一组数据1，2，3，x，5的平均数是3，则该组数据的方差是 ．
15．（2020·邵阳）据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生91.3万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：
甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；
乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．
从接受“送教上门”的时间波动大小来看， 学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或“乙”）
16．（2018·青岛）已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2 S乙2（填“＞”、“=”、“＜”）
三、综合题
17．（2018·柳州模拟）甲、乙两个电子厂在广告中都声称他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命都是5年.质检部门对这两家销售的产品的使用寿命进行了跟踪调查，统计结果如下：（单位：年）
甲厂：3，4，5，6，7 乙厂：4，4，5，6，6
（1）分别求出甲、乙两厂的该种电子产品在正常情况下的使用寿命的平均数和方差；
（2）如果你是顾客，你会选购哪家电子厂的产品？说明理由.
18．（2019九下·桐乡月考）甲、乙两人加工同一种直径为100mm的零件，现从他们加工好的零件中随机各抽取6个，量得零件的直径如下(单位：mm)：
甲：98，102，100，100，101，99：
乙：100，103，101，97，100，99．
（1）根据上述两组数据，完成下面的表格：
平均数 中位数 众数 方差
甲 100
乙 100 100
（2）请你结合(1)中的统计数据，评价一下甲、乙两人的加工质量．
19．（2018·溧水模拟）某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：
命中环数 6 7 8 9 10
甲命中相应环数的次数 0 1 3 1 0
乙命中相应环数的次数 2 0 0 2 1
（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是 环，乙命中环数的众数是 环；
（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？
（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会 ．（填 “变大”、“变小” 或 “不变”）
20．（2020九上·赣榆期末）甲、乙两台机床同时加工直径为 的同种规格零件，为了检查两台机床加工零件的稳定性，质检员从两台机床的产品中各抽取 件进行检测，结果如下（单位： ）：
甲
乙
（1）分别求出这两台机床所加工零件直径的平均数和方差；
（2）根据所学的统计知识，你认为哪一台机床生产零件的稳定性更好一些，说明理由.
21．（2021·南京一模）某商场统计了A、B两种品牌洗衣机7个月的销售情况，结果如下：
一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月
A品牌 16 31 29 24 24 24 20
B品牌 16 20 24 25 26 27 30
（1）分别求这7个月A、B两种品牌洗衣机销量的方差；
（2）由于库存不足，商场采购部欲从厂家采购A、B两种品牌洗衣机以满足市场需求.请你结合上述两种品牌洗衣机的销售情况，对商场采购部提出建议，并从两个不同角度说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：因为两人平均分相同，S小西2=15＞S小南2=3，
方差最小的为小南，
所以成绩比较稳定的是小南，
故答案为：B.
【分析】根据方差的意义“方差越大成绩越不稳定”可求解.
2．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】 ，
，
，
∴ ，
故答案为：A．
【分析】先根据平均数的定义分别计算出甲、乙的平均数，然后根据方差公式计算出甲、乙的方差，即可对各选项进行判断．
3．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：根据方差和标准差的意义可知：
老师要分析小刚的5次数学模拟考试成绩是否稳定，她需要统计小刚这5次成绩的方差和标准差.
故答案为：B.
【分析】方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好；标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标.标准差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息.
4．【答案】B
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵0.019<0.020<0.021<0.022，
∴乙的方差最小，
∴这四人中乙发挥最稳定，
故答案为：B．
【分析】利用方差越小，表明这组数据分布越稳定解答即可．
5．【答案】C
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵四人的平均值都为10厘米，
0.35＜0.51＜0.75＜1.5，
∴丙生产出的零件长度最稳定.
故答案为：C.
【分析】方差：是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数，方差是刻画波动大小的一个重要的数字，方差越小则波动越小，稳定性也越好，比较四个人的方差大小，从而可得答案.
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：两年后的同一批学生的年龄均增加2岁，其年龄的波动幅度不变，
所以平均年龄为15岁，方差不变，
故答案为：B.
【分析】所有数据同时增大或减少同样的数值，平均数同时增大或减少同样的数值，方差不变，即可得出结果.
7．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：原数据的平均数为：；
原数据的方差为：；
新数据的平均数为：
新数据的方差为：；
∴平均数变小，方差变小.
故答案为：A.
【分析】利用平均数公式，分别求出原数据和新数据的平均数，再分别求出原数据和新数据的方差，然后比较大小，可得结论。
8．【答案】A
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】由表格得：
甲的平均数=
甲的方差=
同理可得：乙的平均数为：8.5，乙的方差为：1.45
丙的平均数为：8.5，乙的方差为：1.25
∴甲的方差最小，即甲最稳定
故答案为：A
【分析】先算出甲、乙、丙三人的方差，比较方差得出最稳定的人选．
9．【答案】B
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：根据平均数和方差的意义，方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定 ．
故答案为：B．
【分析】根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定，进行作答即可.
