初中数学湘教版八年级上册第二章三角形单元检测
一、单选题
1．（2019八下·港南期中）三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
2．（2018八上·濮阳开学考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，1，1 D．3，4，7
3．（2017八下·宁波期中）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 ”，应先假设这个直角三角形中（ ）
A．有一个锐角小于45 B．每一个锐角都小于45
C．有一个锐角大于45 D．每一个锐角都大于45
4．（2019八下·南山期中）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a>0，b>0，则a+b>0 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若a=b，则|a|=|b|
5．（2019八上·莎车期末）等腰三角形的一个角是48°，它的一个底角的度数是（ ）
A．48° B．48°或42° C．42°或66° D．48°或66°
6．（2020八上·温州月考）在如图的网格上，能找出几个格点，使每一个格点与A，B两点能构成的等腰三角形个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．（2019八上·澄海期末）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
8．（2019八下·灯塔期中）在联欢晚会上,有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条角平分线的交点
9．（2019八上·义乌月考）下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB=DE,∠A=∠D,BC=EF B．AB=BC,∠B=∠E,DE=EF
C．AB=EF,∠A=∠D,AC=DF D．BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
10．（2019八上·天河期末）如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则
下列结论，其中正确的是（ ）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
二、填空题
11．（2019八上·义乌月考）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于 cm2
12．（2019八下·义乌期末）
用反证法证明“a>b”时，首先应该假设 ．
13．（2020八上·嘉祥月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角等于 。
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于 ．
15．（2017八上·东台月考）如图由6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3= ．
16．（2021·长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知： . 求作： ，使得 ≌ . 作法：如图. （ 1 ）画 ； （ 2 ）分别以点 ， 为圆心，线段 ， 长为半径画弧，两弧相交于点 ； （ 3 ）连接线段 ， ，则 即为所求作的三角形.
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在 和 中，
∴ ≌_▲_.
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 .（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
三、作图题
17．（2021八上·陇县期末）已知：∠α，直线l及l上两点A，B.求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α.
18．（2021八上·乐山期末）如图，已知线段 和 ，求作一个等腰三角形，使它的腰长等于 ，底边长等于 .（温馨提示：不写作法，只保留作图痕迹）
四、解答题
19．（2020八上·江城月考）如图，AE=CF，AD=CB，DF=BE，求证：△ADF≌△CBE。
20．（2019八上·天河期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．
五、综合题
21．（2017九上·乐清月考）已知，如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且 BD=AE，AD与CE交于点 ．
（1）试说明 的理由；
（2）求 的度数．
22．（2019八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段AB上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线AC段于E．
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °，∠DEC= °；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个面积相等的三角形.
故答案为：B.
【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等可求解。
2．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、1+2=3，无法形成三角形，故不符合题意；
B、 ，能够形成三角形，故符合题意；
C、 ，无法形成三角形，故不符合题意；
D、3+4=7，无法形成三角形，故不符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可一一判断，
3．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选D．
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
4．【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】选项A的逆命题是：若a+b＞0，则a＞0，b＞0。是假命题，如3+（-2）＞0；
选项B的逆命题是：相等的角是直角。是假命题，如相等的角也可能是对顶角等等；
选项C的逆命题是：同位角相等，两直线平行。是真命题。
选项D的逆命题是：若，则a=b。是假命题，如。
故答案为：C。
【分析】每项先写出它的逆命题，C选项是平行线判定定理，其余选项的逆命题都是假命题，可以找到反例说明它们是假命题。
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当底角为48°时，则底角为48°；
当顶角为48°时，则底角= =66°；
综上可知三角形的一个底角为48°或66°，
故选D．
【分析】分底角为48°和顶角48°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
有5个等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】以B点为圆心，以BA为半径画圆与格点有五个交点，其中第二列不能构成三角形，∴能构成4个等腰三角形；以A为圆心，以AB为半径画圆，与格点有1个交点；
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵点C在AE的垂直平分线MN上
∴AC=CE
∴∠EAC=∠E=30°
又∵AB=CE
∴AB=AC
∴∠B=∠ACB
又∵∠ACB是△ACE的外角
∴∠ACB=∠EAC+∠E=60°
∴∠B=∠ACB=60°
在△ABE中，∠BAE+∠E+∠B=180°
∴∠BAE=180°-∠E-∠B=180°-30°-60°=90°。
故答案为：C.
