湘教版数学九年级上册同步训练《3.4 相似三角形的判定与性质》
一、单选题
1．（2020·铜仁）已知 ，它们的周长分别为30和15，且 ，则 的长为
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： 和 的周长分别为30和15，
和 的周长比为 ，
，
，即 ，
解得， ，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的周长的比等于相似比”可求解.
2．（2021·集美模拟）如图，已知 ∽ ，则下列哪条线段与 的比等于相似比（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∽ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，找出对应边，即可.
3．（2021·雅安）如图，将 沿 边向右平移得到 ， 交 于点G.若 . .则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，可证△CEG∽△ADG，可得，由BC：EC=3：1可求出BE：EC=2：1，即得AD：EC=2：1，利用面积比即可求出结论.
4．（2021八下·相城期末）在四边形 中 ，对角线 与 交于 ，过点 作 的平行线，交 、 于 、 .若 ， 与 的面积比为 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DC∥AB，
∴△PDC∽△PAB，
∵ ，
∴ ，又AB=2，
∴CD=1，
∵MN∥AB，
∴MN∥CD，
∴△AMP∽△ADC，△BPN∽△BDC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴MP= ，NP= ，
∴MN=MP+NP= ，
故答案为：C.
【分析】根据平行得到△PDC∽△PAB，可得 ，以及CD=1，再证明△AMP∽△ADC，△BPN∽△BDC，得到 ， ，可得MP和NP，从而得到MN.
5．（2019·营口）如图，在 中， ， ，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出 ，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出 ，从而即可得出答案.
6．（2021·道外模拟）如图，四边形 中， 为对角线 上一点，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，则下列所给的结论中，不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A．∵ ，
∴∠DEP=∠A，∠DPE=∠DBA，
∴△EPD∽△ABD，
∴ ，
∵ ，
∴∠BPF=∠BDC，∠BFP=∠C，
∴△BFP∽△BCD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
A符合题意；
B．∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
B不符合题意；
C．∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
C不符合题意，
，
D．∵ ，
∴∠DEP=∠A，∠DPE=∠DBA，
∴△EPD∽△ABD，
∴ ，
∵ ，
∴∠BPF=∠BDC，∠BFP=∠C，
∴△BFP∽△BCD，
∴ ，
∴ ，
D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质与判定对每个选项一一判断求解即可。
7．（2021·安徽模拟）如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F，则AF：FB等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 MN是△ABC的中位线
， ，
G是MN的中点
即
又
即：AF：FB ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线的性质得到，再利用相似三角形的性质和三角形的中位线求出，最后整体代入计算即可。
8．（2021·建华模拟）如图，大三角形与小三角形是位似图形．若小三角形一个顶点的坐标为（m，n），则大三角形中与之对应的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2m，﹣2n） B．（2m，2n）
C．（﹣2n，﹣2m） D．（2n，2m）
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过C作CR⊥x轴于R，CK⊥y轴于K，过F作FG⊥x轴于G，FH⊥y轴．
根据图象得： ，∵大三角形与小三角形是位似图形，∴ ，根据平行线分线段成比例定理得： ，∵CR=OK=﹣n，CK=OR=﹣m，∴FH=OG=﹣2m，FG=﹣2n，∴小三角形上的顶点（m，n）对应于大三角形上的顶点是（﹣2m，﹣2n），
故答案为：A．
【分析】过C作CR⊥x轴于R，CK⊥y轴于K，过F作FG⊥x轴于G，FH⊥y轴．根据中心对称图形的性质和位似图形性质得出，根据平行线分线段成比例定理得到，把（m，n）代入即可求出答案。
9．（2021·哈尔滨模拟）如图，在平行四边形 中， ， ， 的面积为25，则四边形 的面积为（ ）
A．25 B．9 C．21 D．16
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为 ， ，
∴△DEF∽△DAB，
所以 ，
所以 ，
又因为四边形 是平行四边形，
所以 ， 的面积为25，所以 的面积为25，
所以 的面积为4，
则四边形 的面积为21．
故答案为：C．
【分析】先求出△DEF∽△DAB，再求出 ，最后求解即可。
10．（2021·湘西）已知点 在第一象限，且 ，点 在 轴上，当 为直角三角形时，点 的坐标为（ ）
A． ， 或 B． ， 或
C． ， 或 D． ， 或
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：
当 时，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，过点M作MB⊥x轴于点B，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴当 时，则 ；当 时，则 ，
∴ 或 ；
故答案为：C.
