湘教版数学九年级上册《第3章 图形的相似》单元测试A卷
一、单选题
1．（2019·青海）如图， ，直线 、 与这三条平行线分别交于点 、 、 和点 、 、 .已知 ， ， ，则 的长为（ ）
A．3.6 B．4.8 C．5 D．5，2
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： ，
，即 ，
，
，
故答案为：
【分析】利用平行线分线段成比例定理，得出对应线段成比例，就可求出EF的长，再根据DF=EF+DE，代入计算求出DF的长。
2．（2020·永州）如图，在 中， ，四边形 的面积为21，则 的面积是（ ）
A． B．25 C．35 D．63
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B．
【分析】在 中， ，即可判断 ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
3．（2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴
∴ 的值为 .
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答.
4．（2019·杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：A.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
故错误，A不符合题意；
B.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
故错误，B不符合题意；
C.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ = ，
故正确，C符合题意；
D.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ = ，
即 = ，
故错误，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线截线段成比例逐一分析即可判断对错，从而可得答案.
5．（2021·湘西）如图，在 中， ， 于点 ， ， ， ，则 的长是（ ）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】证明 ，可得，据此即可求出CD的长.
6．（2021·威海）如图，在 和 中， ， ， ．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
，
A不符合题意；
平分
，
B不符合题意；
即
，
C符合题意；
，
D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据题意即可得到∠DAC=∠EAB，继而证明△DAC≌△EAB，得到∠ADC=∠AEB，根据角平分线的性质以及平行线的性质，判断得到答案即可。
7．（2021·济宁）如图，已知 ．
⑴以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交 于点M，交 于点N．
⑵分别以M，N为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点P．
⑶作射线 交 于点D．
⑷分别以A，D为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
⑸作直线 ，交 ， 分别于点E，F．
依据以上作图，若 ， ， ，则 的长是（ ）
A． B．1 C． D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接
垂直平分
，
平分
同理可知
四边形 是平行四边形
又
平行四边形 是菱形
又
，
解得：
故答案为：C
【分析】利用作法得AD平分，EF垂直平分AD，所以，EA=ED，FA=FD，再证明四边形AEDF为菱形得到AE=AF=2，然后利用平行线分线段成比例计算CD即可。
8．（2020·贵港）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC=3， BD=2，且∠BCD=∠A，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠B=∠B，∠BCD=∠A
∴△BDC∽△BAC，
∴即
解之：
∴.
故答案为：B.
【分析】利用有两组对应角相等的两三角形全等，可证得△BDC∽△BAC，再利用相似三角形的对应边成比例，建立关于AB的方程，解方程求出AB的值，然后根据AD=AB-BD，可求出AD的长。
9．（2020·哈尔滨）如图，在 中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作 ，交AD于点F，过点E作 ，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△AEF∽△ACD，
∴ ，A不符合题意；
∴ ，
∵ ，
∴△CEG∽△CAB，
∴ ，
∴ ，B不符合题意； ，D不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，符合题意C．
故答案为：C．
【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
10．（2021·绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高 ，树影 ，树AB与路灯O的水平距离 ，则树的高度AB长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由题可知， ，根据相似三角形的性质列出比例式，再代入数据计算即可.
11．（2021·温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，点 ， 的对应点分别为点 ， .若 ，则 的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质，结合位似比为 ，AB=6，列比例式计算即可解答.
12．（2021·东营）如图， 中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点 的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：设点 的横坐标为 ，
则 、 间的横坐标的差为 ， 、 间的横坐标的差为 ，
放大到原来的 倍得到 ，
，
解得： .
故答案为：A.
【分析】设点 的横坐标为 ，根据数轴表示出BC、B'C的横坐标的距离，再根据位似比利时计算即可。
二、填空题
13．（2021·大庆）已知 ，则
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ，
故 ，
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再化简求值即可。
14．（2021·徐州）如图，在 中，点 分别在边 上，且 ， 与四边形 的面积的比为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∵∠B=∠B，
∴ ，
∴
∴ 与四边形 的面积的比= .