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质证得线段AC=CE，然后用等腰三角形的性质得∠EAC=∠E=30°和∠B=∠ACB；再用 三角形外角的性质求得∠ACB=60°，易得∠B=∠ACB=60°；最后用三角形内角和定理求出∠BAE=90°。
8．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当.
故答案为：B.
【分析】 为使游戏公平,使凳子到三名同学的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知在三边垂直平分线的交点上.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=DE，BC=EF ，∠A=∠D，两边及一边的对角对应相等，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故A不符合题意；
∵AB=BC，∠B=∠E，DE=EF，这两个三角形中只有一组对应角相等，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故B不符合题意；
∵ AB=EF，∠A=∠D，AC=DF ，EF和DF的夹角为∠F，
∴△ABC和△DEF不全等，故C不符合题意；
∵ BC=EF，∠C=∠F，AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS），故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用判定两三角形全等的方法：SSS，SAS，AAS，ASA，对各选项逐一判断，即可得出答案：注意对应边和对应角。
10．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAE，
∵AF＝AE，AB＝AC，
∴△FAB≌△EAC（SAS），故①正确，
∴BF＝EC，故②正确，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵∠BDF＝∠ADC，
∴∠BFD＝∠DAC，
∴∠BFC＝∠EAF，故③正确，
无法判断AB＝BC，故④错误，
故答案为：A．
【分析】由∠EAF=∠BAC，减去公共角∠BAE可得∠FAB=∠EAC，再加上已知中AF=AE，AB=AC，根据SAS可判断△FAB≌△EAC；由全等三角形的对应边相等，对应角相等，可得BF=CE，∠AFB=∠AEC；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可知，∠AEC=∠AFE+∠FAE，∠AFB=∠AFE+∠BFC，所以∠BFC=∠EAF，而AB与BC相等却无法判断。
11．【答案】1
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BEC，
∵点E是AD的中点，
∴S△BDE=S△ABD，
同理可证S△CDE=S△ACD，
∴点D是BC的中点，
∴S△ABD=S△ABC=，
∴S△BDE=S△CDE=，
∴S△BEC=1+1=2
∴S△BEF=,
故答案为：1.
【分析】根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得S△BEF=S△BEC，S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，S△ABD=S△ABC，再由△ABC的面积为4，就可得到△BEF的面积。
12．【答案】a≤b
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据题意，用反证法首先应假设a≤b,
故答案为：a≤b .
【分析】用反证法证明时，应先假设命题的结论的反面成立，原命题的结论是 a> b,所以它的反面是a≤b，应先假设a≤b。
13．【答案】70°或20°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在三角形BAC中，设AB=AC，BD⊥AC于D，∠ABD=40°
①若三角形为锐角三角形，∠A=90°-50°=40°
∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2=70°
∠DBC=∠ABC-∠ABD=20°
②若三角形为钝角三角形
∠BAC=50°+90°=140°
∴∠ABC=∠C=（180°-140°）÷2=20°
∠DBC=∠ABC+∠ABD=70°
∴夹角的度数为20°或70°
【分析】根据题意，由等腰三角形的性质，分锐角三角形和钝角三角形两种情况，根据三角形的内角和定理求出底角的度数，求出答案即可。
14．【答案】6cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠2=∠A，
∵∠1=∠2，
∴∠A=∠1=∠2，
∵∠C=90°，
∴∠A=∠1=∠2=30°，
∵∠1=∠2，ED⊥AB，∠C=90°，
∴CE=DE=3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，
∴AE=2DE=6cm，
故答案为：6cm．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，推出∠A=∠1=∠2=30°，求出DE=CE=3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
15．【答案】135°.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，
观察图形可知：ABCBDE，
∴1=DBE，
又∵DBE+3=90，
∴1+3=90.
