湘教版数学九年级上册同步训练《3.5 相似三角形的应用》
一、单选题
1．（2021·河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 （ ）
A． B． C． D．
2．（2021·招远模拟）小刚身高 ，测得他站立在阳光下的影子长为 ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·薛城模拟）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为 ，像距为 ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 ，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·梧州模拟）某校兴趣小组为了测量教学大楼的高度，用1.5m的竹竿作为测量工具.在阳光明媚的某天，该兴趣小组移动竹竿，使得竹竿顶端的影子与楼顶的影子在地面 处重合，如图，测得 ， ，则教学楼 的高是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·滕州期末）如图，阳光透过窗户洒落在地面上，已知窗户 高 ，光亮区的顶端距离墙角 ，光亮区的底端距离墙角 ，则窗户的底端距离地面的高度（ ）为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·海淀期末）如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（ ）
A．5m B．7m C．7.5m D．21m
7．（2021九上·巩义期末）如图，在三角形纸片中， ， ， .将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
8．（2020九上·重庆月考）如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着 的方向行走4.5米至点F，此时影子 为1米，则路灯BM的高度为（ ）
A．3米 B．3.5米 C．4.5米 D．6米
9．（2020九上·成都月考）如图，锐角三角形 ，边 ，高 ，其内接的正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在 ， 上，则正方形的边长 为（ ）
A．2.6 B．2.4 C．3 D．1.2
10．（2020·西城模拟）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1m的竹竿落在地面上的影长为0.9m，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（ ）
A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m
二、填空题
11．（2021·乾安模拟）如图，已知李明的身高为1.8m，他在路灯下的影长为2m，李明距路灯杆底部为3m，则路灯灯泡距地面的高度为 m；
12．（2021·闵行模拟）《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形 ，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线 与边 相交于点F，如果测得 米，那么塔与树的距离 为 米．
13．（2021·杨浦模拟）如图，已知在 中， ， ， ，正方形 的顶点G、F分别在边 、 上，点D、E在斜边 上，那么正方形 的边长为 ．
14．（2021九上·成都期末）如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图.已知桌面的半径为0.8m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为 m2（结果保留 .
15．（2020九上·上海月考）如图， 是 内一点，过点 分别作直线平行于 各边，形成三个小三角形面积分别为 ，则
16．（2020九上·萍乡期末）如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，BE=3m，那么这棵树CD的高为 m．
三、解答题
17．（2021九上·富平期末）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38米，塔的顶端为点A，且 ，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D， ，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得 米.已知标杆 米，求该塔的高度AB.
18．（2021九上·西林期末）身高1.6米的张军同学在某一时刻测得自己的影长为1.4米，此刻她想测量学校旗杆的高度，但当她马上测量旗杆的影长时，发现因旗杆靠近一幢建筑物，影子一部分落在地面上，一部分落在墙上（如图），他先测得留在墙上的影子 米，又测地面部分的影长 米，你能根据上述数据帮张军同学测出旗杆的高度吗？
19．（2020九上·玉屏月考）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD=180米，DC=60米，EC=50米，你能知道小河的宽是多少吗？
20．（2020九上·莲湖月考）如图，花丛中一根灯杆 上有一盏路灯 ，灯光下，小明在 点处的影长 米，沿 方向走到点 ， 米，这时小明的影长 米，如果小明的身高为1.7米，求路灯 离地面的高度.
21．如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m，标杆FC=2.2m，且BC=1m，CD=5m，标杆FC、ED垂直于地面．求电视塔的高ED．
22．（2020九上·丹东月考）如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片.AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm.从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH.使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上.AD与HG的交点为M.
（1）求证： ；
（2）求这个矩形EFGH的周长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴ ，
∴ （cm），
故答案为：C．
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质可得结果。相似三角形对应边、对应高、对应线、对应角平分线的比、周长之比都是等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 ，列方程得：
，
解得 ，
，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 ．
故答案为：B．
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，根据等量关系列方程。
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则
，x=4，
即蜡烛火焰的高度为4cm，
故答案为：B．
【分析】根据物距为 ，像距为 ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 ，列方程求解即可。
4．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵OD=3，BD=33，
∴OB=OD+BD=36，
由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，
∴△OCD∽△OAB，
∴ ， ，解得：
即教学楼 的高是18m
故答案为：A
【分析】利用相似三角形的性质可得出比例即可求出教学楼 的高.
