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湘教版数学九年级上册《 第3章 图形的相似》单元测试B卷
一、单选题
1．（2021·顺城模拟）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由题意可得a=0.75b，
代入a+b=14可得：1.75b=14，
∴b=8，
∴a=8×0.75=6，
∴2a-b=2×6-8=4，
故答案为：B．
【分析】由题意可得a、b的值，从而得到2a-b的值．
2．（2021九下·东坡开学考）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．3cm，6cm，0.2dm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cm D．12cm，8cm，15cm，10cm
【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵ 2：3≠4：5，
∴这四条线段不成比例，故A不符合题意；
B、∵3:0.2≠6:5，
∴这四条线段不成比例，故B不符合题意；
∵ 2：4≠6：8，
∴这四条线段不成比例，故C不符合题意；
∵ 8：10=4：5，12：15=4:5
∴8：10=12：15
∴这四条线段不成比例，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别求出各选项中较小的两条线段之比及较大的两条线段之比，若线段，则是成比例的线段，由此可得答案.
3．（2021·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为：A.
【分析】设，先证 ，再证 ，可得 ，由，可得，根据平行线分线段成比例可得 ，可得， ，利用三角形的面积公式即可结论.
4．（2021·牡丹江）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y 相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
∵D点在双曲线y 上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴ ，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵双曲线y 在第二象限，
∴k=-16，
故答案为：D．
【分析】由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求出的面积，由反比例函数的性质可求解。
5．（2021·道外模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△ABF∽△EDF
∴ ，
∴选项A不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF
∴
∴选项B符合题意；
∵
∴ ，即
∴选项C不符合题意；
∵
∴
∴选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的性质与判定对每个选项一一判断求解即可。
6．（2021·香坊模拟）如图， 、 交于 点， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ，
，
，故A不符合题意，
，
， ，
，故B不符合题意，
， ，
， ，
，故C符合题意，
，
， ，
，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先求出△AEO△ABC，再根据 和相似三角形的性质对每个选项一一判断即可。
7．（2021·桥东模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形 与矩形 是以点 为位似中心的位似图形，点 的坐标为 ，若 ，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．6
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点 的坐标为 ，
∴ ， ．
，
∴ ，
∵矩形 与矩形 位似，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
8．（2021·雅安）如图，将 沿 边向右平移得到 ， 交 于点G.若 . .则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，可证△CEG∽△ADG，可得，由BC：EC=3：1可求出BE：EC=2：1，即得AD：EC=2：1，利用面积比即可求出结论.
9．（2021·百色）下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.其中真命题有（ ）
A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】平行线的判定；正方形的判定；轴对称图形；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：①直径是圆的对称轴，直径为线段，对称轴为直线，应该是直径所在的直线是圆的对称轴，为假命题；
②若两个相似四边形的相似比是1：3，面积比是1：9，而不是1：6，为假命题；
③根据平行和垂直的有关性质，可以判定为真命题；
④根据正方形的判定方法，可以判定为真命题；
故答案为：C.
【分析】利用直径所在的直线是圆的对称轴，可对①作出判断；利用相似多边形的性质，可对②作出判断； 同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 可对③作出判断；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，可对④作出判断；综上所述可得到是真命题的序号.
10．（2021·绍兴）如图， 中， ， ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 ，连结CE，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵在 中，点D是边BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
∴在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，结合平行线的性质推出∠ADE=∠CDE，再利用边角边定理证明△ADE≌△CDE，得出AE=CE，然后证明△ABD∽△ADE，列出比例式 , 结合cosB=, 则知 ，从而得出结果.
11．（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，将 以原点O为位似中心放大后得到 ，若 ， ，则 与 的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
△OAB 与△OCD的相似比等于 ；
故答案为：D.
【分析】利用点B，D的坐标可求出OB，OD的长，利用相似三角形的性质可求出两三角形的相似比.
12．（2021·鹤岗）如图，平行四边形 的对角线 、 相交于点E，点O为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点D，交 于点G，连接 、 ，若平行四边形 的面积为48，则 的面积为（ ）
A．5.5 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，AE=EF， ，
∵平行四边形 的面积为48，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 同高不同底，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，可得BE=CE，即点E为BC的中点，由于O点为AC的中点，即OE为三角形ABC的中位线，可得OE//AB，且，利用OE//AB可得，利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比可得， 和 同高不同底，得出 ，
二、填空题
13．（2021九上·玄武期末）若 ，则 .
