北师版数学八年级上册《第一章 勾股定理》单元检测A卷
一、单选题
1．（2021八下·雨花期末）在西方，人们称为毕达哥拉斯定理，在我国把它称为勾股定理，其具体内容指的是（ ）
A．如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2
B．如果直角三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2=c2
C．如果三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2=c2
D．如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
2．（2021八下·八步期末）一直角三角形两 直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．5 B．12 C．13 D．17
3．（2021八下·老河口期末）如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（ ）
A．140米 B．120米 C．100米 D．90米
4．（2021八下·新抚期末）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
5．（2021八下·惠城期末）一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（ ）千米．
A．26 B．18 C．13 D．32
6．（2021八下·合山月考）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．15，36，39 D．12，15，20
7．（2021八下·南平期末）已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3∶4∶5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5∶12∶13.其中直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021八下·殷都期末）在 中，若 ，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．（2021八下·綦江期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A．5.3尺 B．6.8尺 C．4.7尺 D．3.2尺
10．（2021八下·保山期末）如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．5尺 B．25尺 C．13尺 D．12尺
11．（2021八下·汉阳期末）如图，在高为 ，坡面长为 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
12．（2021八下·贵池期末）如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）cm．
A．14 B．15 C．16 D．17
二、填空题
13．（2021八下·老河口期末）如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为 .
14．（2021八下·凤山期末）如图，A代表所在的正方形的面积，则A的值是 .
15．（2021八下·阳东期末）如图，在 中， ，则三个半圆面积S1，S2，S3的关系为 ．
16．（2021八下·北京期末）在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 ．
17．（2021八下·广水期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为 m.
18．（2021八下·北海期末）如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入 元.
三、解答题
19．（2019八上·成都开学考）在 Rt△ABC
中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c．若
a∶c＝15∶17，b＝24，求 a.
20．（2021八下·合肥期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
21．（2021八下·云浮期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝1，判断△AEF是不是直角三角形？试说明理由．
22．（2021八上·未央期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何 题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点 和点 距离门槛 都为1尺（1尺=10寸），则 的长是多少
23．葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升时总是沿最短路线螺旋前进，难道植物也懂数学？
通过阅读以_上信息，解决下列问题：
（1）如果树干的周长(即图中圆柱体的底面周长)为30cm，绕一圈升高(即圆柱的高)40cm，则葛藤绕行一圈的最短路程是多少？
（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈最短爬行100cm，爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
24．（2021八下·滨城期末）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
（1）（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
（2）（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是： ．
（3）迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形 ， ， ， 的边长分别是 ， ， ， ，则正方形 的面积是 ．
（4）（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是 ．
（5）迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，分别以三边为直径作半圆．若 ， ，则图中阴影部分的面积等于 ．
（6）（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部 尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：勾股定理的内容是：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，故A正确，符合题意；
B：没有指明直角边、斜边，故答案为：错误，不符合题意；
C：没有说明直角三角形，故答案为：错误，不符合题意；
D：勾股定理的逆定理，而不是勾股定理，故答案为：错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】勾股定理的内容是：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此判断.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形两直角边长分别为5和12，
∴由勾股定理得，斜边长= ，
故答案为：C.
【分析】直接利用勾股定理计算即可.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】因为两点之间线段最短，所以AC的长即为从A到C的最短距离，
根据矩形的对边相等，得BC=AD=80米，
再根据勾股定理，得，AC= =100（米）.
故答案为：C.
【分析】根据两点之间线段最短可知AC的长即为从A到C的最短距离，然后用勾股定理可求解.
