湘教版数学九年级上册同步训练《3.3 相似图形》
一、单选题
1．（2021·青白江模拟）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·抚顺模拟）如图，从图甲到图乙的变换是（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换
3．（2021九上·甘井子期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
4．（2020九上·玉屏月考）把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A． :1 B．4:1 C．3:1 D．2:1
5．（2020九上·福鼎期中）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020九上·武功月考）如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么我们把这样的纸张叫做标准纸.则标准纸的宽和长的比值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·徐汇模拟）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似
B．两个含 角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似
D．两个含 角的直角三角形必相似
8．（2021九上·萧山期末）下面图形是相似形的为（ ）
A．所有矩形 B．所有正方形
C．所有菱形 D．所有平行四边形
9．（2020九上·莲池期中）如图，在 的小正方形网格中，勤奋学习小组的同学画出了五边形 和五边形 则下列说法中，错误的是（ ）
A．五边形 五边形
B．
C．五边形 的周长是五边形 周长的 倍．
D．
10．（2020九上·合肥月考）一个五边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形的最长边长为24，则这个五边形的最短边长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．10
二、填空题
11．（2021·无锡）下列命题中，正确命题的个数为 .
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
12．（2020九上·株洲期中）下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
13．（2019九上·乡宁期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则 的值为 ．
14．（2019九上·金凤期中）如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？
15．（2019九上·宝山月考）在矩形 中， 点 分别在 上（点E与点F不重合）矩形 与矩形 相似，那么 的长为 .
16．（2018九上·茂名期中）两个相似多边形一组对应边分别为3cm，5cm，那么它们的相似比为 ．
三、解答题
17．（2020九上·渠县期末）如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．
18．（2018九上·太原期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．
19．（2018九上·恩阳期中）如图，四边形 四边形 ，求边 、 的长度和角 的大小．
20．若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？
21．观察下列图形，指出哪些是相似图形：
22．（2020九上·路桥月考）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似.
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似.
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由.
（2）如图3，已知 ，AC=6，BC=8，AB=10，将 按图3的方式向外扩张，得到 ，它们对应的边间距都为1，DE=15，求 的面积.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似图形：边数相同的两个图形，它们的角对应相等，边对应成比例，这样的两个图形叫相似图形的定义可得结果.
2．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：从图甲到图乙的图形的形状相同，大小不相同，图甲与图乙是相似形，所以从图甲到图乙的变换是相似变换．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换，相似变换的定义判断即可．
3．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故答案为：B
【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.
4．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】设原矩形的长为2a，宽为b，
则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后所得的矩形与原矩形相似，
∴ ，
∴大矩形与小矩形的相似比是 ：1；
故答案为：A.
【分析】设原矩形的长为2a，宽为b，根据对折后所得的矩形与原矩形相似可得比例式求解.
5．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的特征逐项判定即可。
6．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设原形的宽和长分别为：a，b，则新的矩形的宽和长分别是： ，
∵得到的两个矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，即： ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】设原形的宽和长分别为：a，b，可得到：新的矩形的宽和长分别是： ，根据相似多边形的对应边成比例，即可得到答案.
7．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项不符合题意；
B、如果一个等腰三角形的顶角是 ，另一等腰三角形的底角是 ，则不相似，此项不符合题意；
C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项不符合题意；
D、两个含 角的直角三角形必相似，此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．
8．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
B、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确.
C、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
D、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
故答案为：B.
【分析】根据对应角相等，对应边成比例两个多边形相似，据此对选项逐一分析即可作答.
9．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：从图看出，在五边形ABCDE和五边形FGHMN中，
∠A=∠F，∠B=∠G，∠C=∠H，∠D=∠M，∠E=∠N，
∴五边形ABCDE∽五边形FGHMN
故A不符合题意；
从图形看出：HM=MN，∴
故B不符合题意；
根据相似多边形的周长比等于相似比，得
五边形 的周长是五边形 周长的 倍
故C不符合题意；
∵五边形ABCDE∽五边形FGHMN
∴FG∶AB=2∶1
∴FG=2AB
故D符合题意
故答案为：D
【分析】根据相似多边形的判定和性质来判断即可．
10．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个五边形相似，且最长边的比为6:24=1:4
∴最短边的比为1:4
∵其中一个五边形的最短边为2
∴另外一个五边形的最短边为2×4=8
故答案为：B.