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】 由，可得，然后代入原式计算即得.
14．（2021九上·中宁期末）若 ， ， ， 是成比例线段，其中 ， ， ，则线段 .
【答案】5
【知识点】比例线段
【解析】【解答】 ， ， ， 是成比例线段，
故答案为： .
【分析】利用成比例线段的性质可得比例式，然后将a，b，c的值代入计算求出d的长.
15．（2021·百色）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点.若AC＝2，则BD＝ .
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=72°
∴∠ACB=∠B=72°
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°
∵CD是∠CAB的角平分线
∴∠ACD=∠BCD=
∴∠A=∠ACD
∴AD=CD
在△ABC与△CBD中
∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴∠CDB=72°
∴∠CDB=∠B=72°
∴AD=CD=BC
∴
即
∴D点为AB的黄金分割点
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴CD>BD（大角对大边）
∴AD>BD
∵D是AB的黄金分割点，AD>BD
∴
∴
故答案为： .
【分析】利用三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，可求出∠A的度数，利用角平分线的定义可得到∠ACD，∠BCD的度数，利用等腰三角形的判定和性质，可得到AD=CD；再证明△ABC∽△CBD；然后证明AD=CD=BC，可推出AD2=BD·AB，根据AD>BD，利用D是AB的黄金分割点，可求出AD的长，由此可求出BD的长.
16．（2021·牡丹江）如图，矩形ABCD中，ADAB，点E在BC边上，且AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：①AF=DC，②OF：BF=CE：CG，③S△BCGS△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是 ．
【答案】①②
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】∵AEAD，AD AB，
∴AEAB．
在Rt△ABE中，∠ABE=90°，cos∠BAE= ，
∴cos∠BAE= ．
∴∠BAE=45°，即△ABE是等腰直角三角形．
∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠DAF=45°．
∵DF⊥AE，
∴∠ADF=45°，即△ADF是等腰直角三角形．
∴ADAF．
∴AF=AB．
∵在矩形ABCD中，AB=CD，
∴AF=CD ．故①符合题意；
又∵AF=AB，∠BAE=45°，
∴∠ABF=67.5°．
∴∠CBG=22.5°．
又∵AE=AD，∠DAE=45°，
∴∠ADE=67.5°．
∴∠CDE=22.5°．
∴∠CBG=∠CDE．
∵∠C=∠C，
∴△DCE∽△BCG．
∴ ．
∵在矩形ABCD中，BC=ADCD，
∴ ．
在△ABF和△ADE中．∠BAF=∠DAE=45°，AFAB ，AEAD ，
∴△ABF∽△ADE．
∴ ．
在△ABF和△OEF中，∠OEF＝∠ADE＝67.5°＝∠ABF，
∵∠AFB=∠OFE，∠AFB=∠ABF，
∴△ABF∽△OEF，∠OEF=∠OFE．
∴OE＝OF，∠EOF=45°．
又∵∠EOF=∠DFO+∠ODF =45°，∠ODF=∠ADE-∠ADF=22.5°，
∴∠ODF =∠DFO．
∴OFOD．
∴OEOFODDE．
∴ ．故②符合题意；
在△BEF和△FDG中， BE =FD，∠EBF=∠DFG ，∠BEF =∠FDG=∠ADC-∠ADF=45°，
∴△BEF≌△FDG．
连接CF．
又∵BC=ADADBE，
∴ ．故③不符合题意；
∵△ABF∽△ADE，△ABF∽△OEF，
∴△ADE∽△OEF．
在△BEF和△BOE中， ∠BEF ∠BOE 45°，∠EBF ∠OBE，
∴△BEF∽△BOE．
在△BOE和△DOG中， ∠ODG ∠OBE，∠BOE ∠DOG，
∴△BOE∽△DOG．
∴△BEF∽△DOG．
又∵△DCE∽△BCG，
∴图形中相似三角形超过6对，故④不符合题意．
综上，正确的结论是①②．
故答案为：①②．
【分析】得出△ABE是等腰直角三角形和△ADF是等腰直角三角形，AF=CD ．故①符合题意；得出△DCE∽△BCG，即可得出 ．故②符合题意；得出△BEF≌△FDG，连接CF，因为BC=ADADBE， ．故③不符合题意；
因为△ABF∽△ADE，△ABF∽△OEF，得出△ADE∽△OEF，在△BEF和△BOE中，△BEF∽△BOE，在△BOE和△DOG中，△BOE∽△DOG，因为△DCE∽△BCG，得出图形中相似三角形超过6对，故④不符合题意．
17．（2021·台州）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG.若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝ .