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得出：AB＝
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据正方形的性质可得EF=AB=5，再利用勾股定理可知阴影部分的面积等于正方形的面积即可。
5．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，
∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，
根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，
∴AC2＝242＋102，
∴AC＝26km．
故答案为：A．
【分析】本题要熟记直角三角形勾股定理：a2＝b2＋c2
6．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：A、∵92+122=225，152=225
∴92+122=152
∴这三条线段可以作为直角三角形的三边，故A不符合题意；
B、∵72+242=625，252=625
∴72+242=252，
∴这三条线段可以作为直角三角形的三边，故B不符合题意；
C、∵152+362=1521，392=1521，
∴152+362=392，
∴这三条线段可以作为直角三角形的三边，故C不符合题意；
D、∵122+152=369；202=400
∴122+152≠202，
∴这三条线段不可以作为直角三角形的三边，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用三角形三边关系定理，可知各选项中的三条线段可以作为三角形的三边，再求出各选项中较小两边的平方和及较大边的平方，然后利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①已知∠A＝∠B＋∠C，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得2∠A＝180°，所以∠A＝90°，它是直角三角形；②三个内角之比为3∶4∶5.则这三个内角分别为45°，60°，75°，它是锐角三角形；③④可由勾股定理的逆定理判定是直角三角形.因此①③④是直角三角形，故答案为：C.
【分析】逐一分析每个条件，最后根据勾股定理逆定理去判断即可.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： ，
，
为直角三角形，
，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断 为直角三角形，再根据大边对大角的性质可以判断.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，则折断处离竹梢AB是（10－x）尺，
由勾股定理可得：
即： ，
解得：x＝3.2
故折断处离地面的高度OA是3.2尺．
故答案选：D．
【分析】设折断处离地面的高度OA是x尺，则折断处离竹梢AB是（10－x）尺，在Rt△AOB中，根据勾股定理构建方程求解即可.
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25-x）尺，
根据勾股定理得：x2+52=（25-x）2
解得：x=12．
答：原处还有12尺高的竹子．
故答案为：D．
【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25-x）尺，根据题意利用勾股定理列出方程求解即可。
11．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= =12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）.
故答案为：A.
【分析】由勾股定理求出楼梯的水平宽度，由于地毯的长度=楼梯的水平宽度与垂直高度的和，据此计算即可.
12．【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，
则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，
∵CQ＝ ×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝ ＝15cm，
故答案为：B．
【分析】先求出AP+PC＝A′P+PC＝A′C，再利用勾股定理计算求解即可。
13．【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】设三边长分别为：
根据勾股定理可得：
解得： （不符合题意，舍去）
三角形的三边长分别为：
则周长为：
故答案为：24.
【分析】由题意可设三边长分别为：2n-2，2n，2n+2，根据勾股定理可得关于n的方程，解方程可求得三角形的各边长，再根据三角形的周长=三角形三边之和可求解.
14．【答案】144
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：A所在正方形的面积为 ，
故答案为：144.
【分析】运用勾股定理的几何意义即可求解.
15．【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： 在 中， ，
，
， ， ，
，
即 ．
故答案为： ．
【分析】先求出，再利用扇形面积公式计算求解即可。
16．【答案】如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断求解即可。
17．【答案】17
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设旗杆高度为 ，则 ， ， ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
即旗杆的高度为17米.
故答案是：17.
【分析】设旗杆高度为 ，则 ， ， ，在 中，利用勾股定理建立方程，求出x值即可.
18．【答案】7200
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝ ，
＝ ＝36.
所以需费用36×200＝7200（元）.
故答案为7200.
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，先根据勾股定理求出BD2的值，再运用勾股定理逆定理证明∠DBC＝90°，最后运用S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC即可求出面积，进而即可求解.
19．【答案】解：设a=15x，则c=17x，
由勾股定理得，（15x）2+242=（17x）2，
解得，x=3，
则a=15x=45．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设a=15x，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
20．【答案】解：依题意画出图形，如下图，
设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x-1）尺，
因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，
在Rt△ACB'中，52+（x-1）2=x2，
解得：x=13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先求出 52+（x-1）2=x2， 再求出 x=13， 最后求解即可。
21．【答案】解：△AEF是直角三角形．
理由：∵正方形的边长为4，E是BC的中点，CF＝1，
∴DF＝3，CE＝BE＝2．
由勾股定理得：AF2＝AD2+DF2＝16+9＝25，
EF2＝CE2+CF2＝4+1＝5，
AE2＝AB2+BE2＝16+4＝20，
∴AF2＝EF2+AE2，
∴△AEF为直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先求出 DF＝3，CE＝BE＝2 ，再利用勾股定理证明求解即可。
22．【答案】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC，
设OA=OB=AD=BC=r寸，
则AB=2r（寸），DE=10寸，OE= CD=1寸，
∴AE=（r 1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2=AD2，即（r 1）2+102=r2，
解得：r=50.5，
∴2r=101（寸），
∴AB=101寸.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据题意可得 OA=OB=AD=BC ，进而在Rt△ADE中根据勾股定理解答即可得到结论.