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AE∥BD
∴ ∽
∴
∵ ， ，
∴
解得：
经检验 是分式方程的解．
故答案为：A．
【分析】根据光沿直线传播的原理可知：AE//BD，则 ∽ ，根据相似三角形的对应边成比例即可解答。
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图；
AD=6m，AB=21m，DE=2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即 ，
解得：BC=7m，
故树的高度为7m．
故答案为：A．
【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理对各项逐一判定即可.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由图可知：CD⊥AB，MB⊥AB
∴CD∥MB
∴△ACD∽△AMB，
∴
同理可得：
由题意知：CD＝EF＝1.5，AD＝2.5，DF＝4.5，NF＝1
∴
设BF＝x，则
解得：
∴
∴BM＝6
故答案为：D
【分析】由题意可得CD∥MB，根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”可得△ACD∽△AMB，于是可得比例式，同理可得，结合已知的线段计算可得，设BF＝x，根据比例式可得关于x的方程，解之可求得x的值，于是BM的值可求解.
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，EG⊥BC，
∵ ， ，
∴KD=EG，
设 ，则 ，
，
，
，即 ，解得： ．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质可得 ， ，根据平行线间的距离处处相等可得KD=EG，易证 ，设 ，根据相似三角形的性质可得关于a的方程，解方程即得答案．
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：延长AC交BD延长线于点E，
根据物高与影长成正比得： ，
∵CD=1，
∴
解得：DE=0.9，
则BE=2.7+0.9=3.6米，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，
即 ，
解得：AB=4，即树AB的高度为4米，
故答案为：C．
【分析】先利用平行投影的性质求出DE的长，再利用证出△ABE∽△CDE，利用相似三角形的性质求解即可。
11．【答案】4.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】试题解析：如图：
∵CD∥AB，∴△ECD∽△EBA，∴CD：AB=CE：BE，∴1.8：AB=2：5，∴AB=4.5m．答：路灯灯泡距地面的高度为4.5m．
【分析】先证明△ECD∽△EBA，再利用相似三角形的性质计算求解即可。
12．【答案】25
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵四边形ABCD为正方形，边长为10米，
∴AD=CD=BC=10，FD=CD-CF=6，
∵AD∥BC，且A，D，E三点在一条直线上，
∴AE∥BC，
∴△FDE∽△FCB，
∴ ，
即： ，
∴ED=15，
∴AE=AD+ED=25米，
故答案为：25．
【分析】根据题意可以利用正方形的性质求出FD，并且得到△FDE∽△FCB，从而运用相似三角形的性质求解ED，即可得出结论．
13．【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10， ，
∴设BC＝k，则AC＝2k，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k）2＋k2，解得：k＝2 ，
∴BC＝2 ，AC＝4 ，
∴CM＝ ＝ ＝4，
∵正方形DEFG内接于△ABC，
∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴ ，即 ，
解得：EF＝ ；
故答案为： ．
【分析】作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理可得出AB，由面积法求出CM，证明△CGF∽△CAB，再根据对应边成比例，即可得出答案．
14．【答案】1.44π
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得，OB=0.8m，OQ=OP-PQ=3-1=2（m），BQ∥AP，
∴△OBQ∽△OAP，
∴ ，即 ，
解得，AP=1.2（m），
则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π（m2），
故答案为：1.44π.
【分析】证明△OBQ∽△OAP，根据相似三角形的性质求出AP，根据圆的面积公式计算，得到答案.
