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1．3 集合的基本运算 第1课时
【学习目标】
1．理解交集与并集的概念，掌握交集与并集的区别与联系；
2．会求两个已知集合的交集和并集，并能正确应用它们解决一些简单问题．
【课前导学】
一、复习回顾
1．回忆概念：子集，真子集，补集．
2．已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则A S， {x|x∈S且xA}= ．
3．用适当符号填空：0 {0}；0 Φ；Φ {x|x＋1＝0, x∈R}；
{0} {x|x<3且x>5}； {x|x>6} {x|x<－2或x>5}；{x|x>－3} {x|x>2}．
4．如果全集U={x|0≤x<6,x∈Z},A=｛1,3,5｝,B=｛1,4｝那么，CUA=____, CUB=____．
二、问题情境
5、用Venn图分别表示下列各组中的三个集合：
① A={-1,1,2,3},B={-2,-1,1},C={-1,1}；
② A={x|x≤3},B={x|x>0},C={x|0
③ A={x|x为高一(1)班语文测验优秀者}，B={x|x为高一(1)班英语测验优秀者}，C={x|x为高一(1)班语文、英语测验都优秀者}．
上述每组集合中，A,B,C之间都具有怎样的关系？
对于①中若D={-2,-1,1,2,3}， A,B,D之间都具有怎样的关系？
讨论：如何用文字语言、符号语言分别表示上述两个集合的关系？
【课堂活动】
一、建构数学：
1．交集定义：
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集．
记作：A∩B（读作“A交B”）（intersection set）；
符号语言为：A∩B={x∣x∈A,且x∈B }；
图形语言为：
2．并集的定义：
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．
记作：A∪B（读作＂A并B＂）(union set)；
符号语言为：A∪B={x∣x∈A或x∈B }．
图形语言为：
3．区间的表示法：
设a，b是两个实数，且a[a， b] = _____________________；
（a， b）= _____________________；
[a ，b）= _____________________；
（a ，b] = ______________________；
（a，+∞）=______________________；
（-∞，b）=______________________；
（-∞，+∞）=____________________．
其中 [a， b]，（a， b）分别叫闭区间、开区间；[a ，b），（a ，b] 叫半开半闭区间；a，b叫做相应区间的端点.
注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言；
（2）区间符号内的两个字母或数之间用“，”号隔开；
（3）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.
思考:A∩B=A，可能成立吗？A∪B=A，可能成立吗？A∪是什么集合？
结论： A∩B = A AB；A∪B = B AB．
二、应用数学：
例1 设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A∩B．
【思路分析】涉及不等式有关问题，利用数形结合即运用数轴是最佳方案． (如图1—6)
解：在数轴上作出A、B对应部分如图1—6，
A∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2【解后反思】数形结合思想的应用----数轴是常用工具．
例2 设A={x|x是等腰三角形}，B={x|x是直角三角形}，求A∩B。
【思路分析】此题运用文氏图，其公共部分即为A∩B．(如图1—7)
解：A∩B={x|x是等腰三角形}∩{x|x是直角三角形}
={x|x是等腰直角三角形}．
例3 设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B．
【思路分析】运用文氏图解答该题(如图1—8)
解：A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，
则A∪B={4，5，6，8}∪{3，5，7，8}={3，4，5，6，7，8}．
例4 设A={x|x是锐角三角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∪B．
解：A∪B={x|x是锐角三角形}∪{x|x是钝角三角形}={x|x是斜三角形}．
例5 设A={x|-1【思路分析】利用数轴，将A、B分别表示出来，则阴影部分即为所求．(如图1—9)
解：A∪B={x|-1三、理解数学：
1．已知集合M＝｛(x,y)|x+y=2｝,N={(x,y)|x－y=4},那么集合M∩N为 ．
【解析】 由已知得M∩N＝｛(x,y)|x+y=2,且x－y=4｝={(3,－1)}.
【点评】 求两集合的交集即求同时满足两集合中元素性质的元素组成的集合.本题中就是求方程组的解组成的集合.另外要弄清集合中元素的一般形式.