23．【答案】（1）解：如图①所示，将圆柱的侧面展开后，该侧面是长方形，AA'=30 cm，高是40 cm，
则A'B'=40 cm，所以AB'2= AA'2+A'B'2=502 ，所以绕行一圈的最短路程为50 cm．
（2）解：如图②所示，因为底面圆的周长为80 cm，即AA'=80 cm，绕一圈最短爬行100 cm，
则AB' = 100 cm， 在Rt△AB'A'中，因为A'B'2=AB'2- AA'2=1002- 802=602 ，所以A'B'=60 cm，所以树干高= 60×10= 600(cm)，600 cm=6 m． 所以树干高为6 m
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）求出 AB'2= AA'2+A'B'2=502 ， 即可作答；
（2）结合图形，利用勾股定理求出 A'B'=60 cm， 再求解即可。
24．【答案】（1）由题意得：②的面积为a2+b2+2 ab=a2+b2+ab；
图③的面积为c2+2 ab=c2+ab，
∴a2+b2+ab=c2+ab，
即a2+b2=c2；
（2）S1+S2=S3
（3）47
（4）S1+S2=S3
（5）30
（6）设绳索长为x尺，根据题意得：
x2-（x-3）2=82，
解得：x= ，
答：绳索长为 尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：【探究二】S1+S2=S3．
证明如下：
∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，
∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；
故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知
SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；
故答案为：47；
【探究三】S1+S2=S3．
证明如下：
∵S3= πc2，S1= πa2，S2= πb2，
∴S1+S2= πa2+ πb2= πc2=S3；
故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：
阴影部分面积和=S1+S2+ ab-S3= ab，
∵a=5，c=13，
∴ 12，
∴阴影部分面积和= ×5×12=30，
故答案为：30；
【分析】（1）根据图象，用不同的表达式表示出同一图形的面积，列出等式化简即可；
（2）根据勾股定理的性质求解即可；
（3）根据勾股定理的性质求解即可；
（4）根据勾股定理的性质求解即可；
（5）根据勾股定理列出方程求解即可。
1 / 1北师版数学八年级上册《第一章 勾股定理》单元检测A卷
一、单选题
1．（2021八下·雨花期末）在西方，人们称为毕达哥拉斯定理，在我国把它称为勾股定理，其具体内容指的是（ ）
A．如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2
B．如果直角三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2=c2
C．如果三角形的三边分别为a，b，c，那么a2+b2=c2
D．如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：勾股定理的内容是：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，故A正确，符合题意；
B：没有指明直角边、斜边，故答案为：错误，不符合题意；
C：没有说明直角三角形，故答案为：错误，不符合题意；
D：勾股定理的逆定理，而不是勾股定理，故答案为：错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】勾股定理的内容是：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，据此判断.
2．（2021八下·八步期末）一直角三角形两 直角边长分别为5和12，则斜边长为（ ）
A．5 B．12 C．13 D．17
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵直角三角形两直角边长分别为5和12，
∴由勾股定理得，斜边长= ，
故答案为：C.
【分析】直接利用勾股定理计算即可.
3．（2021八下·老河口期末）如图是我校的长方形水泥操场，如果一学生要从A角走到C角，至少走（ ）
A．140米 B．120米 C．100米 D．90米
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】因为两点之间线段最短，所以AC的长即为从A到C的最短距离，
根据矩形的对边相等，得BC=AD=80米，
再根据勾股定理，得，AC= =100（米）.
故答案为：C.