【分析】根据相似多边形的对应边成比例，即可得到最短边的长度。
11．【答案】①
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：①.
【分析】根据相似多边形的定义逐一判断即可.
12．【答案】②⑤
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
【分析】根据相似多边形的判定定理对每个图形一一判断即可。
13．【答案】6
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由题意得：这两片枫叶相似
则
解得
故答案为：6．
【分析】根据相似多边形的性质即可得．
14．【答案】1.5
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：当 ＝ 时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝1.5，
故答案为：1.5.
【分析】根据相似多边形的定义列出比例式，代入计算得到答案.
15．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，
∴CD=AB=2，
∵矩形CDEF与矩形ABCD相似，
∴AB：BC=ED：CD，
即2：3=ED：2，
∴ED= ．
故答案为： ．
【分析】由矩形的对边相等，可得CD=AB=2，由相似多边形的性质可得AB：BC=ED：CD，求解即可．
16．【答案】3：5
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵这组对应边的比为3：5
∴ 它们的相似比为 3:5.
【分析】利用相似比的定义求解即可。
17．【答案】解：设BE=x，则BC=1，CE=x+1，
∵矩形CEFD与矩形ABEF相似，
∴ 或 ，代入数据，
∴ 或 ，
解得： ， (舍去)，或 不存在，
∴BE的长为 ，
故答案为 ．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】设BE=x，BC=1，CE=x+1，然后根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
18．【答案】解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，
∴ = = ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4
∴ = = ，
∴DE=8，AE=2，
∴AD=AE+DE=2+8=10
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2可得对应边的比例，将AB=CD=4代入比例式中，可得DE与AE的长度，相加即可得到AD的长度。
19．【答案】解：∵四边形 四边形 ，
∴ ， ， ．
∴ ， ， ．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据四边形相似，由对应边对应成比例，进行计算得到答案即可。
20．【答案】解：相似．
理由：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似；
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比是：
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据已知可证四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似，可得四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比k1k2的值，可得出答案。
21．【答案】解：观察、分析可得上述图形中：（1）和（8）是相似图形；（2）和（6）是相似图形；（3）和（7）是相似图形.
【知识点】相似图形
【解析】【分析】利用相似图形的定义，可得出已知图形中的相似图形。
22．【答案】（1）解：观点一正确；观点二不正确.
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵ ， ，
∴ ，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）解：∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°， ，
∴ ， ，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为： 9×12＝54.
【知识点】矩形的性质；相似图形
【解析】【分析】（1）①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，根据题意可知AB//DE，AC//DF，利用平行线的性质去证明∠FDE＝∠CAB，∠DEF＝∠ABC；然后利用有两组对应角相等的两三角形相似，可对观点一作出判断；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，可求出两矩形的对应边之比，由此可证得新矩形于原矩形不相似，可对观点二作出判断；
（2）利用勾股定理的逆定理可证得△ACB是直角三角形，利用（1）可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF，EF的长；然后利用三角形的面积公式可求出△DEF的面积.
1 / 1湘教版数学九年级上册同步训练《3.3 相似图形》
一、单选题
1．（2021·青白江模拟）下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
B、两图形形状不同，不是相似图形，符合题意；
C、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
D、两图形形状相同，是相似图形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据相似图形：边数相同的两个图形，它们的角对应相等，边对应成比例，这样的两个图形叫相似图形的定义可得结果.
2．（2021·抚顺模拟）如图，从图甲到图乙的变换是（ ）
A．轴对称变换 B．平移变换 C．旋转变换 D．相似变换
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：从图甲到图乙的图形的形状相同，大小不相同，图甲与图乙是相似形，所以从图甲到图乙的变换是相似变换．
故答案为：D．
【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换，相似变换的定义判断即可．
3．（2021九上·甘井子期末）如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠E的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，
∴∠E＝∠A＝80°，
故答案为：B
【分析】根据相似多边形的对应角相等可求解.
4．（2020九上·玉屏月考）把一张矩形的纸片对折后和原矩形相似，那么大矩形与小矩形的相似比是（ ）
A． :1 B．4:1 C．3:1 D．2:1
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】设原矩形的长为2a，宽为b，
则对折后的矩形的长为b，宽为a，
∵对折后所得的矩形与原矩形相似，
∴ ，
∴大矩形与小矩形的相似比是 ：1；
故答案为：A.