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，
∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，
∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴BF= .
故答案是： .
【分析】利用正方形的性质及垂直的定义可证∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，可推出∠FAB =∠AGE，由此可推出△ABF∽△GAE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BF的长.
18．（2021·毕节）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m.
【答案】8.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解，根据题意得，
∴
∴
∴
故答案为：8.5
【分析】根据题意得 ，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
三、解答题
19．（2019·巴中）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
【答案】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
②如图，△A2B2C为所作；
③ ，
点B经过的路径长
【知识点】作图﹣位似变换；旋转的性质
【解析】【分析】 ①、延长AC到A1，使得A1C=2AC，延长BC到B1，使得B1C=2BC，Z则作出图形，从而可表示出A得坐标
②、利用网格特点和旋转的性质画出A、B对应的A2、B2从而得到图形
③、先计算出OB的长度，然后根据弧长公式计算出B经过得路径长
20．（2021·南通）如图，利用标杆 测量楼高，点A，D，B在同一直线上， ， ，垂足分别为E，C.若测得 ， ， ，楼高 是多少？
【答案】解：∵ ， ，
∴ m，
∵ ， ，
∴ ∥ ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴楼高 是9米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由 ， ，可得 ∥ ，可证△ADE∽△ABC，可得，代入相应数据，即可求出BC.
21．（2021·广东）如图，边长为1的正方形 中，点E为 的中点．连接 ，将 沿 折叠得到 交 于点G，求 的长．
【答案】解：延长 交 于H连 ，
∵ 由 沿 折叠得到，
∴ ， ，
∵E为 中点，正方形 边长为1，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题意，延长BF交CD于H，连接EH，通过证明，得到CH=，再由得到，进而即可求得CG的长。
22．（2021·广元）如图，在平行四边形 中，E为 边的中点，连接 ，若 的延长线和 的延长线相交于点F.
（1）求证： ；
（2）连接 和 相交于点为G，若 的面积为2，求平行四边形 的面积.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点E为DC的中点，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的面积为2，
∴ ，即 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质易得 ， ， 由平行线的性质可得 ， 易得 可得 ，等量代换可得结果；
（2）由平行四边形的性质易得 ， 故可得 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得 ，根据△ABG与△BCG同高，且 可得 ， 即可得 ，由平行四边形面积等于2倍 可得结果.
23．（2021·鄂州）如图，在 中，点E、F分别在边 、 上，且 .
（1）探究四边形 的形状，并说明理由；
（2）连接 ，分别交 、 于点G、H，连接 交 于点O.若 ， ，求 的长.
【答案】（1）解：四边形 为平行四边形.
理由如下：
∵四边形 为平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形 为平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴四边形 为平行四边形
（2）解：设 ，∵
∴ ，
∵四边形 为平行四边形
∴ ， ，
∵
，
∴
∴
∵
∴ .
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，结合∠ABE=∠CDF，求出BE∥DF，则可证出四边形BEDF是平行四边形；
（2）设AG=2a，结合AG和OG的比值把OG和OA表示出来，再利用平行四边形的性质，把AC和CG表示出来，然后证明△AGE∽△CGB，再根据相似的性质列出比例式，结合AE=4，即可求出BC.
24．（2021·梧州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH.
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝6，BE BC，求GH的长.
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BPE=90°，
∴∠BAP+∠ABP=∠FBC+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF
（2）解：由题意，在正方形ABCD中，
∵AB＝6，BE BC，
∴ ， ，
∴ ，
∵G为AD的中点，
∴ ，
∵∠BAE=∠PBE，∠AEB=∠BEP，
∴△ABE∽△BPE，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠APB=90°，
∴ ，
∵∠APG+∠APH=∠APH+∠HPB=90°，
∴∠APG =∠HPB，
∵∠GAP+∠PAB=∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠GAP=∠ABP，
∴△APG∽△BPH，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
在直角三角形AGH中，由勾股定理，则
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，利用垂直的定义及余角的性质可推出∠BAP=∠FBC；再利用ASA证明△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质，可证得结论.