故答案是： .
【分析】证明 ，可得，据此即可求出结论.
15．（2021·阜新）如图，已知每个小方格的边长均为1，则 与 的周长比为 ．
【答案】2：1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，
设 、 分别与 交于点 、 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
由图可知： ，
∴ ，
即 与 的相似比为 ，
∴ 与 的周长比为
故答案为：2：1
【分析】根据题意可得AF∥DG，∠FAG=∠CDG，根据三角函数值求出∠BAF=∠EDG，继而得到∠BAG=∠CDE，即可得到AB∥DE，证明得到△ABC∽△DEC，分别求出AB，DE即可。
16．（2021·宿迁）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 .
【答案】
【知识点】比例线段；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
∵CD=2BD，CF=2AF，
∴ ，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴ ，∠CFD=∠CAB，
∴DF∥BA，
∴△DFE∽△ABE，
∴ ，
∴ ，
∵CF=2AF，
∴ ，
∴ ，
∵CD=2BD，
∴ ，
∴ ，
∵△ABC中，AB=4，BC=5，
∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为 ，
此时△AFE面积最大为 .
故答案为：
【分析】 连接DF，由 ，∠C=∠C，易得△CDF∽△CBA，可得∠CFD=∠CAB，即可得DF∥BA，即△DFE∽△ABE，可得 ，根据△AEF与△ADF同高，可得 ，同理可得 ， ，可得 ，当△ABC面积最大时， △AFE面积最大，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，可得结果.
17．（2021·吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 的竹竿 斜靠在石坝旁，量出竿上 长为 时，它离地面的高度 为 ，则坝高 为 ．
【答案】2.7
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过 作 于 ，则 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为：2.7
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
18．（2021·包头）如图，在 中， ，过点B作 ，垂足为B，且 ，连接CD，与AB相交于点M，过点M作 ，垂足为N．若 ，则MN的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵MN⊥BC，DB⊥BC，
∴AC∥MN∥DB，
∴ ，
∴
即 ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ，
故填： ．
【分析】先证明 ，再求出 ，最后计算求解即可。
三、解答题
19．（2020·凉山州）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
【答案】解：设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
20．（2021·玉林）如图，在 中，D在 上， ， .
（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值.
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据 可得 ，根据 可得 可得结果；
（2）由（1）可得 ， ，根据相似三角形面积比=相似比的平方可得 ，即可得结果.
21．（2021·黄冈）如图，在 和 中， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
【答案】（1）证明： ，
，即 ，
在 和 中， ，
（2）解：由（1）已证： ，
，
， ，
，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 的长为9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得∠ACB=∠DCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEC.
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出EC的长.
22．（2020·武汉）如图
（1）问题背景：如图（1），已知 ，求证： ；
（2）尝试应用：如图（2），在 和 中， ， ， 与 相交于点 .点 在 边上， ，求 的值；
（3）拓展创新：如图（3），D是 内一点， ， ， ， ，直接写出 的长.
【答案】（1）解：∵ ，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴ ；
（2）解：连接CE，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴ ，
∴ ，
由于 ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵
∴ ，
∴ ；
（3）解：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD， ，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴ ，
∴ ，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴ ，
∴ ，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）问题背景：通过 得到 ， ，再找到相等的角，从而可证 ；
（2）尝试应用：连接CE，通过 可以证得 ，得到 ，然后去证 ， ，通过对应边成比例即可得到答案；
（3）拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过 ， ，然后利用对应边成比例即可得到答案.
23．（2020·襄阳）在 中， ， .点D在边 上， 且 ， 交边 于点F，连接 .
（1）特例发现：如图1，当 时，①求证： ；②推断： ▲ .；
（2）探究证明：如图2，当 时，请探究 的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当 时，过点D作 的垂线，交 于点P，交 于点K，若 ，求 的长.