15．【答案】108
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H，
∵DE//BC，IG//AB，FH//AC，
∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形，
△FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC，
∵ ，
∴FP：IE：PH=1：2：3，
∴AI：IE：EC=1：2：3，
∴AI：IE：EC：AB=1：2：3：6，
S△ABC：S△FDP=36：1，
∴S△ABC=36×3=108．
故答案为:108．
【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．
16．【答案】5.1．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可知：BE=3m，DE=9m，△ABE∽△CDE，则 ，即 ，解得：CD=5.1m.
【分析】分析题意证明△ABE∽△CDE，根据相似三角形的对应边成比例进行求解.
17．【答案】解：∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得： （米）.
答：该塔的高度 为44米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先由相似的判定方法得到 ，再由相似的性质得到 ，最终得到AB的值.
18．【答案】解：过点 作 交 于点 .
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ 米，
又在平行投影中，同一时刻物长与影长成比例，
∴ ，
即 ，
∴ 米
答：旗杆 的高度为5.2米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 过点 作 交 于点 , 先由平行四边形的性质求出AE，然后根据在平行投影中，同一时刻物长与影长成比例，据此列式求出BE，最后由线段的和差关系即可得出AB的长.
19．【答案】解：∵∠ABD=∠DCE=90°，∠ADB=∠CDE
∴△ABD∽△ECD
∴
∵EC=50，BD=180， DC=60
∴
解得AB=150
答：小河的宽是150米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由对顶角相等可得∠ADB=∠CDE，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABD∽△ECD，然后根据相似三角形的性质可得比例式，把已知的线段代入比例式可得关于AB的方程，解方程可求解.
20．【答案】解：∵CD∥AB，
∴△EAB∽△ECD，
∴ ，即 ①，
∵FG∥AB，
∴△HFG∽△HAB，
∴ ，即 ②，
由①②得 ，解得BD=15，
∴ ，
解得AB=10.2.
答：路灯A离地面的高度为10.2m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由CD∥AB可证得△EAB∽△ECD，利用相似三角形的性质可得对应边成比例，就可得到关于AB，BD的方程；再由FG∥AB可证得△HFG∽△HAB，利用相似三角形的对应边成比例就可得到关于AB，BD的方程，然后解方程组可求出BD，AB的长.
21．【答案】【解答】解：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH=BD，AG=BC，
∵AB=1.6，FC=2.2，BC=1，CD=5，
∴FG=2.2﹣1.6=0.6，BD=6，
∵FG∥EH，
∴，
解得：EH=3.6，
∴ED=3.6+1.6=5.2（m）
答：电视塔的高ED是5.2米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】作AH⊥ED交FC于点G；把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
22．【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴ ；
（2）解：由（1） 得：设HE=xcm，则MD=HE=xcm.
∵AD=30cm，
∴AM=（30﹣x）cm.
∵HG=2HE，
∴HG=（2x）cm，
可得： ，
解得：x=12，
故HG=2x=24，
所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）.
答：矩形EFGH的周长为72cm.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，可得∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例即证；
（2）利用（1）中结论求出HE=12，从而可得HG=2HE=24， 利用矩形的周长公式进行计算即可.
1 / 1湘教版数学九年级上册同步训练《3.5 相似三角形的应用》
一、单选题
1．（2021·河北）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴ ，
∴ （cm），
故答案为：C．
【分析】高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质可得结果。相似三角形对应边、对应高、对应线、对应角平分线的比、周长之比都是等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
2．（2021·招远模拟）小刚身高 ，测得他站立在阳光下的影子长为 ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 ，列方程得：
，
解得 ，
，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 ．
故答案为：B．
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，根据等量关系列方程。
3．（2021·薛城模拟）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为 ，像距为 ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 ，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为xcm，则
，x=4，
即蜡烛火焰的高度为4cm，
故答案为：B．
【分析】根据物距为 ，像距为 ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 ，列方程求解即可。
4．（2021·梧州模拟）某校兴趣小组为了测量教学大楼的高度，用1.5m的竹竿作为测量工具.在阳光明媚的某天，该兴趣小组移动竹竿，使得竹竿顶端的影子与楼顶的影子在地面 处重合，如图，测得 ， ，则教学楼 的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵OD=3，BD=33，
∴OB=OD+BD=36，
由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，
∴△OCD∽△OAB，
∴ ， ，解得：
即教学楼 的高是18m
故答案为：A
【分析】利用相似三角形的性质可得出比例即可求出教学楼 的高.