∵2=45，
∴1+2+3=90+45=135.
故答案为：135.
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质. 得出1与3互余是解题的关键.
16．【答案】（1）AB；AC；△ABC
（2）④
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【解答】（1）证明：由作图可知，在 和 中，
，
∴ .
故答案为： .
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ，
故答案为：④.
【分析】（1）由作图可得；（2）根据边边边可证.
17．【答案】解：如图所示，Rt△ABC即为所求.
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】在直线l上方作∠BAD=∠α，过点B作直线EF⊥l，交BD于点C，则△ABC即为所求.
18．【答案】解：根据题意作图如下：
△ABC就是所求三角形.
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】先作线段BC等于已知线段b，再分别以B，C为圆心，a为半径画弧确定A，连接AC，AB，则△ABC即为所求.
19．【答案】证明：∵AE=CF，
∴AE-EF=CF- EF，
∴AF=CE
在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(SSS)
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据AE=CF，即可得到AF=CE，继而根据题意，证明由SSS证明△ADF≌△CBE即可。
20．【答案】解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，而∠3＝∠1+∠2，∴∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠1，在△ADC中，∠DAC+∠3+∠4＝180°，∴∠DAC+4∠1＝180°，∵∠BAC＝∠1+∠DAC＝69°，∴∠1+180°﹣4∠1＝69°，解得∠1＝37°，∴∠DAC＝69°﹣37°＝32°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据等角对等边，∠1=∠2，∠3=4可得AD=BD，AC=AD；再根据三角形的外角性质可得∠3=∠1+∠2=2∠1，即∠4=2∠1；由∠BAC=∠1+∠DAC=69°，∠2+∠1+∠DAC+∠4＝180°，即可求得DAC的度数。
21．【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．
又∵AE=BD，
∴△AEC≌△BDA（SAS）．
∴AD=CE.
（2）解：由（1）知△AEC≌△BDA，
∴∠ACE=∠BAD，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）由等边三角形懂得性质得出∠BAC=∠B=60°，AB=AC，再由AE=BD，根据SAS得到△AEC≌△BDA．由全等三角形的性质得出AD=CE.
（2）由（1）知△AEC≌△BDA，根据全等三角形的性质得出∠ACE=∠BAD，再根据三角形外角性质得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°.
22．【答案】（1）25；115
（2）解： 当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由如下：
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＋∠EDC＝180°-∠C=140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB＋∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
∵AB=AC=2
∴AB＝DC＝2，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）
∴当DC＝2时，△ABD≌△DCE.
（3） 可以；
理由：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵当∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝70°，
∴∠AED＝180° 70° 40°＝70°
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝180°-∠BDA=100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝180°-∠ADC-∠C=180°-100°-40°=40°，
∴∠DAE＝∠ADE
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）在△ABD中，利用三角形内角和定理求出∠BAD的度数；再利用平角的定义求出∠EDC的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠DEC的度数.
（2）利用三角形内角和定理可证得∠DEC＋∠EDC=140°，利用平角的定义可证得∠ADB＋∠EDC＝140°，就可推出∠ADB＝∠DEC，当DC=2时，可证AB=DC，因此利用AAS可证得△ABD≌△DCE.
（3）分情况讨论：当∠BDA＝110°时；当∠BDA的度数为80°时，分别利用三角形的内角和定理及等腰三角形的判断方法，可证得结论.
1 / 1初中数学湘教版八年级上册第二章三角形单元检测
一、单选题
1．（2019八下·港南期中）三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个面积相等的三角形.
故答案为：B.