【答案】（1）证明：①
②90°
（2）证明： 为定值，
理由如下：
由（1）得：
（3）解： ，
设 则
，
解得：
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）②推断： 理由如下：
【分析】（1）①利用已知条件证明 即可得到结论，②先证明 利用相似三角形的性质再证明 结合相似三角形的性质可得答案；（2）由（1）中②的解题思路可得结论；（3）设 则 利用等腰直角三角形的性质分别表示： 由 表示 再证明 利用相似三角形的性质建立方程求解 ，即可得到答案.
24．（2021·贵港）已知在 ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF，连接AE，CF.
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长.
【答案】（1）AE=CF
（2）解：结论成立.
理由：如图2中，
， ，
，
，
，
， ，
，
.
（3）解：如图3中，
由旋转的性质可知 ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）结论： .
理由：如图1中，
， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
.
【分析】（1）证明 ，可得 .
（2）成立，理由：同（1）可证；
（3） 由旋转的性质及已知可得，从而可得AD=10，证明 ，可得，据此求出AE，利用股股定理即可求出DE.
1 / 1湘教版数学九年级上册《第3章 图形的相似》单元测试A卷
一、单选题
1．（2019·青海）如图， ，直线 、 与这三条平行线分别交于点 、 、 和点 、 、 .已知 ， ， ，则 的长为（ ）
A．3.6 B．4.8 C．5 D．5，2
2．（2020·永州）如图，在 中， ，四边形 的面积为21，则 的面积是（ ）
A． B．25 C．35 D．63
3．（2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ＝ ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019·杭州）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B、C重合），连接AM交DE于点N，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·湘西）如图，在 中， ， 于点 ， ， ， ，则 的长是（ ）
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
6．（2021·威海）如图，在 和 中， ， ， ．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·济宁）如图，已知 ．
⑴以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交 于点M，交 于点N．
⑵分别以M，N为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 的内部相交于点P．
⑶作射线 交 于点D．
⑷分别以A，D为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．
⑸作直线 ，交 ， 分别于点E，F．
依据以上作图，若 ， ， ，则 的长是（ ）
A． B．1 C． D．4
8．（2020·贵港）如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC=3， BD=2，且∠BCD=∠A，则线段AD的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．（2020·哈尔滨）如图，在 中，点D在BC上，连接AD，点E在AC上，过点E作 ，交AD于点F，过点E作 ，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·绍兴）如图，树AB在路灯O的照射下形成投影AC，已知路灯高 ，树影 ，树AB与路灯O的水平距离 ，则树的高度AB长是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，点 ， 的对应点分别为点 ， .若 ，则 的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．15
12．（2021·东营）如图， 中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点 的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．（2021·大庆）已知 ，则
14．（2021·徐州）如图，在 中，点 分别在边 上，且 ， 与四边形 的面积的比为 .
15．（2021·阜新）如图，已知每个小方格的边长均为1，则 与 的周长比为 ．
16．（2021·宿迁）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、E分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 .
17．（2021·吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 的竹竿 斜靠在石坝旁，量出竿上 长为 时，它离地面的高度 为 ，则坝高 为 ．
18．（2021·包头）如图，在 中， ，过点B作 ，垂足为B，且 ，连接CD，与AB相交于点M，过点M作 ，垂足为N．若 ，则MN的长为 ．
三、解答题
19．（2020·凉山州）如图，△ABC是一块锐角三角形的材料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少mm．
20．（2021·玉林）如图，在 中，D在 上， ， .
（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值.
21．（2021·黄冈）如图，在 和 中， ， .
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长.
22．（2020·武汉）如图
（1）问题背景：如图（1），已知 ，求证： ；
（2）尝试应用：如图（2），在 和 中， ， ， 与 相交于点 .点 在 边上， ，求 的值；
（3）拓展创新：如图（3），D是 内一点， ， ， ， ，直接写出 的长.
23．（2020·襄阳）在 中， ， .点D在边 上， 且 ， 交边 于点F，连接 .