2．已知集合M＝｛x|x+y=2｝,N={y|y= x2},那么M∩N= ，MN= ．
答案：M∩N=，MN= R ．
3．已知A={x|x2－px+15=0}，B={x|x2－ax－b=0}，且A∪B={2,3,5}，A∩B={3}，求p,a,b的值．
答案：P=8, a=5 ,b=－6
【课后提升】
1．设Ｍ＝｛０，１，２，４，５，７｝，Ｎ＝｛１，４，６，８，９｝，Ｐ＝｛４，７，９｝，则（Ｍ∩Ｎ）∪（Ｍ∩Ｐ）＝ ．
［解析］由条件知，Ｍ∩Ｎ＝｛１，４｝，Ｍ∩Ｐ＝｛４，７｝，
所以（Ｍ∩Ｎ）∪（Ｍ∩Ｐ）=｛１，４，７｝．
2．已知Ａ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ2－４ｘ＋３，ｘ∈Ｒ｝，Ｂ＝｛ｙ｜ｙ＝ｘ－１，ｘ∈Ｒ｝，则Ａ∩Ｂ＝ ．
［解析］集合Ａ中ｙ＝ｘ2－４ｘ＋３＝（ｘ－２）2－１≥－１，集合Ｂ中ｙ＝ｘ－１∈Ｒ，∴ＡＢ，∴Ａ∩Ｂ＝｛ｙ｜ｙ≥－１｝．
3．已知集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ－＝０｝，Ｎ＝｛ｘ｜ｘ－１＝０｝，若Ｍ∩Ｎ＝Ｍ，则实数＝ ．
4．若集合Ａ、Ｂ满足Ａ∪Ｂ＝Ａ∩Ｂ，则集合Ａ，Ｂ的关系是___A=B___．
5．设，，则=________．
6．已知关于x的方程3x2+px－7=0的解集为A，方程3x2－7x+q=0的解集为B，若A∩B={－}，求A∪B．
【思考】
交、并集的性质
（1）A∩B A，A∩B B；
A∪B A， A∪B B；
A∩B A∪B．
（2）A∩A A， A∪A A．
（3）A∩Ф Ф, A∪Ф A．
（4）A∩B B∩A ，A∪B B∪A．
(5) A∪B=A BA；A∩B=B BA．
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1.2 集合的基本关系
【学习目标】
1．了解集合之间包含关系的意义；
2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；
3．子集、真子集的性质．
【课前导学】
一、复习回顾
表示集合常有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质.
二、巩固练习
1、用列举法表示下列集合：
① {-1，1，2}
②｛数字和为5的两位数｝ {14，23，32，41，50}
2、用描述法表示集合：
3、用列举法表示：“与2相差3的所有整数所组成的集合”
={-1，5}
三、问题情境
【问题】观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）
（1）A={-1，1}，B={-1，0，1，2}； （2）A=N，B=R；
（3）A={为北京人}，B= {为中国人}； (4)A＝，B＝{0}
【设问】集合A中的任何一个元素都是集合B的元素吗
【课堂活动】
一、建构数学：
通过观察上述集合间具有如下特殊性：
(1)集合A的元素-1，1同时是集合B的元素；
(2)集合A中所有元素，都是集合B的元素；
(3)集合A中所有元素都是集合B的元素；
(4)A中没有元素，而B中含有一个元素0，自然A中“元素”也是B中元素.
由上述特殊性可得其一般性，即集合A都是集合B的一部分.从而有下述结论.
1.子集:
【定义】一般地，对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A.记作AB（或BA），这时我们也说集合A是集合B的子集.
请同学们各自举两个例子，互相交换看法，验证所举例子是否符合定义.
2．真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A
这应理解为：若AB，且存在b∈B，但bA，称A是B的真子集.
【注意】
（1）子集与真子集符号的方向
（2）当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB（或BA）.如：A＝{2，4}，B＝{3，5，7}，则AB.
（3）空集是任何集合的子集即ΦA．
（4）空集是任何非空集合的真子集即ΦA 若A≠Φ，则ΦA．
（5）任何一个集合是它本身的子集即．
（6）易混符号：
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系
如ΦR，{1}{1，2，3}
②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合
如 Φ{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
（7）子集关系具有传递性.即,则．
二、应用数学：
例1（1） 写出N，Z，Q，R的包含关系，并用文氏图表示
（2）判断下列写法是否正确：①ΦA ②ΦA ③ ④AA．
解（1）：NZQR
（2）①正确；②错误，因为A可能是空集；③正确；④错误；
【思考】1：与能否同时成立？
【结论】如果AB，同时BA，那么A＝B.
如：{a，b，c，d}与{b，c，d，a}相等；{2，3，4}与{3，4，2}相等；
问：A＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}，B＝{x｜x＝2n－1，n∈Z}.（A=B）
说明：稍微复杂的集合，特别是用描述法给出的，要从代表元素及其所满足的特性上认真分辨.
【思考】2：若AB，BC，则AC？
真子集关系也具有传递性．若AB，BC，则AC.
例2 写出{a、b}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.