【分析】根据题意分两种情况：①当 时，②当时，据此分别求解即可.
二、填空题
11．（2021·昭通模拟）如图，在 中， ， ，点P是 边的中点，点Q是 边上一动点，若 与 相似，则 的长为 ．
【答案】5或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ， ，点P是 边的中点
∴
当 时
∴
即
解得：
∴
当 时
∴
即
解得：
∴
∴ 或
故答案为： 或 ．
【分析】利用 或者 ，分别得出答案。
12．（2021·云南）如图，在 中，点D，E分别是 的中点， 与 相交于点F，若 ，则 的长是 ．
【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为BC和AC中点，
∴DE= AB，DE∥AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴ ，
∵BF=6，
∴EF=3，
∴BE=6+3=9，
故答案为：9．
【分析】根据三角形中位线定理可得DE= AB，DE∥AB，可证△DEF∽△ABF，可得，据此求出EF，利用BE=EF+BF计算即得.
13．（2021·南通模拟）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4.那么这两个三角形的周长之比为 .
【答案】5：4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，
∴其相似比为5：4，
∴这两个相似三角形的周长的比为5：4.
故答案为：5：4.
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论.
14．（2021·朝阳模拟）如图， 中， ，点D是边 上的一个动点（点D与点 不重合），若再增加一个条件，就能使 与 相似，则这个条件可以是 （写出一个即可）．
【答案】答案不唯一，如：
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠DBA=∠CBA，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是DB：BA=AB：BC；
∵∠DBA=∠CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是 ；
故答案为：DB：BA=AB：BC或 ．
【分析】根据题目特点，结合三角形相似的判定定理，添加合适的条件即可．
15．（2020·黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝ .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝ CD＝ AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴ ＝ ＝ ，
∵CD＝2，
∴PQ＝ ，
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝ CD＝ AB，易得△BPQ∽△DBC，根据相似三角形的性质可得比例式求解.
16．（2020·威海）如图，点C在 的内部，∠OCA=∠OCB ， 与 互补，若 ， ，则 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，
∴∠OCA＋∠AOB＝180°，∠OCB＋∠AOB＝180°，
∵∠OCA＋∠COA＋∠OAC＝180°，∠OCB＋∠OBC＋∠COB＝180°，
∴∠AOB＝∠COA＋∠OAC，∠AOB＝∠OBC＋∠COB，
∴∠AOC＝∠OBC，∠COB＝∠OAC，
∴△ACO∽△OCB，
∴ ，
∴OC2＝2× 1.5 ＝3，
∴OC＝ ，
故答案为： ．
【分析】通过证明△ACO∽△OCB，可得 ，可求出OC．
三、解答题
17．（2021·南昌模拟）如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD AB，求证：△ACD∽△ABC．
【答案】证明：∵AC2＝AD AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
18．（2021九下·江夏月考）如图，已知 ，求证： .
【答案】证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 根据相似三角形的性质得出，，从而得出，，根据两边成比例且夹角相等即证结论.
19．（2021九上·越城期末）已知：在 中，点D、E分别在AC、AB上，且满足 ，求证： .
【答案】证明： ， ，
∽ ，
即 .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据有两组角对应相等的三角形相似证明 ∽ ，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求证答案.
20．（2020·南京）如图，在 和 中，D、 分别是AB、 上一点， .
（1）当 时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格
（2）当 时，判断 与 是否相似，并说明理由
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴△ △ ，
∴ ，
∵ ，
∴△ △ ，
故答案为： ， ；
（2）解：如图，过点D、 分别作DE∥BC， ∥ ，
DE交AC于点E， 交 于点 ，
∵DE∥BC，
∴△ △ ，
∴ ，
同理： ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴△ △ ，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
又 ，
∴△ △ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据 证得△ △ ，推出 ，再证明结论；（2）作DE∥BC， ∥ ，利用三边对应成比例证得 △ ，再推出 ，证得 ，即可证明△ △ .