（1）特例发现：如图1，当 时，①求证： ；②推断： ▲ .；
（2）探究证明：如图2，当 时，请探究 的度数是否为定值，并说明理由；
（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当 时，过点D作 的垂线，交 于点P，交 于点K，若 ，求 的长.
24．（2021·贵港）已知在 ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将 AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到 EOF，连接AE，CF.
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解： ，
，即 ，
，
，
故答案为：
【分析】利用平行线分线段成比例定理，得出对应线段成比例，就可求出EF的长，再根据DF=EF+DE，代入计算求出DF的长。
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：B．
【分析】在 中， ，即可判断 ，然后由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出结果．
3．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//AB，
∴
∴ 的值为 .
故答案为：A.
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答.
4．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：A.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
故错误，A不符合题意；
B.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ≠ ，
∴ ≠ ，
故错误，B不符合题意；
C.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ = ，
故正确，C符合题意；
D.∵DE∥BC，
∴ ， ，
∴ = ，
即 = ，
故错误，D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线截线段成比例逐一分析即可判断对错，从而可得答案.
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】证明 ，可得，据此即可求出CD的长.
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
，
A不符合题意；
平分
，
B不符合题意；
即
，
C符合题意；
，
D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据题意即可得到∠DAC=∠EAB，继而证明△DAC≌△EAB，得到∠ADC=∠AEB，根据角平分线的性质以及平行线的性质，判断得到答案即可。
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接
垂直平分
，
平分
同理可知
四边形 是平行四边形
又
平行四边形 是菱形
又
，
解得：
故答案为：C
【分析】利用作法得AD平分，EF垂直平分AD，所以，EA=ED，FA=FD，再证明四边形AEDF为菱形得到AE=AF=2，然后利用平行线分线段成比例计算CD即可。
8．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠B=∠B，∠BCD=∠A
∴△BDC∽△BAC，
∴即
解之：
∴.
故答案为：B.
【分析】利用有两组对应角相等的两三角形全等，可证得△BDC∽△BAC，再利用相似三角形的对应边成比例，建立关于AB的方程，解方程求出AB的值，然后根据AD=AB-BD，可求出AD的长。
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△AEF∽△ACD，
∴ ，A不符合题意；
∴ ，
∵ ，
∴△CEG∽△CAB，
∴ ，
∴ ，B不符合题意； ，D不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，符合题意C．
故答案为：C．
【分析】根据由平行线易得△AEF∽△ACD，△CEG∽△CAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可．
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题可知， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：A.
【分析】由题可知， ，根据相似三角形的性质列出比例式，再代入数据计算即可.
11．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵图形甲与图形乙是位似图形， 是位似中心，位似比为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为：B.
【分析】根据位似图形的性质，结合位似比为 ，AB=6，列比例式计算即可解答.
12．【答案】A
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：设点 的横坐标为 ，
则 、 间的横坐标的差为 ， 、 间的横坐标的差为 ，
放大到原来的 倍得到 ，
，
解得： .
故答案为：A.
【分析】设点 的横坐标为 ，根据数轴表示出BC、B'C的横坐标的距离，再根据位似比利时计算即可。
13．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：设 ，
则 ，
故 ，
故答案为： ．
【分析】先求出 ，再化简求值即可。
14．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴
∴
∵∠B=∠B，
∴ ，
∴
∴ 与四边形 的面积的比= .
故答案是： .
【分析】证明 ，可得，据此即可求出结论.
15．【答案】2：1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】如图，
设 、 分别与 交于点 、 ，则 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
由图可知： ，
∴ ，
即 与 的相似比为 ，
∴ 与 的周长比为
故答案为：2：1
【分析】根据题意可得AF∥DG，∠FAG=∠CDG，根据三角函数值求出∠BAF=∠EDG，继而得到∠BAG=∠CDE，即可得到AB∥DE，证明得到△ABC∽△DEC，分别求出AB，DE即可。
16．【答案】
【知识点】比例线段；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，连接DF，
∵CD=2BD，CF=2AF，
∴ ，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴ ，∠CFD=∠CAB，
∴DF∥BA，
∴△DFE∽△ABE，
∴ ，
∴ ，
∵CF=2AF，
∴ ，
∴ ，
∵CD=2BD，
∴ ，
∴ ，
∵△ABC中，AB=4，BC=5，
∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为 ，
此时△AFE面积最大为 .