【思路分析】寻求子集、真子集主要依据是定义.
解：依定义：{a，b}的所有子集是、{a}、{b}、{a，b}，其中真子集有、{a}、{b}.
【变式】写出集合{1，2，3}的所有子集．
解：Φ、{1}、{2}、{3}、{1，2}、{1，3}、{2，3}、{1，2，3}．
【猜想】(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？()
（2）集合的所有子集的个数是多少？()
【推广】如果一个集合的元素有n个，那么这个集合的子集有2n个，真子集有2n－1个，有2n-2个非空真子集．
例3 满足个？
【思路分析】集合M中必含有元素a, 故集合M的个数即是的真子集的个数．
解：7个．
例4 已知集合，，且，求实数的取值范围．
【思路分析】A的子集要分和两种情况讨论．
解：⑴， 即，依题意，有，在数轴上作出包含关系图形，如图：
有解得;
⑵,即，解得；
综上所述，实数的取值范围是．
【解后反思】空集是任何集合的子集，注意空集的特殊性．
三、理解数学：
1、用连接下列集合对：
①A={济南人}，B={山东人}；
②A=N，B=R；
③A={1，2，3，4}，B={0，1，2，3，4，5}；
④A={本校田径队队员}，B={本校长跑队队员}；
⑤A={11月份的公休日}，B={11月份的星期六或星期天}
2、若A={，，},则有几个子集，几个真子集？写出A所有的子集．
3、设A={3,Z},B={6，Z},则A、B之间是什么关系？
【课后提升】
1． 满足的集合是什么
解析:由可知,集合必为非空集合;又由可知,此题即为求集合的所有非空子集。满足条件的集合有,共十五个非空子集．
此题可以利用有限集合的非空子集的个数的公式进行检验，，正确．
答案:15
2． 已知，试确定A，B，C之间的关系．
解析:由题意可得:A={0，1} , B={，{0}，{1}，{0，1}} , C={1}
答案:A，B，C之间的关系是．
3． 判断正误：
(1) (2) = (3)
(4) (5) (6) ．
解析: 表示以为元素的单元素集合,当把视为集合时, 成立;
当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.
答案: (1) ;(2);(3) ;(4) ;(5) ;(6).
4．设集合M={(x,y)|x+y<0，xy>0}和P={(x,y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为____________________________．M = P
5．已知集合，，若，求实数满足的条件．
解析:由于集合可用列举法表示为，所以可能等于，即；也可能是的真子集，即=，或=，或=，从而求出实数满足的条件。
∵，且，可得
⑴当时，，由此可知，是方程的两根，
由韦达定理无解；
⑵当时
①,即=,=, ，解得，
此时，符合题意，即符合题意；
②，，解得，
综合⑴⑵知：满足的条件是．
答案: ．
6．⑴已知集合用列举法写出；
⑵已知集合用列举法写出．
分析:集合本身也可以做另外集合的元素.
解析:⑴由已知条件注意到中的元素的属性是，即是的子集, 可以是, ∴=．
⑵由已知条件注意到中的元素的属性是,即是的元素, 可以是,
∴=．
7． 已知a∈R，b∈R，A={2，4，x2-5x+9}，B={3，x2+ax+a}，C={x2+(a+1)x-3，1} ，求：
（1）A={2，3，4}的x值；
（2）使2∈B，B A，求a,x的值；
（3）使B= C的a，x的值．
解：（1）由题意知：x2-5x+9=3，解得x=2或x=3．
（2）∵2∈B，BA，
∴
即x=2，a=或．
（3） ∵ B = C， ∴
即x=-1，a=-6或x=3，a=-2．
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1.3 集合的基本运算 第2课时
【学习目标】
1． 了解全集的意义，理解补集的概念，能利用Venn图和数轴表达集合间的关系；
2． 渗透辩证的观点.