5．（2020九上·滕州期末）如图，阳光透过窗户洒落在地面上，已知窗户 高 ，光亮区的顶端距离墙角 ，光亮区的底端距离墙角 ，则窗户的底端距离地面的高度（ ）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵AE∥BD
∴ ∽
∴
∵ ， ，
∴
解得：
经检验 是分式方程的解．
故答案为：A．
【分析】根据光沿直线传播的原理可知：AE//BD，则 ∽ ，根据相似三角形的对应边成比例即可解答。
6．（2020九上·海淀期末）如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6m，与树距15m，那么这颗树的高度为（ ）
A．5m B．7m C．7.5m D．21m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图；
AD=6m，AB=21m，DE=2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即 ，
解得：BC=7m，
故树的高度为7m．
故答案为：A．
【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质列出比例式求解即可。
7．（2021九上·巩义期末）如图，在三角形纸片中， ， ， .将 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似.
故答案为：B.
【分析】根据相似三角形的判定定理对各项逐一判定即可.
8．（2020九上·重庆月考）如图，身高1.5米的小西站在点D处，此时路灯M照射的影子AD为2.5米，小西沿着 的方向行走4.5米至点F，此时影子 为1米，则路灯BM的高度为（ ）
A．3米 B．3.5米 C．4.5米 D．6米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由图可知：CD⊥AB，MB⊥AB
∴CD∥MB
∴△ACD∽△AMB，
∴
同理可得：
由题意知：CD＝EF＝1.5，AD＝2.5，DF＝4.5，NF＝1
∴
设BF＝x，则
解得：
∴
∴BM＝6
故答案为：D
【分析】由题意可得CD∥MB，根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似”可得△ACD∽△AMB，于是可得比例式，同理可得，结合已知的线段计算可得，设BF＝x，根据比例式可得关于x的方程，解之可求得x的值，于是BM的值可求解.
9．（2020九上·成都月考）如图，锐角三角形 ，边 ，高 ，其内接的正方形的一边在 上，其余两个顶点分别在 ， 上，则正方形的边长 为（ ）
A．2.6 B．2.4 C．3 D．1.2
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解： 四边形 是正方形，
， ，EG⊥BC，
∵ ， ，
∴KD=EG，
设 ，则 ，
，
，
，即 ，解得： ．
故答案为：B．
【分析】根据正方形的性质可得 ， ，根据平行线间的距离处处相等可得KD=EG，易证 ，设 ，根据相似三角形的性质可得关于a的方程，解方程即得答案．
10．（2020·西城模拟）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度，阳光下他测得长1m的竹竿落在地面上的影长为0.9m，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上，他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（ ）
A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：延长AC交BD延长线于点E，
根据物高与影长成正比得： ，
∵CD=1，
∴
解得：DE=0.9，
则BE=2.7+0.9=3.6米，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴ ，
即 ，
解得：AB=4，即树AB的高度为4米，
故答案为：C．
【分析】先利用平行投影的性质求出DE的长，再利用证出△ABE∽△CDE，利用相似三角形的性质求解即可。
二、填空题
11．（2021·乾安模拟）如图，已知李明的身高为1.8m，他在路灯下的影长为2m，李明距路灯杆底部为3m，则路灯灯泡距地面的高度为 m；
【答案】4.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】试题解析：如图：
∵CD∥AB，∴△ECD∽△EBA，∴CD：AB=CE：BE，∴1.8：AB=2：5，∴AB=4.5m．答：路灯灯泡距地面的高度为4.5m．
【分析】先证明△ECD∽△EBA，再利用相似三角形的性质计算求解即可。
12．（2021·闵行模拟）《九章算术》中记载了一种测距的方法．如图，有座塔在河流北岸的点E处，一棵树位于河流南岸的点A处，从点A处开始，在河流南岸立4根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10米的正方形 ，且A，D，E三点在一条直线上，在标杆B处观察塔E，视线 与边 相交于点F，如果测得 米，那么塔与树的距离 为 米．