【分析】设原矩形的长为2a，宽为b，根据对折后所得的矩形与原矩形相似可得比例式求解.
5．（2020九上·福鼎期中）下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的特征逐项判定即可。
6．（2020九上·武功月考）如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么我们把这样的纸张叫做标准纸.则标准纸的宽和长的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设原形的宽和长分别为：a，b，则新的矩形的宽和长分别是： ，
∵得到的两个矩形都和原来的矩形相似，
∴ ，即： ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】设原形的宽和长分别为：a，b，可得到：新的矩形的宽和长分别是： ，根据相似多边形的对应边成比例，即可得到答案.
7．（2021·徐汇模拟）下列说法中，正确的是（ ）
A．两个矩形必相似
B．两个含 角的等腰三角形必相似
C．两个菱形必相似
D．两个含 角的直角三角形必相似
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A、两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，则不一定相似，此项不符合题意；
B、如果一个等腰三角形的顶角是 ，另一等腰三角形的底角是 ，则不相似，此项不符合题意；
C、两个菱形的对应边成比例，但四个内角不一定对应相等，则不一定相似，此项不符合题意；
D、两个含 角的直角三角形必相似，此项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据相似多边形、相似三角形的判定逐项判断即可得．
8．（2021九上·萧山期末）下面图形是相似形的为（ ）
A．所有矩形 B．所有正方形
C．所有菱形 D．所有平行四边形
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A、所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
B、所有正方形，形状相同，但大小不一定相同，符合相似定义，故正确.
C、所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
D、所有平行四边形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；
故答案为：B.
【分析】根据对应角相等，对应边成比例两个多边形相似，据此对选项逐一分析即可作答.
9．（2020九上·莲池期中）如图，在 的小正方形网格中，勤奋学习小组的同学画出了五边形 和五边形 则下列说法中，错误的是（ ）
A．五边形 五边形
B．
C．五边形 的周长是五边形 周长的 倍．
D．
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：从图看出，在五边形ABCDE和五边形FGHMN中，
∠A=∠F，∠B=∠G，∠C=∠H，∠D=∠M，∠E=∠N，
∴五边形ABCDE∽五边形FGHMN
故A不符合题意；
从图形看出：HM=MN，∴
故B不符合题意；
根据相似多边形的周长比等于相似比，得
五边形 的周长是五边形 周长的 倍
故C不符合题意；
∵五边形ABCDE∽五边形FGHMN
∴FG∶AB=2∶1
∴FG=2AB
故D符合题意
故答案为：D
【分析】根据相似多边形的判定和性质来判断即可．
10．（2020九上·合肥月考）一个五边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形的最长边长为24，则这个五边形的最短边长为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．10
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个五边形相似，且最长边的比为6:24=1:4
∴最短边的比为1:4
∵其中一个五边形的最短边为2
∴另外一个五边形的最短边为2×4=8
故答案为：B.
【分析】根据相似多边形的对应边成比例，即可得到最短边的长度。
二、填空题
11．（2021·无锡）下列命题中，正确命题的个数为 .
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【答案】①
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：①.
【分析】根据相似多边形的定义逐一判断即可.
12．（2020九上·株洲期中）下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三角形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有 （填序号）
【答案】②⑤
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
【分析】根据相似多边形的判定定理对每个图形一一判断即可。
13．（2019九上·乡宁期中）秋天红透的枫叶，总能牵动人们无尽的思绪，所以诗人杜牧说：“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”如图是两片形状完全相同，大小不同的枫叶，则 的值为 ．
【答案】6
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由题意得：这两片枫叶相似
则
解得
故答案为：6．
【分析】根据相似多边形的性质即可得．
14．（2019九上·金凤期中）如图所示，矩形ABCD的长AB＝30，宽BC＝20，x为 时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似？
【答案】1.5
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：当 ＝ 时，图中的两个矩形ABCD与A'B'C'D'相似，
解得，x＝1.5，
故答案为：1.5.
【分析】根据相似多边形的定义列出比例式，代入计算得到答案.
15．（2019九上·宝山月考）在矩形 中， 点 分别在 上（点E与点F不重合）矩形 与矩形 相似，那么 的长为 .