【课前导学】
一、复习回顾
1．AB 对任意的xA有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．
2．子集的性质？
① A A；
② ；
③ ,则；
④是任何非空集合的真子集；
⑤真子集具备传递性．
二、问题情境
指出下列各组的三个集合中，哪两个集合之间具有包含关系．
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】在（1）（2）（3）中都有AS，BS．
【思考】观察上述A，B，S三个集合，它们的元素之间还存在什么关系？
答：A，B中的所有元素共同构成了集合S，即S中除去A中元素，即为B元素；反之亦然．
请同学们举出类似的例子：
如：A＝{班上男同学}，B＝{班上女同学}，S＝{全班同学}．
【课堂活动】
一、建构数学：
【共同特征】集合B就是集合S中除去集合A中的元素之后余下来的集合，可以用文氏图表示．我们称B是A对于全集S的补集．
补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S中A的补集，记作，比如若S＝{2，3，4}，A＝{4，3}，则SA＝_｛2｝__．
全集：如果集合S包含我们要研究的各个集合，这时S可以看作一个全集．全集通常用字母U表示．
【注意】（1）．（2）一个集合的补集的补集等于它本身．
（3）． （4）对于不同的全集，同一集合A的补集不相同．（如：例1）
二、应用数学：
例1
解：．
【解后反思】对于不同的全集，同一集合A的补集不相同．
例2 ．
解：．
【解后反思】数形结合---数轴的使用．
例3 ①不等式组的解集为A，试求A和，并把他们分别表示在数轴上；
②设全集U=R，A={x|x>1}，B={x|x+a<0}，是的真子集，求实数a的取值范围．
解：①A=，=，数轴略；
② B={x|x+a<0}={x|x<-a} ，={x|x≤1}，
∵ 是的真子集 ， 如图所示：
∴ -a ≤ 1即a≥-1．
例4 设全集Ｕ＝Ｒ，Ａ＝｛ｘ｜３ｍ－１＜ｘ＜２ｍ｝，Ｂ＝｛ｘ｜－１＜ｘ＜３｝，
ＢＣUＡ，求ｍ的取值范围．
解：由条件知，若Ａ＝，则３ｍ－１≥２ｍ即ｍ≥１，满足题意；
若Ａ≠，即ｍ＜１时，ＣUＡ＝｛ｘ｜ｘ≥２ｍ或ｘ≤３ｍ－１｝，
则应有 －１≥２ｍ即ｍ≤－
或３ｍ－１≥３即ｍ≥ 与前提ｍ＜１矛盾，舍去．
综上可知：ｍ的取值范围是ｍ≥１或ｍ≤－．
【解后反思】空集是任何集合的子集，注意空集的特殊性．
【变式】 设全集Ｕ＝｛１，２，３，４｝，且Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０，ｘ∈Ｕ｝，若ＣUＡ＝｛２，３｝，求ｍ，ｎ的值．
解：∵Ｕ＝｛１，２，３，４｝，ＣUＡ＝｛２，３｝∴Ａ＝｛１，４｝．
∴１，４是方程ｘ2－ｍｘ＋ｎ＝０的两根．
∴ｍ＝１＋４＝５，ｎ＝１×４＝４．
三、理解数学：
1．设，则．
解：a=3，b=4．
2．设Ｕ＝｛２，４，３－2｝,Ｐ＝｛２，2＋２－｝，ＣUＰ＝｛－１｝，求．
解：∵－１∈ＣUＰ∴－１∈Ｕ∴３－2＝－１得＝±２．
当＝２时，Ｐ＝｛２，４｝满足题意．
当＝－２时，Ｐ＝｛２，８｝，８Ｕ舍去．因此＝２．
［点评］由集合、补集、全集三者关系进行分析，特别注意集合元素的互异性，所以解题时不要忘记检验，防止产生增解．
3．已知Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣSＡ＝｛－１，－３，１，３｝，ＣSＢ＝｛－１，０，２｝，用列举法写出集合Ｂ．
解：∵Ａ＝｛０，２，４，６｝，ＣSＡ＝｛－１，－３，１，３｝
∴Ｓ＝｛－３，－１，０，１，２，３，４，６｝又ＣSＢ＝｛－１，０，２｝
∴Ｂ＝｛－３，１，３，４，６｝．
【课后提升】
1．若S={2，3，4}，A={4，3}，则CSA={2} ．
2．若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB={直角三角形或钝角三角形} ．
3．若S={1，2，4，8}，A= ，则CSA= S ．
4．若U={1，3，a2+2a+1}，A={1，3}，CUA={5}，则a=-1 ．
5．已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，则B={1，4}；
6．设全集U={2，3，m2+2m-3}，A={|m+1|，2}，CUA={5}，求m的值．
解：m= - 4或m=2．
7．已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x∈U}，求CUA、m．
解：CUA={2，3}，m=4；CUA={1，4}，m=6）．
8．已知全集U=R,集合A={x|0解：CUA=，CU(CUA)=A=．
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1．1 集合的含义及其表示 第2课时
【学习目标】
1．理解并掌握集合三种表示方法；熟练地进行集合表示方法之间的转换；
2．初步理解集合相等的概念，并会初步运用；
3．培养学生的逻辑思维能力和运算能力.