（2）利用正方形的性质，结合已知可求出AB，BE的长；利用勾股定理求出AE的长，同时可求出AG的长；再证明△ABE∽△BPE，利用相似三角形的性质可求出BP的长，利用勾股定理求出AP的长；然后证明△APG∽△BPH，利用相似三角形的性质可求出BH的长；从而可求出AH的长，然后利用勾股定理求出GH的长.
25．（2021·嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
【答案】[探究1]如图1，设BC=x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转°得到矩形AB'C'D'，点A，B，D'在同一直线上，
∴AD'= AD=BC=x，D'C'=AB'= AB=1，
∴D'B=AD'- AB=x-1，
∴∠BAD=∠D'=90，D'C‘∥DA，
又∵点C'在DB延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴，即，
解得x1=，x2=(不合题意，舍去)；
[探究2] D'M= DM，理由如下：
证明：如图2，连结DD'，
∵D'M∥AC'，∴∠AD'M=∠D'AC'，
∴AD'= AD，∠AD'C'=∠DAB=90°， D'C'= AB，
∴△AC'D'≌△DBA(SAS)，
∴∠D'AC'=∠ADB，∴∠ADB=∠AD'M，
∵ AD’=AD，∴∠ADD'=∠AD'D，
∴∠MDD'=∠MD'D，
∴D'M=DM；
[探究3]关系式为：MN2=PN·DN，理由如下：
证明：如图3，连结AM，
∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，
∴△AD'M≌△ADM(SSS)，
∴∠MAD'=∠MAD，
∴∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN=∠NAM，
∴MN= AN，
在△NAP与△NDA中，
∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，
∴△NAP∽△NDA，
∴，
∴AN2=PN·DN，
∴MN2=PN·DN.
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）设BC=x，根据旋转的性质和矩形的性质把有关线段用x表示出来，证明△D'C'B∽△ADB，然后列比例式构建关于x的方程求解即可；
（2）连结DD'，利用边角边定理证明△AC'D'≌△DBA，得出∠D'AC'=∠ADB，再结合平行线的性质，得出∠ADB=∠AD'M，最后利用旋转性质，根据角的和差关系推出∠MDD'=∠MD'D，则可得出D'M=DM；
（3）连接AM，根据旋转的性质和矩形的性质，利用边边边定理证明△AD'M≌△ADM，得出∠MAD'=∠MAD，再根据角的和差关系求出∠AMN=∠NAM，得出MN=AN，然后证明△NAP∽△NDA，列比例式得出AN2=PN·DN，则可得出结论.
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湘教版数学九年级上册《 第3章 图形的相似》单元测试B卷
一、单选题
1．（2021·顺城模拟）若 ，且 ，则 的值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2021九下·东坡开学考）下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，5cm B．3cm，6cm，0.2dm，5cm
C．2cm，4cm，6cm，8cm D．12cm，8cm，15cm，10cm
3．（2021·贵港）如图，在正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且EF＝2AE＝2CF，连接DE并延长交AB于点M，连接DF并延长交BC于点N，连接MN，则 （ ）
A． B． C．1 D．
4．（2021·牡丹江）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y 相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
5．（2021·道外模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·香坊模拟）如图， 、 交于 点， ，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·桥东模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形 与矩形 是以点 为位似中心的位似图形，点 的坐标为 ，若 ，则 的长是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．6
8．（2021·雅安）如图，将 沿 边向右平移得到 ， 交 于点G.若 . .则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（2021·百色）下列四个命题：①直径是圆的对称轴；②若两个相似四边形的相似比是1：3，则它们的周长比是1：3，面积比是1：6；③同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行；④对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.其中真命题有（ ）
A．①③ B．①④ C．③④ D．②③④
10．（2021·绍兴）如图， 中， ， ，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使 ，连结CE，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
11．（2021·重庆）如图，在平面直角坐标系中，将 以原点O为位似中心放大后得到 ，若 ， ，则 与 的相似比是（ ）
A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3
12．（2021·鹤岗）如图，平行四边形 的对角线 、 相交于点E，点O为 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点D，交 于点G，连接 、 ，若平行四边形 的面积为48，则 的面积为（ ）
A．5.5 B．5 C．4 D．3
二、填空题
13．（2021九上·玄武期末）若 ，则 .