【分析】根据两点之间线段最短可知AC的长即为从A到C的最短距离，然后用勾股定理可求解.
4．（2021八下·新抚期末）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，大直角三角形的斜边和直角边长分别是13，12．则图中阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．25 C．144 D．169
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据勾股定理得出：AB＝
∴EF＝AB＝5，
∴阴影部分面积是25，
故答案为：B．
【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据正方形的性质可得EF=AB=5，再利用勾股定理可知阴影部分的面积等于正方形的面积即可。
5．（2021八下·惠城期末）一帆船先向正西航行24千米，然后向正南航行10千米，这时它离出发点有（ ）千米．
A．26 B．18 C．13 D．32
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：如图，根据题意得：△ABC是直角三角形，
∵∠B＝90°，AB＝24km，BC＝10km，
根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，
∴AC2＝242＋102，
∴AC＝26km．
故答案为：A．
【分析】本题要熟记直角三角形勾股定理：a2＝b2＋c2
6．（2021八下·合山月考）下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．9，12，15 B．7，24，25 C．15，36，39 D．12，15，20
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：A、∵92+122=225，152=225
∴92+122=152
∴这三条线段可以作为直角三角形的三边，故A不符合题意；
B、∵72+242=625，252=625
∴72+242=252，
∴这三条线段可以作为直角三角形的三边，故B不符合题意；
C、∵152+362=1521，392=1521，
∴152+362=392，
∴这三条线段可以作为直角三角形的三边，故C不符合题意；
D、∵122+152=369；202=400
∴122+152≠202，
∴这三条线段不可以作为直角三角形的三边，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用三角形三边关系定理，可知各选项中的三条线段可以作为三角形的三边，再求出各选项中较小两边的平方和及较大边的平方，然后利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
7．（2021八下·南平期末）已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3∶4∶5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5∶12∶13.其中直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：①已知∠A＝∠B＋∠C，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得2∠A＝180°，所以∠A＝90°，它是直角三角形；②三个内角之比为3∶4∶5.则这三个内角分别为45°，60°，75°，它是锐角三角形；③④可由勾股定理的逆定理判定是直角三角形.因此①③④是直角三角形，故答案为：C.
【分析】逐一分析每个条件，最后根据勾股定理逆定理去判断即可.
8．（2021八下·殷都期末）在 中，若 ，则（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解： ，
，
为直角三角形，
，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断 为直角三角形，再根据大边对大角的性质可以判断.
9．（2021八下·綦江期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ）
A．5.3尺 B．6.8尺 C．4.7尺 D．3.2尺
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设折断处离地面的高度OA是x尺，则折断处离竹梢AB是（10－x）尺，
由勾股定理可得：
即： ，
解得：x＝3.2
故折断处离地面的高度OA是3.2尺．
故答案选：D．
【分析】设折断处离地面的高度OA是x尺，则折断处离竹梢AB是（10－x）尺，在Rt△AOB中，根据勾股定理构建方程求解即可.
10．（2021八下·保山期末）如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（ ）
A．5尺 B．25尺 C．13尺 D．12尺
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25-x）尺，
根据勾股定理得：x2+52=（25-x）2
解得：x=12．
答：原处还有12尺高的竹子．
故答案为：D．
【分析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（25-x）尺，根据题意利用勾股定理列出方程求解即可。
11．（2021八下·汉阳期末）如图，在高为 ，坡面长为 的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度= =12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5=17（米）.
故答案为：A.
【分析】由勾股定理求出楼梯的水平宽度，由于地毯的长度=楼梯的水平宽度与垂直高度的和，据此计算即可.
12．（2021八下·贵池期末）如图，圆柱形玻璃板，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离（ ）cm．
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【解答】解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，
则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE＝A′E，A′P＝AP，
∴AP+PC＝A′P+PC＝A′C，
∵CQ＝ ×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm+4cm＝12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝ ＝15cm，
故答案为：B．
【分析】先求出AP+PC＝A′P+PC＝A′C，再利用勾股定理计算求解即可。
二、填空题
13．（2021八下·老河口期末）如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，则它的周长为 .