21．（2021九上·富平期末）如图1，矩形ABCD中，已知 ， ，点E是线段BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F.将 沿直线AE翻折，点B的对应点为点 ，延长 交CD于点M.
（1）求证： ；
（2）如图2，若点 恰好落在对角线 上，求 的值.
【答案】（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知： ，
∴ ，
∴ .
（2）解：由（1）可知 是等腰三角形， .
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先由矩形性质得到 ，进而得到 ，再由折叠得到 ，得到 .
（2）先由勾股定理得到AC,进而得到 ，由 .
22．（2021·淮南模拟）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：△BCF∽△DGF；
（2）求证：DF AB＝BC DG；
（3）当点E为AC中点时，求证：2DF EG＝AF DG．
【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF．
（2）解：∵BC2＝BF BA，
∴BC：BF＝BA：BC，
而∠ABC＝∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
由（1）知△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC，
∴DF：BC＝DG：BA，
∴DF AB＝BC DG．
（3）解：作AH∥BC交CF的延长线于H，如图：
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH＝2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴ ，
∴ ，
即2DF EG＝AF DG．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线可证△BCF∽△DGF；
（2）证明△BAC∽△BCF，由（1）知△BCF∽△DGF，可得△DGF∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例即得结论；
（3）作AH∥BC交CF的延长线于H，可证AH∥DE，由点E为AC的中点，可得AH＝2EG，由AH∥DG，
可证△AHF∽△DGF，可得 ，然后利用等线段代换即可.
1 / 1湘教版数学九年级上册同步训练《3.4 相似三角形的判定与性质》
一、单选题
1．（2020·铜仁）已知 ，它们的周长分别为30和15，且 ，则 的长为
A．3 B．2 C．4 D．5
2．（2021·集美模拟）如图，已知 ∽ ，则下列哪条线段与 的比等于相似比（ ）.
A． B． C． D．
3．（2021·雅安）如图，将 沿 边向右平移得到 ， 交 于点G.若 . .则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．（2021八下·相城期末）在四边形 中 ，对角线 与 交于 ，过点 作 的平行线，交 、 于 、 .若 ， 与 的面积比为 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·营口）如图，在 中， ， ，则 的值是（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2021·道外模拟）如图，四边形 中， 为对角线 上一点，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，交 于点 ，则下列所给的结论中，不一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2021·安徽模拟）如图，G是△ABC的中位线MN的中点，CG的延长线交AB于点F，则AF：FB等于（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：4
8．（2021·建华模拟）如图，大三角形与小三角形是位似图形．若小三角形一个顶点的坐标为（m，n），则大三角形中与之对应的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2m，﹣2n） B．（2m，2n）
C．（﹣2n，﹣2m） D．（2n，2m）
9．（2021·哈尔滨模拟）如图，在平行四边形 中， ， ， 的面积为25，则四边形 的面积为（ ）
A．25 B．9 C．21 D．16
10．（2021·湘西）已知点 在第一象限，且 ，点 在 轴上，当 为直角三角形时，点 的坐标为（ ）
A． ， 或 B． ， 或
C． ， 或 D． ， 或
二、填空题
11．（2021·昭通模拟）如图，在 中， ， ，点P是 边的中点，点Q是 边上一动点，若 与 相似，则 的长为 ．
12．（2021·云南）如图，在 中，点D，E分别是 的中点， 与 相交于点F，若 ，则 的长是 ．
13．（2021·南通模拟）如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5：4.那么这两个三角形的周长之比为 .
14．（2021·朝阳模拟）如图， 中， ，点D是边 上的一个动点（点D与点 不重合），若再增加一个条件，就能使 与 相似，则这个条件可以是 （写出一个即可）．
15．（2020·黔东南州）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝ ，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝ .
16．（2020·威海）如图，点C在 的内部，∠OCA=∠OCB ， 与 互补，若 ， ，则 ．
三、解答题
17．（2021·南昌模拟）如图，点D在△ABC的边AB上，AC2＝AD AB，求证：△ACD∽△ABC．
18．（2021九下·江夏月考）如图，已知 ，求证： .
19．（2021九上·越城期末）已知：在 中，点D、E分别在AC、AB上，且满足 ，求证： .