14．（2021九上·中宁期末）若 ， ， ， 是成比例线段，其中 ， ， ，则线段 .
15．（2021·百色）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点.若AC＝2，则BD＝ .
16．（2021·牡丹江）如图，矩形ABCD中，ADAB，点E在BC边上，且AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：①AF=DC，②OF：BF=CE：CG，③S△BCGS△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是 ．
17．（2021·台州）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG.若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝ .
18．（2021·毕节）学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m.
三、解答题
19．（2019·巴中）△ABC在边长为l的正方形网格中如图所示．
①以点C为位似中心，作出△ABC的位似图形△A1B1C，使其位似比为1：2．且△A1B1C位于点C的异侧，并表示出A1的坐标．
②作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C．
③在②的条件下求出点B经过的路径长．
20．（2021·南通）如图，利用标杆 测量楼高，点A，D，B在同一直线上， ， ，垂足分别为E，C.若测得 ， ， ，楼高 是多少？
21．（2021·广东）如图，边长为1的正方形 中，点E为 的中点．连接 ，将 沿 折叠得到 交 于点G，求 的长．
22．（2021·广元）如图，在平行四边形 中，E为 边的中点，连接 ，若 的延长线和 的延长线相交于点F.
（1）求证： ；
（2）连接 和 相交于点为G，若 的面积为2，求平行四边形 的面积.
23．（2021·鄂州）如图，在 中，点E、F分别在边 、 上，且 .
（1）探究四边形 的形状，并说明理由；
（2）连接 ，分别交 、 于点G、H，连接 交 于点O.若 ， ，求 的长.
24．（2021·梧州）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC，CD上的点，且AE⊥BF于点P，G为AD的中点，连接GP，过点P作PH⊥GP交AB于点H，连接GH.
（1）求证：BE＝CF；
（2）若AB＝6，BE BC，求GH的长.
25．（2021·嘉兴）小王在学习浙教版九上课本第72页例2后，进一步开展探究活动：将一个矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤90°），得到矩形AB′C′D′，连结BD．
[探究1]如图1，当α＝90°时，点C′恰好在DB延长线上．若AB＝1，求BC的长．
[探究2]如图2，连结AC′，过点D′作D′M∥AC′交BD于点M．线段D′M与DM相等吗？请说明理由．
[探究3]在探究2的条件下，射线DB分别交AD′，AC′于点P，N（如图3），发现线段DN，MN，PN存在一定的数量关系，请写出这个关系式，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由题意可得a=0.75b，
代入a+b=14可得：1.75b=14，
∴b=8，
∴a=8×0.75=6，
∴2a-b=2×6-8=4，
故答案为：B．
【分析】由题意可得a、b的值，从而得到2a-b的值．
2．【答案】D
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、∵ 2：3≠4：5，
∴这四条线段不成比例，故A不符合题意；
B、∵3:0.2≠6:5，
∴这四条线段不成比例，故B不符合题意；
∵ 2：4≠6：8，
∴这四条线段不成比例，故C不符合题意；
∵ 8：10=4：5，12：15=4:5
∴8：10=12：15
∴这四条线段不成比例，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别求出各选项中较小的两条线段之比及较大的两条线段之比，若线段，则是成比例的线段，由此可得答案.
3．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：设 ，
四边形 是正方形，
， ，
在 和 中，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为：A.
【分析】设，先证 ，再证 ，可得 ，由，可得，根据平行线分线段成比例可得 ，可得， ，利用三角形的面积公式即可结论.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
∵D点在双曲线y 上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴ ，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵双曲线y 在第二象限，
∴k=-16，
故答案为：D．
【分析】由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求出的面积，由反比例函数的性质可求解。
5．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△ABF∽△EDF
∴ ，
∴选项A不符合题意；
四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△ABF∽△EDF
∴
∴选项B符合题意；
∵
∴ ，即
∴选项C不符合题意；
∵
∴
∴选项D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的性质与判定对每个选项一一判断求解即可。
6．【答案】C
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解： ，
，
，故A不符合题意，
，
， ，
，故B不符合题意，
， ，
， ，
，故C符合题意，
，
， ，
，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先求出△AEO△ABC，再根据 和相似三角形的性质对每个选项一一判断即可。
7．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵点 的坐标为 ，
∴ ， ．
，
∴ ，
∵矩形 与矩形 位似，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可。
8．【答案】B
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】由平移的性质可得：AD=BE，且AD∥BE
∴△CEG∽△ADG
∴
即
∵
∴
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】由平移的性质可得AD=BE，且AD∥BE，可证△CEG∽△ADG，可得，由BC：EC=3：1可求出BE：EC=2：1，即得AD：EC=2：1，利用面积比即可求出结论.