10．【答案】C
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】李飞的成绩为5、8、9、7、8、9、10、8、9、7，
则李飞成绩的平均数为 =8，
所以李飞成绩的方差为 ×[（5﹣8）2+2×（7﹣8）2+3×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2+（10﹣8）2]=1.8；
刘亮的成绩为7、8、8、9、7、8、8、9、7、9，
则刘亮成绩的平均数为 =8，
∴刘亮成绩的方差为 ×[3×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2]=0.6，
∵0.6＜1.8，
∴应推荐刘亮，
故答案为：C．
【分析】观察折线图中的数据，先分别求出李飞和刘亮成绩的平均数，再利用方差公式分别求出李飞和刘亮成绩的方差，然后比较大小，根据方差越小，成绩越稳定。
11．【答案】乙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵甲、乙两人的平均成绩都是97分，s2甲 ，s2乙 ，
∴s2甲＞s2乙，
∴这6次比赛成绩比较稳定的是乙.
故答案为：乙.
【分析】在平均数相同的条件下，方差越小则成绩就越稳定，据此解答即可.
12．【答案】甲
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：∵S甲2=3.7，S乙2=6.25，
∴S甲2＜S乙2，
∴两人中成绩较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【分析】根据方差的意义，方差越小，成绩越稳定，可求解。
13．【答案】丙
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是0.90，1.22，0.43，1.68，
∴S2丙∴成绩最稳定的同学是丙.
【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
14．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：平均数是3 （1+2+3+x+5），解得：x=4，
∴方差是S2 [（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2] 10=2．
故答案为2．
【分析】先用平均数是3可得x的值，再结合方差公式计算即可．
15．【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：甲的“送教上门”时间的平均数为： ，
乙的“送教上门”时间的平均数为： ，
甲的方差： ，
乙的方差： ，
，
所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定．
故答案为：甲．
【分析】先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定．
16．【答案】＞
【知识点】分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，即S甲2＞S乙2．
故答案为：＞．
【分析】从图看出：乙组数据的波动较小，故乙的方差较小，可得出答案。
17．【答案】（1）解：x甲= ×（3＋4＋5＋6＋7）=5，
甲= ×[（3－5）2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋（7－5）2]=2，
x乙= ×（4＋4＋5＋6＋6）=5，
乙= ×[（4－5）2＋（4－5）2＋（5－5）2＋（6－5）2＋（6－5）2]=0.8.
（2）解：由（1）知，甲厂、乙厂的该种电子产品在正常情况下的使用寿命平均数都是5年，
则甲厂方差>乙厂方差，选方差小的厂家的产品，
因此应选乙厂的产品
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）平均数=，方差，代入公式即可求解；
（2）由（1）知，两家的平均数相同，根据方差越小越稳定可知，应选乙厂的产品。
18．【答案】（1）100；100；100；
（2）解： 甲乙的平均数都等于标准值，但甲的方差比乙的方差小，因此甲的质量好。
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：（1）
甲组数据中，出现次数最多的数是100，因此众数为100；
乙组数据排序为：97,99,100,100,101,103，最中间的两个数为100
∴这组数据的中位数为：（100+100）÷2=100；
S乙2=；
故答案为：100；100；100；
【分析】（1）分别求出甲的平均数和众数，再将乙组数据排序，就可求出中位数，然后利用方差公式求出乙的方差。
（2）根据甲乙的平均数相等，且都等于标准值，再比较甲乙的方差大小，就可判断出谁的质量好。
19．【答案】（1）8；6、9
（2）解： ， ，
=0.4，
=2.8，
，说明甲的成绩比乙稳定
（3）变小
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：（1）观察表格可知甲共射击5次，其中1次7环，3次8环，1次9环，所以中位数为8；
乙共射中6环有2次，9环有2次，10环1次，所以中位数为6、9，
故答案为：8； 6、9；
（3）根据题意， ， = <2.8，故答案为：变小.
【分析】（1）根据求中位数的方法是：把数据先按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据。就可得出答案。
（2）先求出甲乙两组数据的平均数，再根据方差公式分别求出甲乙的方差，然后比较大小，根据方程越大数据的波动越大，就可得出结果。
（3）分别计算甲乙的方差，比较大小就可解答。
20．【答案】（1）解：∵甲机床所加工零件直径的平均数是： ，
乙机床所加工零件直径的平均数是： ，
∴甲机床所加工零件直径的方差 ，
乙机床所加工零件直径的方差
（2）解：∵ ，
∴乙机床生产零件的稳定性更好一些
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）根据所给的两组数据，分布求出两组数据的平均数，再利用方差公式求两组数据的方差即可；（2）根据甲的方差大于乙的方差，即可得出乙机床生产的零件稳定性更好一些.
21．【答案】（1）解： = (16+31+29+24+24+24+20)=24，
= (16+20+24+25+26+27+30)=24；
[(16-24)2+(31-24)2+(29-24)2+(24-24)2+(24-24)2+(24-24)2＋(20-24)2]=22，
[(16-24)2+(20-24)2+(24-24)2+(25-24)2+(26-24)2+(27-24)2+(30-24)2]=
（2）解：由 ，可知A、B两种品牌平均销量相当，由 ＜ ，可知B品牌销量的离散程度较小，
由表格可知，B品牌一月到七月的销量呈上升趋势，
故建议商场采购B品牌冰箱
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【分析】（1）由方差的计算公式可得结果；
（2）根据平均数相同，比较方差，方差越小，波动越小可得结果.
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