【答案】25
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵四边形ABCD为正方形，边长为10米，
∴AD=CD=BC=10，FD=CD-CF=6，
∵AD∥BC，且A，D，E三点在一条直线上，
∴AE∥BC，
∴△FDE∽△FCB，
∴ ，
即： ，
∴ED=15，
∴AE=AD+ED=25米，
故答案为：25．
【分析】根据题意可以利用正方形的性质求出FD，并且得到△FDE∽△FCB，从而运用相似三角形的性质求解ED，即可得出结论．
13．（2021·杨浦模拟）如图，已知在 中， ， ， ，正方形 的顶点G、F分别在边 、 上，点D、E在斜边 上，那么正方形 的边长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10， ，
∴设BC＝k，则AC＝2k，AB2＝AC2＋BC2，即：102＝（2k）2＋k2，解得：k＝2 ，
∴BC＝2 ，AC＝4 ，
∴CM＝ ＝ ＝4，
∵正方形DEFG内接于△ABC，
∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴ ，即 ，
解得：EF＝ ；
故答案为： ．
【分析】作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理可得出AB，由面积法求出CM，证明△CGF∽△CAB，再根据对应边成比例，即可得出答案．
14．（2021九上·成都期末）如图所示是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图.已知桌面的半径为0.8m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为 m2（结果保留 .
【答案】1.44π
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
由题意得，OB=0.8m，OQ=OP-PQ=3-1=2（m），BQ∥AP，
∴△OBQ∽△OAP，
∴ ，即 ，
解得，AP=1.2（m），
则地面上阴影部分的面积=π×1.22=1.44π（m2），
故答案为：1.44π.
【分析】证明△OBQ∽△OAP，根据相似三角形的性质求出AP，根据圆的面积公式计算，得到答案.
15．（2020九上·上海月考）如图， 是 内一点，过点 分别作直线平行于 各边，形成三个小三角形面积分别为 ，则
【答案】108
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过P作BC的平行线交AB、AC于点D、E，过P作AB的平行线交AB于点I、G，过P作AC的平行线交AC于点F、H，
∵DE//BC，IG//AB，FH//AC，
∴四边形AFPI、四边形PHCE、四边形DBGP均为平行四边形，
△FDP∽△IPE∽△PGH∽△ABC，
∵ ，
∴FP：IE：PH=1：2：3，
∴AI：IE：EC=1：2：3，
∴AI：IE：EC：AB=1：2：3：6，
S△ABC：S△FDP=36：1，
∴S△ABC=36×3=108．
故答案为:108．
【分析】根据平行可得三个三角形相似，再由它们的面积比得出相似比，再求出最小三角形的边与最大三角形边的比，从而得到它们的面积的比，求出结果即可．
16．（2020九上·萍乡期末）如图，身高为1.7m的小明AB站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．如果小河BD的宽度为12m，BE=3m，那么这棵树CD的高为 m．
【答案】5.1．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】根据题意可知：BE=3m，DE=9m，△ABE∽△CDE，则 ，即 ，解得：CD=5.1m.
【分析】分析题意证明△ABE∽△CDE，根据相似三角形的对应边成比例进行求解.
三、解答题
17．（2021九上·富平期末）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.数学活动小组的同学对该塔进行了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38米，塔的顶端为点A，且 ，在点E处竖直放一根标杆，其顶端为D， ，在BE的延长线上找一点C，使C，D，A三点在同一直线上，测得 米.已知标杆 米，求该塔的高度AB.
【答案】解：∵ ， ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
解得： （米）.
答：该塔的高度 为44米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先由相似的判定方法得到 ，再由相似的性质得到 ，最终得到AB的值.