【课前导学】
一、复习回顾：
1、 集合的概念描述：
1）一般地，一定范围内某些 确定的、不同的对象的全体 构成一个集合。
2）集合的元素具有__确定____性、_互异__性和__无序__性．
3）如果a是集合A的元素，记作________．
4）集合的分类： 有限集，无限集和空集 .
2、 常用数集的符号：
自然数集__N____；正整数集__N*____；整数集__Z____；有理数集__Q____；实数集__R___．
二、思考题：
集合A中的元素由x=a+b(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系？
（1）0 （2） （3）
分析：先把x写成a+b的形式，再观察a，b是否为整数.
【解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以；
（3）因为， 所以 .
点评: 要判断某个元素是否是某个集合的元素，就是看这个元素是否满足该集合的特性或具体表达形式.
三、问题情境
观察下列对象能否构成集合
（1）满足x－3＞2的全体实数；
（2）本班的全体男生；
（3）我国的四大发明；
（4）2008年北京奥运会中的球类项目；
（5）不等式2x+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形；
如果能够，那么这些集合又如何来表示？
【课堂活动】
一、建构数学：
1、列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内.用这种方法表示集合，元素要用逗号隔开，但与元素的次序无关.
思考：用列举法表示下列对象构成集合：
（1）满足x－3＞2的全体实数；
（2）本班的全体男生；
（3）我国的四大发明；
（4）2008年北京奥运会中的球类项目；
（5）不等式2x+3 < 9的自然数解；
（6）所有的直角三角形.
【提醒】
(1)如果两个集合所含元素完全相同（ 即A中的元素都是B中的元素，B中的元素也都是A中的元素），则称这两个集合相等.
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素.
（3）集合{（1，2），（3，4）}与集合{1，2，3，4}不同 .
2、描述法：
将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成{x|p(x)}的形式.
如：{x|x为中国直辖市}，{x|x为young中的字母} .
所有直角三角形的集合可以表示为： { x|x是直角三角形}等.
3、Venn图法：
用封闭的曲线内部表示集合（形象直观）.如：集合{x|x为young中的字母}.
【思考】何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法.
如 ：集合{ 3，7，8 }.
(2)有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法.
如：集合{(x,y)|y=x+1} ；集合{x|x为1000以内的质数}.
4、 集合相等：
如果两个集合A，B所含的元素完全相同，则称这两个集合相等，记为：____A=B____ .
二、应用数学：
例1 用列举法表示下列集合：
①{x∈N|x是15的约数}；
②{x|x= ,n ∈N} ；
③{(x,y)|x+y=6,x ∈ N,y ∈ N}；
解：①； ②；③ .
例2 用描述法表示下列集合：
①{1，4，7，10，13}；
②奇数的集合.
解：①；
②.
例3 用适当的方法表示下列集合：
1） 方程x2-2x-3=0的解集；
2） 不等式2x-3>5的解集；
3） 方程组的解集.
解：（1）；
（2）；
（3） .
【解后反思】常见题型，常考题型，可以有多种不同的表示方法！
例4 已知,求集合M .
解： .
【变式】已知,求集合M.
解：M= .
【解后反思】审题时注意两者代表元素的区别.
例5 若
【思路分析】第一个集合中有元素0，分析知，b=0, 从而集合可以化简为 .
解：第一个集合中有元素0，故必有b=0, 从而集合可以化简为，
因此a=1
有集合中元素的互异性知，a= -1, a=1不合，舍去.
故a= -1 .
【解后反思】特殊元素优先原则.
例6 已知A={x|a+2x+1=0},
（1） 若A中有且只有一个元素，求a的取值集合；
（2） 若A中至多有一个元素，求a的取值范围.
解：（1）由题意知，A中有且只有一个元素，
当a=0时，对应方程为一次方程，此时A=，符合题意；
当a0时，对应方程a+2x+1=0有两个相等实根，即a=1时也符合题意.
综上所述，a的取值集合为；
（2） 由（1）知，a = 0或1时， A中有且只有一个元素，符合题意；
当对应方程a+2X+1=0无实根时，即 a>1时，A=，符合题意；
综上所述，a = 0或a1 .
【解后反思】
1、注意 分类讨论；
2、一元二次方程有两个相等实数根，对应的方程的解集只有一个元素.
三、理解数学：
1、用列举法表示下列集合：
（1）中国国旗的颜色的集合；
（2）单词mathematics中的字母的集合；
（3）自然数中不大于10的质数的集合；
（4）同时满足的整数解的集合.
解：（1）{红，黄}；
（2）{m，a，t，h，e，i，c，s }；
（3）{2，3，5，7 }；
（4）{-1，0，1，2}.