20．（2020·南京）如图，在 和 中，D、 分别是AB、 上一点， .
（1）当 时，求证： 证明的途径可以用如框图表示，请填写其中的空格
（2）当 时，判断 与 是否相似，并说明理由
21．（2021九上·富平期末）如图1，矩形ABCD中，已知 ， ，点E是线段BC上的一个动点，连接AE并延长，交射线DC于点F.将 沿直线AE翻折，点B的对应点为点 ，延长 交CD于点M.
（1）求证： ；
（2）如图2，若点 恰好落在对角线 上，求 的值.
22．（2021·淮南模拟）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2＝BF BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：△BCF∽△DGF；
（2）求证：DF AB＝BC DG；
（3）当点E为AC中点时，求证：2DF EG＝AF DG．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解： 和 的周长分别为30和15，
和 的周长比为 ，
，
，即 ，
解得， ，
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的性质“相似三角形的周长的比等于相似比”可求解.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵ ∽ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，找出对应边，即可.
3．【答案】B
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，可证△CEG∽△ADG，可得，由BC：EC=3：1可求出BE：EC=2：1，即得AD：EC=2：1，利用面积比即可求出结论.
4．【答案】C
【知识点】三角形的面积；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DC∥AB，
∴△PDC∽△PAB，
∵ ，
∴ ，又AB=2，
∴CD=1，
∵MN∥AB，
∴MN∥CD，
∴△AMP∽△ADC，△BPN∽△BDC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴MP= ，NP= ，
∴MN=MP+NP= ，
故答案为：C.
【分析】根据平行得到△PDC∽△PAB，可得 ，以及CD=1，再证明△AMP∽△ADC，△BPN∽△BDC，得到 ， ，可得MP和NP，从而得到MN.
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出 ，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方得出 ，从而即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：A．∵ ，
∴∠DEP=∠A，∠DPE=∠DBA，
∴△EPD∽△ABD，
∴ ，
∵ ，
∴∠BPF=∠BDC，∠BFP=∠C，
∴△BFP∽△BCD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
A符合题意；
B．∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
B不符合题意；
C．∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
C不符合题意，
，
D．∵ ，
∴∠DEP=∠A，∠DPE=∠DBA，
∴△EPD∽△ABD，
∴ ，
∵ ，
∴∠BPF=∠BDC，∠BFP=∠C，
∴△BFP∽△BCD，
∴ ，
∴ ，
D不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的性质与判定对每个选项一一判断求解即可。
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】 MN是△ABC的中位线
， ，
G是MN的中点
即
又
即：AF：FB ．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的中位线的性质得到，再利用相似三角形的性质和三角形的中位线求出，最后整体代入计算即可。
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过C作CR⊥x轴于R，CK⊥y轴于K，过F作FG⊥x轴于G，FH⊥y轴．
根据图象得： ，∵大三角形与小三角形是位似图形，∴ ，根据平行线分线段成比例定理得： ，∵CR=OK=﹣n，CK=OR=﹣m，∴FH=OG=﹣2m，FG=﹣2n，∴小三角形上的顶点（m，n）对应于大三角形上的顶点是（﹣2m，﹣2n），
故答案为：A．
【分析】过C作CR⊥x轴于R，CK⊥y轴于K，过F作FG⊥x轴于G，FH⊥y轴．根据中心对称图形的性质和位似图形性质得出，根据平行线分线段成比例定理得到，把（m，n）代入即可求出答案。
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：因为 ， ，
∴△DEF∽△DAB，
所以 ，
所以 ，
又因为四边形 是平行四边形，
所以 ， 的面积为25，所以 的面积为25，
所以 的面积为4，
则四边形 的面积为21．
故答案为：C．
【分析】先求出△DEF∽△DAB，再求出 ，最后求解即可。
10．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意得：
当 时，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当 时，过点M作MB⊥x轴于点B，如图所示：
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得： ，
∴当 时，则 ；当 时，则 ，
∴ 或 ；
故答案为：C.
【分析】根据题意分两种情况：①当 时，②当时，据此分别求解即可.