【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等可求解。
2．（2018八上·濮阳开学考）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，1，1 D．3，4，7
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、1+2=3，无法形成三角形，故不符合题意；
B、 ，能够形成三角形，故符合题意；
C、 ，无法形成三角形，故不符合题意；
D、3+4=7，无法形成三角形，故不符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可一一判断，
3．（2017八下·宁波期中）用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45 ”，应先假设这个直角三角形中（ ）
A．有一个锐角小于45 B．每一个锐角都小于45
C．有一个锐角大于45 D．每一个锐角都大于45
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设每一个锐角都大于45°．
故选D．
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
4．（2019八下·南山期中）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A．如果a>0，b>0，则a+b>0 B．直角都相等
C．两直线平行，同位角相等 D．若a=b，则|a|=|b|
【答案】C
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】选项A的逆命题是：若a+b＞0，则a＞0，b＞0。是假命题，如3+（-2）＞0；
选项B的逆命题是：相等的角是直角。是假命题，如相等的角也可能是对顶角等等；
选项C的逆命题是：同位角相等，两直线平行。是真命题。
选项D的逆命题是：若，则a=b。是假命题，如。
故答案为：C。
【分析】每项先写出它的逆命题，C选项是平行线判定定理，其余选项的逆命题都是假命题，可以找到反例说明它们是假命题。
5．（2019八上·莎车期末）等腰三角形的一个角是48°，它的一个底角的度数是（ ）
A．48° B．48°或42° C．42°或66° D．48°或66°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当底角为48°时，则底角为48°；
当顶角为48°时，则底角= =66°；
综上可知三角形的一个底角为48°或66°，
故选D．
【分析】分底角为48°和顶角48°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可．
6．（2020八上·温州月考）在如图的网格上，能找出几个格点，使每一个格点与A，B两点能构成的等腰三角形个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：如图，
有5个等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】以B点为圆心，以BA为半径画圆与格点有五个交点，其中第二列不能构成三角形，∴能构成4个等腰三角形；以A为圆心，以AB为半径画圆，与格点有1个交点；
7．（2019八上·澄海期末）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵点C在AE的垂直平分线MN上
∴AC=CE
∴∠EAC=∠E=30°
又∵AB=CE
∴AB=AC
∴∠B=∠ACB
又∵∠ACB是△ACE的外角
∴∠ACB=∠EAC+∠E=60°
∴∠B=∠ACB=60°
在△ABE中，∠BAE+∠E+∠B=180°
∴∠BAE=180°-∠E-∠B=180°-30°-60°=90°。
故答案为：C.
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质证得线段AC=CE，然后用等腰三角形的性质得∠EAC=∠E=30°和∠B=∠ACB；再用 三角形外角的性质求得∠ACB=60°，易得∠B=∠ACB=60°；最后用三角形内角和定理求出∠BAE=90°。
8．（2019八下·灯塔期中）在联欢晚会上,有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条角平分线的交点
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当.
故答案为：B.
【分析】 为使游戏公平,使凳子到三名同学的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知在三边垂直平分线的交点上.
9．（2019八上·义乌月考）下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB=DE,∠A=∠D,BC=EF B．AB=BC,∠B=∠E,DE=EF
C．AB=EF,∠A=∠D,AC=DF D．BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=DE，BC=EF ，∠A=∠D，两边及一边的对角对应相等，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故A不符合题意；
∵AB=BC，∠B=∠E，DE=EF，这两个三角形中只有一组对应角相等，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故B不符合题意；
∵ AB=EF，∠A=∠D，AC=DF ，EF和DF的夹角为∠F，
∴△ABC和△DEF不全等，故C不符合题意；
∵ BC=EF，∠C=∠F，AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS），故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用判定两三角形全等的方法：SSS，SAS，AAS，ASA，对各选项逐一判断，即可得出答案：注意对应边和对应角。
10．（2019八上·天河期末）如图，已知AB＝AC，AF＝AE，∠EAF＝∠BAC，点C、D、E、F共线．则
下列结论，其中正确的是（ ）
①△AFB≌△AEC；②BF＝CE；③∠BFC＝∠EAF；④AB＝BC．
A．①②③ B．①②④ C．①② D．①②③④
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠EAF＝∠BAC，
∴∠BAF＝∠CAE，
∵AF＝AE，AB＝AC，
∴△FAB≌△EAC（SAS），故①正确，
∴BF＝EC，故②正确，
∴∠ABF＝∠ACE，
∵∠BDF＝∠ADC，
∴∠BFD＝∠DAC，
∴∠BFC＝∠EAF，故③正确，
无法判断AB＝BC，故④错误，
故答案为：A．
【分析】由∠EAF=∠BAC，减去公共角∠BAE可得∠FAB=∠EAC，再加上已知中AF=AE，AB=AC，根据SAS可判断△FAB≌△EAC；由全等三角形的对应边相等，对应角相等，可得BF=CE，∠AFB=∠AEC；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可知，∠AEC=∠AFE+∠FAE，∠AFB=∠AFE+∠BFC，所以∠BFC=∠EAF，而AB与BC相等却无法判断。
二、填空题
11．（2019八上·义乌月考）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE的中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于 cm2
【答案】1
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵点F是CE的中点，
∴S△BEF=S△BEC，
∵点E是AD的中点，
∴S△BDE=S△ABD，
同理可证S△CDE=S△ACD，
∴点D是BC的中点，
∴S△ABD=S△ABC=，
∴S△BDE=S△CDE=，
∴S△BEC=1+1=2
∴S△BEF=,
故答案为：1.