2、用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数的集合；
（2）使有意义的x的集合；
（3）方程x2+x+1=0所有实数解的集合；
（4）抛物线y=-x2+3x-6上所有点的集合；
（5）图中阴影部分内点的集合.
【解】（1）{x|x=3k，k∈Z}；
（2）{x|x≤2且x≠0 }；
（3）；
（4）{(x,y)| y=-x2+3x-6}；
（5）{(x,y)| 或 .
3、已知A=,试用列举法表示集合A.
【答案】A=｛－3,0,1,2｝.
【课后提升】
1.下列集合表示法错误的是 （1）（2）（4）（6） .
（1）｛１，２，２，３｝；（2）｛全体实数｝；（3）｛有理数｝；
（4）不等式ｘ２－５＞０的解集为｛ｘ２－５＞０｝；(5) {Ф}；
(6) 方程组的解的集合为{2，4}.
2.用列举法表示下列集合：
①{x|x为不大于10的正偶数}=__｛2,4,6,8,10｝_____;
②=__｛（1,1），（1,2），（2,1），（2,2）｝___;
③集合{ｘ∈Ｎ｜－１＜ｘ＜４}用列举法表示为 ｛0,1,2,3｝ ;
④数字和为的两位数=_｛14,23,32,41,50｝__;
⑤=__｛（0,8），（2,5），（4,2）｝__;
3.已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a2,b2}，且Q=P，求1+a2+b2的值．
解：分两种情况讨论：
① 1+a2+b2=2；
② 这与集合的性质矛盾，
∴ 1+a2+b2=2 .
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1.3 集合的基本运算 第3课时
【学习目标】
1．进一步深化理解交集和并集的概念，理解交集和并集的的一些性质；
2．掌握交、并集的运算．
【课前导学】
1．复习回顾：交集、并集的定义与符号：
A∩B= {x∣x∈A,且x∈B } ；
A∪B= {x|x∈A，或x∈B} ．
2．已知A为奇数集，B为偶数集，Z为整数集，求A∩B，A∩Z，B∩Z，
A∪B,A∪Z，B∪Z
【思考】交、并集的性质：
（1）A∩B A，A∩B B；
A∪B A， A∪B B；
A∩B A∪B．
（2）A∩A = A， A∪A = A．
（3）A∩Ф = Ф, A∪Ф = A．
（4）A∩B = B∩A ，A∪B = B∪A．
(5) A∪B=A<=> BA ；A∩B=B<=> BA ．
【课堂活动】
一、应用数学：
例1 设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}，A = {3，4，5}， B = {4，7，8}，
求：（CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B) ．
【思路分析】借助文恩图考虑．
解：(CU A)∩(CU B)＝CU (A∪B)=；
(CU A)∪(CU B)＝CU (A∩B)= ．
【解后反思】从上面的练习我们可以看到：
(CU A)∩(CU B)＝CU (A∪B)
(CU A)∪(CU B)＝CU (A∩B)
实际上对于任意的集合我们都有这样的结论——摩根定律．
例2 天鹅旅行社有15人组成了国际导游组，其中能用英语导游的有11人，能用日语导游的有8人，若每人至少会这两种外语之一，求既能用英语又能用日语的导游有多少位？
解：设A={能使用英语的导游}，B={能使用日语的导游}，
{国际导游组成员}，{既能用英语又能用日语的导游}
由，则15=11+8,则=4，
故既能用英语又能用日语的导游有4位．
【解后反思】本题是用集合的观点处理实际应用问题．
例3 (1)已知A={x|x2≤4}, B={x|x>a},若A∩B=Ф,求实数a的取值范围；
(2)已知集合A={x|x>6或x<-3}，B={x|a解：（1）利用数轴可知：；
（2）利用A∪B=A BA可知，或，所以或．
【解后反思】1、不等式的交、并、补集的运算，用数轴进行分析，注意端点；
2、A∪B=A BA；A∩B=BBA．
例4 A={}，，求实数p的取值范围．
解：因为，
若，则方程无实数解，
所以， -4若，则方程有负实数根，
因为，所以方程有两个负根，
所以解得，
综上可知，实数p的取值范围是p>-4.
例5 集合A=｛x| x2-3x+2=0｝, B=｛x| x2-ax+a-1=0｝, C=｛x| x2- mx+2=0｝, 若A∪B=A, A∩C= C, 求a, m的值.
【思路分析】A∪B=A BA；A∩C=C CA．
解：由条件得：A=｛1,2｝，
当a-1=1, 即a =2时, B=｛1｝;
当a-1=2, 即a=3时, B=｛1,2｝.