9．【答案】C
【知识点】平行线的判定；正方形的判定；轴对称图形；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：①直径是圆的对称轴，直径为线段，对称轴为直线，应该是直径所在的直线是圆的对称轴，为假命题；
②若两个相似四边形的相似比是1：3，面积比是1：9，而不是1：6，为假命题；
③根据平行和垂直的有关性质，可以判定为真命题；
④根据正方形的判定方法，可以判定为真命题；
故答案为：C.
【分析】利用直径所在的直线是圆的对称轴，可对①作出判断；利用相似多边形的性质，可对②作出判断； 同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行 可对③作出判断；对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，可对④作出判断；综上所述可得到是真命题的序号.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】∵在 中，点D是边BC的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ .
∴ ，
∴在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为等腰三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 .
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，结合平行线的性质推出∠ADE=∠CDE，再利用边角边定理证明△ADE≌△CDE，得出AE=CE，然后证明△ABD∽△ADE，列出比例式 , 结合cosB=, 则知 ，从而得出结果.
11．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：由B、D两点坐标可知：OB=1，OD=3；
△OAB 与△OCD的相似比等于 ；
故答案为：D.
【分析】利用点B，D的坐标可求出OB，OD的长，利用相似三角形的性质可求出两三角形的相似比.
12．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，AE=EF， ，
∵平行四边形 的面积为48，
∴ ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 和 同高不同底，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】利用平行四边形ABFC的对角线AF、BC相交于点E，可得BE=CE，即点E为BC的中点，由于O点为AC的中点，即OE为三角形ABC的中位线，可得OE//AB，且，利用OE//AB可得，利用高相等的三角形的面积比等于它们底的比可得， 和 同高不同底，得出 ，
13．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】 由，可得，然后代入原式计算即得.
14．【答案】5
【知识点】比例线段
【解析】【解答】 ， ， ， 是成比例线段，
故答案为： .
【分析】利用成比例线段的性质可得比例式，然后将a，b，c的值代入计算求出d的长.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=72°
∴∠ACB=∠B=72°
∴∠A=180°-∠B-∠ACB=36°
∵CD是∠CAB的角平分线
∴∠ACD=∠BCD=
∴∠A=∠ACD
∴AD=CD
在△ABC与△CBD中
∠A=∠BCD=36°，∠B=∠B
∴△ABC∽△CBD
∴
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴∠CDB=72°
∴∠CDB=∠B=72°
∴AD=CD=BC
∴
即
∴D点为AB的黄金分割点
在三角形CDB中，∠B=72°，∠BCD=36°
∴CD>BD（大角对大边）
∴AD>BD
∵D是AB的黄金分割点，AD>BD
∴
∴
故答案为： .
【分析】利用三角形的内角和定理及等腰三角形的性质，可求出∠A的度数，利用角平分线的定义可得到∠ACD，∠BCD的度数，利用等腰三角形的判定和性质，可得到AD=CD；再证明△ABC∽△CBD；然后证明AD=CD=BC，可推出AD2=BD·AB，根据AD>BD，利用D是AB的黄金分割点，可求出AD的长，由此可求出BD的长.