【答案】24
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】设三边长分别为：
根据勾股定理可得：
解得： （不符合题意，舍去）
三角形的三边长分别为：
则周长为：
故答案为：24.
【分析】由题意可设三边长分别为：2n-2，2n，2n+2，根据勾股定理可得关于n的方程，解方程可求得三角形的各边长，再根据三角形的周长=三角形三边之和可求解.
14．（2021八下·凤山期末）如图，A代表所在的正方形的面积，则A的值是 .
【答案】144
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：A所在正方形的面积为 ，
故答案为：144.
【分析】运用勾股定理的几何意义即可求解.
15．（2021八下·阳东期末）如图，在 中， ，则三个半圆面积S1，S2，S3的关系为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： 在 中， ，
，
， ， ，
，
即 ．
故答案为： ．
【分析】先求出，再利用扇形面积公式计算求解即可。
16．（2021八下·北京期末）在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 ．
【答案】如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，
∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，
∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）
故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【分析】根据勾股定理的逆定理判断求解即可。
17．（2021八下·广水期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端离地面2m，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为 m.
【答案】17
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：设旗杆高度为 ，则 ， ， ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
即旗杆的高度为17米.
故答案是：17.
【分析】设旗杆高度为 ，则 ， ， ，在 中，利用勾股定理建立方程，求出x值即可.
18．（2021八下·北海期末）如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入 元.
【答案】7200
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接BD，
在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，
在△CBD中，CD2＝132BC2＝122，
而122+52＝132，
即BC2+BD2＝CD2，
∴∠DBC＝90°，
S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝ ，
＝ ＝36.
所以需费用36×200＝7200（元）.
故答案为7200.
【分析】连接BD，在Rt△ABD中，先根据勾股定理求出BD2的值，再运用勾股定理逆定理证明∠DBC＝90°，最后运用S四边形ABCD＝S△BAD+S△DBC即可求出面积，进而即可求解.
三、解答题
19．（2019八上·成都开学考）在 Rt△ABC
中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c．若
a∶c＝15∶17，b＝24，求 a.
【答案】解：设a=15x，则c=17x，
由勾股定理得，（15x）2+242=（17x）2，
解得，x=3，
则a=15x=45．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设a=15x，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
20．（2021八下·合肥期中）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？
【答案】解：依题意画出图形，如下图，
设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x-1）尺，
因为B'E=10尺，所以B'C=5尺，
在Rt△ACB'中，52+（x-1）2=x2，
解得：x=13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】先求出 52+（x-1）2=x2， 再求出 x=13， 最后求解即可。
21．（2021八下·云浮期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点，且CF＝1，判断△AEF是不是直角三角形？试说明理由．
【答案】解：△AEF是直角三角形．
理由：∵正方形的边长为4，E是BC的中点，CF＝1，
∴DF＝3，CE＝BE＝2．
由勾股定理得：AF2＝AD2+DF2＝16+9＝25，
EF2＝CE2+CF2＝4+1＝5，
AE2＝AB2+BE2＝16+4＝20，
∴AF2＝EF2+AE2，
∴△AEF为直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先求出 DF＝3，CE＝BE＝2 ，再利用勾股定理证明求解即可。
22．（2021八上·未央期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何 题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点 和点 距离门槛 都为1尺（1尺=10寸），则 的长是多少
【答案】解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：
由题意得：OA=OB=AD=BC，
设OA=OB=AD=BC=r寸，
则AB=2r（寸），DE=10寸，OE= CD=1寸，
∴AE=（r 1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2=AD2，即（r 1）2+102=r2，
解得：r=50.5，
∴2r=101（寸），
∴AB=101寸.
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据题意可得 OA=OB=AD=BC ，进而在Rt△ADE中根据勾股定理解答即可得到结论.