∴a的值为2或3.
再考虑条件:CA, 则集合C有三种情况:
1 当C=A时, m=3;
2 当C为单元素集合时, 即方程x2- mx+2=0有等根.
由△=m2-8=0, 得m=±2.
但当m=±2时, C=｛｝或｛-｝
不合条件CA. 故m=±2舍去.
3 当C=φ时, 方程x2- mx+2=0无实根,
△=m2-8<0, ∴-2二、理解数学：
1．已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B=(-1，3)，P={x|x≤0，或x≥}，求：
①(A∪B)∩P ；②∪P ；③ (A∩B)∪ ．
解：① ∵A∪B=[-4，3]，
∴ (A∪B)∩P=[-4，0]∪[，3] ．
② (-∞，-1]∪(3，+∞)，
∴ ∪P= P={x|x≤0，x≥}．
③ A∩B=(-12)， =（0，），
∴ (A∩B)∪=（-1，）．
2．设全集U=R, 集合A=｛x| x2- x-6<0｝, B=｛x|| x|= y+2, y∈A｝, 求CUB, A∪(CUB), A∩(CUB),CU(A∪B), (CUA)∩(CUB).
解：A={ x |-2∴CUB={ x | x ≤-5或x =0或x ≥5} ,
A∪(CUB)={ x|x≤-5或-2CU(A∪B)=( CUA)∩(CUB)= { x | x ≤-5或x ≥5}.
3．已知集合A={(x，y)|ax+y=1}，B={(x，y)|x+ay=1}，C={(x，y)|x2+y2=1}，
问：(1)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有两个元素的集合？
(2)当a取何值时，(A∪B)∩C为含有三个元素的集合？
解：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) ．
A∩C与B∩C分别为
的解集，解之得：
（Ⅰ）的解为（0，1），（）；
（Ⅱ）的解为（1，0），（）．
(1)使(A∪B)∩C恰有两个元素的情况只有两种可能：
解得a=0或a=1．
（2）使(A∪B)∩C恰有三个元素的情况是：，
解得．
答案: (1) a=0或a=1;
（2）．
【课后提升】
1．设集合，则=．
2．已知集合，则集合= ．
3．已知集合M={x|－1≤x<2}，N={x|x－a<0}，若，则a的取值范围为 [2,+∞) ．
4．设全集，Ａ＝｛1，2，3｝，Ｂ＝｛3，4，5｝，则Ｂ＝
___｛3,4,5｝_____．
5．，求．
解：集合中的元素有两个性质，即确定性和互异性，本例应用并集的基本知识及集合中元素互异的特征性质排除了这个解．
或，
若，则；
若，则．
但时，这时集合的表示与集合元素具有互异性相矛盾，
所以或或．
答案: 或或．
6．已知集合
（1）若AB，请求a的取值范围；
（2）若，请求a的取值范围；
（3）若，请求a的取值范围．
解：化简集合A={x|2（1） 因为AB，如下图
虽然要求，当，3a>4仍然成立，所以AB成立，同理3a=4也符合题意，
所以解得故的取值范围是．
（2）①当时，显然成立，即；
或②时，如下图
或位置均使成立．
当或时也符合题目意，事实上，，则成立．
所以， 或，解得．
或③时，,显然成立，
所以可取．
综上所述，的取值范围是．
（3）因为，如下图
集合若要符合题意，位置显然为，此时，，
所以，为所求．
答案: ⑴;
⑵;
⑶．
【思考】
答案：m=0，．
8．设集合A=, B=,
若AB=A,求实数A的值．
答案：．
A
B
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1.1集合的含义及其表示 第1课时
【学习目标】
1.理解集合的基本概念和集合中元素的特性，了解“属于”关系的意义、常用数集的记法；
2.会用符号∈和表示对象与集合之间的关系.
【课前导学】
（一）生活中
1.介绍自己的家庭、原来就读的学校、现在的班级.
2.问题：像“家庭”、“学校”、“班级”等，有什么共同特征？
【特征】 同一类对象的汇集 .
（二）数学中
1.【形】圆、线段垂直平分线可以看着满足什么条件的点的集合；
2.【数】自然数集、整数集、 ··· .
【课堂活动】
一、建构数学：
（一）集合的有关概念：
1 .集合：一定范围内某些 确定的 、 不同的 对象的全体构成一个集合（set) .
2 .元素：集合中的 每一个对象 叫做该集合的元素(element)（简称元）.