16．【答案】①②
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】∵AEAD，AD AB，
∴AEAB．
在Rt△ABE中，∠ABE=90°，cos∠BAE= ，
∴cos∠BAE= ．
∴∠BAE=45°，即△ABE是等腰直角三角形．
∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠DAF=45°．
∵DF⊥AE，
∴∠ADF=45°，即△ADF是等腰直角三角形．
∴ADAF．
∴AF=AB．
∵在矩形ABCD中，AB=CD，
∴AF=CD ．故①符合题意；
又∵AF=AB，∠BAE=45°，
∴∠ABF=67.5°．
∴∠CBG=22.5°．
又∵AE=AD，∠DAE=45°，
∴∠ADE=67.5°．
∴∠CDE=22.5°．
∴∠CBG=∠CDE．
∵∠C=∠C，
∴△DCE∽△BCG．
∴ ．
∵在矩形ABCD中，BC=ADCD，
∴ ．
在△ABF和△ADE中．∠BAF=∠DAE=45°，AFAB ，AEAD ，
∴△ABF∽△ADE．
∴ ．
在△ABF和△OEF中，∠OEF＝∠ADE＝67.5°＝∠ABF，
∵∠AFB=∠OFE，∠AFB=∠ABF，
∴△ABF∽△OEF，∠OEF=∠OFE．
∴OE＝OF，∠EOF=45°．
又∵∠EOF=∠DFO+∠ODF =45°，∠ODF=∠ADE-∠ADF=22.5°，
∴∠ODF =∠DFO．
∴OFOD．
∴OEOFODDE．
∴ ．故②符合题意；
在△BEF和△FDG中， BE =FD，∠EBF=∠DFG ，∠BEF =∠FDG=∠ADC-∠ADF=45°，
∴△BEF≌△FDG．
连接CF．
又∵BC=ADADBE，
∴ ．故③不符合题意；
∵△ABF∽△ADE，△ABF∽△OEF，
∴△ADE∽△OEF．
在△BEF和△BOE中， ∠BEF ∠BOE 45°，∠EBF ∠OBE，
∴△BEF∽△BOE．
在△BOE和△DOG中， ∠ODG ∠OBE，∠BOE ∠DOG，
∴△BOE∽△DOG．
∴△BEF∽△DOG．
又∵△DCE∽△BCG，
∴图形中相似三角形超过6对，故④不符合题意．
综上，正确的结论是①②．
故答案为：①②．
【分析】得出△ABE是等腰直角三角形和△ADF是等腰直角三角形，AF=CD ．故①符合题意；得出△DCE∽△BCG，即可得出 ．故②符合题意；得出△BEF≌△FDG，连接CF，因为BC=ADADBE， ．故③不符合题意；
因为△ABF∽△ADE，△ABF∽△OEF，得出△ADE∽△OEF，在△BEF和△BOE中，△BEF∽△BOE，在△BOE和△DOG中，△BOE∽△DOG，因为△DCE∽△BCG，得出图形中相似三角形超过6对，故④不符合题意．
17．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，
∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，
∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴BF= .
故答案是： .
【分析】利用正方形的性质及垂直的定义可证∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，可推出∠FAB =∠AGE，由此可推出△ABF∽△GAE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BF的长.
18．【答案】8.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解，根据题意得，
∴
∴
∴
故答案为：8.5
【分析】根据题意得 ，利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
19．【答案】解：①如图，△A1B1C为所作，点A1的坐标为（3，﹣3）；
②如图，△A2B2C为所作；
③ ，
点B经过的路径长
【知识点】作图﹣位似变换；旋转的性质
【解析】【分析】 ①、延长AC到A1，使得A1C=2AC，延长BC到B1，使得B1C=2BC，Z则作出图形，从而可表示出A得坐标
②、利用网格特点和旋转的性质画出A、B对应的A2、B2从而得到图形
③、先计算出OB的长度，然后根据弧长公式计算出B经过得路径长
20．【答案】解：∵ ， ，
∴ m，
∵ ， ，
∴ ∥ ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
∴楼高 是9米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由 ， ，可得 ∥ ，可证△ADE∽△ABC，可得，代入相应数据，即可求出BC.
21．【答案】解：延长 交 于H连 ，
∵ 由 沿 折叠得到，
∴ ， ，
∵E为 中点，正方形 边长为1，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据题意，延长BF交CD于H，连接EH，通过证明，得到CH=，再由得到，进而即可求得CG的长。
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵点E为DC的中点，
∴ ，
在 和 中
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 的面积为2，
∴ ，即 ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质易得 ， ， 由平行线的性质可得 ， 易得 可得 ，等量代换可得结果；
（2）由平行四边形的性质易得 ， 故可得 ，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得 ，根据△ABG与△BCG同高，且 可得 ， 即可得 ，由平行四边形面积等于2倍 可得结果.
23．【答案】（1）解：四边形 为平行四边形.