23．葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升时总是沿最短路线螺旋前进，难道植物也懂数学？
通过阅读以_上信息，解决下列问题：
（1）如果树干的周长(即图中圆柱体的底面周长)为30cm，绕一圈升高(即圆柱的高)40cm，则葛藤绕行一圈的最短路程是多少？
（2）如果树干的周长为80cm，绕一圈最短爬行100cm，爬行10圈到达树顶，则树干高多少？
【答案】（1）解：如图①所示，将圆柱的侧面展开后，该侧面是长方形，AA'=30 cm，高是40 cm，
则A'B'=40 cm，所以AB'2= AA'2+A'B'2=502 ，所以绕行一圈的最短路程为50 cm．
（2）解：如图②所示，因为底面圆的周长为80 cm，即AA'=80 cm，绕一圈最短爬行100 cm，
则AB' = 100 cm， 在Rt△AB'A'中，因为A'B'2=AB'2- AA'2=1002- 802=602 ，所以A'B'=60 cm，所以树干高= 60×10= 600(cm)，600 cm=6 m． 所以树干高为6 m
【知识点】平面展开﹣最短路径问题
【解析】【分析】（1）求出 AB'2= AA'2+A'B'2=502 ， 即可作答；
（2）结合图形，利用勾股定理求出 A'B'=60 cm， 再求解即可。
24．（2021八下·滨城期末）勾股定理是人类重大科学发现之一．我国古代数学书《周髀算经》记载，约公元前11世纪，我国古代劳动人民就知道“若勾三，股四，则弦五”，比西方早500多年．请你运用学到的知识、方法和思想探究以下问题．
（1）（探究一）我国汉代数学家赵爽创制了“赵爽弦图”，通过图形切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．古往今来，人们对勾股定理的证明一直保持着极大的热情．意大利著名画家达·芬奇用两张一样的纸片，拼出不一样的空洞，利用空洞面积相等也成功地证明了勾股定理（如图）．
请你写出这一证明过程（图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形）．
（2）（探究二）在学习勾股定理的过程中，我们获得了以下数学活动经验：分别以直角三角形的三边为边向外侧作正方形（如图2），它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是： ．
（3）迁移应用：如图3，图中所有的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形 ， ， ， 的边长分别是 ， ， ， ，则正方形 的面积是 ．
（4）（探究三）如图4，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，则它们的面积 ， ， 之间满足的等量关系是 ．
（5）迁移应用：如图5，直角三角形的两条直角边长分别为 ， ，斜边长为 ，分别以三边为直径作半圆．若 ， ，则图中阴影部分的面积等于 ．
（6）（探究四）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尺．问索长几何．译文：今有一竖立着的木柱，在木桩的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有 尺．牵着绳索（绳索与地面接触）退行，在距木柱根部 尺处时绳索用尽．问绳索长多少？
【答案】（1）由题意得：②的面积为a2+b2+2 ab=a2+b2+ab；
图③的面积为c2+2 ab=c2+ab，
∴a2+b2+ab=c2+ab，
即a2+b2=c2；
（2）S1+S2=S3
（3）47
（4）S1+S2=S3
（5）30
（6）设绳索长为x尺，根据题意得：
x2-（x-3）2=82，
解得：x= ，
答：绳索长为 尺．
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：【探究二】S1+S2=S3．
证明如下：
∵S3=c2，S1=a2，S2=b2，
∴S1+S2=a2+b2=c2=S3；
故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：根据勾股定理的几何意义，可知
SE=SF+SG=SA+SB+SC+SD=32+52+32+22=47；
故答案为：47；
【探究三】S1+S2=S3．
证明如下：
∵S3= πc2，S1= πa2，S2= πb2，
∴S1+S2= πa2+ πb2= πc2=S3；
故答案为：S1+S2=S3；
迁移应用：
阴影部分面积和=S1+S2+ ab-S3= ab，
∵a=5，c=13，
∴ 12，
∴阴影部分面积和= ×5×12=30，
故答案为：30；
【分析】（1）根据图象，用不同的表达式表示出同一图形的面积，列出等式化简即可；
（2）根据勾股定理的性质求解即可；
（3）根据勾股定理的性质求解即可；
（4）根据勾股定理的性质求解即可；
（5）根据勾股定理列出方程求解即可。
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