18．（2021九上·西林期末）身高1.6米的张军同学在某一时刻测得自己的影长为1.4米，此刻她想测量学校旗杆的高度，但当她马上测量旗杆的影长时，发现因旗杆靠近一幢建筑物，影子一部分落在地面上，一部分落在墙上（如图），他先测得留在墙上的影子 米，又测地面部分的影长 米，你能根据上述数据帮张军同学测出旗杆的高度吗？
【答案】解：过点 作 交 于点 .
∵ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ 米，
又在平行投影中，同一时刻物长与影长成比例，
∴ ，
即 ，
∴ 米
答：旗杆 的高度为5.2米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 过点 作 交 于点 , 先由平行四边形的性质求出AE，然后根据在平行投影中，同一时刻物长与影长成比例，据此列式求出BE，最后由线段的和差关系即可得出AB的长.
19．（2020九上·玉屏月考）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一点A，再在河的这一边选定点B和点C，使得AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，确定BC与AE的交点D，若测得BD=180米，DC=60米，EC=50米，你能知道小河的宽是多少吗？
【答案】解：∵∠ABD=∠DCE=90°，∠ADB=∠CDE
∴△ABD∽△ECD
∴
∵EC=50，BD=180， DC=60
∴
解得AB=150
答：小河的宽是150米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由对顶角相等可得∠ADB=∠CDE，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△ABD∽△ECD，然后根据相似三角形的性质可得比例式，把已知的线段代入比例式可得关于AB的方程，解方程可求解.
20．（2020九上·莲湖月考）如图，花丛中一根灯杆 上有一盏路灯 ，灯光下，小明在 点处的影长 米，沿 方向走到点 ， 米，这时小明的影长 米，如果小明的身高为1.7米，求路灯 离地面的高度.
【答案】解：∵CD∥AB，
∴△EAB∽△ECD，
∴ ，即 ①，
∵FG∥AB，
∴△HFG∽△HAB，
∴ ，即 ②，
由①②得 ，解得BD=15，
∴ ，
解得AB=10.2.
答：路灯A离地面的高度为10.2m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由CD∥AB可证得△EAB∽△ECD，利用相似三角形的性质可得对应边成比例，就可得到关于AB，BD的方程；再由FG∥AB可证得△HFG∽△HAB，利用相似三角形的对应边成比例就可得到关于AB，BD的方程，然后解方程组可求出BD，AB的长.
21．如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB=1.6m，标杆FC=2.2m，且BC=1m，CD=5m，标杆FC、ED垂直于地面．求电视塔的高ED．
【答案】【解答】解：作AH⊥ED交FC于点G；如图所示：
∵FC⊥BD，ED⊥BD，AH⊥ED交FC于点G，
∴FG∥EH，
∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC，
∴AH=BD，AG=BC，
∵AB=1.6，FC=2.2，BC=1，CD=5，
∴FG=2.2﹣1.6=0.6，BD=6，
∵FG∥EH，
∴，
解得：EH=3.6，
∴ED=3.6+1.6=5.2（m）
答：电视塔的高ED是5.2米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】作AH⊥ED交FC于点G；把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列出方程，解方程即可．
22．（2020九上·丹东月考）如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片.AD是边BC上的高，BC=40cm，AD=30cm.从这张硬纸片剪下一个长HG是宽HE的2倍的矩形EFGH.使它的一边EF在BC上，顶点G，H分别在AC，AB上.AD与HG的交点为M.
（1）求证： ；
（2）求这个矩形EFGH的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形EFGH为矩形，
∴EF∥GH，
∴∠AHG=∠ABC，
又∵∠HAG=∠BAC，
∴△AHG∽△ABC，
∴ ；
（2）解：由（1） 得：设HE=xcm，则MD=HE=xcm.
∵AD=30cm，
∴AM=（30﹣x）cm.
∵HG=2HE，
∴HG=（2x）cm，
可得： ，
解得：x=12，
故HG=2x=24，
所以矩形EFGH的周长为：2×（12+24）=72（cm）.
答：矩形EFGH的周长为72cm.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，可得∠AHG=∠ABC，再证明△AHG∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例即证；
（2）利用（1）中结论求出HE=12，从而可得HG=2HE=24， 利用矩形的周长公式进行计算即可.
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