探讨以下问题:
(1) {1,2,2,3}是含1个1,2个2, 1个3的四个元素的集合吗
(2)著名科学家能构成一个集合吗
(3) {a,b,c,d}和{b,c,d,a}是不是表示同一个集合？
(4)“中国的直辖市”构成一个集合，写出该集合的元素.
(5)“young中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素.
(6)“book中的字母”构成一个集合，写出该集合的元素.
3.集合中元素的特性
（1）确定性：
由“问题探究”可以归纳：
按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可.
（2）互异性：
集合中的元素没有重复.
（3）无序性
集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）.
4.集合的表示：
集合常用大写拉丁字母来表示，如集合A、集合B .
5.元素与集合的关系：
如果对象a是集合A的元素，就记作a∈A，读作a属于A；
如果对象a不是集合A的元素，就记作aA，读作a不属于A .
又如：2∈Z，2.5Z
二、应用数学：
例1 下列的各组对象能否构成集合：
(1)所有的好人；
(2)小于2003的数；
(3) 和2003非常接近的数；
(4)小于5的自然数；
(5)不等式2x+1>7的整数解；
(6)方程x2+1=0的实数解.
【思路分析】解这类题目要从集合元素的特征即确定性、互异性出发.
解：（1）（3）不符合集合元素的确定性，（2）（4）（5）（6）能够构成集合.
例2 如果，求实数x的值.
【思路分析】由元素属于集合知，元素必等于集合中的某一元素；故需要分类讨论。
解：当=0时，有x=0, 这时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；
当=1时，有x=1或-1，经检验，x=1时与集合中 元素的互异性矛盾，不合，舍去；
X= -1时，经检验，符合题意！
当=x时，有x=0或1，同上，经检验，均不合，舍去；
综上所述，= －1 .
【解后反思】
1 .思路的确定：
2 .解题的规范性：
3 .含参要讨论：
4 .结论要检验：元素的互异性、条件是否满足.
【变式】
1.如果，y可能的取值组成的集合为 .
2.a、b、c为三角形ABC的三边，S={a,b,c},则三角形一定不是 等腰三角形 .
例3 ，若A=B，求a的值.
解：A={0，-4}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}={0,-4} ，
0,-4为方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，∴a=1 .
例4 集合A={x|ax2-2x+1=0},B={x| x2-2x+a=0}中，已知A只有一个元素，求集合A与B .
解：当a=0 时 ， A={}， B={0,2}；
当a≠0时 ，对于集合A有=4-4a=0 ∴a=1 ，
此时 A=B={1} .
【解后反思】注意对方程，特别是一元二次型方程的最高次项系数是否为零的讨论.
（二）常用数集及记法
（1）自然数集（非负整数集） ：全体非负整数的集合，记作N；
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集合，记作N*或N+；
（3）整数集：全体整数的集合，记作Z；
（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q；
（5）实数集：全体实数的集合，记作R .
（三）有限集与无限集
1、有限集(finite set)：含有有限个元素的集合；
2、无限集(infinite set )：含有无限个元素的集合；
3、空集(empty set)：不含任何元素的集合，记作Φ.
三、理解数学：
1.用符号“”或“∈”填空：
1 ∈ N , 1 ∈ Z , -3 N , -3 ∈ Q
0 ∈ N , 0 ∈ Z , N , ∈ R
2. “①难解的题目;②方程;③平面直角坐标系内第四象限的一些点;④很多多项式”中，能组成集合的序号是 ② .
解析：解这类题目要从集合元素的特征“确定性、互异性”出发.
①③④不符合集合元素的确定性特征.
3.下列命题不能构成集合的序号为 ①②③④ .
1 很小两实数可以构成集合；
2 与是同一集合
3 这些数组成的集合有5个数；
4 集合是指第二、四象限内的点集.
解析：①中的元素不符合集合元素的确定性，不对；
②先看 “|”左边描述的元素，第一个集合是函数的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合；
③根据集合元素的互异原则：，所以集合有3个数，③不对；
④先看 “|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性，第二、四象限内的点集的公共属性应为，包括了坐标轴上的点，④也不对.
4.则中的元素应满足什么条件？
解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足，解不等式组即得答案: .
【课后提升】
1.下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数；
（2）好心的人；
（3）1，2，2，3，4，5.
解：（1）（不确定性）（2）（不确定性）（3）（有重复）
2.设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是 .
解：_-2,0,2__
3.由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含 个元素.
解：2
4.若{t},求t的值.
解：- 1 .
5. 若A={{x|ax+1=0}中元素的个数为 .
解：0个或1个.
6.求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件
解：
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