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵矩形ABCD中，AB=2，BC=3，
∴CD=AB=2，
∵矩形CDEF与矩形ABCD相似，
∴AB：BC=ED：CD，
即2：3=ED：2，
∴ED= ．
故答案为： ．
【分析】由矩形的对边相等，可得CD=AB=2，由相似多边形的性质可得AB：BC=ED：CD，求解即可．
16．（2018九上·茂名期中）两个相似多边形一组对应边分别为3cm，5cm，那么它们的相似比为 ．
【答案】3：5
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：∵这组对应边的比为3：5
∴ 它们的相似比为 3:5.
【分析】利用相似比的定义求解即可。
三、解答题
17．（2020九上·渠县期末）如图，ABCD是边长为1的正方形，在它的左侧补一个矩形ABFE，使得新矩形CEFD与矩形ABEF相似，求BE的长．
【答案】解：设BE=x，则BC=1，CE=x+1，
∵矩形CEFD与矩形ABEF相似，
∴ 或 ，代入数据，
∴ 或 ，
解得： ， (舍去)，或 不存在，
∴BE的长为 ，
故答案为 ．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】设BE=x，BC=1，CE=x+1，然后根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
18．（2018九上·太原期中）如图，矩形ABCD中，AB=4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．
【答案】解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，
∴ = = ，
∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=4
∴ = = ，
∴DE=8，AE=2，
∴AD=AE+DE=2+8=10
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2可得对应边的比例，将AB=CD=4代入比例式中，可得DE与AE的长度，相加即可得到AD的长度。
19．（2018九上·恩阳期中）如图，四边形 四边形 ，求边 、 的长度和角 的大小．
【答案】解：∵四边形 四边形 ，
∴ ， ， ．
∴ ， ， ．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据四边形相似，由对应边对应成比例，进行计算得到答案即可。
20．若四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，请问四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似吗？若相似，相似比是多少？
【答案】解：相似．
理由：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似；
∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，相似比为k1= ，又四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2相似，相似比为k2= ，
∴四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比是：
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据已知可证四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似，可得四边形ABCD与四边形A2B2C2D2相似比k1k2的值，可得出答案。
21．观察下列图形，指出哪些是相似图形：
【答案】解：观察、分析可得上述图形中：（1）和（8）是相似图形；（2）和（6）是相似图形；（3）和（7）是相似图形.
【知识点】相似图形
【解析】【分析】利用相似图形的定义，可得出已知图形中的相似图形。
22．（2020九上·路桥月考）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：
观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似.
观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似.
请回答下列问题：
（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由.
（2）如图3，已知 ，AC=6，BC=8，AB=10，将 按图3的方式向外扩张，得到 ，它们对应的边间距都为1，DE=15，求 的面积.
【答案】（1）解：观点一正确；观点二不正确.
理由：①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，
∵△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，
∴AB//DE，AC//DF，
∴∠FDO＝∠CAO，∠ODE＝∠OAB，
∴∠FDO+∠ODE＝∠CAO+∠OAB，
即∠FDE＝∠CAB，同理∠DEF＝∠ABC，
∴△ABC∽△DEF，
∴观点一正确；
②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，
则新矩形邻边为4和8，
∵ ， ，
∴ ，
∴新矩形于原矩形不相似，
∴观点二不正确；
（2）解：∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°，
由（1）知△ABC∽△DEF，
∴∠DFE=90°， ，
∴ ， ，
∴DF＝9，EF＝12，
∴△DEF的面积为： 9×12＝54.
【知识点】矩形的性质；相似图形
【解析】【分析】（1）①如图（1）连接并延长DA，交FC的延长线于点O，△ABC和△DEF对应的边的距离都为1，根据题意可知AB//DE，AC//DF，利用平行线的性质去证明∠FDE＝∠CAB，∠DEF＝∠ABC；然后利用有两组对应角相等的两三角形相似，可对观点一作出判断；②如图（2）由题意可知，原矩形的邻边为6和10，可求出两矩形的对应边之比，由此可证得新矩形于原矩形不相似，可对观点二作出判断；
（2）利用勾股定理的逆定理可证得△ACB是直角三角形，利用（1）可知△ABC∽△DEF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF，EF的长；然后利用三角形的面积公式可求出△DEF的面积.
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