故答案为：
【分析】 连接DF，由 ，∠C=∠C，易得△CDF∽△CBA，可得∠CFD=∠CAB，即可得DF∥BA，即△DFE∽△ABE，可得 ，根据△AEF与△ADF同高，可得 ，同理可得 ， ，可得 ，当△ABC面积最大时， △AFE面积最大，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，可得结果.
17．【答案】2.7
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过 作 于 ，则 ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为：2.7
【分析】先求出，再求出，最后求解即可。
18．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵MN⊥BC，DB⊥BC，
∴AC∥MN∥DB，
∴ ，
∴
即 ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ，
故填： ．
【分析】先证明 ，再求出 ，最后计算求解即可。
19．【答案】解：设正方形的边长为x mm，
则AI＝AD﹣x＝80﹣x，
∵EFHG是正方形，
∴EF∥GH，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得x＝48 mm，
∴这个正方形零件的边长是48mm．
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【分析】设正方形的边长为x，表示出AI的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
20．【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据 可得 ，根据 可得 可得结果；
（2）由（1）可得 ， ，根据相似三角形面积比=相似比的平方可得 ，即可得结果.
21．【答案】（1）证明： ，
，即 ，
在 和 中， ，
（2）解：由（1）已证： ，
，
， ，
，
解得 或 （不符题意，舍去），
则 的长为9
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用已知条件可证得∠ACB=∠DCE，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△DEC.
（2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出EC的长.
22．【答案】（1）解：∵ ，
∴∠BAC=∠DAE， ，
∴∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴ ；
（2）解：连接CE，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵∠BAD+∠DAC=CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴ ，
∴ ，
由于 ， ，
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵
∴ ，
∴ ；
（3）解：
如图，在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，
∵∠ADE=∠BAD+∠ABD，∠ABC=∠ABD+∠CBD， ，
∴∠ADE=∠ABC，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴ ，
∴ ，
又∵∠DAE=∠BAC，
∴∠BAD=∠CAE，
∴ ，
∴ ，
设CD=x，在直角三角形BCD中，由于∠CBD=30°，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）问题背景：通过 得到 ， ，再找到相等的角，从而可证 ；
（2）尝试应用：连接CE，通过 可以证得 ，得到 ，然后去证 ， ，通过对应边成比例即可得到答案；
（3）拓展创新：在AD的右侧作∠DAE=∠BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过 ， ，然后利用对应边成比例即可得到答案.
23．【答案】（1）证明：①
②90°
（2）证明： 为定值，
理由如下：
由（1）得：
（3）解： ，
设 则
，
解得：
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）②推断： 理由如下：
【分析】（1）①利用已知条件证明 即可得到结论，②先证明 利用相似三角形的性质再证明 结合相似三角形的性质可得答案；（2）由（1）中②的解题思路可得结论；（3）设 则 利用等腰直角三角形的性质分别表示： 由 表示 再证明 利用相似三角形的性质建立方程求解 ，即可得到答案.
24．【答案】（1）AE=CF
（2）解：结论成立.
理由：如图2中，
， ，
，
，
，
， ，
，
.
（3）解：如图3中，
由旋转的性质可知 ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1）结论： .
理由：如图1中，
， ， ，
， ，
，
，
， ，
，
.
【分析】（1）证明 ，可得 .
（2）成立，理由：同（1）可证；
（3） 由旋转的性质及已知可得，从而可得AD=10，证明 ，可得，据此求出AE，利用股股定理即可求出DE.
1 / 1