【分析】根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得S△BEF=S△BEC，S△BDE=S△ABD，S△CDE=S△ACD，S△ABD=S△ABC，再由△ABC的面积为4，就可得到△BEF的面积。
12．（2019八下·义乌期末）
用反证法证明“a>b”时，首先应该假设 ．
【答案】a≤b
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：根据题意，用反证法首先应假设a≤b,
故答案为：a≤b .
【分析】用反证法证明时，应先假设命题的结论的反面成立，原命题的结论是 a> b,所以它的反面是a≤b，应先假设a≤b。
13．（2020八上·嘉祥月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则它的底角等于 。
【答案】70°或20°
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：在三角形BAC中，设AB=AC，BD⊥AC于D，∠ABD=40°
①若三角形为锐角三角形，∠A=90°-50°=40°
∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2=70°
∠DBC=∠ABC-∠ABD=20°
②若三角形为钝角三角形
∠BAC=50°+90°=140°
∴∠ABC=∠C=（180°-140°）÷2=20°
∠DBC=∠ABC+∠ABD=70°
∴夹角的度数为20°或70°
【分析】根据题意，由等腰三角形的性质，分锐角三角形和钝角三角形两种情况，根据三角形的内角和定理求出底角的度数，求出答案即可。
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如果EC=3cm，则AE等于 ．
【答案】6cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠2=∠A，
∵∠1=∠2，
∴∠A=∠1=∠2，
∵∠C=90°，
∴∠A=∠1=∠2=30°，
∵∠1=∠2，ED⊥AB，∠C=90°，
∴CE=DE=3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，
∴AE=2DE=6cm，
故答案为：6cm．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE，推出∠A=∠1=∠2=30°，求出DE=CE=3cm，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
15．（2017八上·东台月考）如图由6个边长等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3= ．
【答案】135°.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，
观察图形可知：ABCBDE，
∴1=DBE，
又∵DBE+3=90，
∴1+3=90.
∵2=45，
∴1+2+3=90+45=135.
故答案为：135.
【分析】此题考查全等三角形的判定与性质. 得出1与3互余是解题的关键.
16．（2021·长沙）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知： . 求作： ，使得 ≌ . 作法：如图. （ 1 ）画 ； （ 2 ）分别以点 ， 为圆心，线段 ， 长为半径画弧，两弧相交于点 ； （ 3 ）连接线段 ， ，则 即为所求作的三角形.
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在 和 中，
∴ ≌_▲_.
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 .（填序号）
①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
【答案】（1）AB；AC；△ABC
（2）④
【知识点】三角形全等的判定（SSS）；作图-三角形
【解析】【解答】（1）证明：由作图可知，在 和 中，
，
∴ .
故答案为： .
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是 ，
故答案为：④.
【分析】（1）由作图可得；（2）根据边边边可证.
三、作图题
17．（2021八上·陇县期末）已知：∠α，直线l及l上两点A，B.求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α.
【答案】解：如图所示，Rt△ABC即为所求.