理由如下：
∵四边形 为平行四边形
∴
∵
∴
∵四边形 为平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴四边形 为平行四边形
（2）解：设 ，∵
∴ ，
∵四边形 为平行四边形
∴ ， ，
∵
，
∴
∴
∵
∴ .
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD∥BC，结合∠ABE=∠CDF，求出BE∥DF，则可证出四边形BEDF是平行四边形；
（2）设AG=2a，结合AG和OG的比值把OG和OA表示出来，再利用平行四边形的性质，把AC和CG表示出来，然后证明△AGE∽△CGB，再根据相似的性质列出比例式，结合AE=4，即可求出BC.
24．【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，
AB=BC，∠ABC=∠C=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠BPE=90°，
∴∠BAP+∠ABP=∠FBC+∠ABP=90°，
∴∠BAP=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF
（2）解：由题意，在正方形ABCD中，
∵AB＝6，BE BC，
∴ ， ，
∴ ，
∵G为AD的中点，
∴ ，
∵∠BAE=∠PBE，∠AEB=∠BEP，
∴△ABE∽△BPE，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵∠APB=90°，
∴ ，
∵∠APG+∠APH=∠APH+∠HPB=90°，
∴∠APG =∠HPB，
∵∠GAP+∠PAB=∠PAB+∠ABP=90°，
∴∠GAP=∠ABP，
∴△APG∽△BPH，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
在直角三角形AGH中，由勾股定理，则
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）利用正方形的性质可证得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，利用垂直的定义及余角的性质可推出∠BAP=∠FBC；再利用ASA证明△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质，可证得结论.
（2）利用正方形的性质，结合已知可求出AB，BE的长；利用勾股定理求出AE的长，同时可求出AG的长；再证明△ABE∽△BPE，利用相似三角形的性质可求出BP的长，利用勾股定理求出AP的长；然后证明△APG∽△BPH，利用相似三角形的性质可求出BH的长；从而可求出AH的长，然后利用勾股定理求出GH的长.
25．【答案】[探究1]如图1，设BC=x，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转°得到矩形AB'C'D'，点A，B，D'在同一直线上，
∴AD'= AD=BC=x，D'C'=AB'= AB=1，
∴D'B=AD'- AB=x-1，
∴∠BAD=∠D'=90，D'C‘∥DA，
又∵点C'在DB延长线上，
∴△D'C'B∽△ADB，
∴，即，
解得x1=，x2=(不合题意，舍去)；
[探究2] D'M= DM，理由如下：
证明：如图2，连结DD'，
∵D'M∥AC'，∴∠AD'M=∠D'AC'，
∴AD'= AD，∠AD'C'=∠DAB=90°， D'C'= AB，
∴△AC'D'≌△DBA(SAS)，
∴∠D'AC'=∠ADB，∴∠ADB=∠AD'M，
∵ AD’=AD，∴∠ADD'=∠AD'D，
∴∠MDD'=∠MD'D，
∴D'M=DM；
[探究3]关系式为：MN2=PN·DN，理由如下：
证明：如图3，连结AM，
∵D'M=DM，AD'=AD，AM=AM，
∴△AD'M≌△ADM(SSS)，
∴∠MAD'=∠MAD，
∴∠AMN=∠MAD+∠NDA，∠NAM=∠MAD'+∠NAP，
∴∠AMN=∠NAM，
∴MN= AN，
在△NAP与△NDA中，
∠ANP=∠DNA，∠NAP=∠NDA，
∴△NAP∽△NDA，
∴，
∴AN2=PN·DN，
∴MN2=PN·DN.
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）设BC=x，根据旋转的性质和矩形的性质把有关线段用x表示出来，证明△D'C'B∽△ADB，然后列比例式构建关于x的方程求解即可；
（2）连结DD'，利用边角边定理证明△AC'D'≌△DBA，得出∠D'AC'=∠ADB，再结合平行线的性质，得出∠ADB=∠AD'M，最后利用旋转性质，根据角的和差关系推出∠MDD'=∠MD'D，则可得出D'M=DM；
（3）连接AM，根据旋转的性质和矩形的性质，利用边边边定理证明△AD'M≌△ADM，得出∠MAD'=∠MAD，再根据角的和差关系求出∠AMN=∠NAM，得出MN=AN，然后证明△NAP∽△NDA，列比例式得出AN2=PN·DN，则可得出结论.
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