11．【答案】5或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ， ，点P是 边的中点
∴
当 时
∴
即
解得：
∴
当 时
∴
即
解得：
∴
∴ 或
故答案为： 或 ．
【分析】利用 或者 ，分别得出答案。
12．【答案】9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵点D，E分别为BC和AC中点，
∴DE= AB，DE∥AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴ ，
∵BF=6，
∴EF=3，
∴BE=6+3=9，
故答案为：9．
【分析】根据三角形中位线定理可得DE= AB，DE∥AB，可证△DEF∽△ABF，可得，据此求出EF，利用BE=EF+BF计算即得.
13．【答案】5：4
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线的比为5：4，
∴其相似比为5：4，
∴这两个相似三角形的周长的比为5：4.
故答案为：5：4.
【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论.
14．【答案】答案不唯一，如：
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠DBA=∠CBA，根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是DB：BA=AB：BC；
∵∠DBA=∠CBA，根据两组对应角对应相等相等的两个三角形相似，
∴添加的条件是 ；
故答案为：DB：BA=AB：BC或 ．
【分析】根据题目特点，结合三角形相似的判定定理，添加合适的条件即可．
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，
∵E为CD的中点，
∴DE＝ CD＝ AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴ ＝ ＝ ，
∵CD＝2，
∴PQ＝ ，
故答案为： .
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝ CD＝ AB，易得△BPQ∽△DBC，根据相似三角形的性质可得比例式求解.
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠OCA＝∠OCB，∠OCA与∠AOB互补，
∴∠OCA＋∠AOB＝180°，∠OCB＋∠AOB＝180°，
∵∠OCA＋∠COA＋∠OAC＝180°，∠OCB＋∠OBC＋∠COB＝180°，
∴∠AOB＝∠COA＋∠OAC，∠AOB＝∠OBC＋∠COB，
∴∠AOC＝∠OBC，∠COB＝∠OAC，
∴△ACO∽△OCB，
∴ ，
∴OC2＝2× 1.5 ＝3，
∴OC＝ ，
故答案为： ．
【分析】通过证明△ACO∽△OCB，可得 ，可求出OC．
17．【答案】证明：∵AC2＝AD AB，
∴AC：AB＝AD：AC．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】由对应边成比例，及夹角可得△ACD∽△ABC即可．
18．【答案】证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 根据相似三角形的性质得出，，从而得出，，根据两边成比例且夹角相等即证结论.
19．【答案】证明： ， ，
∽ ，
即 .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据有两组角对应相等的三角形相似证明 ∽ ，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求证答案.
20．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴△ △ ，
∴ ，
∵ ，
∴△ △ ，
故答案为： ， ；
（2）解：如图，过点D、 分别作DE∥BC， ∥ ，
DE交AC于点E， 交 于点 ，
∵DE∥BC，
∴△ △ ，
∴ ，
同理： ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴△ △ ，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴ ，
同理： ，
∴ ，
又 ，
∴△ △ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据 证得△ △ ，推出 ，再证明结论；（2）作DE∥BC， ∥ ，利用三边对应成比例证得 △ ，再推出 ，证得 ，即可证明△ △ .
21．【答案】（1）证明：∵四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
由折叠可知： ，
∴ ，
∴ .
（2）解：由（1）可知 是等腰三角形， .
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先由矩形性质得到 ，进而得到 ，再由折叠得到 ，得到 .
（2）先由勾股定理得到AC,进而得到 ，由 .
22．【答案】（1）解：∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF．
（2）解：∵BC2＝BF BA，
∴BC：BF＝BA：BC，
而∠ABC＝∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
由（1）知△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC，
∴DF：BC＝DG：BA，
∴DF AB＝BC DG．
（3）解：作AH∥BC交CF的延长线于H，如图：
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH＝2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴ ，
∴ ，
即2DF EG＝AF DG．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行线可证△BCF∽△DGF；
（2）证明△BAC∽△BCF，由（1）知△BCF∽△DGF，可得△DGF∽△BAC，利用相似三角形的对应边成比例即得结论；
（3）作AH∥BC交CF的延长线于H，可证AH∥DE，由点E为AC的中点，可得AH＝2EG，由AH∥DG，
可证△AHF∽△DGF，可得 ，然后利用等线段代换即可.
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