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】在直线l上方作∠BAD=∠α，过点B作直线EF⊥l，交BD于点C，则△ABC即为所求.
18．（2021八上·乐山期末）如图，已知线段 和 ，求作一个等腰三角形，使它的腰长等于 ，底边长等于 .（温馨提示：不写作法，只保留作图痕迹）
【答案】解：根据题意作图如下：
△ABC就是所求三角形.
【知识点】作图-三角形
【解析】【分析】先作线段BC等于已知线段b，再分别以B，C为圆心，a为半径画弧确定A，连接AC，AB，则△ABC即为所求.
四、解答题
19．（2020八上·江城月考）如图，AE=CF，AD=CB，DF=BE，求证：△ADF≌△CBE。
【答案】证明：∵AE=CF，
∴AE-EF=CF- EF，
∴AF=CE
在△ADF和△CBE中
∴△ADF≌△CBE(SSS)
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】根据AE=CF，即可得到AF=CE，继而根据题意，证明由SSS证明△ADF≌△CBE即可。
20．（2019八上·天河期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数．
【答案】解：∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，而∠3＝∠1+∠2，∴∠3＝∠4＝∠1+∠2＝2∠1，在△ADC中，∠DAC+∠3+∠4＝180°，∴∠DAC+4∠1＝180°，∵∠BAC＝∠1+∠DAC＝69°，∴∠1+180°﹣4∠1＝69°，解得∠1＝37°，∴∠DAC＝69°﹣37°＝32°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据等角对等边，∠1=∠2，∠3=4可得AD=BD，AC=AD；再根据三角形的外角性质可得∠3=∠1+∠2=2∠1，即∠4=2∠1；由∠BAC=∠1+∠DAC=69°，∠2+∠1+∠DAC+∠4＝180°，即可求得DAC的度数。
五、综合题
21．（2017九上·乐清月考）已知，如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，且 BD=AE，AD与CE交于点 ．
（1）试说明 的理由；
（2）求 的度数．
【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．
又∵AE=BD，
∴△AEC≌△BDA（SAS）．
∴AD=CE.
（2）解：由（1）知△AEC≌△BDA，
∴∠ACE=∠BAD，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）由等边三角形懂得性质得出∠BAC=∠B=60°，AB=AC，再由AE=BD，根据SAS得到△AEC≌△BDA．由全等三角形的性质得出AD=CE.
（2）由（1）知△AEC≌△BDA，根据全等三角形的性质得出∠ACE=∠BAD，再根据三角形外角性质得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°.
22．（2019八上·义乌月考）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段AB上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线AC段于E．
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD= °，∠DEC= °；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．
【答案】（1）25；115
（2）解： 当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由如下：
∵∠C＝40°，
∴∠DEC＋∠EDC＝180°-∠C=140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB＋∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
∵AB=AC=2
∴AB＝DC＝2，
在△ABD和△DCE中，
∴△ABD≌△DCE（AAS）
∴当DC＝2时，△ABD≌△DCE.
（3） 可以；
理由：当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵当∠BDA＝110°时，
∴∠ADC＝70°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝70°，
∴∠AED＝180° 70° 40°＝70°
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC＝180°-∠BDA=100°，
∵∠C＝40°，
∴∠DAE＝180°-∠ADC-∠C=180°-100°-40°=40°，
∴∠DAE＝∠ADE
∴△ADE的形状是等腰三角形．
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】（1）在△ABD中，利用三角形内角和定理求出∠BAD的度数；再利用平角的定义求出∠EDC的度数，然后利用三角形的内角和定理可求出∠DEC的度数.
（2）利用三角形内角和定理可证得∠DEC＋∠EDC=140°，利用平角的定义可证得∠ADB＋∠EDC＝140°，就可推出∠ADB＝∠DEC，当DC=2时，可证AB=DC，因此利用AAS可证得△ABD≌△DCE.
（3）分情况讨论：当∠BDA＝110°时；当∠BDA的度数为80°时，分别利用三角形的内角和定理及等腰三角形的判断方法，可证得结论.
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